2.2 第3课时反比例函数图象与性质的应用-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 第3课时 反比例函数图象与性质的应用 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1,[2025河北中考]在反比例函数y=4中，若2<y<4,则x的取值范用是 () A名1 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 2.易疆题在反比例函数y=4的图象上有点A(x1y),B(x2y),当x1<0<x2时，y<y2 则k的取值范围是 () A.k<0 B.k>0 C.k<4 D.k>4 3.若反比例函数y=(≠0)的图象经过点A(a,2),B(h,一2，则a十b的值为 4国已知反比例函数y-之，若)>1，则x的取值范围是 5.已知反比例函数的图象经过点P(2,一3). (1)求该反比例函数的表达式. (2)若将点P沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴平移n(n>0)个单位长度得到点P', 使，点P'恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向. 门二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.已知反比例函数y=(k<0)的图象上有三个点A(b,),B(b+1,y),C(b-2,y),且满足 y1<y2<y3,则b的值可以为 () A.2 B.-1 C.1 D.3 7.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(-3,2.若点P(m,m)在该反比例函数的图象 上，且它到x轴的距离大于2，则m的取值范围是 () A.m<-3 B.m>3 C.m<-3或m>3D.3m0或0m3 8.[2024扬州期末]如图，一次函数y=k1工十h,的图象与反比例函数y=的图象 相交于点A(5,m),B(-1,n).当1x十b,>时，自变量x的取值范围是 B (第8题) 30 第2章反比例函数 9.[2025南京中考]已知反比例函数y=6,则当1≤x≤3时，兰的最小值是 ,A是反比例函数y三一二在第二象限内的图象上的一个动点，连接〔 Y- 将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OB,则，点B在反比例函数 0 图象对应的函数表达式为 (第10题) 12025内江中专如图，在平面直角坐标系巾，反比例因数-兰在第二象限内的图象与次函 数y=k2x十b的图象交于A(a,6),B(-6,1)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式. (2)当<0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k,x十6一工≥0的解集， (3)过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D.若点C的横坐标为一4，求 △BOD的面积 C 0 (第11题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1.反比例函 数y冬(k>0)在第一象限内的图象经过边BC的中点D(3,1. (1)求这个反比例函数的表达式. (2)若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个反比 例函数的图象上。 ①求OF的长. ②连接AF,BE,求证：四边形ABEF是正方形. D 0 (第12题) ●“答案与解析”见P15 317.B“反比例函数y冬伏≠0)，当-2<<-1时 的最大值是6，∴.此函数图象的一个分支在第二象限，y随 x的增大而增大..当x=一1时，y=6..k=一1 6=一6.反比例函数的表达式为y=一6.：当x≥ 2时，函数图象位于第四象限，y随x的增大而增大，∴.当 6 x≥2时y有最小值y=一2=一3. 8.二、四：点P(一1，m一3)在第三象限，∴.m-3<0, 解得m<3.m一4<0.反比例函数y=m二4的图象 在第二、四象限 9.-1点A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)分别在三个 不同的象限，点A(一2,1)在第二象限，点B(3,2)在第一象 限，一6<0，∴.点C(一6，m)一定在第三象限.点 B(3,2)在第一象限，反比例函数y=冬(k≠0)的图象经过 其中两点，反比例函数y=(k≠0)的图象经过点 B(3,2),C(-6,m).∴.易得3×2=-6m..m=-1. 10.(1).k0,2x3,∴.y1随x的增大而减小， 为随x的增大而增大“当=2时的最大值为号 a①：当x=2时的最小值为-令-a-4②，联立①@， 2-a, 得 解得2， (2)圆圆的说法不正确.理 k 2=a-4 k=4. 由：当x=m时，p=y=,当x=m十1时，g=y m+心p-g=k一6 k m一m十1m(m+·k>0,小当 k m<-1时，p-g=m(m+D>0.·p>g.当-1<m<0 时，则p-gm(m+D<0心p<4.当m>0时，则p- g一m(m+>0,心p>q.小圆圆的说法不正确。 1.()⑤0。当x=0时y=片-6，该函数图 象与y轴的交点坐标是(0，一6).故①错误：函数y=6 的图象的对称中心是点(0,0)，函数y一的图象是由 函数，y=5的图象向右平移1个单位长度得到的，“函数 y一号的图象的对称中心是点10，.放@惜误：函数 y=6的图象关于直线y=x和y=一x对称，函数y= 一的图象关于直线y=x一1和y=一x+1对称故③ 6 正确.由题意，得当x<1时，y随x的增大而减小，∴当 x<0时，y随x的增大而减小.故④正确.综上所述，正确 的有③0、2》作出酒数y=2一马的图象如图①所 示.图象关于直线y=一x十3对称；当x<1时，y随x的 增大而增大，当x>1时，y随x的增大而增大（答案不唯 -人8=3+-3-3+号：国 x+1 x+1 数y一芹的图象可以由函数y一的国象适过平移得 到，∴k-3=6..k=9.(4)由题意，得kx十b=a x十1 a2=a片xt6-a异：当a>0 x+1 时，对于任意正数，方程x十6一华均无解“函数 y=x十b一a的图象与函数y一的图象没有交点结 合图象（如图②）易得，当直线y=kx十b一a过点（一1， 0)时，符合题意，∴.一k十b-a=0,即k十a一b=0. y本 1 12 10 4 ------2-----二- -10-8-6-4-202/46810x 二4州 1 -8 -10f ① a iy yx+1到 /y=kx+b-a 10 ② (第11题) 第3课时反比例函数图象与性质的应用 1.B:反比例函数y=4,k=4>0,在每个象限内， x y随x的增大而减小.当y=2时，x=2,当y=4时，x=1. .当2<y<4时，1<x<2. 2.C当x1<0<x2时，y1<y2,∴.反比例函数y= 4二的图象位于第一、三象限..4一k>0,解得k<4 易错警示 不会根据函数性质确定自变量与函数值对应关系导致错误 解答这类已知自变量的取值范围与函数值取值范 围的问题时，需要根据函数的性质，确定函数值可能的 情形.x,<0<x2,且y1<y2点A,B一定不在同 一象限内，必有y,<0<y2·因此，点A,B一定分别在第 一、三象限内，进而可确定系数的取值范围解决问题，解 题时往往会由于不能确定点A,B可能出现的情形而导 致错误 3.0:函数y=冬k≠0)的图象经过点A(a,2, B(b-2),2=k B...a=k 2a+ 6=+(-)=0. 4.0x<3 :y=3,“该函数图象在第一、三象限，当 x>0时，y>0:当x<0时，y<0.令y=1,得x=3..结 合图象（图略）可知，当y>1时，0<x<3. 5.(1)设反比例函数的表达式为y=(k≠0).：图象经 过点P(2,-3》.一3=合解得长=-6.“该反比例函 数的表达式为y=一 .(2)点P沿x轴负方向平移 3个单位长度，.点P的横坐标为2一3=一1.当 =-1时y=-9=6n=6-(-3)=9点P沿 y轴平移的方向为y轴正方向. 6.C“k<0,函数y一冬的图象位于第二四象限， 且在每一个象限内，y随x的增大而增大.：点A(b,y), B(b+1,y2),C(b-2,y)在函数y=的图象上，b-2< b<b+1,y1<y2<y3,∴.y1<y2<0<ya·∴.b-2<0< b<b+1.∴.0<b<2..b的值可以为1. 7.D:点A(-3,2》在反比例函数y=(k≠0)的图象 上2=冬gk=-6小反比例函数的表达式为y 一又：点P(m,m)在该反比例国数的国象上， ∴.mm=一6，点P到x轴的距离为nl.∴.令|n=2,则 n=士2.若n=2,则m=一3；若n=一2，则m=3.又，点 P到x轴的距离大于2，.m的取值范围是一3<m<0或 0m<3. &一1Kx<0或x>5由题图可知，当k,x十b,>时， x的取值范围是-1<x<0或x>5. 9号令1=之将)一代人1=之中，可得= 22 ,1x3,当x增大时，x2也随之增大，t则随之减小， 62 t在x=3时取得最小值，为=了，即兰的最小值 10,y=2如图，过点A作ACLx轴于点C,过点B作 BD⊥x轴于点D.∴.∠ACO=∠ODB=90°.∴.∠CAO+ ∠ACC=90°.由旋转的性质，得OA=BO,∠AOB=90°， ∴.∠AOC+∠DOB=90°..∠CAO=∠DOB.在△ACO 和△ODB中，：∠ACO=∠ODB,∠CAO=∠DOB, OA=BO,∴.△ACO≌△ODB(AAS).∴.AC=OD,CO= DB.设点B的坐标为(n,m)..∴.AC=OD=n,CO=DB= m..点A的坐标为（一m,n).,点A在反比例函数y 2的图象上·”三 2,即mm=2..易知点B所在 -m 反比例函数图象对应的函数表达式为y=2 y A D Dx (第10题) (第11题) 11.()·反比例函数y-:在第二象限内的图象过点 B(-6,1),∴.k,=一6×1=一6..反比例函数的表达式 为y=一：点A(a,6)在反比例函数y=一的图象 上，.6a=一6，解得a=一1.∴.点A的坐标为（一1,6）. :一次函数y=k2x十b的图象经过A(一1,6)，B(一6， 1)两点{一0+6= 一k2十b=6, k,=1.一次函数的表 解得6=1. 达式为y=x十7.(2)-6≤x≤-1.：k2x十b >≥0：十6≥女即一次函数图象在反比例国致国 象的上方..一6≤x≤-1.(3)将x=-4代人y=x十 7,解得y=一4十7=3，∴·C(一4,3).将y=3代人y= 。,得3=，解得x=-2∴.D(-2,3).如图，过 点B,D分别作x轴的垂线，垂足分别为F,E,:'B(一6,1)， D(-2,3),.DE=3,BF=1,EF=-2-(-6)=4 :S△on十S△m0=S梯形BPED+S△DFO,S△r0=S△DFO= 号k,=3San=Snm=(DE+BF)·EF- 合×8+1DX4=8 12①)将D3,D代入y冬，得1=令解得=3这 个反比例函数的表达式为y一 ,(2)① 思路导引 △ABC与△EFG 成中心对称 △ABC≌△EFG 中点D的坐标(3,1) EG=AC=1,FG=BC=2 反比例函数的表达式BC-2 点E的横坐标 点E的坐标 C0的长 求得OF的长 D(3,1)是边BC的中点，∠ACB=90°，∴.易得点B的 坐标为(3,2..BC=2,OC=3.△ABC与△EFG成 中心对称，∴.△EFG≌△ABC.∴.EG=AC=1,FG= BC=2,∠EGF=∠ACB=90°.∴.点E的横坐标为1.在 y=2中，当x=1时3=号-3.5点E的坐标为1.3. ∴.0G=3.∴.OF=OG-FG=3-2=1. ②OC=3,AC=1,∴.AO=0C-AC=3-1=2. .FG=AO=2,∠EGF=∠FOA=90°，GE=OF=1, ∴.△EFG≌△FAO(SAS)..FE=AF,∠GEF= ∠OFA.∠EGF=90°，∴.∠GFE+∠GEF=90°. ∴.∠GFE+∠OFA=90°.∴.∠EFA=90°.同理，得 ∠FAB=90°.∴.∠FAB+∠EFA=180°.∴.EF∥AB. △EFG≌△ABC,∴.EF=AB.∴.四边形ABEF是平 行四边形.又：∠EFA=90°，∴.四边形ABEF是矩形.又 FE=AF,∴.四边形ABEF是正方形 专题特训四反比例函数系数 “k”的几何意义 1.A设涂色部分的面积为S3,则S3十S1=4,S3+S2= 4,S3+S1+Sg+S2=8.S1+S2=6,.2S3=2,解 得S3=1. 易错警示 不能理解反比例函数系数“k”的几何意义导致错误 解答这类问题的关键是明确过点作坐标轴垂线所 围成矩形的面积都是|k|,由此建立以涂色部分的面积 为未知数的方程，即可解决问题 2C:A,B是函数y=的图象上关于原点0对称的 任意两点，且AC∥y轴，BD∥y轴，.设点A的坐标为 (x,y),则点B的坐标为（一x,一y)..OC=OD=x, 1 AC-BD-y.SAMo=2y=SAc =2:SAnE- 2=Sam=号&S=Sam+Sax十Sar十 1 S△0m=2X4=2. 3号“点P在第一象限内，且在L上，“设点P的 坐标是(a,)a为正数).：PALx轴，点A的横坐 标是a.:点A在L上，点A的坐标是(a,-) :PBLy轴，点B的纵坐标是：点B在L上 “}-兰解得x-一2a∴点B的坐标足(-2a,)】 x PA-日-(--子，PB=la-(-2a1=a :易得PALPB,.△PAB的面积=号PA·PB-× 4.1连接OC,OB,设直线BC与x轴交于点D. BCy轴，点A在y轴上.∴.BC∥OA..SAc= Sc:点B.C分别在反比例函数y=二和y一的图 象上Sm=号=2，Sm-号=15m S△c=S△on-S△on=1. 5.过点C作CE⊥AB于点E,CF⊥OA于点F,则易得 CF=AE.AB=8,AC=BC,CE⊥AB,∴.BE=AE= CF=2AB=4.”AC=BC=5.由勾股定理，得AF= AC2-CF2=3.(1).OA=AB=8,..OF=OA- AF=5.点C的坐标为(，4.：点C在函数y- (x>0)的图象上，.k=5X4=20.(2)BD=BC=5, AB=8,∴.AD=3.设点A的坐标为(m,0),则C,D两点 的坐标分别为(m-3,.m,3.:点C,D在国数y一号