专题09 一元二次方程的解法—公式法、因式分解法的十三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 系统整合公式法与因式分解法通法，通过十三类分层题型构建从基础到压轴的解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|公式法5要点+因式分解法6要点|提炼公式法“前提-判别式-求根公式-步骤-易错点”及因式分解法“原理-方法-步骤”体系，归纳共通易错点|从解法原理到应用条件，构建“概念-步骤-易错”逻辑链| |题型归纳|13类题型，每类1典例+3变式|针对根的判别式、整数根求参等题型，提炼“几何建模”“换元转化”等技巧|从代数计算到几何应用（赵爽弦图等），体现知识迁移与模型意识| |压轴挑战|15道综合题|融合新定义、动态几何等复杂情境，强化批判性思维|聚焦中考高频考点，实现从基础到压轴的能力跃升|

专题09一元二次方程的解法—公式法、因式分解法的十三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断方程根的情况及求参 题型二、新定义运算 题型三、与赵爽弦图结合 题型四、方程根为整数解求参 题型五、与等腰三角形结合 题型六、解一元二次方程—公式法 题型七、解一元二次方程—因式分解法 题型八、换根法 题型九、平均数法 题型十、无理方程 题型十一、十字相乘法与分组分解法 题型十二、兄弟矩形与勾系一元二次方程 题型十三、勾股圆方图注 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 知识点概括 易错点概括 公式法 前提条件 一元二次方程化为一般形式：（） 忽略的前提，错误将非一元二次方程套用公式求解 根的判别式，方程有实根的条件是 遗漏的情况，直接开平方计算导致错误；将判别式符号记反，误将判定为有实根 求根公式 当时，方程的根为 分子漏写，错写为；分母漏写，错写为；根号内计算错误，符号处理出错 解题步骤 1. 化为一般形式，确定(a、b、c)的值；2. 计算判别式，判断实根存在性；3. 时代入求根公式计算根，说明无实根 确定(a、b、c)时遗漏符号，比如方程中错把记为、记为；计算时错误套用的符号，将负负得正计算错误 根的情况分类 1. ：两个不相等的实数根；2. ：两个相等的实数根；3. ：无实数根 混淆“无实数根”与“无解”的应用场景，未说明范围直接写无解；误将判定为只有一个根，错误表述根的数量 因式分解法 原理依据 若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，即或 忽略“乘积为0”的前提，若，错误推出或 提公因式法 若方程各项含有公因式，提取公因式后分解为两个一次因式乘积求解 方程两边同时除以含未知数的公因式，丢失一个根；提取公因式后剩余项符号错误 公式法（因式分解的乘法公式） 利用平方差公式、完全平方公式分解因式 完全平方公式符号错误，错将分解为；平方差公式应用错误，错将分解为 十字相乘法 对于，满足(m+n=p，mn=q)； 常数项的符号与一次项系数符号匹配错误，分解后乘积展开与原方程不一致；二次项系数不为1时，十字相乘的系数组合错误 解题步骤 1. 将方程整理为右边为0的形式；2. 将左边因式分解为两个一次因式乘积；3. 令每个因式为0，得到两个一元一次方程；4. 解一元一次方程得到原方程的根 未将方程整理为右边为0就直接分解，导致求解错误；分解后只写一个根，遗漏另一个因式对应的根 适用特点 能直接分解为一次因式乘积的一元二次方程，求解过程比公式法更简便快捷 强行使用因式分解法分解无法分解的方程，浪费时间且出错；不会灵活选择方法，所有方程一律套用公式法 共通易错点 方法通用 解完方程后可以代入原方程验证根的正确性 结果不检验，出现计算错误无法发现；对根的化简不彻底，保留非最简二次根式 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断方程根的情况及求参 典例1 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 变式1-1关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 变式1-2关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根 该方程为一元二次方程，且根的判别式 可得 解不等式， 移项得，， 系数化为得，， 综上可得：的取值范围是且． 变式1-3若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 【答案】 2 【分析】因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，据此得到第一个关于的限制条件．因为一元二次方程有实数根，所以根的判别式，代入对应系数计算得到第二个关于的不等式．联立两个条件得到的取值范围，在范围内任选一个符合要求的值即可． 【详解】解：该方程是一元二次方程，因此， 因为方程有实数根， 所以， 解得， 因此只要取且的任意值都符合条件，比如． 类型二、新定义运算 典例2 对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算和一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到关于的一元二次方程，然后求得根的判别式的值，再根据有两个不相等的实数，满足，求出的取值范围，再选择即可． 【详解】解：， ， 整理得， 有两个不相等的实数，满足， ，且， ，且， 只有选项A符合， 故选：A ． 变式2-1对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 【答案】D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 变式2-2定义运算：．例如：，则方程的根______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴,． 故答案为：,． 变式2-3新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 【答案】或 【分析】先根据新定义，比较与的大小，得到的值，再将等式整理为一元二次方程，求解得到的值． 【详解】解：， ， 根据新定义运算：当时，， 可得， 由题意得：， 整理得：， 因式分解：， 解得：，． 题型三、与赵爽弦图结合 典例3 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算；根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵图中，， ∴ ∵与的面积相等， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， 故选：B． 变式3-1如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，推出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵小正方形的边长为17， ∴， ∴，即， ∵大正方形的边长为25，， ∴， ∴ ∴或（舍去）． 变式3-2如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和弦图，解一元二次方程， 设，，表示出，然后根据得到，整理为，然后解方程即可． 【详解】解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成 ∴设， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴整理得， ∴ 解得 ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 变式3-3如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为和（其中为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识．由菱形的性质可得直角三角形的直角边分别为，，推出大正方形的面积为，再根据阴影面积大正方形的面积四个三角形的面积，列方程即可求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 直角三角形的直角边分别为，， 大正方形的面积为， 阴影小正方形的面积为， ， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 题型四、方程根为整数解求参 典例4 关于的一元二次方程的两根均为整数，则整数的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再整理方程因式分解得到两根，根据根和m都是整数，枚举可能的取值得到符合条件的m． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴ ， 解得， ∵两根均为整数，为整数 ∴是的约数，即，， 当时，，为整数，符合要求， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，为整数，符合要求， ∴整数的值为或． 变式4-1已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a的个数是（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算．根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整理为：，则和的解是方程的根，即是方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可得． 【详解】解：∵的根都是整数， ∴①当时，原方程为， 解得，； ②当时，原方程可整理为：， 则或， 即是方程的整数根，且x是整数， 则或， 解得，，，，， 综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3，共5个； 故选：C． 变式4-2设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 变式4-3已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 【答案】，，， 【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； 当且时，原方程化为，解得，． 为整数，且，均为整数根， ，，，，得，，，，，，， 且，，，得，，，，． 综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数． 题型五、与等腰三角形结合 典例5 一个等腰三角形两腰长分别是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意可得该一元二次方程有两个相等的实数根，再由求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰长相等， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 故选：B． 变式5-1一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（    ） A．11 B．27 C．5或11 D．21或27 【答案】B 【分析】先求出方程的解，然后根据三角形三边关系定理判断，最后求出周长即可． 【详解】解：， 解得：或5， 如果11是等腰三角形的底边，5为腰长，此时根据三角形三边关系，不合题意； 如果11是等腰三角形的腰长，5为底边，则三角形的周长为27， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，运用了分类讨论的思想，学生应该对的值进行讨论，根据三角形的性质来判断的取值是否满足题意． 变式5-2等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 变式5-3等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为________． 【答案】6或7/7或6 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 当4为腰长时，将代入原方程，求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形；当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形． 【详解】解：当4为腰长时，将代入原方程，得， ∴， 原方程为， 解得 ， 又∵， ∴边长为2，4，4的三条边能组成等腰三角形； 当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴原方程为 ， 解得， 又∵， ∴边长为3，3，4的三条边能组成等腰三角形， 综上所述，m的值为6或7 故答案为：6或7． 题型六、解一元二次方程—公式法 典例6 用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】 ；；；；；；； 【分析】利用公式法解方程即可. 【详解】略 变式6-1解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)x1，x2 【详解】（1）解： ， ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 变式6-2用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 变式6-3解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程． （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即，， 解得，． （2）解：， ，，， ， ， ， 整理得， 解得，． 题型七、解一元二次方程—因式分解法 典例7 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用求根公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项得： 提公因式得：， 整理得：， 可得：或， 解得：； （2）解：。 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 变式7-1解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 变式7-2解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴ 变式7-3解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 题型八、换根法 典例8 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，等式的性质，一元二次方程的解，倒数，等式的性质，提公因式法分解因式，反证法，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“换根法”并能加以运用是解题的关键． 变式8-1阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根． （1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． （2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求方程为：． 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求的方程为：． 故答案为：． 变式8-2阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得； （2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有， 于是，方程有一个根为，不合题意， ∴， 故所求方程为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法． 变式8-3阅读理解：   例题  已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以 把代入已知方程，得 化简，得：， 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请根据阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程（是常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数 【答案】(1)2y2+5y-7=0 (2)cy2+by+a=0 【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入原方程，化简可求； （2）根据题意，设所求方程的根是y，则，所以，然后把代入原方程，化简可求． 【详解】（1）解：设所求方程的根是y，则y=-x，所以x=-y， 把x=-y代入2x2-5x-7=0，得2y2+5y-7=0； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程ax2+bx+c=0，得， 化简，得cy2+by+a=0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是注意掌握“换根法”的使用． 题型九、平均数法 典例9 下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理，得，，我们称这种解法为平均数法． 任务： (1)小论文中的根据1是______． (2)用平均数法解方程的两个解分别是______，______． (3)请用平均数法解方程：． 【答案】(1)平方差公式 (2)， (3)，或 【分析】本题考查了解一元二次方程、平方差公式的应用，弄清楚题中的新定义是解此题的关键． （1）根据阅读材料中的信息即可得出根据1就是平方差公式； （2）利用平均数法解方程即可； （3）利用平均数法解方程即可． 【详解】（1）解：， （根据1）， 根据是平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解：原方程变形为：， ， ， ， ，， 故答案为：，； （3）解：， 原方程变形为：， ， ， ， ，． 变式9-1某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1) (2) ， ∴， ∴， ∴， 直接开平方法得：， 解得：． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“”，“○”，“☆”，“”表示的数即可； （2）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴ ∴， 两边直接开平方得：， 解得：， ∴“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是， 故答案为：； （2）略 变式9-2下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理得，，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 下面是用平均数法解方程时写的解题过程， 直接开平方并整理，得…… 任务： (1)小论文中的根据1是______． (2)小明用平均数法解方程时，将方程写为的形式，请问式子中的______，______． (3)请用平均数法解方程：． 【答案】(1)平方差公式 (2)4；2 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据平方差公式即可得解； （2）根据阅读材料中的信息所给的方法即可求解； （3）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】（1）解： ， 原方程可变形， 得 （平方差公式） ， 故答案为：平方差公式； （2）解：∵， ∴， ∴，． 故答案为：4；2 （3）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 变式9-3小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程， 解：原方程可变形，得：． 直接开平方并整理，得：，， 我们称小明这种解法为“平均数法”． (1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：． 直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原方程可变形，得：． ， ． 直接开平方并整理，得． 上述过程中的表示的数分别为， 故答案为：； （2）解：原方程可变形为． ， ， ． 直接开平方并整理，得． 题型十、无理方程 典例10 “转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如： 解无理方程 解：方程两边同时平方，得：， 解这个一元一次方程，得：， 检验：当时，左边右边， 所以，是原方程的解． 通过上面的学习，请解决以下三个问题： (1)方程的解为______； (2)解无理方程． (3)如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点C的坐标．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给想运算方法进行计算即可； （2）根据题目所给想运算方法进行计算即可； （3）根据题意得出轴，则点C的纵坐标为3，设，得出，，根据，列出方程求出x的值，即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：， 方程两边同时平方，得：， 解这个一元一次方程，得：， 检验：当时，左边右边， 所以，是原方程的解， 故答案为：； （2）解：， 方程两边同时平方，得：， 解这个一元二次方程，得：， 检验：当时，左边右边， ∴是原方程的解， 当时，左边右边， ∴不是原方程的解； （3）解：∵， ∴轴， ∵， ∴点C的纵坐标为3， 设， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 方程两边同时平方，得：， 解得：， 检验：当时，左边右边， ∴是原方程的解， ∴． 【点睛】本题主要考查了的解无理方程，解题的关键是掌握正确理解题意，掌握将无理方程化为整式方程求解的方法和步骤． 变式10-1阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简 单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由 于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有未知数的方程)．解无理方程关键是要去掉 根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方 程也必须检验． 例如∶解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题∶ (1)填空∶已知关于x的方程＝x有一个根是，那么a的值为_____； (2)求满足x的x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把代入方程得，然后解关于的无理方程即可； （2）利用乘方把无理方程转化为得，解得，，然后进行检验确定原方程的根； 【详解】（1）解：把代入方程得， 两边平方得，解得， 经检验是方程的解； 所以的值为2； 故答案为：2； （2）解：， 方程两边平方得， 解得，， 经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根， 原方程的根是； 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 变式10-2阅读与理解： 阅读材料：像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项：；两边平方：x﹣1＝9﹣6x＋x2. 解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5 检验所得到的两个根，只有 　 　是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程． 【答案】；x＝3 【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解； 理解应用：先移项得到，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根． 【详解】解：阅读材料： 经检验是原方程的解； 故答案为：； 理解应用：移项：， 两边平方：， 解得，， 经检验原无理方程的根为． 【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 变式10-3阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方得： 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： （1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； （2）求满足的x的值； （3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析 【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可； （2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解； （3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可． 【详解】解：（1）把x=1代入方程得， 两边平方得 3-a=1， 解得a=2， 经检验，a=2是方程的解， 故答案为：a=2； （2） 两边平方得： 解得：， 经检验，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根 ∴原方程的根是x=3； （3）不能． ， 原方程变形得， 两边平方得 整理得， 两边平方得， 此方程无解， ∴代数式的值不等于8． 【点睛】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键． 题型十一、十字相乘法与分组分解法 典例11 用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用十字相乘法进行因式分解求解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 变式11-1阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1)； (2)； (3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了十字相乘法解一元二次方程，解一元一次不等式，熟练掌握十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，求出，，然后根据方程有一个根大于，即，然后求出的取值范围． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解： 或， ∴，； （3）解：， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于， ∴， ∴． 变式11-2阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： 1．知识运用： 试用“分组分解法”分解因式：； 2．解决问题： （1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状． （2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立． ①当k=1时，求a+c的值 ②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可） 【答案】知识运用：；解决问题：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）①；②，， 【分析】知识运用：用公式法因式分解，提取公因式，再提取两者的公因式； 解决问题：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形； （2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算； ②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d． 【详解】解：知识运用 原式 ； 解决问题 （1） ， ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形； （2）①当时， ，即， ，即， 若 则， 把它代入，得，解得， 当时，，则， 当时，，则， 综上：的值为6或； ②当， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理由，得， 由，， 若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意， 若，则，，， 综上：，，． 【点睛】本题考查因式分解的拓展运用，解题的关键是灵活掌握因式分解的方法． 变式11-3在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是． ③于是． 根据对应项系数相等，得，则． ④所以． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解：． 解：①把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． ②因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 请继续完成下列步骤： ③填空：______，______； ④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解； ⑤多项式因式分解的结果为______． (2)利用“试根法”因式分解：． 【答案】(1)（1）③，；④；⑤ (2) 【分析】本题主要考查因式分解的拓展，解题的关键在于准确理解题意找到试根法的运算技巧. （1）③把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；④通过试根确定两个因式为和，再把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；⑤直接利用前面的结论把三个因式写成积的形式即可； （2）先用试根法分解为，再用试根法把分解为，最后综合在一起即可． 【详解】（1）解：③由题意，得， 根据对应项系数相等，得， 解得：， 故答案为：； ④当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， ∴； ⑤， 故答案为：； （2）解：当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， 又当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， ∴． 题型十二、兄弟矩形与勾系一元二次方程 典例12 阅读下面材料，并完成问题． 任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”． 探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？ 小亮同学是这样探究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得． ， 的“兄弟矩形”B存在． （1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？ （2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件． 【答案】（1）不存在；（2） 【分析】（1）按照小亮的方法，进行计算即可； （2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可． 【详解】解：（1）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得， ， 的“兄弟矩形”B不存在． （2）设所求矩形的两边分别是x和y， 由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得， ， 又都是正数， 当时，A的“兄弟矩形”B存在． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式． 变式12-1数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半？ 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______ 结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究， 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________ 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题． 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题． 结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将①~⑤分别补充完整； (2)按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题： (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 【答案】(1)①；②；③不存在；④；⑤不存在； (2) 设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组， 思路一：见（1）解析； 思路二：，且， 、不存在满足条件的情况， 即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． (3)当时，存在满足条件的新矩形． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，一元二次方程根的判别式等知识，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据正方形的周长和面积公式，可作答①②③空；设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意列二元一次方程组求解，根据方程无解可作答④⑤空； （2）思路一：见（1）解析；思路二：根据以及平方的非负性即可求解； （3）设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意列二元一次方程组，利用代入消元法解方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为． 若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为， 此时新正方形的面积是， 即不存在一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半； 已知矩形的长和宽分别为4和2，若存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半， 设新矩形长和宽分别为x、y，根据题意，得方程组， 整理得：， 由得：， 将③代入①得：， ， ， ， 方程组无解， 即不存在一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 故答案为：①；②；③不存在；④；⑤不存在； （2）略 （3）解：设新矩形长和宽分别为x、y， 根据题意得， 由①得：， 将③代入②得：， 整理得：， ， 时，方程有实数解， 时，即，方程有解，存在满足条件的新矩形， 变式12-2【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 变式12-3如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)1 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 题型十三、勾股圆方图注 典例13 我国是世界上最早研究一元二次方程的国家之一．在《九章算术》“勾股”章里就有涉及求方程的正根的问题．三国时期的赵爽（约182~250年）对二次方程做出的贡献十分突出，他巧妙地应用出入相补原理，从几何图形的直观出发，在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边关系和由此引申的一系列有关二次方程的命题和结果．729年，唐朝天文学家张遂（又名一行）在他的《大衍历》中，用文字叙述给出了一元二次方程的求根公式：．宋朝著名数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》（1275年）一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法，里面包含配方法． 你能验证图中的长就是方程的一个根吗？张遂的求根公式完整吗？请用配方法求出的求根公式，并与之作一比较． 【答案】见解析 【分析】利用勾股定理、，可得，将代入可得，由此可知的长是方程的一个根；利用配方法解，可知张遂的求根公式不完整． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， ， 的长是方程的一个根． 配方法解，过程如下： 移项，得 配方，得， 即， 两边开平方，得， 或， ，， 综上可知，的长是方程的一个根，张遂的求根公式不完整． 【点睛】本题考查勾股定理、一元二次方程的根的定义、配方法解一元二次方程等，解题的关键是求出，并且掌握配方法解一元二次方程的基本步骤． 变式13-1【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为； 第三步：如图，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根，． 【方法理解】 (1)在图的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号） ； (2)利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解题的关键． （）根据材料信息即可求解； （）仿照材料例题即可求解． 【详解】（1）解：在图的三个构图中，能体现方程的解法的是， 故答案为：； （2）解：， ， ，． 变式13-2【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据）． 【答案】（方法理解）③，25 （灵活应用）， ， 或， 能够求出方程的解的图示如下： 【分析】本题考查了用几何图形解一元二次方程，掌握数形结合思想是解题的关键． 【方法理解】根据数形结合思想求解； 【灵活应用】先把方程按照题中的方法进行部分分解，再作图． 【详解】解：（方法理解）， ， 能体现方程的解法的是 ③， ， 故答案为：③，25； （灵活应用） 略 变式13-3阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 【答案】（1）【理解】B； （2）【实践】第一步：， 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示， 则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即． （3）【应用】1 【分析】本题考查了用图形法解一元二次方程，理解题意，构造出适当的图形是解题的关键． 【理解】利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而右确定答案； 【实践】按照题干材料中的步骤进行即可； 【应用】按照题干材料中的步骤进行即可． 【详解】解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想； 故选：B． 【实践】第一步：将原方程变形为； 第二步：略 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 故答案为：； 【应用】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示， 则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以， 由于中间正方形的边长为a，其面积为，则， 即， ∴． 故答案为：1． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0三个条件，取公共部分求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即． ∵二次根式有意义， ∴，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 3．已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 4．若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根确定的取值范围，再解分式方程，根据解为正整数筛选符合条件的整数，最后计算和即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且； 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理得，解得， ∵分式方程的解为正整数，且分母不为0即， ∴，，且是正整数， ∴，，且为正偶数，即为奇数， 结合且，可得符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 5．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】先证明，可得，从而得到四边形是正方形，设，则，再由，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意得，，， ， 四边形为正方形， ， 即， 在和中， ， ， ， 同理：， ， 四边形为菱形， ∵A、E、G三点共线，即，，和，，和，，也在同一条直线上， ， ， 菱形为正方形，则， 设，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【答案】且 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 7．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 8．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 9．在中，，点为的中点，为边上一点，连接，．当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或 【分析】本题利用直角三角形斜边中线的性质，结合等腰三角形的定义分三种情况讨论，通过建立平面直角坐标系表示各点坐标，根据距离公式推导关系，舍去不能构成三角形的情况，计算得到的长． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，令，在轴上，在轴上， 设，， 由得，由中点坐标公式得 ， 由，根据两点间距离公式得：， 整理得，即， 又，故，即①， 为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时：，， 因此，解得， 代入，故，符合题意； 当时：，，因此，代入得， 此时，与 重合，无法构成三角形，舍去； 当时：，， 因此，即， 整理得， 解得（负值已舍），符合题意． 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的3倍，则称这样的方程为“三倍根方程”，以下关于三倍根方程的说法，正确的有________．（填序号） ①方程是三倍根方程； ②若是三倍根方程：则； ③若p，q满足，则关于x的方程是三倍根方程． 【答案】①②③ 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“三倍根方程”； ②根据“三倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当p，q满足，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为“三倍根方程”． 【详解】解：①， 将方程左边因式分解得，， 解得，， ， 方程是三倍根方程， 说法①正确； ②， ， 是三倍根方程, 情况1，，即，， 情况2，，即，， 综合两种情况可得，，即， 说法②正确； ③， ， ，， ， ， 方程是三倍根方程, 说法③正确； 故答案为：①②③ ． 11．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 12．小芳在解关于的方程时采用了下面的方法： 解： ． 因为，① 所以．② ，得． 两边平方，得， ． 经检验，是原方程的解． 请你学习小芳的方法，解决下列问题： (1)已知，则________． (2)若，求的值． (3)实数满足，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题可以仿照题干，先利用平方差公式转化，然后将两式相加后再除以2求解，最后检验即可． 【详解】（1）解： ， ∵ ∴； （2）解： ． ，① ．② ，得． 两边平方得， 解得， 经检验，是原方程的解． （3）解： ． ，① ．② ，得． 两边平方得， 整理得， 解得，． ， ∴舍去 ． 13．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10 【分析】（1）先计算，即可得出结论； （2）分两种情况：当4为腰长时，或当4为底边时，分别求出结论即可； 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴． ∴． ∴方程为：． ∴或． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴． ∴． ∴方程为：，解得：， ∵， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10． 14．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)的值为0或； (2)或； (3) ∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得或； （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或； （3）解：略． 15．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题： （1）方程的解是，______，______； （2）求方程的解； 拓展： （3）用“转化”思想求方程的解． 【答案】（1），； （2），，． （3） 【分析】本题主要考查了解一元高次方程，解一元二次方程，解无理方程，解题时要能读懂题意，灵活运用分解因式是关键． （1）依据题意，解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，仿照例题分析即可得解； （3）依据题意，首先两边同时平方，然后解高次方程可以得解． 【详解】解：（1）由题意，解方程， ． ，． 故答案为：3，； （2）由题意，， ． ． ． ，，； （3）由题意，两边同时平方得， ． ． ． ． ，，． ， ，均不符合题意． 方程的解为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一元二次方程的解法—公式法、因式分解法的十三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断方程根的情况及求参 题型二、新定义运算 题型三、与赵爽弦图结合 题型四、方程根为整数解求参 题型五、与等腰三角形结合 题型六、解一元二次方程—公式法 题型七、解一元二次方程—因式分解法 题型八、换根法 题型九、平均数法 题型十、无理方程 题型十一、十字相乘法与分组分解法 题型十二、兄弟矩形与勾系一元二次方程 题型十三、勾股圆方图注 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 知识点概括 易错点概括 公式法 前提条件 一元二次方程化为一般形式：（） 忽略的前提，错误将非一元二次方程套用公式求解 根的判别式，方程有实根的条件是 遗漏的情况，直接开平方计算导致错误；将判别式符号记反，误将判定为有实根 求根公式 当时，方程的根为 分子漏写，错写为；分母漏写，错写为；根号内计算错误，符号处理出错 解题步骤 1. 化为一般形式，确定(a、b、c)的值；2. 计算判别式，判断实根存在性；3. 时代入求根公式计算根，说明无实根 确定(a、b、c)时遗漏符号，比如方程中错把记为、记为；计算时错误套用的符号，将负负得正计算错误 根的情况分类 1. ：两个不相等的实数根；2. ：两个相等的实数根；3. ：无实数根 混淆“无实数根”与“无解”的应用场景，未说明范围直接写无解；误将判定为只有一个根，错误表述根的数量 因式分解法 原理依据 若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，即或 忽略“乘积为0”的前提，若，错误推出或 提公因式法 若方程各项含有公因式，提取公因式后分解为两个一次因式乘积求解 方程两边同时除以含未知数的公因式，丢失一个根；提取公因式后剩余项符号错误 公式法（因式分解的乘法公式） 利用平方差公式、完全平方公式分解因式 完全平方公式符号错误，错将分解为；平方差公式应用错误，错将分解为 十字相乘法 对于，满足(m+n=p，mn=q)； 常数项的符号与一次项系数符号匹配错误，分解后乘积展开与原方程不一致；二次项系数不为1时，十字相乘的系数组合错误 解题步骤 1. 将方程整理为右边为0的形式；2. 将左边因式分解为两个一次因式乘积；3. 令每个因式为0，得到两个一元一次方程；4. 解一元一次方程得到原方程的根 未将方程整理为右边为0就直接分解，导致求解错误；分解后只写一个根，遗漏另一个因式对应的根 适用特点 能直接分解为一次因式乘积的一元二次方程，求解过程比公式法更简便快捷 强行使用因式分解法分解无法分解的方程，浪费时间且出错；不会灵活选择方法，所有方程一律套用公式法 共通易错点 方法通用 解完方程后可以代入原方程验证根的正确性 结果不检验，出现计算错误无法发现；对根的化简不彻底，保留非最简二次根式 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断方程根的情况及求参 典例1 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 变式1-1关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式1-2关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 变式1-3若关于x的一元二次方程有实数根，则________（写出一个满足条件的值）． 类型二、新定义运算 典例2 对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 变式2-1对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 变式2-2定义运算：．例如：，则方程的根______． 变式2-3新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 题型三、与赵爽弦图结合 典例3 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，，若与的面积相等，则值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-1如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 变式3-2如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________． 变式3-3如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为和（其中为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为，则的值为___________． 题型四、方程根为整数解求参 典例4 关于的一元二次方程的两根均为整数，则整数的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．0或1 变式4-1已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a的个数是（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-2设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 变式4-3已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 题型五、与等腰三角形结合 典例5 一个等腰三角形两腰长分别是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式5-1一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（    ） A．11 B．27 C．5或11 D．21或27 变式5-2等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 变式5-3等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为________． 题型六、解一元二次方程—公式法 典例6 用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 变式6-1解方程： (1)； (2)． 变式6-2用公式法解一元二次方程：． 变式6-3解方程： (1)； (2)． 题型七、解一元二次方程—因式分解法 典例7 解方程： (1)； (2)． 变式7-1解方程： (1) (2) 变式7-2解方程： (1)； (2) 变式7-3解方程： (1)； (2)． 题型八、换根法 典例8 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 变式8-1阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 变式8-2阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 变式8-3阅读理解：   例题  已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以 把代入已知方程，得 化简，得：， 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请根据阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程（是常数，）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数 题型九、平均数法 典例9 下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理，得，，我们称这种解法为平均数法． 任务： (1)小论文中的根据1是______． (2)用平均数法解方程的两个解分别是______，______． (3)请用平均数法解方程：． 变式9-1某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 变式9-2下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理得，，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 下面是用平均数法解方程时写的解题过程， 直接开平方并整理，得…… 任务： (1)小论文中的根据1是______． (2)小明用平均数法解方程时，将方程写为的形式，请问式子中的______，______． (3)请用平均数法解方程：． 变式9-3小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程， 解：原方程可变形，得：． 直接开平方并整理，得：，， 我们称小明这种解法为“平均数法”． (1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：． 直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____； (2)请用“平均数法”解方程：． 题型十、无理方程 典例10 “转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如： 解无理方程 解：方程两边同时平方，得：， 解这个一元一次方程，得：， 检验：当时，左边右边， 所以，是原方程的解． 通过上面的学习，请解决以下三个问题： (1)方程的解为______； (2)解无理方程． (3)如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点C的坐标．    变式10-1阅读理解∶转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简 单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由 于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程(根号下含有未知数的方程)．解无理方程关键是要去掉 根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方 程也必须检验． 例如∶解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题∶ (1)填空∶已知关于x的方程＝x有一个根是，那么a的值为_____； (2)求满足x的x的值． 变式10-2阅读与理解： 阅读材料：像这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下：移项：；两边平方：x﹣1＝9﹣6x＋x2. 解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5 检验所得到的两个根，只有 　 　是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程． 变式10-3阅读理解： 转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验． 例如：解方程 解：两边平方得： 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： （1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； （2）求满足的x的值； （3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由． 题型十一、十字相乘法与分组分解法 典例11 用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式11-1阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1)； (2)； (3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 变式11-2阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： 1．知识运用： 试用“分组分解法”分解因式：； 2．解决问题： （1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状． （2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立． ①当k=1时，求a+c的值 ②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可） 变式11-3在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是． ③于是． 根据对应项系数相等，得，则． ④所以． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解：． 解：①把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． ②因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 请继续完成下列步骤： ③填空：______，______； ④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解； ⑤多项式因式分解的结果为______． (2)利用“试根法”因式分解：． 题型十二、兄弟矩形与勾系一元二次方程 典例12 阅读下面材料，并完成问题． 任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”． 探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？ 小亮同学是这样探究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得． ， 的“兄弟矩形”B存在． （1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？ （2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件． 变式12-1数学社团活动课上，同学们研究一个问题：任意给定一个矩形，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 【阶段一】同学们认为可以先研究给定矩形为正方形的情况，即是否存在一个正方形，其周长和面积都为原正方形周长和面积的一半？ 思路：设给定的正方形边长为a，则其周长为4a，面积为．若新正方形的周长是原正方形周长的一半，则新正方形边长为①_______，此时新正方形的面积是②_______ 结论：③_______（“存在”或“不存在”）一个新正方形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半 【阶段二】同学们对矩形（不包括正方形）的情况进行探究， 活动一：从特殊的矩形入手，如果已知矩形的长和宽分别为4和2，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？ 分析：设新矩形长和宽分别为x，y，根据题意，得方程组④______________ 思路一：消去未知数y，得到关于x的方程，根据利用“凑完全平方”得方程的解的情况解决问题． 思路二：根据利用完全平方公式的代数变换解决问题． 结论：⑤_________（“存在”或不存在）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为4和2的矩形周长和面积的一半． 活动二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为m和n，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是原矩形周长和面积的一半？若存在，请指出需要满足的条件，若不存在，请说明理由． 请你完成以下任务： (1)将①~⑤分别补充完整； (2)按照【阶段二】中活动一的思路一、思路二选取其中一种，解决问题： (3)完成对【阶段二】中活动二的研究． 变式12-2【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 变式12-3如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 题型十三、勾股圆方图注 典例13 我国是世界上最早研究一元二次方程的国家之一．在《九章算术》“勾股”章里就有涉及求方程的正根的问题．三国时期的赵爽（约182~250年）对二次方程做出的贡献十分突出，他巧妙地应用出入相补原理，从几何图形的直观出发，在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边关系和由此引申的一系列有关二次方程的命题和结果．729年，唐朝天文学家张遂（又名一行）在他的《大衍历》中，用文字叙述给出了一元二次方程的求根公式：．宋朝著名数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》（1275年）一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法，里面包含配方法． 你能验证图中的长就是方程的一个根吗？张遂的求根公式完整吗？请用配方法求出的求根公式，并与之作一比较． 变式13-1【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为； 第三步：如图，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根，． 【方法理解】 (1)在图的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号） ； (2)利用你所选择的构图，运用上述材料中的方法解方程． 变式13-2【阅读材料】 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法．以为例，大致方法如下： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：如图1，构造一个长为，宽为的长方形，且面积为10； 第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形．则大正方形的边长为，小正方形的边长为3； 第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得，即可求得方程的两个根． 【方法理解】 在图3的三个构图中，能体现方程的解法的是_____（填序号），观察图形可知_____； 图3 【灵活应用】 仿照上述方法，画出两种能够求出方程的解的图示（标注必要数据）． 变式13-3阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 3．已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 4．若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 5．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成正方形，连接、，记的面积为，四边形的面积为，若A、E、G三点共线，，，则阴影部分的面积是（   ） A．6 B．8 C．12 D．20 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 7．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 8．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 9．在中，，点为的中点，为边上一点，连接，．当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，的长为__________． 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的3倍，则称这样的方程为“三倍根方程”，以下关于三倍根方程的说法，正确的有________．（填序号） ①方程是三倍根方程； ②若是三倍根方程：则； ③若p，q满足，则关于x的方程是三倍根方程． 11．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 12．小芳在解关于的方程时采用了下面的方法： 解： ． 因为，① 所以．② ，得． 两边平方，得， ． 经检验，是原方程的解． 请你学习小芳的方法，解决下列问题： (1)已知，则________． (2)若，求的值． (3)实数满足，求的值． 13．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 14．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 15．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程通过因式分解可以把它转化为，解方程和，可得方程的解． 问题： （1）方程的解是，______，______； （2）求方程的解； 拓展： （3）用“转化”思想求方程的解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $