1.3 一元二次方程的根与系数的关系&专题特训2 根的判别式及根与系数的关系-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 一阶·基础通关 融通新授知识，奔实双基▲ 1,关于x的-元二次方程5x+(传+1x一6=0的-个根是3，则它的另-个根是 A.-2 B.1 c号 2 D.5 2.易错题小影与小冬一起写作业，在解同一个一元二次方程的过程中，小影写错了常数项，因而得 到方程的两个根是6和1；小冬写错了一次项系数，因而得到方程的两个根是一2和一5.原来的 方程是 () A.x2+6x+5=0B.x2-7x+10=0C.x2-5.x+2=0 D.x2-6.x-10=0 3(D[2025攀枝花中考1已知a,b是方程2+2x-3=0的两根，则2+2的值为 (2)[2025眉山中考]已知方程x2-2x-5=0的两根分别为x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为 4.(1)[2025苏州中考]已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x一m=0的两个实数根，其中 x1=1,则x2= (2)设x1,x2是方程x2十mx一2=0的两个根，且x1十x2=2x1x2,则m= 5.已知关于x的一元二次方程x2一4x十m+1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围. (2)若该方程的两个实数根为x1,x2,且(x1一1)(x2一1)=一4，求m的值， 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.[2025东营中考]若x1,x2是关于x的一元二次方程x2-25x一1=0的两个实数根，则代数式 x一24x1十x2的值为 () A.0 B.25 C.26 D.-1 7.已知菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于点O,且AO,BO的长分别是关于x的方程x2+ (2m一1)x十m2+3=0的两个根，则m的值为 () A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3 8.(1)[2024成都中考]若m,n是一元二次方程x2一5.x+2=0的两个实数根，则m+(n一2)2的 值为 10 第1章一元二次方程 (2)已知方程x2-2026x十1=0的两根分别为1，，则x2026的值为 9.已知关于x的一元二次方程x2一3.x+2m=0有两个不相等的实数根x1,x2.如果x1一2x2=6, 那么实数m的值为 10.如果关于x的一元二次方程x2一2kx十k2一k=0的两个实数根分别是x1,x2,且x十x=4, 那么x一x1x2十x2的值是 11.整体思想[2025闵行期中]已知x1,x2是方程(a一1)x2一3(2一a)x十1=0的两个实数根 (1)若1+1=6，求a的值 (2)在(1)的条件下，求1-1的值 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程 a,x2十bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为x1,x2,则方程可写成a(x一x1)(x一x2)=0,即 十x)十ax远，=0.容易发现根与系数的关系：x1十x2=一，z1x2 次方程ax3十bx2十cx十d=0(a≠0)三个非零实数根分别x1,x2,x3,现给出以下结论：①x1十 t,8=国+=@+分种 x1 x2 x3 d' 确的是 (填序号). 13.在关于x的分式方程兰号一20和元二次方程2-+3m+(8一)a=0②中，km 均为实数，方程①的根为非负数. (1)求k的取值范围. (2)若方程②有两个实数根x1,x2,且满足x1(x1一k)十x2(x2一k)=(x1一k)(x2一k),当k 为负整数时，试判断m2≤4是否成立，并说明理由. “答案与解析”见P5 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 专题特训二 根的判别式及根与系数的关系 类型一运用根的判别式确定根的情况 1.已知互不相等的实数a,b,c满足b十a2=c2,ab十b2=c2,ab≠0，则关于x的一元二次方程 a.x2+bx+c=0根的情况为 () A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定根的存在情况 2.已知关于x的一元二次方程x2+mx十2n=0,其中m,n是常数. (1)若m=n十3，试判断该一元二次方程根的情况. (2)若该一元二次方程有两个相等的实数根，请写出一组，n的值，并求此时方程的根. 类型二根据根的情况确定待定系数的值或取值范围 3.[2024宿迁中考]规定：对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c=ac+b,其中等式右边是常规的乘法 和加法运算，如[2,3】★1=2×1十3=5.若关于x的方程【x,x十1】★(m,x)=0有两个不相等的 实数根，则m的取值范围是 () An Bm Cm>且m≠0D.m<且m≠0 类型三运用根与系数的关系求值 4.易错题若方程x2十3x十1=0的两个根为α，3，则 卫的值为 类型四综合运用根的判别式及根与系数的关系解题 5.在关于x的一元二次方程a(1-x2)一2√2bx+c(1十x2)=0中，a,b,c是Rt△ABC的三边长， 其中c为斜边长 (1)求证：此方程有两个不相等的实数根 (2)若方程的两个根是x1,x2,且x十x2=12,求a:b:c. 12 >“答案与解析”见P6专题特训一一元二次方程解法的灵活应用 1.(1)由原方程，得x2=36,解得x1=6,x2=一6. (2)整理，得x2=4,解得x1=2,x2=一2 2.(1)由原方程，得x2十6x=8091..x2+6x+32= 8091+32,即(x+3)2=8100.∴.x+3=90或x+3= 一90，解得x1=87,x2=一93.(2)原方程可变形为√2x2+ 3x-2√2=0.a=√2，b=3,c=-2√2，∴.b2-4ac= 3-4X5X(-25)=25>0.=-3±y医..x, 2/2 -2 2√2 3.(1)原方程可变形为(x一4)2一4x(4-x)=0,得(x一 4)(x一4十4x)=0,即(x一4)(5x-4)=0,.x1=4,x2= 5(2)2(4-x)2=x2-16,2(x-4)2-(x+ 4 4)(x一4)=0.分解因式，得(x一4)(x一12)=0.∴.x一4= 0或x一12=0，解得x1=4,x2=12. 4.(1)设a2+b2=m,则原方程变为m(2m一1)=3.整理， 得2m2-m-3=0,解得m=2或m=-1.“a2+6≥0， a2+62=是.3a2+362-1=3×号-1=子 (2)原方程可化为x一12一4|x一1+4=0.设|x一1= y,则y2一4y+4=0,解得y1=y2=2,即|x一1|=2 .x=一1或x=3...原方程的解是x1=一1，x2=3. 1.3一元二次方程的根与系数的关系 1.C由题意，设另一个根是a.:方程5x2+(号+1)x 6=0的一个根是3，∴.3x1=- 6 2.B设原来的方程为a.x2十bx+c=0(a≠0).由题意知！ -b=6+1=7,￡=-2×(-5)=10,6=-7a,c= a 10a.∴.原来的方程为a.x2一7ax十10a=0.当a=1时， x2-7x+10=0. 易错警示 不能灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决问题 解决这类问题时，往往出现不能运用参数和一元二 次方程根与系数的关系来建立参数之间的数量关系，从 而导致错误的情况， 3()号：a,6是方程x+2r-3=0的两根u+ 6-2=-8是+-站-号-景 (2)一2方程x2一2x一5=0的两根分别为x1,x2, x1十x2=2,x1x2=-5.∴.(x1+1)(x2+1)=x1x2+ x1+x2+1=-5+2+1=-2. 4.(1)一3：x1,x2是关于x的一元二次方程x2十 2x一m=0的两个实数根，∴.x1十x2=一2.又，x1=1, ∴.x2=-2-x1=-2-1=-3.(2)4x1,x2是方 程x2十m一2=0的两个根，.x1十x2=一m,x1x2= 一2.x1十x2=2x1x2,∴.一m=2X(-2),解得m=4. 5.(1)方程有两个不相等的实数根，∴.△=（一4）2 4(m+1)=16-4m-4=12-4m>0.∴.m<3.(2)由根 与系数的关系，得x1十x2=4,x1x2=m十1.(x1一 1)(x2-1)=-4,∴.x1x2-(x1+x2)+1=-4..m十 1-4+1=-4..m=-2. 6.C:x1是关于x的一元二次方程x2-25.x-1=0的 实数根，.x7一25x1-1=0..x7=251+1..x 24x1+x2=25x1+1-24x1+x2=x1+x2+1.:x1, x2是关于x的一元二次方程x2一25x一1=0的两个实数 根，x1十x2=25.∴.x号-241十x2=25+1=26. 7.A由勾股定理，可得AO2+BO2=25.由根与系数的 关系，得A0+B0=-2m+1,AO·B0=m2+3. .AO2+B02=(AO+B0)2-2AO·BO=(-2m+ 1)2-2(m2+3)=25.整理，得m2-2m一15=0，解得 m1=-3,m2=5.又b2-4ac>0,∴.(2m-1)2- 1m+3>0.解得m<-m=-3 8.(1)7:'m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个 实数根，∴.m2-5m十2=0，m十n=5.∴.m2-5m=-2, n=5-m..m+(n-2)2=m+(3-m)2=m2-5m十 9=-2十9=7.(2)-1：方程x2-2026x+1=0的 两根分别为x1,x2,.x一2026x1+1=0,x1·x2=1. x号=2026x,-1.·x-2026=2026x,-1-20256= 2026x1·x2-2-2026=2026X1-2-2026 x2 一x2=一1. T? 9.一2由题意知，x1十x2=3.:x1一2x2=6,即x1+ x2-3x2=6,.3-32=6,解得x2=-1.代人方程，得 1十3十2m=0,解得m=一2. 10.4由方程有两个实数根x1,x2,得△=（-2k)2一 4(k2-k)≥0，即k≥0，且x1+x2=2k,x1x2=k2-k. x+x号=4，.(x1十x2)2-2x1x2=4,即(2k)2 2(k2一k)=4.整理，得k2十k一2=0，解得k1=1,k2= -2(不合题意，舍去).∴.x一x1x2十x2=4一(k2一k)= 4一k2+k=4一1+1=4. 11.(1)方程(a一1)x2-3(2-a)x+1=0的两个实数 根是1x2.,十，=3(2-@ a-1x1x2= 3(2-a) 1=6.t2=6.a1 -=6,解得a=0.经检 a-1 验，a=0是方程的解..a的值为0.(2)由(1)，得。+ }6a=0则=-1（层-）广-（只+） 22 4=6--40}-=士v而=士2而 X1T X1 x? 12.②④一元三次方程ax3十bx2+cx+d=0(a≠ 0)的三个非零实数根分别x1,x2,x3,.a(x一x1)(x x2)(x-x3)=0.∴.a[x2-(x1十x2）x+x1x2](x- x3)=0,即a.x3-a(x1十x2十x3)x2十a(x1x2十x2x3十 x1xg）x-a1x2xg=0.∴.-a(x1+x2+x3)=b, a(x1x2十x2xg十x1xg）=c,一ax1x2x3=d.∴x1+x2十 、6 d ，x十x西十=合，x1x2=-8 从@正确：上十1十1-十+西 x1 X2 X3 x1X2X3 d 一…④正确 a 1日.(0)：关于：的分式方程号-2的根为非负数， ≥0，且x1解这个分式方程，得生：生少≥ 0,且生≠1，解得6≥-1，且6≠1.又：(2-k)x+ 3mx十(3一k)n=0为一元二次方程，.2一k≠0..k≠2 综上所述，k≥一1，且k≠1，k≠2.(2)成立.理由：由 (1)知，k≥一1，且k≠1，k≠2..k为负整数，·k=一1. ∴.原一元二次方程可化为3x2十3m.x十4=0.∴.x1十 2=-m,x1=3n.:(-k)十x2(2-k)= 4 (x1一k)(x2-k),即x1(x1+1)+x2(x2+1)=(x1十 1)(x2+1),.x+x2+(x1+x2)=x1x2+(x1十x2)+ 1,即x号十x号-x1x2=1.（x1+x2)2-31x2=1. (一mP-3X号n=1,即m-4n=1.n=m③. 4 又：b-4ac=(3m)2-4×3×4n=9m2-48n≥0④ 六把③代人④，得9m-48×”0,营里，得m<4 专题特训二根的判别式及根与系数的关系 1.C记ab+a2=c2①，ab+b2=c2②.由①-②，得a2 b2=0.∴.(a十b)(a-b)=0.a,b互不相等，.a十b= 0.∴.b=-a③.把③代入①，得-a2十a2=c2,∴.c2=0. .c=0.a.x2+bx+c=0,ab≠0，∴.△=b2-4ac= (一a)一4aX0=a2..ab≠0，.∴.a≠0.∴.△>0.∴。原方 程有两个不相等的实数根。 2.(1)根据题意，得△=m2一4X21=m2一81.：m=n十 3,∴.△=(n十3)2-8m=n2-2m+9=(n-1)2+8>0. ∴.该一元二次方程有两个不相等的实数根.(2)根据题 意，得△=m2一8n=0,∴.m2=81.令n=0,则m=0(m,n 的取值不唯一)，此时方程变形为x2=0,∴.x1=x2=0. 3.D根据题意，得x×mx十x+1=0,整理，得mx2+ x十1=0.：关于x的方程【x,x+1】★(m)=0有两个 不相等的实数根，∴.b2一4ac=12一4m·1>0且m≠0，解 得m<4且m≠0. 4.3方程x2十3x十1=0的两个根为a,B,∴.a十 B=-3,3=1.∴.(a+B)2=9,即a2+2a8+B2=9. 6十2E=9,即号+2+是=8：ag>0,“台> g()+·+()=8 易错警示 不会运用整体思想解决问题 解决这类问题时，常常需要将所求代数式看成一个 整体，求得其完全平方的值，再根据代数式值的性质求 得结果。 5.(1)方程a(1一x2)-22bm十c(1十x2)=0整理为一般 形式为(c-a)x2-2W2bx十a十c=0,∴.△=(-22b)2 4(a+c)(c-a)=4(2b2+a2-c2).:a,b,c是Rt△ABC 的三边长，其中c为斜边长，∴.b2十a2一c2=0.∴.2b2+ a2-c2>0..4(2b2十a2-c2)>0..此方程有两个不相 等的实数根.(2)方程的两个根是x1,x2,∴.x1十 2√2b x2= c-a x2=+x=12(+x2)2 2x,=12,即，85-2a十2=12易得6= (c-a)2 c-a a,.8c-a)-2a+2c-12.8c+@_2a+2- (c-a) c-a c-a c一a 12..60cta）-12.c+a=2c-2a.3a=6.6- c-a 8a2.∴.b=2W2a.∴.a:b:c=1:2w2:3. 1.4用一元二次方程解决问题 第1课时面积问题 1.B:剪去的正方形边长为xcm,.长方体纸盒的底