1.4用一元二次方程解决问题（同步练习）2026--2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上1.4用一元二次方程解决问题（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期末）某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 二、填空题 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 11．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 13．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 14．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长多1，比另一直角边的长多8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 17．（2026九年级上·全国·专题练习）将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．如果要使这两个正方形的面积之和等于，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是多少？ 18．（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其月销售量就减少个． 要实现每月元的销售利润目标，且售价不能低于元/个． (1)求这种台灯的定价； (2)商场应进货多少个？ 19．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 20．（2026九年级上·全国·专题练习）某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为．已知整个长方形空地的长为30m、宽为，求道路的宽． 21．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． (2)根据你所列的方程求出的值． 22．（26-27九年级上·全国·单元复习）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学上1.4用一元二次方程解决问题（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A C C A A 1．C 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 2．C 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 3．D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 4．A 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 年改造面积为亩，经过两年增长后年改造面积为亩， ， 整理得 解得，（不符合题意，舍去）． 5．C 【详解】解：设参赛的足球队个数为个， 由题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 6．C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 7．A 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 8．A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，根据总利润每件商品的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴每件商品降价10元． 9． 【分析】（1）设正方形的边长为x，根据“所得的矩形的面积是原来正方形的2倍”，列出方程，即可； （2）设较长一段的长为x，根据“较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，”列出方程，即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为x，根据题意得： ， 整理得：； （2）设较长一段的长为x，根据题意得： ， 整理得：． 10．24 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 11． 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 12． 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 13．12或20 【分析】设每件童装降价元，分别表示出降价后每件的盈利和每天的总销售量，根据总盈利等于每件盈利乘以销售量列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元， ∵ 降价后每件盈利为元，每降价元多售出件， 因此降价元后每天多售出件，总销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得：， 解得，，两个解均符合实际意义， 因此每件童装应降价12元或20元． 14． 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 15．或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 16． 存在这样的直角三角形，有1个 设斜边长为正整数 ∵该三角形为直角三角形，且斜边比一直角边长多1，比另一直角边长多8， ∴两直角边长分别为，，且， 由勾股定理得， 整理得， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，两直角边长为12，5，均为正整数，满足条件 【分析】设斜边长为正整数，用含斜边的式子表示两直角边，结合勾股定理列方程，筛选符合边长为正的正整数解 【详解】略 17．铁丝剪成的两段长度分别为和． 【分析】设剪成两段后其中一段为，则另一段为为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设剪成两段后其中一段为，则另一段为， 根据面积之和为，得方程：， 化简，得， 因式分解，得， 解得或． 当时，另一段长为； 当时，另一段为． 答：这条铁丝剪成的两段长度分别为和． 18．(1) 元 (2) 个 【分析】（1）设每个台灯涨价元，由“总利润单件商品利润销售量”列方程即可求出台灯的定价，注意题目的限制条件； （2）将台灯定价代入销售量代数式求出进货数量． 【详解】（1）解：设每个台灯涨价元，则售价为元，销量为 个，每个利润为元， 根据题意，得 或 当 时，售价为，不合题意； 当 时，售价为，符合题意． 台灯的定价为元． （2）解：当台灯的定价为元时，月销售量为（个）， 商场应进货个． 19．(1)《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元 (2)单价应降低4元 【分析】（1）设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设单价应降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程得的值，再根据销售单价不得低于20元，确定的值，即可求解． 【详解】（1）解：设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元）． 答：《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元． （2）解：设单价应降低元， 由题意得，， 解得，， ∵销售单价不得低于20元， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：单价应降低4元． 20． 【分析】通过平移，可得绿化图形拼成长方形，其长，宽．再根据长方形面积的计算方法列式即可求解． 【详解】解：设道路宽为．依题意得： 整理得： ∴或 （宽为） 不合实际，舍去． 答：道路的宽为． 21．(1)；； (2)1 【分析】（1）先根据四周都加宽，得到挂画新的长和宽，再利用总面积列出一元二次方程． （2）把一元二次方程展开整理后，因式分解解方程，最后舍去负数解，结合实际意义，得到纸边的宽度． 【详解】（1）设金色纸边的宽度为分米， 由于纸边在图片四周， 因此挂画的长为原图片的长加上两侧纸边的宽度，即分米； 挂画的宽为原图片的宽加上两侧纸边的宽度，即分米； 根据“挂图面积=长宽”，且挂图面积为80平方分米，可列出方程：． （2）由题意得方程：， 整理得，即， 两边同时除以4，得， 因式分解得， 解得， 因为纸边的宽度不能为负数，所以舍去， 即， 答：金色纸边的宽应是1分米． 22．(1) (2)20元 【分析】（1）设月平均增长率为未知数，因为月平均增长率相同，所以根据初始销量、增长次数、最终销量的关系，可列一元二次方程求解． （2）设售价降低的金额为未知数，用降价金额表示出每架的利润和实际销售量，因为总利润=单架利润×销售量，所以结合总获利为1200元列一元二次方程，再根据尽量减少库存的条件选取符合要求的解． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $