1.2 第3课时因式分解法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第1章一元二次方程 第3课时 因式分解法 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.易错题一元二次方程x2=x的根为 () A.x1=x2=0 B.x1=x2=1 C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=一1 2.方程(x+1)(x-2)=x+1的解是 () A.x=2 B.x=3 C.x1=-1,x2=2 D.x1=-1,x2=3 3.已知一个等腰三角形的两边长度分别是方程x2一x=2(x一1)的两个实数根，则该等腰三角形的 第三边的长是 4.用因式分解法解下列方程： (1)x2+16.x=0. (2)(3x+2)2-4x2=0. (3)2x(x+3)-3(x+3)=0. (4)(x-3)(x-1)=3. 5.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(b-c)=0,其中，a,b,c分别是△ABC的三 边长 (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由. (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根】 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.若x2一x一1=(x+1)°，则x的值为 () A.2或-1 B.0或1 C.2 D.-1 7.方程2(x-3)2=9一x2的根是 () A.x1=0,x2=3 B.x1=1,x2=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=x2=3 8.已知x=3是关于x的方程x2一(m+1)x十2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根 恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为 () A.7 B.10 C.11 D.10或11 9.若关于x的方程x2一2x十3g=0的两个根分别是一3和5，则多项式2x2-4px+6g可以分解 因式为 拔尖特训·数学（苏科版）九年级上 10.分类讨论思想阅读材料： 解方程：x2+x一1一1=0. 解：当x一1≥0，即x≥1时，原方程可化为x2+(x一1)一1=0，即x2+x一2=0，解得x1=1, x2=一2（不合题意，舍去）. 当x一1<0，即x<1时，原方程可化为x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0,解得x3=0,x4=1 (不合题意，舍去) 综上所述，原方程的解为x1=1,x2=0. 请按材料提供的方法解方程：x2十x十3一9=0. 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.关于x的方程x2-2mx十m2=4的两个根x1,x2满足x1=2x2十3，且x1>x2,则m的值为 () A.-3 B.1 C.3 D.9 12.阅读与思考：将式子x2一6x+8分解因式 方法一：整式乘法与因式分解是方法相反的变形. 由(x十p)(x十q)=x2+(p十q)x十pg,得x2+(p+q)x十pq=(x十p)(x十q). 分析：这个式子的常数项8=(-2)×（一4），一次项系数一6=（一2）+（一4），.x2一6x+8 x2+[(-2)+(-4)]x+(-2)X(-4).∴.x2-6.x+8=(x-2)(x-4). 方法二：配方的思想， x2-6.x+8=x2-6x+9-9+8=(x-3)2-12=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4). 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：x2+5.x+6=(x+ )(x+ (2)请用上述两种方法解方程（需写出每种方法的具体步骤）： ①x2+6x-27=0. ②x2-24x+140=0. (3)若菱形ABCD的一条对角线的长为8，边CD的长是方程x2一10x+24=0的一个根，试求 该菱形ABCD的周长. 6 >“答案与解析”见P3第3课时因式分解法 1.C原方程移项、因式分解，可得x(x一1)=0，解得 x1=0,x2=1. 易错警示 对等式的性质缺乏正确的理解而使方程失根 解这类一元二次方程时，往往会出现两边同时除以 含有未知数的公因式而导致的错误，究其原因，是对等 式的性质“等式两边同时乘（或除以）同一个数（除数不 能为0)，所得结果仍是等式”缺乏正确的理解 2.D原方程移项，得(x十1)(x一2)一(x十1)=0.提公因 式，得(x+1)(x-2-1)=0,即x+1=0,x-2-1=0,解 得x1=-1,x2=3. 3.2x2-x=2(x-1),x(x-1)=2(x-1),..(x 1)(x一2)=0..x1=1,x2=2.当腰长为1，底边长为2 时，：1十1=2，∴.此三角形不存在.当腰长为2，底边长为 1时，符合三角形的三边关系.∴.该等腰三角形的第三边 的长是2. 4.(1041=0,x2=-16.(2)x1=-2,x2三-2 3 (3)x1=-3,x2=2· (4)x1=0,x2=4. 5.(1)△ABC是等腰三角形.理由：把x=一1代入方程 (a+c)x2+2bx+(b一c)=0,得a+c-2b+b一c=0. ∴.a=b..△ABC为等腰三角形.(2)：△ABC为等 边三角形，∴.a=b=c.∴.方程(a十c)x2+2bx十(b一c)= 0可化为x2十x=0,解得x1=0,x2=一1. 6.Cx2-x一1=(x+1)°，..x2一x一1=1，即(x 2)(x十1)=0，解得x1=2,x2=一1.又：x十1≠0，即 x≠一1，，.x=2. 7.C2(x-3)2=9-x2,.2(x-3)2+(x十3)(x 3)=0.∴.(x-3)[2(x-3)+(x+3)]=0,即(x 3)(3x-3)=0.∴.x1=1,x2=3. 8.D把x=3代人方程x2-(m+1)x+2m=0,得9- 3(m+1)+2m=0,解得m=6.∴.原方程为x2-7x十12= 0,解得x1=3,x2=4.:这个方程的两个实数根恰好是等 腰三角形ABC的两条边的长，∴.①当△ABC的腰长为 4,底边长为3时，△ABC的周长为4+4+3=11；②当 △ABC的腰长为3，底边长为4时，△ABC的周长为3+ 3+4=10.综上所述，△ABC的周长为10或11. 9.2(x十3)(x一5)：'x2-2a+3g=0的两个根分别 是-3和5，∴.2x2-4px+6g=2(x2-2x+3g)=2(x+ 3)(x-5). 10.当x十3≥0，即x≥一3时，原方程可化为x2十(x十 3)-9=0,即x2+x-6=0.分解因式，得(x-2)(x+3)= 0,解得x1=一3，x2=2.当x十3<0，即x<一3时，原方程 可化为x2-(x十3)-9=0，即x2一x一12=0.分解因式， 得(x一4)(x十3)=0，解得x3=4,x1=一3.两个解都不符 合x<-3,舍去.综上所述，原方程的解为x1=一3，x2=2. 11.Cx2-2m.x+m2=4,.(x-m+2)(x-m- 2)=0.∴x=m-2或x=m十2.：x1>x2,∴.x1=m十 2,x2=m-2..x1=2x2十3，∴.m+2=2(m-2)+3,解 得m=3. 12(1)3:2.(2)①解法-：x2+6x-27的常数项 -27=9×(-3),一次项系数6=9+(-3)，∴x2+6x 27=x2+[9+(-3)]x+9X(-3).∴.x2+6x-27=(x+ 9)(x一3).∴.解方程x2十6x一27=0，得x1=一9，x2=3. 解法二：x2+6x-27=x2+6x+9-9-27=(x十3)2- 6=(x+3+6)(x+3-6)=(x+9)(x一3).∴.解方程 x2+6x-27=0,得x1=-9,x2=3.②解法-：x2 24x+140的常数项140=(-10)×(-14)，一次项系 数-24=(-10)+(-14)，.x2-24x+140=x2+ [(-10)+(-14)]x+(-10)×(-14)..x2-24x+ 140=(x-10)(x-14).∴.解方程x2-24x+140=0,得 x1=10,2=14.解法二：x2-24x+140=x2-24x+ 144-144+140=(x-12)2-22=(x-12+2)(x-12- 2)=(x-10)(x-14.∴.解方程x2-24x+140=0,得 x1=10,x2=14.(3)解方程x2-10x+24=0,得x1= 4,x2=6.①当CD=4时，即AB=BC=DA=4,:菱形 ABCD的一条对角线长为8，∴.两边长之和大于8.：4+ 4=8,∴.不合题意，舍去.②当CD=6时，即AB=BC= DA=6,:'菱形ABCD的一条对角线长为8，.两边长之 和大于8.：6十6>8，.符合题意.∴.菱形ABCD的周 长=4×6=24. 第4课时公式法与根的判别试 1A若x=2+4,XD是某个一元二次方程的 2 一个根，则根据求根公式x=一b士合ac(62一c≥ 2a 0),可得a可以为1，b可以为一2，c可以为一1，即这个一 元二次方程可以是x2一2x一1=0. 2.A△=(-3)2-4×1×1=5>0，.方程x2-3x+ 1=0有两个不相等的实数根， 3子由题意，得△=(-2m)-4×2×(-4m十1) 7 4m2-2(-4m+1)=4m2+8m-2=0..m2+2m=2 ∴.(m-2)2-2m(m-1)=-m2-2m+4=-(m2+ 2m)+4=-2+4= 7