第05讲 抛物线方程及其性质（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 抛物线方程及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 抛物线的定义 知识点2 抛物线的方程及其性质 知识点3 通径 知识点4 焦点弦的性质 题型破译 (含超链接） 题型1 抛物线的定义及其性质应用【含方法技巧】 题型2 抛物线的标准方程【含方法技巧】 题型3 抛物线中的焦点弦问题【含方法技巧】 题型4 抛物线中的焦点三角形问题【含方法技巧】 题型5 抛物线中的最值问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 抛物线的定义与标准方程 — T11（5分） T11（5分） 抛物线的几何性质（焦点、准线、顶点） — T11（5分） T11（5分） 考情分析 抛物线是圆锥曲线的基础内容之一，北京卷近年以填空题形式直接考查，分值5分，难度中等偏易。命题集中在抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程及顶点到焦点的距离等基本量运算，侧重对抛物线定义与标准方程的理解。近三年考情显示，2024年、2025年连续两年在第11题位置考查抛物线，2026年未单独设题；解答题仍以椭圆为主，抛物线不单独出大题，但小题考查稳定，是必拿的基础分。复习时需熟练掌握四种标准方程及其焦点、准线，确保运算准确。 复习目标 1.理解抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程 、、、（）。 2.掌握抛物线的几何性质：顶点、焦点、准线、对称轴，理解 的几何意义（焦点到准线的距离）。 3.能根据条件求抛物线的标准方程或参数 ，会求焦点坐标与准线方程。 4.理解顶点到焦点的距离为 ，并能灵活运用。 5.能处理直线与抛物线的简单位置关系，会求焦点弦、弦长等基本问题。 6.体会数形结合思想，提升数学运算与直观想象素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 抛物线的定义 ①平面内与一个定点F和一条定直线的距离 相等 的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的 准线 ． ②其数学表达式：（d为点M到准线l的距离）． 自主检测1坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 自主检测2在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 自主检测3已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 知识点2 抛物线的方程及其性质 标准方程 图形               顶点 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线 范围 ， ， ， ， 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 （其中 自主检测1抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 自主检测2抛物线的准线纵截距为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将给定抛物线方程转化为标准形式，结合抛物线标准方程的准线性质计算准线方程，最终得到纵截距. 【详解】首先将抛物线方程整理为标准形式： 变形得，所以，解得， 其准线方程为，代入得： ，该准线为平行于轴的直线，纵截距即为. 自主检测3设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 自主检测4以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆的右顶点，得抛物线的焦点坐标，从而得抛物线方程． 【详解】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，， 所以抛物线标准方程是． 故选：D． 知识点3 通径 通径长：，半通径长： 知识点4 焦点弦的性质 自主检测1已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由抛物线方程知，， 设，，线段的中点的纵坐标为3， 所以，而， 所以. 自主检测2已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，由条件结合抛物线定义列方程求结论. 【详解】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得， 则. 自主检测3已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义求出点的坐标，再计算直线的斜率，进而得到倾斜角 【详解】对于抛物线，得，即，因此焦点的坐标为，准线方程为， 设点，由在第一象限得， 由抛物线的定义可知， 因为，所以，解得， 将代入抛物线方程得，结合得，即， 设直线的斜率为满足， 设直线的倾斜角为，，则，解得 所以直线的倾斜角为. 自主检测4设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 自主检测5已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 题●型●破●译 题型1 抛物线的定义及其性质应用 例1-1（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 例1-2（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 方法技巧 1. 抛物线的定义：平面内到一定点 与到一条定直线 （）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。即 其中 为焦点， 为准线。定义是抛物线最核心的性质，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，是解题的关键。 1. 定义的直接应用： 判断动点轨迹是否为抛物线； 已知抛物线上一点到焦点的距离，求该点的坐标（利用 或 ）； 求抛物线上的点到焦点与到准线距离之和、之差的最值。 1. 焦半径公式： 对于 （），抛物线上点 的焦半径为 对于 （），； 对于 （），； 对于 （），。 1. 标准方程与焦点、准线的对应关系： ：焦点 ，准线 ； ：焦点 ，准线 ； ：焦点 ，准线 ； ：焦点 ，准线 。 记忆口诀：一次项系数的符号决定开口方向，焦点在开口方向的正半轴上，准线在开口方向的反方向。 1. 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，其长度为 ，是过焦点的最短弦。 1. 几何性质： 抛物线关于对称轴对称，只有一个顶点（原点）； 离心率 （区别于椭圆 和双曲线 ）； 抛物线无渐近线，开口无限延伸。 【变式训练1-1】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可得，结合，可知，根据等腰三角形的性质可得. 【详解】设，作垂直于抛物线的准线，垂足为， 由抛物线的定义可知，又因为. 所以，即为等腰三角形，所以在的垂直平分线上.，所以. 【变式训练1-2】（2026·北京西城·一模）设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 因为为C上一点， 根据抛物线的定义，可得点到准线距离为. 【变式训练1-3】（2026·北京门头沟·一模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________． 【答案】6 【详解】由题知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，故， 而点在上，，根据抛物线定义可知到准线的距离，解得. 题型2 抛物线的标准方程 例2-1（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 例2-2（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为______. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求得，然后在直角三角形中利用，可求得，从而可得抛物线的方程. 【详解】由抛物线的定义可得，因为，所以是正三角形. 过F作，垂足为，则为的中点，得. 所以抛物线的方程为. 方法技巧 1. 定位：确定抛物线的开口方向（由一次项及其符号决定）。 一次项为 ：开口沿 轴方向（ 系数为正，开口向右；为负，开口向左）； 一次项为 ：开口沿 轴方向（ 系数为正，开口向上；为负，开口向下）。 1. 定量：确定 的值（），即焦点到准线的距离。 1. 常用方法： 待定系数法：设出标准方程（如 ），代入已知点坐标求出 ； 定义法：利用抛物线的定义，由焦点和准线直接写出方程； 焦点到准线距离法：由 的几何意义（焦点到准线的距离）直接确定 。 1. 含参标准方程的处理： 若题目未明确开口方向，可设一般方程为 （）或 （），代入条件求解 ； 若已知抛物线与某直线相切或相交，联立方程后利用判别式求解 。 1. 注意：抛物线的标准方程中，一次项系数为 ，二次项系数为 。若给出的方程不是标准形式，需先化为标准形式再确定 。 1. 与焦点、准线的互求：已知焦点或准线，可直接写出 的值，进而写出标准方程；反之亦然。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京·开学考试）已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】点在抛物线上，抛物线开口向右，， 又点到抛物线焦点的距离为4，，. 故选：C. 【变式训练2-2】（2026·北京朝阳·二模）顶点在原点，关于轴对称，且过点的抛物线的标准方程是___________． 【答案】 【详解】根据抛物线关于轴对称，且过的点在第一象限， 因此抛物线开口向上，可设抛物线的标准方程为， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程是. 【变式训练2-3】（25-26高三下·北京·阶段检测）平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 【答案】 【分析】根据抛物线焦点的坐标确定抛物线的标准方程与参数的值，即可求解． 【详解】由焦点位于轴负半轴，可知抛物线的标准方程形式为， 抛物线的焦点坐标为，结合题给焦点坐标列方程：，解得， 所以抛物线的标准方程为． 题型3 抛物线中的焦点弦问题 例3-1（2025·北京通州·一模）已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（   ） A．16 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点， 由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为， 设， 联立方程，可得，解得， 由抛物线的定义可知，. 故选：C. 例3-2（2026·北京昌平·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线的准线与轴的交点为，过点分别作，，垂足分别为，进而根据几何关系求得即可求得答案. 【详解】如图，记抛物线的准线为，设抛物线的准线与轴的交点为， 过点分别作，，垂足分别为，则 因为点为线段的中点，， 所以点为线段的中点，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即，解得， 所以，根据抛物线的定义，. 方法技巧 1. 焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于 、 两点，线段 称为焦点弦。设抛物线方程为 （），焦点为 ，准线为 ，焦点弦 的倾斜角为 ，、。 2. 端点坐标关系： （定值）； （定值）； （定值）。 3. 焦点弦长公式： 坐标形式：； 角度形式：； 焦半径形式：，； 角度焦半径：，（以 为例， 为直线 的倾斜角）。 4. 定值关系： （定值，与 无关）； ； 为定值，这是焦点弦最重要的结论之一。 5. 中点与准线的关系： 设 为 的中点，则 到准线的距离等于 ； 以焦点弦 为直径的圆与准线相切，切点为 的中点在准线上的投影。 6. 准线垂足与角度关系： 过 、 分别作准线的垂线，垂足为 、，则： ，（抛物线定义）； ，即 ； 的中点在 轴上。 7. 共线关系（阿基米德性质） ： 、、 三点共线（ 为原点）； 、、 三点共线。 8. 焦点弦三角形面积： ； 当 时， 取最小值 。 9. 通径： 当 时，焦点弦 垂直于对称轴，此时 称为通径； 通径长为 ，是过焦点的所有弦中最短的弦； 通径的两个端点坐标为 和 。 10. 焦点弦长的最值： 最小值为为 2p通径，当时取得； 无最大值，当 或 时，。 11. 以焦半径为直径的圆： 以 为直径的圆与 轴相切； 以 为直径的圆与 轴相切。 12. 梯形 的性质： 四边形 为直角梯形（，）； 的中点 满足 ，即 到焦点 的连线垂直于焦点弦 。 13. 其他变形（其他形式的抛物线）： 对于 、、，上述结论形式类似，只需将 与 互换、 的符号相应调整即可； 例如，对于 （），焦点弦的坐标关系为 ，，弦长为 （ 为倾斜角，需注意此时倾斜角的定义方式）。 14. 解题应用： 证明定值问题：直接利用 、 等结论，避免联立方程组的繁琐计算； 求弦长：优先使用角度形式 ，尤其适用于已知倾斜角或斜率的情形； 求最值：利用 和 等结论快速判断； 几何证明：利用 、、、 共线等结论简化证明过程。 【变式训练3-1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设点，由题意可得. 所以. 【变式训练3-2】（2025·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D 【变式训练3-3】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 题型4 抛物线中的焦点三角形问题 例4-1（2026·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点为坐标原点，的面积为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由抛物线：，可得焦点，准线方程为， 设，则，得， 又，可得， 所以. 例4-2（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 【答案】 【分析】设出及直线l的倾斜角、方程，联立抛物线的方程，根据面积公式及抛物线的定义可得到的比例关系，进而根据韦达定理可求得斜率，最后可求得倾斜角. 【详解】因为抛物线，所以， 设，直线l的倾斜角为，方程为，则， 由消去得，所以. 因为A在第一象限，所以. 因为直线l的倾斜角为，，所以与互补， 所以. 由抛物线的定义得， 所以，所以，即， 所以，所以为锐角，所以，如图： 所以，所以， 所以， 又，所以，所以，所以， 又，所以. 方法技巧 1. 焦点三角形的定义：抛物线上一点 与焦点 以及顶点（或准线上的对应点）构成的三角形。抛物线中更常见的是焦半径与准线构成的直角三角形。 1. 核心性质： 抛物线上一点 到焦点 的距离等于 到准线的距离 （ 为 在准线上的垂足）； 由 作准线的垂线 ，则 中 ，为等腰三角形； 若过 作准线的垂线，垂足为 ，则 的中点在 轴上（以 为例）。 1. 焦点三角形面积： 对于 ，设 ，则 （ 为原点）； 更一般地，若涉及 、 和准线上的点 ，可利用 和坐标直接计算。 1. 角度关系： 焦半径 与对称轴的夹角与点 的位置有关； 过焦点 的弦 ，（、 为准线上的垂足），这一结论常用于证明垂直关系。 1. 焦点三角形与定义的综合：焦点三角形问题往往需要结合抛物线的定义（）将距离进行转化，构造直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理或三角函数求解。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且，点O为坐标原点，的面积为________． 【答案】 【分析】设，则根据抛物线定义可得，进而可求出点的坐标，求的面积即可. 【详解】由抛物线方程可知：焦点，准线方程为：， 设，则，得， 又，可得， . 故答案为：. 【变式训练4-2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）在直角坐标系 中，直线l过抛物线 的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 ________. 【答案】 【详解】因为抛物线，所以焦点，又因为直线倾斜角为，可知直线为. 代入抛物线可知，解得，，因为位于轴上方，所以，. 【变式训练4-3】（2026·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设，图形结合抛物线定义可得关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由题可得，则，从而. 又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为， 由抛物线定义可得，则， 从而. 题型5 抛物线中的最值问题 例5-1（2026·北京·三模）已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 【答案】/ 【详解】 设，满足. 因为，， 所以，， 时，所以. 时 ，， 等号当且仅当时取到，所以. 例5-2（25-26高三上·北京房山·期末）已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据通径的长度确定抛物线的方程，进而确定焦点和准线，再结合抛物线的概念求的最小值. 【详解】由题意，弦为抛物线的通径，所以，又，所以. 所以抛物线方程为，焦点，准线：. 如图：    过作准线的垂线，垂足为，因为为抛物线上的点，所以. 所以， 所以当三点共线时，取得最小值，为3. 故选：B 方法技巧 1. 利用定义转化距离： 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可将“到焦点的距离”转化为“到准线的距离”，或将两者之和转化为定值； 常见模型：求 的最小值（ 为抛物线外一定点），可转化为 的最小值，即点 到准线的距离（当 为 到准线的垂线与抛物线的交点时取到）。 1. 利用参数方程：将抛物线上的点设为参数形式（如 上点可设为 ），将目标量表示为 的函数，利用二次函数或基本不等式求最值。 1. 利用二次函数：若目标量可表示为某变量的二次函数，利用配方法或对称轴求最值，注意变量的取值范围。 1. 利用基本不等式：对于形如 、 的目标量，结合定值条件，利用基本不等式求最值。 1. 数形结合：利用抛物线的几何性质（对称性、顶点、焦点、准线）直观判断最值位置。常见结论： 抛物线上点到焦点的最小距离为 （对应顶点处）； 抛物线上点到准线的最小距离为 （对应顶点处）； 过焦点的弦长最小值为 （通径）。 1. 直线与抛物线的最值： 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式，将弦长、面积等表示为参数的函数，再求最值； 注意直线与抛物线相交的条件（ 且二次项系数不为 ，或直线与对称轴平行时只有一个交点）。 1. 距离之差的绝对值最大： 利用三角不等式 ，当 、、 三点共线时取等号； 结合抛物线的定义，可将 转化为到准线的距离，再利用几何关系求最值。 1. 定点到抛物线的最短距离：设抛物线上点为参数形式，利用两点间距离公式建立目标函数，求导或配方求最小值。 【变式训练5-1】（2025·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可． 【详解】由题意抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可得：， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号． 即的最小值是3． 故选：C. 【变式训练5-2】（25-26高三上·北京·期中）已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为________. 【答案】6 【分析】利用直线求交点，利用弦长公式求线段长，通过代数运算可求最小值. 【详解】 由抛物线C的焦点F到准线的距离为2，可得抛物线方程为， 因为，可知，所以，不妨取， 设直线方程为：，则垂线方程为：， 联立解得：，所以， ， 则 ， 当时，取到最小值， 故答案为： 【变式训练5-3】（2025·北京东城·二模）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____. 【答案】 【分析】空1：先根据抛物线焦点坐标求出点的坐标，进而求出直线斜率；空2：根据反射法将距离之和进行转化，最后根据最小值求出的值. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为. 因为过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程，可得，因为点在第一象限，所以，即. 已知直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，因为，两边同时除以得； 当时，已知，焦点，准线为. 设焦点关于准线的对称点，则. 因为，故其最小值为， 又. 所以，可得. 故答案为： ；. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 2．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 【答案】B 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解. 【详解】如图所示： ． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 3．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 4．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 5．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______． 【答案】 5 【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求. 【详解】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且 根据抛物线关于轴对称，则， 将点坐标代入抛物线方程可得：，解得 故选：A 2．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， .    【答案】4 【详解】抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：    则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而， 则，解得， 所以. 故答案为：4. 3．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别相交于两个动点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】因为动圆圆心在轴上移动，且该动圆始终经过点和，所以，为该动圆的直径, 又因为点在该动圆上，所以，，即， 所以，点的轨迹方程为. 故答案为： 4．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短． 【答案】当距离最短为 【详解】解：根据题意设， 所以点到直线的距离为： 当且仅当时等号成立，此时 所以当时，点到直线的距离最短，为 5．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】由得，设， 则有，，，即， 所以. 6．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？ 【答案】 【详解】直线和斜率互为相反数，且都过原点，则两直线关于轴对称， 又抛物线关于轴对称，焦点坐标为， 则A，B两点关于轴对称， 由可得，即，则， 要使直线AB经过抛物线的焦点，则，解得， 所以当时，直线AB经过抛物线的焦点. 7．点在抛物线上，F 为焦点，直线MF与准线相交于点N，求． 【答案】15 【详解】因点在抛物线上，则，即，而焦点， 直线MF：，即，而抛物线的准线为， 由得点,, 所以. 8．设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，求抛物线的方程和点M的坐标． 【答案】；. 【详解】抛物线的准线方程为，设点M的纵坐标为， 由已知结合抛物线定义得，又点M到y轴的距离为， 于是得点，而点M在抛物线上， 从而有，整理得，而，解得， 所以抛物线的方程为，点M的坐标为. 9．过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A，B两点，求AB． 【答案】 【详解】直线与抛物线方程联立 ，得， ，设， 得，， 所以. 10．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值. 【答案】 【解析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程为；又，所以，联立得，利用根与系数关系代入计算求出值. 【详解】，， ，，则直线的方程为：，即， 设两点的坐标分别为， 联立，消得：， ， ，， . 【点睛】本题主要考查了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出抛物线方程，即可求解抛物线C的准线方程． 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线方程， 所以抛物线C的准线方程为． 2．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 3．（2026·北京·三模）已知抛物线上的点到其准线的距离的最小值为2，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】抛物线上的点到准线的最小距离就是顶点到准线的距离. 【详解】因为抛物线的准线方程为， 所以原点到准线的距离为：​， 则根据题意最小距离为，可得：. 4．（25-26高三上·北京东城·期末）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线的标准方程为，由题意可知，点在抛物线上，代入即可求得值，进而可求得抛物线的标准方程. 【详解】根据题意，设抛物线的标准方程为， 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m， 所以点在抛物线上， 代入可得，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B 5．（2026·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线方程知：，，则，， 轴，，又在抛物线上，， . 6．（26-27高三上·北京·开学考试）抛物线的准线上一点到其焦点的最小距离为__________． 【答案】 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，利用抛物线的几何性质即可求解. 【详解】将抛物线方程整理为标准形式：，解得， 根据抛物线定义，准线上的点到焦点的最小距离即为焦点到准线的垂线段长度， 由于焦点到准线的距离为，故最小距离为. 7．（2026·北京通州·一模）已知直线过抛物线的焦点，则________． 【答案】2 【详解】抛物线的焦点为， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，解得. 8．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知点在抛物线上，则抛物线的焦点的坐标为_____；点到准线的距离为_____. 【答案】 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得. 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以点到准线的距离为. 9．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为.若，则______. 【答案】 【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线定义可得，又， 故为等边三角形，则， 故. 10．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为__________；点在上，且，则__________. 【答案】 3 【分析】利用抛物线的标准方程即可求解焦点坐标，利用求点坐标和两点间距离公式可求焦半径长. 【详解】由为抛物线的焦点，则的坐标为，    由可得：的横坐标为， 代入抛物线可得：， 即可得的纵坐标为， 所以， 故答案为：； 3. 重难·创新演练 11．（2026·北京·模拟预测）将抛物线平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线，则的准线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，则抛物线为， 化成抛物线的标准式，故准线方程为. 12．（25-26高三上·北京石景山·期末）设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则以为直径的圆（    ） A．必过原点 B．必与轴相切 C．必与轴相切 D．必与抛物线的准线相切 【答案】C 【分析】利用中位线性质与抛物线的定义化简计算可得以为直径的圆与轴相切. 【详解】如图，取中点，以为圆心，为直径作圆，与轴相切于点， 证明如下：不妨取抛物线开口向右，则 若分别为，中点，抛物线的准线于，交轴于， 连接，所以，且， 所以， 由抛物线定义可知， 所以为圆的半径，即以为直径的圆与轴相切. 故选：C 13．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直于l于点Q、直线QF与抛物线C相交于M、N两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图形，结合抛物线定义求出，再由抛物线定义得出求得答案. 【详解】如图， 过点N作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 由，得， 由抛物线定义知，，则， 在中，，则， 由，得， 又由抛物线定义知，则， 所以. 故选：C 14．（25-26高三上·北京通州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分线性质和抛物线定义得到，设，则，结合，求出的值，从而得到抛物线方程. 【详解】抛物线的焦点为，准线，则. 因为是的垂直平分线，所以，设. 则，代入抛物线方程可得：，即. 又因为. 所以，. 因此抛物线方程为. 故选：C    15．（2026·北京延庆·一模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则______． 【答案】 【分析】利用焦半径公式求，再利用抛物线的方程求. 【详解】由题意. 所以. 16．（2026·北京朝阳·一模）已知抛物线，则的准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______. 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程，设出圆心坐标，根据题意列方程求出圆心坐标，半径即为圆心到轴的距离. 【详解】由抛物线可知的准线的方程为， 因为圆心在上，设圆的圆心坐标， 又因为圆分别与直线和轴都相切， 所以，解得或， 所以圆的半径. 17．（2026·北京昌平·一模）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由抛物线的准线方程为，则可设交点， 因为点在圆上，所以， 又点关于轴的对称点，代入抛物线方程得， 将代入可得：， 因为，所以解得，，    由题意，则可得，， 因为，则在以为直径的圆上， 所以该圆圆心为，半径，圆方程为， 由直线上存在满足条件的，等价于该直线与圆有公共点， 即圆心到直线的距离不大于半径：， 解得，即的取值范围为. 18．（25-26高三下·北京·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线的方程为___________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线性质和抛物线定义得到，设，则，结合，求出的值，从而得到抛物线方程. 【详解】抛物线的焦点为，准线，则， 因为是的垂直平分线，所以，设， 则，代入抛物线方程可得：，即， 又因为， 所以，解得， 因此抛物线方程为. 故答案为：. 19．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 【答案】 【分析】设出及直线l的倾斜角、方程，联立抛物线的方程，根据面积公式及抛物线的定义可得到的比例关系，进而根据韦达定理可求得斜率，最后可求得倾斜角. 【详解】因为抛物线，所以， 设，直线l的倾斜角为，方程为，则， 由消去得，所以. 因为A在第一象限，所以. 因为直线l的倾斜角为，，所以与互补， 所以. 由抛物线的定义得， 所以，所以，即， 所以，所以为锐角，所以，如图： 所以，所以， 所以， 又，所以，所以，所以， 又，所以. 20．（25-26高三下·北京·开学考试）抛物线的准线方程为_____；若直线与抛物线交于两点，为准线上一点，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】利用抛物线的性质求解第一空，作出符合题意的图形，利用圆周角的性质求解第二空即可. 【详解】由抛物线的性质得抛物线的准线方程为， 如图，作出符合题意的图形，设的中点为， 分别过作准线的垂线，垂足分别为，连接， 由抛物线的定义得， 由梯形的中位线性质得， 则以为直径的圆与准线相切， 而为准线上一点，结合圆周角性质得，故. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 抛物线方程及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 抛物线的定义 知识点2 抛物线的方程及其性质 知识点3 通径 知识点4 焦点弦的性质 题型破译 (含超链接） 题型1 抛物线的定义及其性质应用【含方法技巧】 题型2 抛物线的标准方程【含方法技巧】 题型3 抛物线中的焦点弦问题【含方法技巧】 题型4 抛物线中的焦点三角形问题【含方法技巧】 题型5 抛物线中的最值问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 抛物线的定义与标准方程 — T11（5分） T11（5分） 抛物线的几何性质（焦点、准线、顶点） — T11（5分） T11（5分） 考情分析 抛物线是圆锥曲线的基础内容之一，北京卷近年以填空题形式直接考查，分值5分，难度中等偏易。命题集中在抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程及顶点到焦点的距离等基本量运算，侧重对抛物线定义与标准方程的理解。近三年考情显示，2024年、2025年连续两年在第11题位置考查抛物线，2026年未单独设题；解答题仍以椭圆为主，抛物线不单独出大题，但小题考查稳定，是必拿的基础分。复习时需熟练掌握四种标准方程及其焦点、准线，确保运算准确。 复习目标 1.理解抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程 、、、（）。 2.掌握抛物线的几何性质：顶点、焦点、准线、对称轴，理解 的几何意义（焦点到准线的距离）。 3.能根据条件求抛物线的标准方程或参数 ，会求焦点坐标与准线方程。 4.理解顶点到焦点的距离为 ，并能灵活运用。 5.能处理直线与抛物线的简单位置关系，会求焦点弦、弦长等基本问题。 6.体会数形结合思想，提升数学运算与直观想象素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 抛物线的定义 ①平面内与一个定点F和一条定直线的距离 的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的 ． ②其数学表达式：（d为点M到准线l的距离）． 自主检测1坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 自主检测2在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 自主检测3已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 知识点2 抛物线的方程及其性质 标准方程 图形               顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 范围 ， ， ， ， 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 （其中 自主检测1抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 自主检测2抛物线的准线纵截距为（    ） A． B． C． D．1 自主检测3设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 自主检测4以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 知识点3 通径 通径长：，半通径长： 知识点4 焦点弦的性质 自主检测1已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．11 自主检测2已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 自主检测3已知抛物线的焦点为，点在抛物线上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 自主检测4设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 自主检测5已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 题●型●破●译 题型1 抛物线的定义及其性质应用 例1-1（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 例1-2（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 抛物线的定义：平面内到一定点 与到一条定直线 （）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。即 其中 为焦点， 为准线。定义是抛物线最核心的性质，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，是解题的关键。 1. 定义的直接应用： 判断动点轨迹是否为抛物线； 已知抛物线上一点到焦点的距离，求该点的坐标（利用 或 ）； 求抛物线上的点到焦点与到准线距离之和、之差的最值。 1. 焦半径公式： 对于 （），抛物线上点 的焦半径为 对于 （），； 对于 （），； 对于 （），。 1. 标准方程与焦点、准线的对应关系： ：焦点 ，准线 ； ：焦点 ，准线 ； ：焦点 ，准线 ； ：焦点 ，准线 。 记忆口诀：一次项系数的符号决定开口方向，焦点在开口方向的正半轴上，准线在开口方向的反方向。 1. 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，其长度为 ，是过焦点的最短弦。 1. 几何性质： 抛物线关于对称轴对称，只有一个顶点（原点）； 离心率 （区别于椭圆 和双曲线 ）； 抛物线无渐近线，开口无限延伸。 【变式训练1-1】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离等于点到点的距离，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练1-2】（2026·北京西城·一模）设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______． 【变式训练1-3】（2026·北京门头沟·一模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________． 题型2 抛物线的标准方程 例2-1（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 例2-2（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为______. 方法技巧 1. 定位：确定抛物线的开口方向（由一次项及其符号决定）。 一次项为 ：开口沿 轴方向（ 系数为正，开口向右；为负，开口向左）； 一次项为 ：开口沿 轴方向（ 系数为正，开口向上；为负，开口向下）。 1. 定量：确定 的值（），即焦点到准线的距离。 1. 常用方法： 待定系数法：设出标准方程（如 ），代入已知点坐标求出 ； 定义法：利用抛物线的定义，由焦点和准线直接写出方程； 焦点到准线距离法：由 的几何意义（焦点到准线的距离）直接确定 。 1. 含参标准方程的处理： 若题目未明确开口方向，可设一般方程为 （）或 （），代入条件求解 ； 若已知抛物线与某直线相切或相交，联立方程后利用判别式求解 。 1. 注意：抛物线的标准方程中，一次项系数为 ，二次项系数为 。若给出的方程不是标准形式，需先化为标准形式再确定 。 1. 与焦点、准线的互求：已知焦点或准线，可直接写出 的值，进而写出标准方程；反之亦然。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京·开学考试）已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【变式训练2-2】（2026·北京朝阳·二模）顶点在原点，关于轴对称，且过点的抛物线的标准方程是___________． 【变式训练2-3】（25-26高三下·北京·阶段检测）平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 题型3 抛物线中的焦点弦问题 例3-1（2025·北京通州·一模）已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（   ） A．16 B．6 C． D．4 例3-2（2026·北京昌平·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于 、 两点，线段 称为焦点弦。设抛物线方程为 （），焦点为 ，准线为 ，焦点弦 的倾斜角为 ，、。 2. 端点坐标关系： （定值）； （定值）； （定值）。 3. 焦点弦长公式： 坐标形式：； 角度形式：； 焦半径形式：，； 角度焦半径：，（以 为例， 为直线 的倾斜角）。 4. 定值关系： （定值，与 无关）； ； 为定值，这是焦点弦最重要的结论之一。 5. 中点与准线的关系： 设 为 的中点，则 到准线的距离等于 ； 以焦点弦 为直径的圆与准线相切，切点为 的中点在准线上的投影。 6. 准线垂足与角度关系： 过 、 分别作准线的垂线，垂足为 、，则： ，（抛物线定义）； ，即 ； 的中点在 轴上。 7. 共线关系（阿基米德性质） ： 、、 三点共线（ 为原点）； 、、 三点共线。 8. 焦点弦三角形面积： ； 当 时， 取最小值 。 9. 通径： 当 时，焦点弦 垂直于对称轴，此时 称为通径； 通径长为 ，是过焦点的所有弦中最短的弦； 通径的两个端点坐标为 和 。 10. 焦点弦长的最值： 最小值为为 2p通径，当时取得； 无最大值，当 或 时，。 11. 以焦半径为直径的圆： 以 为直径的圆与 轴相切； 以 为直径的圆与 轴相切。 12. 梯形 的性质： 四边形 为直角梯形（，）； 的中点 满足 ，即 到焦点 的连线垂直于焦点弦 。 13. 其他变形（其他形式的抛物线）： 对于 、、，上述结论形式类似，只需将 与 互换、 的符号相应调整即可； 例如，对于 （），焦点弦的坐标关系为 ，，弦长为 （ 为倾斜角，需注意此时倾斜角的定义方式）。 14. 解题应用： 证明定值问题：直接利用 、 等结论，避免联立方程组的繁琐计算； 求弦长：优先使用角度形式 ，尤其适用于已知倾斜角或斜率的情形； 求最值：利用 和 等结论快速判断； 几何证明：利用 、、、 共线等结论简化证明过程。 【变式训练3-1】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练3-2】（2025·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式训练3-3】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 题型4 抛物线中的焦点三角形问题 例4-1（2026·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点为坐标原点，的面积为（     ） A． B．2 C． D．4 例4-2（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 方法技巧 1. 焦点三角形的定义：抛物线上一点 与焦点 以及顶点（或准线上的对应点）构成的三角形。抛物线中更常见的是焦半径与准线构成的直角三角形。 1. 核心性质： 抛物线上一点 到焦点 的距离等于 到准线的距离 （ 为 在准线上的垂足）； 由 作准线的垂线 ，则 中 ，为等腰三角形； 若过 作准线的垂线，垂足为 ，则 的中点在 轴上（以 为例）。 1. 焦点三角形面积： 对于 ，设 ，则 （ 为原点）； 更一般地，若涉及 、 和准线上的点 ，可利用 和坐标直接计算。 1. 角度关系： 焦半径 与对称轴的夹角与点 的位置有关； 过焦点 的弦 ，（、 为准线上的垂足），这一结论常用于证明垂直关系。 1. 焦点三角形与定义的综合：焦点三角形问题往往需要结合抛物线的定义（）将距离进行转化，构造直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理或三角函数求解。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且，点O为坐标原点，的面积为________． 【变式训练4-2】（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）在直角坐标系 中，直线l过抛物线 的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 ________. 【变式训练4-3】（2026·北京顺义·一模）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5 抛物线中的最值问题 例5-1（2026·北京·三模）已知抛物线：的焦点为，是上的动点，，则________． 例5-2（25-26高三上·北京房山·期末）已知抛物线，过焦点作与轴垂直的直线交抛物线于点，，设为抛物线上的一个动点，点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 方法技巧 1. 利用定义转化距离： 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可将“到焦点的距离”转化为“到准线的距离”，或将两者之和转化为定值； 常见模型：求 的最小值（ 为抛物线外一定点），可转化为 的最小值，即点 到准线的距离（当 为 到准线的垂线与抛物线的交点时取到）。 1. 利用参数方程：将抛物线上的点设为参数形式（如 上点可设为 ），将目标量表示为 的函数，利用二次函数或基本不等式求最值。 1. 利用二次函数：若目标量可表示为某变量的二次函数，利用配方法或对称轴求最值，注意变量的取值范围。 1. 利用基本不等式：对于形如 、 的目标量，结合定值条件，利用基本不等式求最值。 1. 数形结合：利用抛物线的几何性质（对称性、顶点、焦点、准线）直观判断最值位置。常见结论： 抛物线上点到焦点的最小距离为 （对应顶点处）； 抛物线上点到准线的最小距离为 （对应顶点处）； 过焦点的弦长最小值为 （通径）。 1. 直线与抛物线的最值： 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式，将弦长、面积等表示为参数的函数，再求最值； 注意直线与抛物线相交的条件（ 且二次项系数不为 ，或直线与对称轴平行时只有一个交点）。 1. 距离之差的绝对值最大： 利用三角不等式 ，当 、、 三点共线时取等号； 结合抛物线的定义，可将 转化为到准线的距离，再利用几何关系求最值。 1. 定点到抛物线的最短距离：设抛物线上点为参数形式，利用两点间距离公式建立目标函数，求导或配方求最小值。 【变式训练5-1】（2025·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-2】（25-26高三上·北京·期中）已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为________. 【变式训练5-3】（2025·北京东城·二模）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则_____；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则_____. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 3．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 4．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 5．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（    ） A． B． C． D． 2．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， .    3．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别相交于两个动点，则点的轨迹方程为 . 4．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短． 5．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：． 6．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？ 7．点在抛物线上，F 为焦点，直线MF与准线相交于点N，求． 8．设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，求抛物线的方程和点M的坐标． 9．过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A，B两点，求AB． 10．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026·北京·三模）已知抛物线上的点到其准线的距离的最小值为2，则（   ） A．2 B．4 C． D． 4．（25-26高三上·北京东城·期末）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 5．（2026·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为.若，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·北京·开学考试）抛物线的准线上一点到其焦点的最小距离为__________． 7．（2026·北京通州·一模）已知直线过抛物线的焦点，则________． 8．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知点在抛物线上，则抛物线的焦点的坐标为_____；点到准线的距离为_____. 9．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为.若，则______. 10．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为__________；点在上，且，则__________. 重难·创新演练 11．（2026·北京·模拟预测）将抛物线平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线，则的准线方程为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·北京石景山·期末）设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则以为直径的圆（    ） A．必过原点 B．必与轴相切 C．必与轴相切 D．必与抛物线的准线相切 13．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直于l于点Q、直线QF与抛物线C相交于M、N两点，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·北京通州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·北京延庆·一模）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则______． 16．（2026·北京朝阳·一模）已知抛物线，则的准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______. 17．（2026·北京昌平·一模）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______． 18．（25-26高三下·北京·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线的方程为___________． 19．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 20．（25-26高三下·北京·开学考试）抛物线的准线方程为_____；若直线与抛物线交于两点，为准线上一点，则的取值范围为_____． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $