第03讲 等比数列及其前n项和（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖定义、通项公式、等比中项、性质及前n项和等10个知识点，按“定义-公式-性质-应用”逻辑构建知识框架。通过知识解构梳理考点，题型破译归纳方法技巧，真题溯源感知考向，分层训练突破难点，形成系统复习链条。 讲义突出数学思维与模型观念，如题型2通过等差等比混考引导学生建立方程模型，培养推理能力。设置基础演练与重难创新分层练习，配合方法技巧总结，助力学生高效掌握“知三求二”等核心策略，提升运算与逻辑推理素养，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第03讲 等比数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等比数列的定义 知识点2 等比数列的通项公式及其推广 知识点3 等比中项 知识点4 “下标和”性质 知识点5 等比数列的性质拓展 知识点6 等比数列的单调性 知识点7 等比数列的前n项和公式 知识点8 等比数列前n项和公式的函数特征 知识点9 等比数列前n项和的性质 知识点10 证明数列为等比数列的方法 题型破译 (含超链接） 题型1 等比数列的项、公比及通项公式的求解【含方法技巧】 题型2 等比中项的应用（含等差等比混考）【含方法技巧】 题型3 等比数列的性质【含方法技巧】 题型4 等比数列前 n 项和的求解【含方法技巧】 题型5 等比数列前 n 项和的性质【含方法技巧】 题型6 等比数列通项公式与前 n 项和的关系【含方法技巧】 题型7 等比数列的函数特性与最值【含方法技巧】 题型8 等比数列中的单调性问题【含方法技巧】 题型9 等比数列中的数学文化【含方法技巧】 题型10 等比数列的证明【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等比数列的定义与通项公式 — T5（4分） T15（5分） 等比中项与性质 — T5（4分） T15（5分） 等比数列的综合应用 — T5（4分） T15（5分） 考情分析 等比数列是高考的基础内容，北京卷近年直接命题频率较低，多以选择题、填空题形式与其他知识融合考查，分值约4~5分，难度中等偏易至中等。试题或以等比中项为切入点，结合等差数列基本量运算（2025 T5）；或以命题判断形式呈现，考查等比数列性质的理解与逻辑推理（2024 T15）。近三年考情显示，等比数列的考查注重与等差数列的对比及综合应用，强调对定义、性质本质的理解。复习时需掌握等比数列的基本公式与性质，注意与等差数列、集合逻辑等内容的综合应用。 复习目标 1.理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式 （）。 2.掌握等比数列的前n项和公式 。 3.掌握等比中项的概念及性质（若 成等比数列，则 ，注意 ）。 4.掌握等比数列的常用性质（若 ，则 ）。 5.能利用等比数列的基本量（）进行“知三求二”的运算。 6.能解决等比数列与等差数列、集合逻辑等融合的综合问题，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等比数列的定义 一般地，如果数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之 比 都等于 同一个常数q ，即 恒成立， 则称数列为等比数列，其中d称为等比数列的 公比 . 自主检测1下列说法正确的有（ ） A．等比数列中的项可以为0 B．等比数列的公比的取值范围是 C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．，，，，成等比数列 【答案】C 【详解】由等比数列的定义可得，等比数列的项和公比都不能为0，故A，B错误； C项，一个常数列是等比数列，则常数必不为0，故数列的公比为1，显然C正确； 由于，故不是等比数列，故D错误. 自主检测2已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可. 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 知识点2 等比数列的通项公式及其推广 1、等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为： 2、通项公式的推广： 或 自主检测1已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，可得，解得， 又因为，所以. 自主检测2在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式将已知条件转化为关于公比的方程，结合正项条件确定的取值，再根据的值计算. 【详解】设等比数列的公比为，，通项公式为（）, 将、代入，得： ， 由于等比数列首项，等式两边同除以，整理得： 解得或， 已知，且，故，舍去，得， 由，代入得，解得， 因此. 知识点3 等比中项 1、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的 等比中项 ，即是与的等比中项成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时， 不一定 是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是 唯一 的，而若两数有等比中项，则等比中项 有两个，且互为相反数 . 自主检测1在等比数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列性质有，代入计算即可得. 【详解】因为为等比数列，所以， 故， 所以，所以. 自主检测2已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 又等比数列奇数项的符号相同，所以，则，故． 知识点4 “下标和”性质 在等比数列中，若，则 ； （1）特别地，时， ； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 自主检测1在等比数列中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质，等比数列中，下标成等差数列的连续项和仍然成等比数列，而、、的下标间隔相等，因此三者成等比数列，化简即可求解. 【详解】根据等比数列的性质， 代入已知条件，，得： ，整理得：. 自主检测2等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，得或（舍）， 则. 知识点5 等比数列的性质拓展 （1）若是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是 q ， ， ． （2）两等比数列合成数列的性质：若数列是项数相同的等比数列，也是 等比数列 ． （3）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为； （4）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 自主检测1等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项的性质求得公比，即可得结论. 【详解】设等比数列的公比为， 则，所以， 故. 故选：C. 自主检测2在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【答案】D 【分析】由等比数列的性质求解 【详解】数列是等比数列，则，， 而，故． 故选：D 知识点6 等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 （1）当 或 时，数列为递增数列； （2）当 或 时，数列为递减数列； （3）当 时，数列为常数列： （4）当 时，数列为摆动数列. 自主检测1若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】取，此时均为递增数列，，为常数列； 取，则数列为递增数列，此时可取， 其中为递减数列，为递增数列. 综上可得：“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 自主检测2在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若命题成立，即，公比. 由等比数列通项， 得， 因为，，所以，即， 所以数列是递增数列，因此能推出，充分性成立； 若数列是递增数列，不一定满足命题. 举反例：取，公比，数列各项为，满足， 确实是递增数列，但不满足且，因此命题不能推出命题，必要性不成立. 综上，命题 是命题 的充分不必要条件. 知识点7 等比数列的前n项和公式 已知量 首项，公比与项数 首项，公比与末项 求和公式 自主检测1已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和公式即可求公比，结合数列各项为负的条件舍去负根，再代入公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，易知， ，代入，， 得 ，化简得， 解得或（舍去）， 所以 . 自主检测2已知等比数列的前项和为，若，，且公比，则（    ） A．8 B．15 C．28 D．31 【答案】D 【详解】根据等比数列的性质，，， 公比，又，则，, 所以，. 知识点8 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 指数型函数 (2)当公比时，因为，所以是的 正比例函数 . 温馨提醒：当，所以的结构形式. 自主检测1等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 自主检测2设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】法一：由性质可得答案；法二：求出，再求出其公比为2，则，化简即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 法二：当时，， 当时，. ， 为等比数列，当时，， 化简得. 故选：C. 知识点9 等比数列前n项和的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则 0 ； （2）当时，， ，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为诸奇数项和，为诸偶数项和，则 / ； （4）若是公比为q的等比数列，则 （）． 自主检测1已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 【答案】D 【分析】根据为等比数列计算. 【详解】由题意得，为等比数列， 则为等比数列，得公比为， 则，，得，. 自主检测2记等比数列的前项和为，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列片段和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设公比为， 根据等比数列片段和的性质，，，是以公比为的等比数列，即， 由于，变形得，则，故D正确. 知识点10 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 自主检测1已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列； (2)设，为数列的前项和，求． 【答案】(1)由，得， 即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； (2) 【分析】（1）对线性递推式进行配凑构造，推出后项与构造数列前项的比值为定值，结合首项非零完成等比数列证明； （2）先利用等比数列通项得到的表达式，借助对数化简，再对裂项相消，累加抵消中间项后求出前项和． 【详解】（1）略； （2）由（1）可知，所以， 所以， 则， 所以． 自主检测2数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列； （2）利用分组求和可取. 【详解】（1）因为，故， 而， 故， 整理得，即， 故，所以，故数列为等比数列； （2）由（1）可得， 故 . 题●型●破●译 题型1 等比数列项、公比及通项公式的求解 例1-1（2026·北京西城·一模）在等比数列中，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．256 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为, 由得, ，两式作比，得，得， 则． 例1-2（2026·北京东城·二模）已知为等比数列，，.若，则______；若，则的前4项和为_____. 【答案】 8 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，结合前两项的大小关系确定通项公式，然后可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，则，因为，，所以，解得或. 若，则，此时，所以. 若，则，此时前4项分别为：，，，； 其和为. 例1-3（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 方法技巧 7.基本量法：等比数列的核心是首项 和公比 （）。已知任意两个独立条件（如两项的值、某几项的关系等），利用通项公式 建立方程组，解出 和 ，即可求出任意项或通项公式。注意 可能有两解（正负），需根据题意取舍。 8.通项公式的变形：若已知第 项 和公比 ，则 ，这一形式可避免每次从头计算 ，特别适用于已知某项和公比求其他项。 9.利用下标关系：若 ，则 （下标和性质）。特别地，若 ，则 。 10.验证：求出 和 后，代回原条件验证。特别注意 的特殊情况（常数列）和 的摆动数列情况。 【变式训练1-1】已知等比数列的公比为q，且，，则（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得：，又， 解得：. 【变式训练1-2】已知首项为负数的等比数列的前4项和为5，且，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】设等比数列的首项为（），公比为， 对条件变形得 ， 由于，两边同除以得 ，即，解得或. 若，，解得，不符合首项为负的要求，舍去； 若，，解得，符合要求. 因此. 【变式训练1-3】（2026·北京石景山·二模）等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 【答案】 64 【分析】由等比数列基本量求通项，利用数列单调性进行最大值计算求解 【详解】设等比数列公比为q，则，即，即； 因为，所以数列为递减数列且各项均为正，，， 当时，；当时，且递减，所以当时取最大值为 【变式训练1-4】已知公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质，和题目已知条件，列出方程，求出公比，进而写出通项公式； （2）根据等比数列前项和公式，求出，再构造数列，进而分组求出. 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， ，，由等比性质可知， 因为，所以， . （2）， 题型2 等比中项的应用（含等差等比混考） 例2-1（2026·北京·三模）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等比中项及等差数列基本量计算即可求解． 【详解】由已知得， 所以． 例2-2（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 方法技巧 1.等比中项的定义：若 成等比数列，则 称为 与 的等比中项，满足 （ 同号， 可取 ）。 2.三数成等比：若三个数成等比数列，常设为 ，，（公比为 ），或 ，，。前者在三数之积为 时计算更简便。 3.等比中项的符号：等比中项与两端项同号（正负一致）。若 ，则 ；若 ，则 （ 有意义）。若两端项异号，则不存在实数等比中项。 4.等差等比混考的处理策略： 若题目涉及数列 既是等差又是等比，则 必为非零常数列（公差 ，公比 ）； 若题目给出“某三项成等差，某三项成等比”的混合条件，分别利用等差中项 和等比中项 建立方程组求解； 若条件涉及“两个数的等差中项与等比中项”的比较，直接代入定义式转化为方程或不等式求解。 5.判断等比中项的存在性：若 同号，则存在两个等比中项（）；若 ，则等比中项为 ；若 异号，则不存在实数等比中项。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京房山·期末）等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设公差为，根据等比中项列方程求出公差，然后可得公比. 【详解】记等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即， 又，所以，整理得，解得， 所以. 故选：A 【变式训练2-2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(        ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出前项和，再利用配方法能求出当取最小值时，的值． 【详解】设数列的公差为，则，，， 因为，，成等比数列， 所以，即，化简得， 解得或， 因为数列为递增的等差数列，所以， 故舍去，， 所以 开口向上，对称轴为直线，由于为正整数，且离更近， 所以当时，取得最小值。 故选：B 【变式训练2-3】（2025·北京海淀·三模）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（    ） A．51 B．66 C． D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，列式求出公差，进而求出前6项和. 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 又，解得，所以的前6项和. 故选：A 题型3 等比数列的性质 例3-1（25-26高三上·北京·期中）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先利用等比中项的性质结合已知条件求出，再根据等比中项的性质求出． 【详解】是等比数列， ， ，，解得或（舍去）， ，， ，解得． 故选：A． 例3-2在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【详解】等比数列的公比为q，因为，是方程的根， 所以，，又，， 所以、、同号，所以，，， 则，所以. 方法技巧 1.下标和性质：若 ，则 。特别地，若 ，则 （ 为 与 的等比中项）。 2.间隔相同子数列：从等比数列中抽取下标成等差数列的项，仍构成等比数列。如 仍为等比数列，公比为原公比的 次方 。 3.两项积的转化： 可转化为 ，当 为定值时，积也为定值。 4.通项公式的指数函数特征：，故等比数列的通项是关于 的指数型函数（，）。当 时指数增长，当 时指数衰减，当 时摆动。 5.常见性质补充： 若 、 均为等比数列，则 、（）也为等比数列； 若 为等比数列，则 （，，）为等差数列。 【变式训练3-1】已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 【答案】D 【分析】利用等比数列性质转化，结合韦达定理求出，再用通项公式求出 【详解】因为为等比数列，所以， 又因为，公比大于1，所以，则是方程的两个根， 且，即， 【变式训练3-2】已知等比数列{}的各项均为正数， ，则 （    ） A．​ B．​ C．3 D．9 【答案】C 【详解】依题意，， ； ； 所以. 【变式训练3-3】已知数列为正项等比数列，，则的值为（    ） A．10 B．16 C．15 D．11 【答案】D 【详解】数列为正项等比数列，所以， ，得. 又，得. 所以. 题型4 等比数列前n项和的求解 例4-1．（2026·北京门头沟·一模）已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．31 B．15 C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为， 由等比数列性质可得，即，解得； 又，可得； 所以. 例4-2（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. （2）. 所以 方法技巧 1.求和公式（） ：。选择哪种形式取决于 与 的大小关系，通常用前者（分母为正）。 2. 的特殊情况：当公比 时，数列为常数列 ，。在应用求和公式前，务必先判断 是否等于 ，这是等比数列求和的易错点。 3.已知首项、末项和公比求和：若已知 、、，可利用 （），这一形式避免了先求 再代入的繁琐。 4.知三求一：在 、、、、 五个量中，已知任意三个（至少包含 和 中的一个），可通过方程求解其余量。注意 可能多解。 5.代入验证：求出 后，利用 （）验证是否能还原原数列，确认 和 的正确性。 【变式训练4-1】（2026·北京丰台·二模）已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 【答案】3 【分析】根据等差中项结合前项和定义可得，即可得公比和. 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，则，即， 可得等比数列的公比为， 且，所以. 【变式训练4-2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【分析】根据等比数列的求和公式求出公比，再由通项公式求解. 【详解】因为， 所以或（舍去）， 所以， 故答案为： 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京石景山·期末）若数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得，即得数列的偶数项是2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式求解. 【详解】由题，令，得，又，则， 所以数列的偶数项构成一个以为首项，公比为2的等比数列， . 故选：C. 题型5 等比数列前n项和的性质 例5-1设是等比数列的前项和，若 ， ，则 （     ） A．72 B．18 C．128 D．80 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出等比数列公比的平方，再利用等比数列片段和的性质计算． 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 例5-2设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 【答案】B 【分析】利用等比数列连续相同项数的和仍成等比数列的性质，分别求出三组连续三项的和，相加即可. 【详解】由题，， 根据等比数列的性质，，成等比数列， 故， ， 所以. 方法技巧 1. 的“片段和”性质：，，， 仍构成等比数列，公比为 （；当 且 为偶数时需特殊讨论）。这一性质是解决等比数列前 项和问题的有力工具。 2. 的表达形式（） ：，即 （其中 ）。特别地，若 ，则 可写成 的形式。 3. 与 的关系：（），且当 时，（）。 4.奇偶项和的关系： 若项数为 （偶数项），则 ； 若项数为 （奇数项），则 ，，且 。 【变式训练5-1】设是各项均不相同的等比数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．16 D．32 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 所以，因为，所以， 则，而，则，， 故． 【变式训练5-2】已知等比数列的前n项和为，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，根据前项和定义可知， ， ，则有， 化简得，D正确； A选项等价于，通过前述分析已知， 因此只有或，A选项才成立，A错误； B选项等价于，已知， 可得， 因此只有，B选项才成立，B错误； 对C选项左边变形 ， 因此只有或，C选项才成立，C错误. 【变式训练5-3】已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为 ，令，则可由求出，，关于的表达式，再由条件求出，进而得到． 【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中． 则，由，得． 令，则．由上式可得， ，，由题意得， 因为，所以． 化简得．解得或． 又，所以，故． 题型6 等比数列通项公式与前n项和的关系 例6-1 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：由 可得； 因此可知等比数列的各项均为正数，所以公比， 当时，满足，当时，满足，因此充分性不成立； 必要性：因为，若，可得等比数列为递增数列，且各项均为正数， 所以，因此，即必要性成立. 即可得甲是乙的必要不充分条件. 例6-2已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 【答案】B 【分析】先由前项和公式求出数列的通项公式，再利用等比数列首项必须满足通项公式的条件，解出参数的值并验证. 【详解】当时，， 当时，， 若是等比数列，则，因此，解得； 当时，，，， 又，所以， 因为当时，， 此时数列是首项为，公比为的等比数列； 即当且仅当时，是等比数列， 故选：B. 方法技巧 1.通项公式与前 项和的互求： 已知 求 ：（），再单独验证 ； 已知 求 ：直接用等比数列求和公式。 2.已知 的形式判断等比数列：若数列 的前 项和 （，，），则 为等比数列，公比为 。若 的形式不符合上述结构，则不是等比数列。 3. 与 的混合关系： 若 （ 为常数），利用 消去 ，得 ，整理得 （），从而判断是否为等比数列； 若 与 的关系式较复杂，通过两次作差（ 和 ）构造递推式求解。 4.利用 求 或 ：若已知 的表达式，可直接比较系数求出 和 。如 ，则 ，。 【变式训练6-1】已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 【变式训练6-2】已知等比数列的前n项和为，若，则______． 【答案】－144 【分析】先利用前项和公式求出首项与时的通项，再根据等比数列的定义确定参数，最后由等比数列通项公式计算. 【详解】由，得. 当时，； 当时，. 因为为等比数列，故时的通项也满足时的表达式， 即，解得. 此时，公比，故. 【变式训练6-3】是等比数列的前项和，若（），则______． 【答案】 【分析】由求出，结合等比数列求得a值． 【详解】由题意时， ， 当时，， 又是等比数列，所以，解得． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：由前n项和求时，要注意中有，不包括，而，解题时要注意，否则易出错，考查学生的运算能力，属于常考题. 题型7 等比数列的函数特性与最值 例7-1已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．当 最小时， 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质、通项公式逐项判断计算即可. 【详解】由题意和正项等比数列的性质，得，，解得， ∵，∴，∴，解得，故B正确，C错误. 所以，所以，A错误. ∵，，∴当或时，，当时，. ∴当时，，当时，，当时，， ∴当最小时，或，故D错误. 故选：B. 例7-2设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 方法技巧 1.通项公式的指数函数特征：（，）是指数型函数。 当 且 时， 单调递增无最大值； 时单调递减无最小值； 当 且 时， 单调递减，最小值为极限 （不存在），最大值为 ； 时相反。 2.前 项和的函数特征（，） ：，其变化趋势由 和 的符号共同决定，可能有上界或下界但未必能取到最值。 3.求前 项和的最值： 利用 的符号变化：若 ，，则 单调递增且有上界 ，最大值为极限（不能取到），但在有限项中有最大值 （ 越大越接近极限）； 若数列中出现正负交替（）， 可能摆动，需具体分析。 4.有限项和的最值：对于 且项数有限， 随 单调变化（ 增， 增或减取决于 符号），最值在端点或极限处取得。 【变式训练7-1】设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】令公比为，且，则， 而，所以， 当为奇数时，当为偶数时， 所以最小出现在为偶数的情况，显然最小为. 【变式训练7-2】在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________． 【答案】6 【分析】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【详解】在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6 【变式训练7-3】已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将数列的前项的乘积表示出来，观察到其中的指数方程分别决定了的大小和的正负，再求出指数部分的最值来分类讨论的最值即可. 【详解】由题得， 前项积， 易得决定的大小，而决定的正负， 因为，故离对称轴最近的或时最大，或时，仅小于， ①当时，，，所以为的最小值； ②当时，，，所以为的最小值，此时，有2个最小值，即. ③当时，，，所以为的最大值； ④当时，，，所以为的最大值，此时，有2个最大值，即. 综上，. 故选：A. 题型8 等比数列中的单调性问题 例8-1（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据递增数列的定义结合特例即可求解. 【详解】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 例8-2（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果. 【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 方法技巧 1.判断单调性：由首项 和公比 共同决定—— ，：单调递增； ，：单调递减； ，：单调递减； ，：单调递增； ：常数列（不增不减）； ：摆动数列，不具有单调性； ：从第二项起均为 ，不具有单调性。 2.已知单调性求参数范围： 若 单调递增，则 恒成立。当 时需 ；当 时需 。 若 单调递减，则 恒成立。当 时需 ；当 时需 。 3.子数列的单调性：从等比数列中抽取下标成等差数列的项，仍为等比数列，公比为 （ 为下标差）。若 ，则单调性与原数列一致；若 ，则为摆动数列。 【变式训练8-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， ，或， 当时，显然满足，显然数列不是单调递增数列； 当数列为单调递增数列时，则有 ，或， 因此”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 【变式训练8-2】（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由，分和两种情况讨论公比取值，即可判断. 【详解】若“数列为递减数列”，易得， 若“对任意的正整数，”， ， 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 综上可知：若，可判断数列为递减数列， 所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件， 故选：C 【变式训练8-3】（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设出公比为，利用等比数列基本量的运算得：的充要条件为或，分类讨论得既无最大值也无最小值时，，则有，最后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】设公比为，由得， 因为，所以，所以，所以或， 即的充要条件为或， 当，时，，此时， 故，所以为单调递增数列，此时有最小值无最大值， 当，时，，此时， 故，所以为单调递减数列，此时有最大值无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值，此时无最大值，无最小值， 所以由“”推不出“既无最大值也无最小值”； 反之，当时，为常数列，此时无最大值或无最小值； 当时，有最大值，也有最小值，此时有最大值和最小值； 当时，由上面分析若，则有最小值无最大值， 若，则有最大值无最小值； 当时，若，则有最小值无最大值， 若，则有最大值无最小值； 当时，若，则， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若，则， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值； 当时，结合前述分析可知无最大值，无最小值， 由此可知“既无最大值也无最小值”当且仅当，此时成立. 综上，“”是“既无最大值也无最小值”的必要不充分条件. 故选：B 题型9 等比数列中的数学文化 例9-1（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 例9-2（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象、随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状．古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为．其中且，将满月等分成240份．（且）表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．已知，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在月相数列中，前5项构成公比为等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第4天可见部分占满月的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而根据均为正整数得，，再计算，. 【详解】由题知：，，，即，所以， 因为均为正整数， 当时，；当时，，满足；当时，， 所以，，，此时月球被太阳照亮部分占满月的. 故选：C 方法技巧 1.题型特征：题目以古代数学问题、历史名题（如“棋盘上的麦粒”“复利问题”“细胞分裂”“增长率问题”）、古代著作（如《孙子算经》《九章算术》）为背景，将传统文化与等比数列知识融合，考查数学建模能力。 2.解题策略： 仔细阅读：从题干中提取关键的数学信息——问题涉及的量、等比关系、首项、公比、项数、求和还是求某项； 建立模型：将实际问题转化为等比数列模型，确定 、、、、 等核心要素； 列式计算：利用等比数列的通项公式、求和公式或性质求解。 3.常见模型： 复利问题：（ 为增长率），公比 ； 细胞分裂/细菌繁殖：每经过一个周期数量变为原来的 倍； 棋盘麦粒：，求 ； 折半/倍增问题：每天变化为固定比例。 4.答题规范：设未知量、列式、计算、作答。注意实际意义对答案的约束（如人数、个数取整，增长率不能为负等）。若题目涉及文言文，需先准确翻译为现代数学语言再建模。 【变式训练9-1】（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（   ）． A．80 B．96 C．100 D．112 【答案】B 【分析】由已知条件和等比数列等差数列的性质，得，又，均为正整数，求出，的值得. 【详解】依题意，有，， 时，不是正整数； 时，； 时，，不是正整数. 所以，，. 故选：B 【变式训练9-2】（2026·北京朝阳·二模）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿万万兆1亿亿京兆兆，以此类推．若按“上数”进制，记第个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为，则___________；若，则正整数的最小值为___________． 【答案】 【分析】先由题意推出递推规律得 ，代入 算出 ，由对数性质得 ，再把 到 依次写成 10 的指数形式，同底数幂相乘指数相加，利用等比数列求和公式算出指数和为 ，结合不等式 化简得 ，比对 2 的整数次幂得到正整数 最小值为 7. 【详解】根据题意， 第个大数对应的数值为. ①求： ， . ②求最小正整数使得： . 由， 得， 即， . 因为， ， 所以正整数的最小值为. 题型10 等比数列的证明 例10-1已知数列的首项，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知：， 可得， 所以， 因为，所以． 【分析】（1）根据题意，化简求得，得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得，利用裂项法求和，求得，进而证得结论． 【详解】（1）解：因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）证明：由（1）知：， 可得， 所以， 因为，所以． 例10-2已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过构造辅助数列，将原递推式转化为 ，再利用配凑法证明是等比数列； （2）先由 (1) 求出，将数列求和拆分为等差与等差乘等比两部分，对后者用错位相减法求和，再合并得到. 【详解】（1）因为，所以 ， 因为，所以，所以， 由，得 ， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则 所以， 令， 则， 两式相减得． 所以， 所以． 方法技巧 1.定义法（最常用） ：证明 （常数，且 ），。这是证明等比数列最直接、最核心的方法。注意需说明 。 2.等比中项法：证明 （）恒成立，且 ，等价于数列为等比数列。 3.通项公式法：证明 的形式，即 是关于 的指数型函数。 4.前 项和法：证明 （，）的形式，则 为等比数列。 5.证明的规范步骤： 明确已知条件和递推关系； 选择适当的证明方法； 进行代数推导，得出结论； 指出公比 的值（若需要）。 6.由递推关系证明等比数列： 若递推式为 （），直接得 ，公比为 ； 若递推式为 ，需先构造 ，转化为等比数列 的形式； 若递推式为 ，取倒数后可能构造等比数列； 若递推式含 ，先用 消去 ，转化为关于 的递推式再证明； 若递推式为 ，令 ，则 为等比数列，再结合 的符号求通项。 7.证明时的易错点： 必须验证 （等比数列的每一项均不为零）； 若利用 证明等比数列，需验证 是否也满足通项公式； 若公比 含参数，需讨论 的特殊情况。 【变式训练10-1】已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)通项公式为 ， 由题设，当时，有​， ①－②得：， 将替换为，得， ④－③得：，即​， 结合，，则， 知数列是首项为，公比为的等比数列， 故通项公式为，得证； (3) 【分析】（1）将、依次代入列方程求对应项即可； （2）根据已知等量关系，应用作差法得，即，结合等比数列的定义证明即可； （3）由题意 ，应用错位相减法求即可. 【详解】（1）已知对任意正整数，有 当时，， 当时， ，代入，得 ， 所以，； （2）略 （3）已知 ，则 ， 令 ， 用错位相减法：， ， 两式相减得： 所以 所以 ，从而 【变式训练10-2】已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再利用等比数列定义即可证明； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，故， 则， 故， 则 ， 故 【变式训练10-3】在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 二、填空题 2．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 3．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________． 【答案】 23 57.5/ 【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度. 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 4．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【答案】 48 384 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 5．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．在等比数列中，，．求和公比q． 【答案】或 【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，因为，，由等比数列的性质可得，，又， ，， ，解得：， 当时，由，所以； 当时，由，所以 所以或 2．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 【答案】 【详解】解：依题意设数列的首项为，公比为，则，，所以，即，所以，解得，即，所求 3．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比． 【答案】答案见解析 【详解】设这三个数分别为，则满足 由题意可得， 联立方程组，可得或， 当这三个数为，可得这个等比数列的首项为，公比为； 当这三个数为，可得这个等比数列的首项为，公比为； 4．设等比数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求该数列的前项和为. 【答案】（1）当时，；当时，. （2）当时，；当时，. 【详解】试题分析：（1）由已知，建立的方程组，利用等比数列的通项公式即得. （2）由，根据的两组不同取值求和. 试题解析：（1）由题意知：，解得或， 当时，；当时，. （2）由知， 当时，；当时，. 考点：1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和公式. 【名师点睛】等比数列的基本问题，是等元素的互求.本题从已知出发，通过布列的方程组，逐步求得通项公式及前项和.易错点是解方程组漏解. 5．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由． （1）数列，其中；     （2）数列，其中． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【详解】数列，都是等比数列，设公比分别为、（、均不为） （1）由，则， 所以数列为等比数列. （2）由，则. 所以数列为等比数列. 6．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）（参考数据）？ 【答案】 【详解】解：设平均增长率，依题意可得，， 则， 所以， 故平均增长率约为． 7．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？ 【答案】128145辆 【详解】根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为，则，公比，所以，则2025年全年约生产新能源汽车为（辆）， 故2025年全年约生产新能源汽车128145辆. 8．已知数列是等比数列． （1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？ （2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？ 【答案】（1），，成等比数列，，，成等比数列；（2），，成等比数列，，，是等比数列. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则，，， ，则，，成等比数列， 又，则，所以，，成等比数列； （2），， ，所以，，成等比数列； 又，则， 所以，，是等比数列. 9．对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 【答案】是（证明见解析） 【详解】由题意知: , 因为，，，为定值常数. 且 所以数列为以为首项，为公比的等比数列. 10．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【详解】解：（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以 所以，即，即为公差为的等差数列； （2）设数列中任意三项，， 则，假设成等比数列，则 即 因为 所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列． 11．已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为. 12．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以，当或时，最大，为. 故答案为： 13．已知数列的首项，且满足． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，得， 又，故，故， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，所以， 所以． 14．已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 【答案】答案见解析. 【详解】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为. 15．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？ 【答案】424万元 【详解】解：设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，则： 第一年剩余资金为：， 第二年剩余资金为：， 以此类推，第五年剩余资金为：， 由题意知，， 即，解得：， 故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金． 16．已知，且．对于，证明：． 【答案】证明过程看解析. 【详解】证明：记， 因为，且，所以两边同乘以，得： ， 所以， 所以. 所以，即证. 17．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值． 【答案】3 【详解】设时，最大， 因为，， 所以 所以 即，故 ， ， 即 所以 故当取最大值时， 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若数列1，b，9是等比数列， 则， 所以. 2．若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项和等比中项可求答案. 【详解】因为是，的等差中项，所以，即； 因为是，的等比中项，所以，即，所以. 3．等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 【答案】C 【分析】利用等比数列的片段和性质列式求解即得. 【详解】由题意，成等比数列，则， 故可得. 4．记为等比数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等比数列的性质，依然构成等比数列， 由等比数列的中项可得：， 代入得：，解得：. 5．已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ）. A．10 B．9 C．5 D． 【答案】A 【详解】因为为正项等比数列，所以，即， 所以. 6．在等比数列中，若，则（    ） A．3 B． C．9 D．27 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得：，可得， 所以. 7．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 8．已知等比数列的第二项为9，公比，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，所以是以2为公差的等差数列， 因为，所以， 所以. 9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（    ）盏灯. A．1 B．3 C．7 D．192 【答案】B 【分析】由等比数列求和公式列方程求解. 【详解】设塔的顶层共有盏灯，7层塔共有盏灯，列方程 ， 由等比数列求和公式得：，解得. 10．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可. 【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列， 则，， 解得，进而，因此. 11．在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 【答案】(1) 因为，所以，所以， 因为，所以，，所以为等比数列. (2). 【分析】（1）利用对数性质将等式转化为，然后利用等比数列定义证明等比数列； （2）由已知求出公比和首项，再用等比数列求和公式得. 【详解】（1）略 （2）设公比为，因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以的前项和为. 12．在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) 因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用分组求和法求数列的前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，. 所以. 所以 . 13．已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，则，即， 且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可得数列为等差数列， 所以数列的前项和. 14．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. （2）由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 15．已知数列，首项，点是抛物线上一点． (1)求的通项公式； (2)求的前项积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线上得到递推关系，再通过取对数构造等比数列求通项； （2）再利用指数运算性质结合等比数列求和公式计算的前项积. 【详解】（1）由点是抛物线上一点，可得， 由，可知对任意， 对两边取对数得， 令，则，变形得， 因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 因此，即， 所以； （2）由（1）知， 则， 由， 则. 重难·创新演练 16．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列及等比数列下标和性质结合基本不等式计算求解判断. 【详解】数列为等差数列， 数列为等比数列， ．又 ．当且仅当时取等号，A错误，B正确． 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 与的大小不确定，所以C，D，错误； 17．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A． B． C． D．数列为单调递增数列 【答案】A 【分析】根据条件求和，再根据等比数列的公式，判断选项. 【详解】由条件可知，，且， 所以， 所以，得，整理为， 解得：或（舍）， 当时，，故A正确；，故B错误； ，故C错误； 当时，数列为单调递减数列，故D错误. 18．已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 由，得，所以， 所以或， 取，此时满足且，则成立， 但数列不是单调递减数列，故充分性不成立； 当数列为单调递减数列时，则有，所以， 所以，所以或， 可得成立，故必要性成立； 因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件. 19．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 20．一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，这个数列的公比等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列前项和的性质求解. 【详解】设该等比数列前项和为，公比为， 由于该等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50， 可知，， ， 所以，， 即，. 21．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列前项积的定义，结合已知条件建立关于首项和公比的方程，求解后计算目标表达式的值. 【详解】设等比数列的公比为，由前项积定义，， 则，，，，. 由，得，两边约去，得. 将代入，得，即， 因，两边除以，得. 由，，故. 将代入，得，即， 因式分解得.因， 三次式，故，则. ，， 故. 故选：B. 22．记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】（充分性）若取，首项，则数列为······ 此时前项和满足：为奇数时，；为偶数时，； 显然可取，则对所有，都有，所以充分性不成立； （必要性）当时，前项和为， 由于恒成立，则恒成立，取， 则对所有，都有，必要性得证. 所以“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的必要不充分条件. 23．已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【详解】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 24．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 25．已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，, (2)， 因此是等比数列，且公比为， (3)由（2）可知是等比数列，且公比为，首项为， 故，故， 故， 由于，故， 因此. 【分析】（1）直接代入即可求解， （2）利用等比数列的定义，代入化简即可求解， （3）利用放缩法得，即可由等比数列求和公式得解. 【详解】（1），， ，故. （2）略 （3）略 26．已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)通项公式为 ， 由题设，当时，有​， ①－②得：， 将替换为，得， ④－③得：，即​， 结合，，则， 知数列是首项为，公比为的等比数列， 故通项公式为，得证； (3) 【分析】（1）将、依次代入列方程求对应项即可； （2）根据已知等量关系，应用作差法得，即，结合等比数列的定义证明即可； （3）由题意 ，应用错位相减法求即可. 【详解】（1）已知对任意正整数，有 当时，， 当时， ，代入，得 ， 所以，； （2）略 （3）已知 ，则 ， 令 ， 用错位相减法：， ， 两式相减得： 所以 所以 ，从而 27．已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得，则， 设数列的前项和为， 则，得证. 【分析】（1）利用化简即可求出；易知为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可； （2）由裂项相消法求出数列的前项和，结合不等式放缩即可得出证明. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则， 因为，所以，因此，是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 因为，所以， 由，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，所以． （2）略 28．记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项； （2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列， ， 设等差数列的公差为，由，得，解得， . （2）由（1）得，故①， 又②， ①②得，化简得， . 29．已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：当时，， 整理得，所以， 所以， 因为，所以， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2) 【分析】(1)通过和的关系表示出后构造的形式并证明其为等比数列. (2)表示出后分类讨论并通过分组求和求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，则，所以， ①当n为偶数时， ； ②当n为奇数时，可得； 综上：． 30．已知数列的前项和为，． (1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)，，， 相减得，即，又， 所以数列是以4为公比的等比数列， 所以． (2) 【分析】（1）利用和的关系结合等比数列的定义即可证明； （2）先求出的导数，再利用错位相减求解即可. 【详解】（1）略 （2），， ， ， ， 相减得 ， 整理得． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等比数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等比数列的定义 知识点2 等比数列的通项公式及其推广 知识点3 等比中项 知识点4 “下标和”性质 知识点5 等比数列的性质拓展 知识点6 等比数列的单调性 知识点7 等比数列的前n项和公式 知识点8 等比数列前n项和公式的函数特征 知识点9 等比数列前n项和的性质 知识点10 证明数列为等比数列的方法 题型破译 (含超链接） 题型1 等比数列的项、公比及通项公式的求解【含方法技巧】 题型2 等比中项的应用（含等差等比混考）【含方法技巧】 题型3 等比数列的性质【含方法技巧】 题型4 等比数列前 n 项和的求解【含方法技巧】 题型5 等比数列前 n 项和的性质【含方法技巧】 题型6 等比数列通项公式与前 n 项和的关系【含方法技巧】 题型7 等比数列的函数特性与最值【含方法技巧】 题型8 等比数列中的单调性问题【含方法技巧】 题型9 等比数列中的数学文化【含方法技巧】 题型10 等比数列的证明【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等比数列的定义与通项公式 — T5（4分） T15（5分） 等比中项与性质 — T5（4分） T15（5分） 等比数列的综合应用 — T5（4分） T15（5分） 考情分析 等比数列是高考的基础内容，北京卷近年直接命题频率较低，多以选择题、填空题形式与其他知识融合考查，分值约4~5分，难度中等偏易至中等。试题或以等比中项为切入点，结合等差数列基本量运算（2025 T5）；或以命题判断形式呈现，考查等比数列性质的理解与逻辑推理（2024 T15）。近三年考情显示，等比数列的考查注重与等差数列的对比及综合应用，强调对定义、性质本质的理解。复习时需掌握等比数列的基本公式与性质，注意与等差数列、集合逻辑等内容的综合应用。 复习目标 1.理解等比数列的定义，掌握等比数列的通项公式 （）。 2.掌握等比数列的前n项和公式 。 3.掌握等比中项的概念及性质（若 成等比数列，则 ，注意 ）。 4.掌握等比数列的常用性质（若 ，则 ）。 5.能利用等比数列的基本量（）进行“知三求二”的运算。 6.能解决等比数列与等差数列、集合逻辑等融合的综合问题，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等比数列的定义 一般地，如果数列从第 项起，每一项与它的前一项之 都等于 ，即 恒成立， 则称数列为等比数列，其中d称为等比数列的 . 自主检测1下列说法正确的有（ ） A．等比数列中的项可以为0 B．等比数列的公比的取值范围是 C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．，，，，成等比数列 自主检测2已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 知识点2 等比数列的通项公式及其推广 1、等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为： 2、通项公式的推广： 或 自主检测1已知等比数列的公比，若，，则公比（     ） A． B． C． D． 自主检测2在等比数列中，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点3 等比中项 1、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的 ，即是与的等比中项成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时， 是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是 的，而若两数有等比中项，则等比中项 . 自主检测1在等比数列中，若，，则（    ） A． B． C． D． 自主检测2已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 知识点4 “下标和”性质 在等比数列中，若，则 ； （1）特别地，时， ； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 自主检测1在等比数列中，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 自主检测2等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点5 等比数列的性质拓展 （1）若是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是 ， ， ． （2）两等比数列合成数列的性质：若数列是项数相同的等比数列，也是 ． （3）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为； （4）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 自主检测1等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 自主检测2在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 知识点6 等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 （1）当 时，数列为递增数列； （2）当 时，数列为递减数列； （3）当 时，数列为常数列： （4）当 时，数列为摆动数列. 自主检测1若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 自主检测2在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点7 等比数列的前n项和公式 已知量 首项，公比与项数 首项，公比与末项 求和公式 自主检测1已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 自主检测2已知等比数列的前项和为，若，，且公比，则（    ） A．8 B．15 C．28 D．31 知识点8 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 (2)当公比时，因为，所以是的 . 温馨提醒：当，所以的结构形式. 自主检测1等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 自主检测2设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 知识点9 等比数列前n项和的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则 ； （2）当时，， ，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为诸奇数项和，为诸偶数项和，则 ； （4）若是公比为q的等比数列，则 （）． 自主检测1已知等比数列的前项和为，，，则（     ） A．120 B．210 C．220 D．850 自主检测2记等比数列的前项和为，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 知识点10 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 自主检测1已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列； (2)设，为数列的前项和，求． 自主检测2数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 题●型●破●译 题型1 等比数列项、公比及通项公式的求解 例1-1（2026·北京西城·一模）在等比数列中，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．256 例1-2（2026·北京东城·二模）已知为等比数列，，.若，则______；若，则的前4项和为_____. 例1-3（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 方法技巧 7.基本量法：等比数列的核心是首项 和公比 （）。已知任意两个独立条件（如两项的值、某几项的关系等），利用通项公式 建立方程组，解出 和 ，即可求出任意项或通项公式。注意 可能有两解（正负），需根据题意取舍。 8.通项公式的变形：若已知第 项 和公比 ，则 ，这一形式可避免每次从头计算 ，特别适用于已知某项和公比求其他项。 9.利用下标关系：若 ，则 （下标和性质）。特别地，若 ，则 。 10.验证：求出 和 后，代回原条件验证。特别注意 的特殊情况（常数列）和 的摆动数列情况。 【变式训练1-1】已知等比数列的公比为q，且，，则（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式训练1-2】已知首项为负数的等比数列的前4项和为5，且，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【变式训练1-3】（2026·北京石景山·二模）等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 【变式训练1-4】已知公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型2 等比中项的应用（含等差等比混考） 例2-1（2026·北京·三模）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2-2（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.等比中项的定义：若 成等比数列，则 称为 与 的等比中项，满足 （ 同号， 可取 ）。 2.三数成等比：若三个数成等比数列，常设为 ，，（公比为 ），或 ，，。前者在三数之积为 时计算更简便。 3.等比中项的符号：等比中项与两端项同号（正负一致）。若 ，则 ；若 ，则 （ 有意义）。若两端项异号，则不存在实数等比中项。 4.等差等比混考的处理策略： 若题目涉及数列 既是等差又是等比，则 必为非零常数列（公差 ，公比 ）； 若题目给出“某三项成等差，某三项成等比”的混合条件，分别利用等差中项 和等比中项 建立方程组求解； 若条件涉及“两个数的等差中项与等比中项”的比较，直接代入定义式转化为方程或不等式求解。 5.判断等比中项的存在性：若 同号，则存在两个等比中项（）；若 ，则等比中项为 ；若 异号，则不存在实数等比中项。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京房山·期末）等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练2-2】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(        ) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2-3】（2025·北京海淀·三模）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（    ） A．51 B．66 C． D．6 题型3 等比数列的性质 例3-1（25-26高三上·北京·期中）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D．1 例3-2在等比数列中，，是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D．或2 方法技巧 1.下标和性质：若 ，则 。特别地，若 ，则 （ 为 与 的等比中项）。 2.间隔相同子数列：从等比数列中抽取下标成等差数列的项，仍构成等比数列。如 仍为等比数列，公比为原公比的 次方 。 3.两项积的转化： 可转化为 ，当 为定值时，积也为定值。 4.通项公式的指数函数特征：，故等比数列的通项是关于 的指数型函数（，）。当 时指数增长，当 时指数衰减，当 时摆动。 5.常见性质补充： 若 、 均为等比数列，则 、（）也为等比数列； 若 为等比数列，则 （，，）为等差数列。 【变式训练3-1】已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 【变式训练3-2】已知等比数列{}的各项均为正数， ，则 （    ） A．​ B．​ C．3 D．9 【变式训练3-3】已知数列为正项等比数列，，则的值为（    ） A．10 B．16 C．15 D．11 题型4 等比数列前n项和的求解 例4-1．（2026·北京门头沟·一模）已知等比数列的前n项和为，且，，则（   ） A．31 B．15 C． D． 例4-2（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 方法技巧 1.求和公式（） ：。选择哪种形式取决于 与 的大小关系，通常用前者（分母为正）。 2. 的特殊情况：当公比 时，数列为常数列 ，。在应用求和公式前，务必先判断 是否等于 ，这是等比数列求和的易错点。 3.已知首项、末项和公比求和：若已知 、、，可利用 （），这一形式避免了先求 再代入的繁琐。 4.知三求一：在 、、、、 五个量中，已知任意三个（至少包含 和 中的一个），可通过方程求解其余量。注意 可能多解。 5.代入验证：求出 后，利用 （）验证是否能还原原数列，确认 和 的正确性。 【变式训练4-1】（2026·北京丰台·二模）已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 【变式训练4-2】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京石景山·期末）若数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型5 等比数列前n项和的性质 例5-1设是等比数列的前项和，若 ， ，则 （     ） A．72 B．18 C．128 D．80 例5-2设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．18 B．26 C．34 D．42 方法技巧 1. 的“片段和”性质：，，， 仍构成等比数列，公比为 （；当 且 为偶数时需特殊讨论）。这一性质是解决等比数列前 项和问题的有力工具。 2. 的表达形式（） ：，即 （其中 ）。特别地，若 ，则 可写成 的形式。 3. 与 的关系：（），且当 时，（）。 4.奇偶项和的关系： 若项数为 （偶数项），则 ； 若项数为 （奇数项），则 ，，且 。 【变式训练5-1】设是各项均不相同的等比数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．16 D．32 【变式训练5-2】已知等比数列的前n项和为，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 题型6 等比数列通项公式与前n项和的关系 例6-1 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 例6-2已知数列的前项和，下列结论正确的是（   ） A．当且仅当时，是等比数列 B．当且仅当时，是等比数列 C．当且仅当时，是等比数列 D．当且仅当时，是等比数列 方法技巧 1.通项公式与前 项和的互求： 已知 求 ：（），再单独验证 ； 已知 求 ：直接用等比数列求和公式。 2.已知 的形式判断等比数列：若数列 的前 项和 （，，），则 为等比数列，公比为 。若 的形式不符合上述结构，则不是等比数列。 3. 与 的混合关系： 若 （ 为常数），利用 消去 ，得 ，整理得 （），从而判断是否为等比数列； 若 与 的关系式较复杂，通过两次作差（ 和 ）构造递推式求解。 4.利用 求 或 ：若已知 的表达式，可直接比较系数求出 和 。如 ，则 ，。 【变式训练6-1】已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知等比数列的前n项和为，若，则______． 【变式训练6-3】是等比数列的前项和，若（），则______． 题型7 等比数列的函数特性与最值 例7-1已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．当 最小时， 例7-2设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号）_____. ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 方法技巧 1.通项公式的指数函数特征：（，）是指数型函数。 当 且 时， 单调递增无最大值； 时单调递减无最小值； 当 且 时， 单调递减，最小值为极限 （不存在），最大值为 ； 时相反。 2.前 项和的函数特征（，） ：，其变化趋势由 和 的符号共同决定，可能有上界或下界但未必能取到最值。 3.求前 项和的最值： 利用 的符号变化：若 ，，则 单调递增且有上界 ，最大值为极限（不能取到），但在有限项中有最大值 （ 越大越接近极限）； 若数列中出现正负交替（）， 可能摆动，需具体分析。 4.有限项和的最值：对于 且项数有限， 随 单调变化（ 增， 增或减取决于 符号），最值在端点或极限处取得。 【变式训练7-1】设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 【变式训练7-2】在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________． 【变式训练7-3】已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 题型8 等比数列中的单调性问题 例8-1（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例8-2（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 1.判断单调性：由首项 和公比 共同决定—— ，：单调递增； ，：单调递减； ，：单调递减； ，：单调递增； ：常数列（不增不减）； ：摆动数列，不具有单调性； ：从第二项起均为 ，不具有单调性。 2.已知单调性求参数范围： 若 单调递增，则 恒成立。当 时需 ；当 时需 。 若 单调递减，则 恒成立。当 时需 ；当 时需 。 3.子数列的单调性：从等比数列中抽取下标成等差数列的项，仍为等比数列，公比为 （ 为下标差）。若 ，则单调性与原数列一致；若 ，则为摆动数列。 【变式训练8-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-2】（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-3】（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型9 等比数列中的数学文化 例9-1（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 例9-2（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象、随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状．古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为．其中且，将满月等分成240份．（且）表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．已知，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在月相数列中，前5项构成公比为等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第4天可见部分占满月的（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.题型特征：题目以古代数学问题、历史名题（如“棋盘上的麦粒”“复利问题”“细胞分裂”“增长率问题”）、古代著作（如《孙子算经》《九章算术》）为背景，将传统文化与等比数列知识融合，考查数学建模能力。 2.解题策略： 仔细阅读：从题干中提取关键的数学信息——问题涉及的量、等比关系、首项、公比、项数、求和还是求某项； 建立模型：将实际问题转化为等比数列模型，确定 、、、、 等核心要素； 列式计算：利用等比数列的通项公式、求和公式或性质求解。 3.常见模型： 复利问题：（ 为增长率），公比 ； 细胞分裂/细菌繁殖：每经过一个周期数量变为原来的 倍； 棋盘麦粒：，求 ； 折半/倍增问题：每天变化为固定比例。 4.答题规范：设未知量、列式、计算、作答。注意实际意义对答案的约束（如人数、个数取整，增长率不能为负等）。若题目涉及文言文，需先准确翻译为现代数学语言再建模。 【变式训练9-1】（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（   ）． A．80 B．96 C．100 D．112 【变式训练9-2】（2026·北京朝阳·二模）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制（自乘）：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿万万兆1亿亿京兆兆，以此类推．若按“上数”进制，记第个大数（第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载）对应的数值为，则___________；若，则正整数的最小值为___________． 题型10 等比数列的证明 例10-1已知数列的首项，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 例10-2已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 方法技巧 1.定义法（最常用） ：证明 （常数，且 ），。这是证明等比数列最直接、最核心的方法。注意需说明 。 2.等比中项法：证明 （）恒成立，且 ，等价于数列为等比数列。 3.通项公式法：证明 的形式，即 是关于 的指数型函数。 4.前 项和法：证明 （，）的形式，则 为等比数列。 5.证明的规范步骤： 明确已知条件和递推关系； 选择适当的证明方法； 进行代数推导，得出结论； 指出公比 的值（若需要）。 6.由递推关系证明等比数列： 若递推式为 （），直接得 ，公比为 ； 若递推式为 ，需先构造 ，转化为等比数列 的形式； 若递推式为 ，取倒数后可能构造等比数列； 若递推式含 ，先用 消去 ，转化为关于 的递推式再证明； 若递推式为 ，令 ，则 为等比数列，再结合 的符号求通项。 7.证明时的易错点： 必须验证 （等比数列的每一项均不为零）； 若利用 证明等比数列，需验证 是否也满足通项公式； 若公比 含参数，需讨论 的特殊情况。 【变式训练10-1】已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【变式训练10-2】已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【变式训练10-3】在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 二、填空题 2．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 3．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________． 4．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 5．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；   ②为等比数列； ③为递减数列；       ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．在等比数列中，，．求和公比q． 2．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 3．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比． 4．设等比数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求该数列的前项和为. 5．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由． （1）数列，其中；     （2）数列，其中． 6．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）（参考数据）？ 7．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？ 8．已知数列是等比数列． （1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？ （2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？ 9．对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 10．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 11．已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 12．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为 ． 13．已知数列的首项，且满足． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 14．已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 15．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？ 16．已知，且．对于，证明：． 17．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 2．若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 3．等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．9 B．18 C．21 D．27 4．记为等比数列的前项和．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ）. A．10 B．9 C．5 D． 6．在等比数列中，若，则（    ） A．3 B． C．9 D．27 7．记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 8．已知等比数列的第二项为9，公比，则（   ） A． B． C． D． 9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有（    ）盏灯. A．1 B．3 C．7 D．192 10．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 11．在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 12．在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 13．已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 14．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 15．已知数列，首项，点是抛物线上一点． (1)求的通项公式； (2)求的前项积． 重难·创新演练16．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 17．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ） A． B． C． D．数列为单调递增数列 18．已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 20．一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，这个数列的公比等于（     ） A． B． C． D． 21．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 22．记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 24．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 25．已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 26．已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 27．已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 28．记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 29．已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 30．已知数列的前项和为，． (1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $