第02讲 等差数列及其前n项和（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦等差数列及其前n项和高考核心考点，涵盖定义、通项公式、前n项和、性质、最值及证明等12个知识点，按“知识解构-题型破译”逻辑构建体系。通过命题透视分析考情，思维建模梳理脉络，知识精讲拆解核心，真题训练强化应用，形成考点梳理、方法归纳、实战突破的系统性复习流程，助力学生构建完整知识网络。 讲义创新采用“题型-方法-素养”三维突破策略，如在等差数列证明题型中，通过定义法、中项法等技巧训练，培养学生逻辑推理能力。设置分层训练题组与真题溯源模块，结合课本典例挖掘高考素材，确保复习针对性与高效性。既帮助学生提升数学运算与逻辑推理素养，又为教师提供精准复习节奏把控方案，实现有限时间内复习效果最大化。

第02讲 等差数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等差数列的定义 知识点2 等差数列通项公式的变形及推广 知识点3 等差中项 知识点4 下标性质 知识点5 等差数列构造新等差数列的性质 知识点6 等差数列通项公式与函数关系 知识点7 等差数列的单调性与图象 知识点8 等差数列的前n项和公式 知识点9 知三求二 知识点10 等差数列前n项和的性质 知识点11 等差数列前n项和的最值 知识点12 证明数列为等差数列的方法 题型破译 (含超链接） 题型1 等差数列的项、公差及通项公式的求解【含方法技巧】 题型2 等差中项的应用【含方法技巧】 题型3 等差数列的性质【含方法技巧】 题型4 等差数列前 n 项和的求解【含方法技巧】 题型5 等差数列前 n 项和的性质【含方法技巧】 题型6 等差数列通项公式与前 n 项和的关系【含方法技巧】 题型7 等差数列通项公式与前 n 项和的最值【含方法技巧】 题型8 等差数列单调性问题【含方法技巧】 题型9 等差数列中的数学文化【含方法技巧】 题型10 等差数列奇偶项的和【含方法技巧】 题型11 等差数列的证明【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等差数列的定义与通项公式 T12（5分） T5（4分） T15（5分） 等差数列的前n项和公式 T12（5分） — — 等差中项与性质 — T5（4分） T15（5分） 等差数列的综合应用 T12（5分） T5（4分） T15（5分） 考情分析 等差数列是高考的基础必考内容，北京卷近年以选择题、填空题形式考查，分值4~5分，难度中等偏易至中等。试题立足基本量运算（首项、公差、通项、前n项和），常与等比数列（2025 T5）、恒成立问题（2026 T12）、集合与逻辑推理（2024 T15）等融合，考查学生对等差数列定义、通项公式、求和公式及性质的熟练程度与灵活运用能力。2026年T12第二空设置开放性问题，2024年T15以命题判断形式呈现，均体现北京卷对思维灵活性与逻辑推理能力的重视。复习时需在确保基本运算准确的基础上，关注等差数列与数列综合问题的融合考查。 复习目标 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式 。 2.掌握等差数列的前n项和公式 。 3.掌握等差中项的概念及等差数列常用性质（若 ，则 ）。 4.能利用等差数列的基本量（）进行“知三求二”的运算。 5.掌握等差数列前n项和的最值讨论方法（利用二次函数性质或通项符号判断）。 6.能解决等差数列与等比数列、方程不等式、集合逻辑等融合的综合问题，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等差数列的定义 一般地，如果数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之 差 都等于 同一个常数d ，即 恒成立， 则称数列为等差数列，其中d称为等差数列的 公差 . 知识点2 等差数列通项公式的变形及推广 （1）， （2） （3） ，且. 自主检测1已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，解得. 自主检测2在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的定义及通项公式求解即得． 【详解】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 知识点3 等差中项 若a，A，b成等差数列，则 是a与b的等差中项，且有 / 或 ，即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数． 自主检测1是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】由，得，， 所以与的等差中项为. 自主检测2在中，设内角，，的对边分别为，，．若，，成等差数列，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，求得，再由正弦定理求得，通过正弦定理判断三角形有解，即可确定选项. 【详解】因为，，成等差数列，故，又，则，解得； 由正弦定理，可得，则，又，则或； 又，且，故三角形有两解，满足题意. 知识点4 下标性质 在等差数列中，若，则 / ．特别地，若，则有． 自主检测1已知数列是等差数列，且，，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【详解】在等差数列中，，， 则，所以. 自主检测2在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可得，即， 故. 知识点5 等差数列构造新等差数列的性质 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为 的等差数列为任一常数） 公差为 的等差数列（为任一常数） 公差为 的等差数列为常数， 公差为 的等差数列为常数） （2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 等差 数列. 自主检测1已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又数列与均为等差数列，所以，解得. 故选：B. 自主检测2已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由等差数列的基本量法求出，再由题意求出后可得. 【详解】由题意可得， 因为在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列， 所以，新数列的公差， 所以， 所以. 故选：B. 知识点6 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 自主检测1已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，设其公差为， 若数列是递减数列，可得； 若，则，所以数列是递减数列； 综上所述：“数列是递减数列”是“”的充分必要条件. 自主检测2已知无穷等差数列的公差为，则“”是“存在无限项满足”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的单调性，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由等差数列的公差为，则数列为递增数列， 所以存在无限项满足成立，即充分性成立； 反之：由等差数列的公差为，在数列为单调数列， 若存在无限项满足成立，则数列为递增数列，则，即必要性成立， 所以“”是“存在无限项满足”充要条件. 故选：C. 知识点7 等差数列的单调性与图象 对于一般的等差数列，其通项公式为，将其中的正整数自变量换成实数自变量，得到，当时，是一次函数（其中一次项系数为等差数列的公差）；当时，（为常数），这两种情形的函数图象都是直线，这就说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数的孤立点 组成． （1）当时，直线从左至右上升，等差数列递增（如图甲）； （2）当时，直线从左至右下降，等差数列递减（如图乙）； （3）当时，为水平方向的直线，数列为常数列（如图丙）． 自主检测1已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 自主检测2已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 知识点8 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 自主检测1设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列公差为， ，解得， ． 自主检测2设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列前项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，已知为等差数列的前项和， 因为，则，化简得，即， 所以，故D正确. 知识点9 知三求二 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以＂ 知三求二 ＂．一般是利用公式列出 基本量和 的方程组，解出 和 ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 自主检测1记为等差数列的前项和，，，则（   ） A．5 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，求出等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列首项，公差， 则，解得， 所以，则. 自主检测2已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和公式，列方程组求出，再根据通项公式求解． 【详解】，即， 解得：，． 知识点10 等差数列前n项和的性质 ①等差数列中依次k项之和，…组成公差为k2d的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n（n∈N*），则， （S奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1（n∈N*），则是数列的中间项），，＝（）. ③为等差数列⇒ 为等差数列. ④两个等差数列，的前n项和之间的关系为 （）. ⑤ 自主检测1已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 【答案】D 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 则，即，所以. 自主检测2设等差数列的前项和分别为，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列前n项和的性质即可求解. 【详解】由等差数列前n项和公式可得, , 所以. 知识点11 等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 最大 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 最小 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 最小 值；当时，有 最大 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 自主检测1已知等差数列的前项和为，，当取得最大值时的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，即可求得，再利用正项数列的项数可判断取得最大值时的值. 【详解】由等差数列可知：， 联立解得：，所以， 由， 即当时，，当时，， 所以当取得最大值时的值为4或5， 故选：B 自主检测2等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 【答案】C 【分析】根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案. 【详解】由题意， 所以．故C正确． 无法判断的正负，故A、B、D错误. 知识点12 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 自主检测1记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 【答案】(1)由题可得，   因为， 所以，   所以数列是公差为3的等差数列． (2) 【分析】（1）由，代入，得到，即可证明； （2）利用等差数列通项公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得 ，则，   当时，，   所以. 自主检测2在正项数列中，. (1)证明：是等差数列． (2)记，数列的前n项和为，证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知得，结合等差数列的定义即可得证； （2）应用裂项相消法求，即可得证. 【详解】（1）由，得， 因为为正项数列，所以，即， 所以是以13为首项，4为公差的等差数列； （2）由（1）可知， ， 则， 所以， 因为，所以，所以. 题●型●破●译 题型1 等差数列的项、公差及通项公式的求解 例1-1（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 【答案】D 【分析】先由的公差推导的隔项递推关系，明确奇数项为公差1的等差数列，再代入计算. 【详解】已知是公差为1的等差数列，故对任意，有 . 由题设，可得，同理. 将代入的表达式，得： ， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为1的等差数列. 属于奇数项，首项，奇数项通项为：对，. 令，解得，所以. 例1-2（2026·北京大兴·三模）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为（    ） A．3.5尺 B．2.5尺 C．1.5尺 D．0.5尺 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和，等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则由题意知，解得， 所以，即小满时节，其日影长为尺. 例1-3已知等差数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析. 【详解】（1）设等差数列的公差为d．因为， 所以解得 所以的通项公式为． （2）由（1）知． 因为， 所以 因为，所以． 方法技巧 1.基本量法：等差数列的核心是首项 和公差 。已知任意两个独立条件（如两项的值、某几项的和等），利用通项公式 建立方程组，解出 和 ，即可求出任意项或通项公式。 2.通项公式的变形：若已知第 项 和公差 ，则 ，这是通项公式的常用变形，可避免每次从头计算 。 3.利用下标关系：若 ，则 （下标和性质）。特别地，若 ，则 。 4.验证：求出 和 后，代回原条件验证，确保无误。 【变式训练1-1】（2026·北京海淀·二模）已知等差数列中，，，则（   ） A．2025 B．2026 C．2048 D．4052 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式列出等式，求得首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由得：； 由代入通项公式展开： ， 整理后消去同类项得：， 将代入，解得， 因此通项公式为： 代入得： . 【变式训练1-2】（25-26高三上·北京通州·期末）设为等差数列的前项和.若，，则（   ） A． B． C．32 D．50 【答案】A 【分析】利用等差数列基本量的运算可得答案. 【详解】由 得：. 由于是等差数列，因此：. 由等差数列通项公式 及得： ，解得：. 于是：. 故选 ：A 【变式训练1-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）在等差数列中，，则的公差为（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为为等差数列，， 即 ， 所以 ， 即， 解得. 故选：A. 【变式训练1-4】（2026·北京房山·一模）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质建立关于的等式，再化简整理即可. 【详解】是公差为的等差数列，所以 则， 所以的公差为. 【变式训练1-5】已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以的通项公式为； （2）因为， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 题型2 等差中项的应用 例2-1（25-26高三上·北京·期中）已知等差数列，，，则等于（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】C 【分析】由等差中项计算得到答案. 【详解】因为数列是等差数列，所以，即. 故选：C. 例2-2已知等比数列的首项为，且构成递增的等差数列，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用等差中项计算出等比数列的公比，再用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为. 由题可得，代入得， 化简得，解得或； 因为等差数列递增， 所以当时，，不满足递增，舍去； 当时，，符合题意，故. 因此. 故选： 例2-3（2026·北京丰台·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列中项性质列方程，结合等比数列通项公式求出公比，再化简代入计算结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知，（）， 因为成等差数列，由等差中项性质可得， 由于，，代入上式得： ， 由于，整理得： 解得或， 又，故舍去，得，则， 将代入得. 方法技巧 1.等差中项的定义：若 成等差数列，则 称为 与 的等差中项，满足 （或 ）。 2.三数成等差：若三个数成等差数列，常设为 ，，，其中 为等差中项， 为公差。这种设法的优势在于三数之和为 ，简化计算。 3.四数成等差：若四个数成等差数列，可设为 ，，，（公差为 ），或设为 ，，，，视题目条件选择。 4.等差中项的判定：若 （）恒成立，则数列 为等差数列。这是证明等差数列的常用方法之一。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知是公比不为1的等比数列，，若，，成等差数列，则（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据条件求出公比q，再运用等比数列通项公式求出 . 【详解】根据题意得 ， ， ,且， 解得， ，； 故选：A. 【变式训练2-2】（2026·北京丰台·二模）已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 【答案】3 【分析】根据等差中项结合前项和定义可得，即可得公比和. 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，则，即， 可得等比数列的公比为， 且，所以. 【变式训练2-3】（25-26高三上·北京密云·阶段检测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为______升． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用等差数列中项性质即可求解. 【详解】由题意竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 且只有，，，，，，共项， 因为，， 所以，又因为，解得. 故答案为：. 题型3 等差数列的性质 例3-1（2026·北京顺义·二模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】数列为等差数列，所以，得 又有，得.所以等差数列的公差， 则. 例3-2（2026·北京朝阳·一模）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】在等差数列中，， 所以. 方法技巧 1.下标和性质：若 ，则 。特别地： 若 ，则 （ 为等差中项）； 若 ，则 。 2.间隔相同子数列：从等差数列中抽取下标成等差数列的项，仍构成等差数列。如 仍为等差数列，公差为原公差的 倍。 3.两项和的转化： 可转化为 和 的表达式，也可转化为 ，当 为定值时，和也为定值。 4.通项公式的线性函数特征：，故等差数列的通项是关于 的一次函数（）或常函数（）。一次项系数即为公差 。 【变式训练3-1】（2026·北京海淀·一模）已知等差数列，，，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．18 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，解得. 【变式训练3-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．27 B．18 C．6 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求得，根据均值不等式，求得当时，取得最小值，从而可得答案． 【详解】在等差数列中，设公差为， 由得 根据基本不等式，有， 当且仅当即，即时， 取得最小值， 故． 故选：D 【变式训练3-3】（2026·北京·三模）已知数列，都是等差数列，，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【分析】利用两个等差数列的和仍为等差数列的性质，结合等差数列通项公式计算所求值. 【详解】因为、均为等差数列，根据等差数列的性质，可得数列也为等差数列， 设其公差为，， 由题意可知，该数列首项，第三项， 根据等差数列通项公式有 ， 即，解得， 因此. 题型4 等差数列前n项和的求解 例4-1（2026·北京顺义·一模）已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（   ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的性质列式求首项和公差，再代入求和公式. 【详解】设等差数列的公差为，，即， 由，，成等比数列，得，即， 得，所以. 例4-2（25-26高三上·北京·阶段检测）设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程组求出，再结合等差数列的前项和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以，， 解得， 则数列的前9项和为. 故选：C 方法技巧 1.求和公式： 基本形式：（已知首项和末项）； 变形形式：（已知首项和公差）。 2.灵活选取公式： 若题目给出了 和 ，优先使用 ； 若题目给出了 和 ，优先使用 ； 若题目给出了 和 ，可通过 转化为前两种形式。 3.倒序相加法：等差数列求和公式的本质推导方法，在证明题或抽象函数求和中可能用到。 4.代入验证：求出 后，利用 （）验证是否能还原原数列。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式求出公差，进而求出其前5项和. 【详解】设等差数列 的公差为，由，得， 解得，因此， 所以. 故选：A 【变式训练4-2】（25-26高三上·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．6 B．18 C．36 D．42 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式求出，再利用前项和公式求出. 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，解得， 所以. 故选：C 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知为等差数列，，．若数列满足，记的前n项和为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求出的通项公式，再根据递推关系求出的通项公式，进而求出，最后计算求出． 【详解】为等差数列，，设公差为， ， ，解得， ， ， ，即是首项，公差是的等差数列， ，， ，故C正确． 故选：C． 题型5 等差数列前n项和的性质 例5-1已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 例5-2设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 例5-3已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 又，所以， 所以． 方法技巧 1. 的二次函数特征：，当 时， 是关于 的二次函数（无常数项）。这一性质常用于求 的最值。 2.下标和性质（和版） ：若 ，则 与 无直接关系，但 。若涉及 的下标和，需转化为对应项的和来处理。 3. 的“片段和”性质：，，， 仍构成等差数列，公差为 。这是等差数列前 项和的重要性质。 4.奇偶项和的关系： 若项数为 （偶数项），则 ，； 若项数为 （奇数项），则 （中间项），。 【变式训练5-1】在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由题意可得是以-10为首项，1为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】在等差数列中，，其前项和为，则是首项为-10的等差数列， 设其公差为，因为，所以 ， 所以 ， ， 即. 【变式训练5-2】已知为公差不为零的等差数列的前n项和，若，且，则（   ） A．4 B．5 C．10 D．11 【答案】A 【详解】因为，所以，即 所以. 又因为， 所以. 对于A，，故选A. 对于B，，因为，所以，错误. 对于C， ，因为，所以，错误. 对于D，，因为，所以，错误. 【变式训练5-3】设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 题型6 等差数列通项公式与前n项和的关系 例6-1设是数列的前项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系推出数列为等差数列，结合等差数列通项公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，即. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 例6-2已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为____________． 【答案】 【分析】利用等差数列的定义以及的关系即可得出结论. 【详解】由知， 当时，； 当时，， 此时，当时，， 当时，，而， 若数列是等差数列，则， 所以，则. 故答案为：. 例6-3正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知写出的表达式，与作差可得到与的关系，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可求出的通项公式，再由与的关系求出的通项公式，代入得，利用裂项相消即可求解. 【详解】（1）证明：当时，，解得， 当时， ， 与作差可得：， 数列是正项数列，， ，即， ，即， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， ，， ， 则. 方法技巧 1.通项公式表示法：（），这一关系适用于所有数列，是连接 与 的桥梁。 2.已知 求 ： 先求 （）； 计算 ，化简得通项； 单独验证 是否满足上式，若不满足则写成分段形式。 3.已知 求 ：直接利用等差数列求和公式。 4.已知 与 的混合关系： 利用 消去 ，得关于 的递推关系； 利用 消去 ，得关于 的递推关系。 5. 的表达式判断等差数列：若数列 的前 项和 （ 为常数），则 为等差数列，公差为 ，首项为 。若 还有常数项 且 ，则数列从第二项起成等差数列。 【变式训练6-1】设为数列的前项和，若，则________． 【答案】 【分析】根据与的关系，结合等比数列的定义求解即可. 【详解】当时，，解得． 当时，，作差得，整理得． 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． 又符合上式，故． 【变式训练6-2】已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________. 【答案】n 【分析】先利用累乘法将的通项公式求出，再利用与的关系，求出的通项公式即可. 【详解】解：∵，∴ 当时，， 当时，成立， ∴， 当时，， 当时，满足上式， ∴. 故答案为：n 【变式训练6-3】数列满足，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是，的等比中项，且. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，. (2) 【分析】令，数列的前项和为，则，利用 与的关系即可求解.对于数列，利用基本量建立方程组，即可求解. （2）利用裂项相消法求出，由，得，所以，解不等式即可求解. 【详解】（1）令，得. ①， ②， 由①-②得， 即. 经检验，也成立，故数列的通项公式为， 设等差数列的公差为. 因为4是，的等比中项，所以，即. 由，得，即. 由，得或， 当时，，舍去； 当时，，，. （2）. 则 . 因为，所以，. 若恒成立，则，解得或. 所以实数的取值范围为 题型7 等差数列通项公式与前n项和的最值 例7-1（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以当或时，的值最大，最大值为. 例7-2（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(        ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出前项和，再利用配方法能求出当取最小值时，的值． 【详解】设数列的公差为，则，，， 因为，，成等比数列， 所以，即，化简得， 解得或， 因为数列为递增的等差数列，所以， 故舍去，， 所以 开口向上，对称轴为直线，由于为正整数，且离更近， 所以当时，取得最小值。 故选：B 例7-3（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“存在最小值”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，利用充分条件、必要条件的概念判断两命题间的逻辑推理关系，即可判断. 【详解】当且时，存在最小值，当且时，存在最小值， 故“”能推出“存在最小值”， 当且时，存在最小值为 ， 所以“存在最小值”不能推出“”， 所以“”是“存在最小值”的充分不必要条件. 故选：A 方法技巧 1.通项公式的最值：等差数列通项 。 若 ，数列单调递增，最小值为 ，无最大值； 若 ，数列单调递减，最大值为 ，无最小值； 若 ，为常数列，所有项相等。 2.前 项和的最值：。 配方法：将 配方成关于 的二次函数，利用二次函数的最值求法（注意 ）； 邻项变号法：利用 的符号变化若 ，当 且 时， 取最小值；若 ，当 且 时， 取最大值。 3.正负项分界法：先求 的临界 值，判断前多少项为正（或负），正项和的最大值出现在最后一个正项处，负项和的最小值出现在最后一个负项处。 4.注意 为正整数：二次函数的对称轴可能不是整数，需比较对称轴两侧最近整数对应的 值。 【变式训练7-1】首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（   ） A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式以及等差数列的性质逐一计算判断即可. 【详解】因为首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为， 设首项为则，公差为，则. ①因为，所以，所以. 所以，，①正确； ②因为，所以，化简得， 所以，所以. 解得，所以使的最大的n为15，②正确； ③因为，所以. 所以，所以，则中最大，③错误； ④因为，所以， 当时，由可知；当时，有，故恒成立，④正确. 故选：C. 【变式训练7-2】（2025·北京丰台·一模）已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定两者之间的条件关系. 【详解】若，这意味着是数列中的最大值. 因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线. 当是最大值时，说明从第项开始数列的项变为非正数，即，且（若，那么，与是最大值矛盾）. 所以由“”可以推出“”，充分性成立. 若，仅知道第项是非负的，但无法确定就是的最大值. 例如，当公差时，数列是递增数列，那么会随着的增大而增大，此时就不是最大值，即不能推出，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练7-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 【答案】(1) (2)时，取最小值为 (3) 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值； （3）对数列的前n项和使用分组求和. 【详解】（1）因为为等差数列的前n项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为． （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为． （3） . 题型8 等差数列单调性问题 例8-1已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 例8-2设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意判断两个条件都等价于，进而判断答案即可. 【详解】设等差数列的公差为， 若对，，即， 若，则，即为单调递增数列， 又因为，所以， 所以，即， 所以“对，”是“”的充要条件. 故选：C 方法技巧 1.判断单调性：由公差 决定 ：数列单调递增（）； ：数列单调递减（）； ：数列为常数列（不增不减）。 2.已知单调性求参数范围：若数列 单调递增，则 恒成立；单调递减则 恒成立。将通项代入后转化为关于参数的不等式恒成立问题，利用分离参数法求解。 3.单调性在比较大小中的应用：递增数列中，；递减数列中，。 4.子数列的单调性：从等差数列中抽取下标成等差数列的项，其单调性与原数列一致（若原数列递增，则子数列也递增；递减同理）。 【变式训练8-1】已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【变式训练8-2】设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 【变式训练8-3】已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ） A． B． C． D．与均为的最小值 【答案】C 【分析】对于A选项，根据得到判断；对于C选项，根据得到判断；对于D选项，根据得到，结合判断； 对于B选项，根据，，得到时，判断. 【详解】对于A选项，由可得，A选项正确； 对于C选项，由可得，∴，C选项错误； 对于D选项，由可得，且，，， 所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确； 对于B选项，∵，，当时，， 所以，，B选项正确． 故选：C． 【变式训练8-4】在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（    ） A．数列为递增数列 B． C．数列的前项和最小 D． 【答案】C 【分析】推导出，，可判断BD选项；利用等差数列的单调性可判断A选项；分析可知，当且时，；当且时，，可判断C选项. 【详解】设等差数列的公差为， 对于A选项，，可得， ，可得，所以，， 所以，，所以，数列为递增数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，，B对； 对于D选项，由A选项可知，，D对； 对于C选项，因为数列为递增数列， 当且时，；当且时，， 所以，数列的前项和最小，C错. 故选：C. 题型9 等差数列中的数学文化 例9-1（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【详解】设由前3项构成的等差数列的公差为，后7项构成的等比数列的公比为， 则，，两式相除得，解得或（舍去）， ，故， 又，， . 例9-2（2026·北京丰台·三模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购 16 箱，往后每一年都比上一年多采购 3 箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价 4 元，价格每年变为原来的 3 倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满 4 年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______ 【答案】 【分析】先分别计算前年采购组件的总箱数和第年末的组件单价，二者相乘得到总货款，代入即可得满年的结算款. 【详解】设第年采购的组件箱数为， 由题意是首项、公差的等差数列， 则， 前年总采购箱数为的前项和： ， 设第年组件单价为，由题意是首项、公比的等比数列， 第年末的单价为： ， 计算满年的总货款： 代入，得， ，故总货款； 计算年末总货款： 根据题意总货款为总箱数乘以第年末单价， 即. 方法技巧 1.题型特征：题目以古代数学名著、历史文献、经典趣题（如《九章算术》、裴波那契前的等差数列应用、垛积术等）为背景，将传统文化与等差数列知识融合，考查阅读理解和数学建模能力。 2.解题策略： 仔细阅读：从题干中提取关键的数学信息问题涉及的量、等差关系、已知项或和、求解目标； 建立模型：将实际问题转化为等差数列模型，确定 、、、、 等核心要素，明确哪些是已知、哪些是未知； 列式计算：利用等差数列的通项公式、求和公式或性质求解。 3.常见模型： 堆垛问题：如“三角垛”“方垛”，每层数量成等差数列，求总数； 按天/按月计酬：每日（月）收入成等差数列； 古代度量衡换算：将古代单位与现代数学术语对应。 4.答题规范：设未知量、列式、计算、作答。若题目涉及诗词或文言文，需先准确翻译为现代数学语言。 【变式训练9-1】（2026·北京·模拟预测）玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示．某学生用技术打印了个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为的等比数列．若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则最矮的玉琮内圆柱形孔洞的体积为________，这个玉琮模型的高度和为________．    【答案】 【分析】直接由等比数列的第五项及公比计算第一项可得第一空，再根据等差数列的第一项及第五项求前项和可得第二空. 【详解】设个玉琮的圆柱形孔洞体积为，高度为，孔洞半径为（对应最矮，对应最高）， 由题知是公比的等比数列，因此. 最高玉琮孔洞半径，高，因此： . 代入，得，即最矮孔洞体积为. 由题知是等差数列. 对最矮玉琮孔洞，由上分析知，， 由圆柱体积公式得： ，解得. 所以等差数列中，，， 所以数列前项和， 即个玉琮高度和为. 【变式训练9-2】（2026·北京西城·一模）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 【答案】 6.6 3.5 【分析】根据等差数列的定义，结合已知条件求解即可. 【详解】因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以. 因为对任意，，所以，所以. 因为是公差为的等差数列，所以，. 又，所以，同理， 因为都是公差为的等差数列，所以. 又，所以. 综上，，. 题型10 等差数列奇偶项的和 例10-1已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 例10-2在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 方法技巧 1.项数为偶数 ： （ 项），（ 项）； ； （利用 或直接由公式推导）。 2.项数为奇数 ： （ 项），（ 项）； （中间项）； ； （用中间项表示前 项和）。 3.解题策略：先判断项数的奇偶，再选择对应的性质和公式，结合题目条件建立方程求解。 【变式训练10-1】已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列. 奇数项和为    ① 偶数项和为    ② 因为， 所以，解得. 所以，即等差数列的项数为21. 故选：A. 【变式训练10-2】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 题型11 等差数列的证明 例11-1已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和与第n项的关系及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则，依题意，因此， 所以数列是等差数列. （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 则， 因此， 两式相减得 所以． 例11-2已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，两式相减即可求解； （2）由（1）得到的表达式，分别讨论为奇数和偶数的情况即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 方法技巧 1.定义法（最常用） ：证明 （常数），。这是证明等差数列最直接、最核心的方法。 2.等差中项法：证明 （）恒成立，等价于数列为等差数列。 3.通项公式法：证明 （ 为常数）的形式，即 是关于 的一次函数。 4.前 项和法：证明 （ 为常数），即 是关于 的二次函数（无常数项）。 5.证明的规范步骤： 明确已知条件和递推关系； 选择适当的证明方法； 进行代数推导，得出结论； 指出公差 的值（若需要）。 6.由递推关系证明等差数列： 若递推式为 ，需先变形再证明； 若递推式含 ，先用 消去 ，转化为关于 的递推式再证明； 若递推式含 、 的复杂形式，需通过代数变形（如取倒数、配凑、同除以某式等）化简为标准形式。 【变式训练11-1】已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) 由题意得（否则不满足题设条件），故，    因此， 故数列是等差数列. (2) 【分析】(1)结合化简即可证明结论； (2)由（1）得 ，代入可得，利用错位相减即可得到数列的前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得故 ， 两式相减得， 所以. 【变式训练11-2】在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) 由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． (2) 由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练11-3】已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【答案】(1) 数列满足，， 设，则， 有， 所以 ， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列； (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，根据等差数列前项和公式计算求解； （3）结合（2）利用通项列举出两个数列相同的项，即可计算求解数列的前20项中余下项的和. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以； （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 3．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A．64 B．96 C．128 D．160 【答案】C 【分析】设等差数列公差为，求得，得到，结合党旗长与宽之比都相等和，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为， 因为，，可得， 可得， 又由长与宽之比都相等，且，可得，所以. 故选：C. 二、填空题 4．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 5．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【答案】 48 384 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知在等差数列中，，．求． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列中， ， 2．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 【答案】72 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 则. 3．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 【答案】，， 【详解】解：在和之间插入3个数，使这5个数成等差数列， ，解得， ， ， ， 插入的这3个数为，，． 4．若，都是等差数列，且，则数列的前100项和为 A．6000 B．600 C．5050 D．60000 【答案】A 【详解】试题分析：因为数列都是等差数列，且，数列的前项和为，故选A． 考点：数列的求和． 5．画出数列，的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 【答案】 【详解】由题知，数列是一个等差数列， 其首项为，公差为，则，可得图象如下：    因此，通过图象上所有点的直线的斜率为. 6．已知数列的前项和为，则这个数列的通项公式为 【答案】 【详解】（1）当n＝1时，1＝S1＝， （2）当n≥2时，n＝Sn﹣Sn﹣1＝ 经检验，1＝，不满足上式． 所以这个数列的通项公式 ． 【点睛】本题考查利用公式法求数列的通项公式知识，注意验证n＝1的情况，属于基础题． 7．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 【答案】1472 【详解】有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200， 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项. 共有个，也是等差数列， 它们的和为， 这个新数列的各项之和为1472 8．已知是等差数列的前n项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）若的公差为，则， 所以，则， 故， 即是首项为，公差为的等差数列，得证； （2）由题设，则数列的公差， 所以，则. 9．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 【答案】存在最小值， 【详解】由已知可知等差数列的首项，公差 则数列的通项公式为 令，即，又，且 即数列的前9项都是负数，第10项为正数， 故当时，存在最小值. 10．（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当，，解得：， 当和时，， 所以取得最小值时，. 11．已知数列是等差数列，其前项和为. (1)若，求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）把代入， 得，整理得， 解得，或（舍去）. 所以. （2）法1（运用性质） 易知， ， 因为，所以，所以. 法2（运用通项公式及求和公式） 因为，所以， 即，因此， 所以， 由题意知，所以， 解得. 12．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 【答案】（1）数列是等差数列，证明见解析；（2）. 【详解】（1）数列是等差数列， 证明：因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以， 又因为， 故 ， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知：数列是以为首项，为公差的等差数列， 而，， 所以. 13．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． （1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ （2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 【答案】（1）小时； （2） . 【详解】（1）第一辆车出发事件为14时，每辆车的间隔时间为，即为小时， 则第15辆车在小时后，最后一辆车出发的时间为， 所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟. （2）设每辆车行驶的时间构成数列， 由题意可得构成首项为，公差为的等差数列， 则15辆车行驶的时间的和为小时， 所以行驶的总里程为. 14．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 【答案】（1）是等差数列，首项为，公差为；（2）是等差数列，首项为首项为，公差为；（3）是等差数列，首项为，公差为；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列． （1）写出数列的一个递推公式； （2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ，， ； 所以数列的一个递推公式为； （2）由题意，， 故， 所以数列的一个通项公式为. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．在前项和为的等差数列中，，，则（  ） A．5 B．15 C．45 D．90 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项与求和公式的基本量运算求出首项与公差，再计算即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得①， 由，得，化简得， 将代入①，得，故. 故选：C 2．已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（   ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于与是方程的两根，故， 即，得， 因此， 故选：D 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可. 方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可. 【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知： 在等差数列中，，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以， 解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为， 由等差数列前项和公式可知： ，， 联立解得，， 所以. 故选：B. 4．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．54 B．90 C．84 D．100 【答案】D 【分析】设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，解得， 则. 故选：D. 5．在数列中，对任意的，，都有，且，则（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【分析】根据已知递推关系式可得数列为等差数列，从而根据等差数列求解通项公式，从而可得的值. 【详解】因为，，令，所以， 所以，所以为等差数列，首项和公差均为1， 所以， 所以． 故选：D． 6．已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．20 B．55 C．110 D．220 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质与求和公式计算即可. 【详解】因为是等差数列，，所以, 则． 故选：C． 7．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．2 C．9 D．21 【答案】B 【分析】法一：利用等差数列的基本量，将其转化为的关系求解即可； 法二：利用等差数列的性质求解即可. 【详解】法一：利用等差数列的基本量运算 由，即， 又. 法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，， 由，所以 .故选：B. 8．已知为等差数列，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为为等差数列，可设其首项为，公差为，将都用和表示，逐项判断，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以可设其首项为，公差为， 对于A，, 不一定相等，即不一定成立； 对于B，， 故； 对于C，， 不一定相等，即不一定成立； 对于D，， 不一定相等，故不一定成立. 故选：B． 9．已知等差数列首项为，公差，则其前6项和_______． 【答案】36 【分析】根据条件及通项公式，可求得，代入求和公式，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 故答案为：36 10．设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 【答案】2 【分析】设出基本量，根据已知条件列方程组即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 即，解得. 故答案为：2. 11．已知是等差数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)n为何值时，取得最大值并求其最大值. 【答案】(1) (2)，取得最大值56 【分析】（1）根据与关系求解； （2）法一，利用二次函数求最值；法二，由项的符号求最值. 【详解】（1）由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式； （2）法一：， 由二次函数图象及知或时，取得最大值56. 法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，有最大值. 12．已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的前项和计算，再利用等差数列的通项公式求通项； （2）利用裂项相消求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 又，则， 则数列的通项公式为； （2）， 则 重难·创新演练 13．等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先由数列各项都为正数，得，再由等差数列中任意两项的关系及基本不等式可得. 【详解】因等差数列中，，设公差为，则，， 因各项都为正数，所以，， 得，当，所以. . 当且仅当，符合各项为正数. 故选：D. 14．已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的定义验证充分性与必要性即可得结论. 【详解】已知为非常数数列， 若为等比数列，设公比为，则，且，即， ，因为常数，故为等差数列； 又若为等差数列，设公差为，则，且， ，即，为常数，所以为等比数列； 故“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C. 15．已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 16．已知等差数列的前项和为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，再解不等式即可. 【详解】因为， 看作关于的二次函数，其图象是过原点的抛物线。 由可知，该抛物线开口向下，所以公差。 又，若，结合可知，与矛盾，故 所以 所以， 所以的取值范围是， 故选：A. 17．已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】B 【分析】由，得到，继而推出，再结合，得到，，再结合求和公式即可判断. 【详解】由，，得，则，所以， 由和得， 结合， ， 故使得的的最小值为4049. 故选：B 18．在等差数列中，，，，成公比不为1的等比数列，是的前n项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列公差为，由题设可得，. 设由题设可得，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】设等差数列公差为，因成等比数列. 则， 因公比不为1，则，. ，. 设其中为正整数，则， 则为2的倍数，即可为， 从而，，依此类推可得. 注意到， 则.. 故选：C 19．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】ABC 【详解】]由，均为等差数列， 得， 所以当时，为整数，即当时，为整数． 20．已知数列满足：且，求证：为等差数列． 【答案】设，则代入可得 ， 则为等差数列，即为等差数列． 【详解】略 21．已知数列是公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设表示不大于x的最大整数，求数列的前100项和； (3)设，数列的前n项和为，证明：且. 【答案】(1) (2) (3) ， ， ， ，即证. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，即可求解； （2）根据数列的通项公式，确定，再根据等差数列求和公式，即可求解； （3）首先求数列的通项公式，写出和，利用相邻项正负相消法求和. 【详解】（1）由条件可知，， 所以数列是公差为2，首项为3的等差数列， 则， 所以； （2）因为，所以，所以， 所以数列的前100项和为； （3）略 22．已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 【答案】(1) 由，两边取倒数，可得， 即有数列是首项，公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，可得，故. (2) 由， 可得 【分析】（1）两边同取倒数即可得，再根据等差数列的定义与通项公式即可得到答案； （2）裂项得，再求和即可. 【详解】（1）略 （2）略 23．已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． (2) 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； （2）由第（1）问是等比数列，是等差数列可以解出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出前项和. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， 所以． ① ② ①②得 ， 所以． 24．数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值 【答案】(1)设数列，则 ， 由，得， 所以， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； (2). 【分析】（1）根据已知得，再应用作差法及等差数列的定义证明； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求，根据不等式能成立求参数值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以， 因此，解得，所以满足题意的最小正整数. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 等差数列及其前n项和 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 等差数列的定义 知识点2 等差数列通项公式的变形及推广 知识点3 等差中项 知识点4 下标性质 知识点5 等差数列构造新等差数列的性质 知识点6 等差数列通项公式与函数关系 知识点7 等差数列的单调性与图象 知识点8 等差数列的前n项和公式 知识点9 知三求二 知识点10 等差数列前n项和的性质 知识点11 等差数列前n项和的最值 知识点12 证明数列为等差数列的方法 题型破译 (含超链接） 题型1 等差数列的项、公差及通项公式的求解【含方法技巧】 题型2 等差中项的应用【含方法技巧】 题型3 等差数列的性质【含方法技巧】 题型4 等差数列前 n 项和的求解【含方法技巧】 题型5 等差数列前 n 项和的性质【含方法技巧】 题型6 等差数列通项公式与前 n 项和的关系【含方法技巧】 题型7 等差数列通项公式与前 n 项和的最值【含方法技巧】 题型8 等差数列单调性问题【含方法技巧】 题型9 等差数列中的数学文化【含方法技巧】 题型10 等差数列奇偶项的和【含方法技巧】 题型11 等差数列的证明【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等差数列的定义与通项公式 T12（5分） T5（4分） T15（5分） 等差数列的前n项和公式 T12（5分） — — 等差中项与性质 — T5（4分） T15（5分） 等差数列的综合应用 T12（5分） T5（4分） T15（5分） 考情分析 等差数列是高考的基础必考内容，北京卷近年以选择题、填空题形式考查，分值4~5分，难度中等偏易至中等。试题立足基本量运算（首项、公差、通项、前n项和），常与等比数列（2025 T5）、恒成立问题（2026 T12）、集合与逻辑推理（2024 T15）等融合，考查学生对等差数列定义、通项公式、求和公式及性质的熟练程度与灵活运用能力。2026年T12第二空设置开放性问题，2024年T15以命题判断形式呈现，均体现北京卷对思维灵活性与逻辑推理能力的重视。复习时需在确保基本运算准确的基础上，关注等差数列与数列综合问题的融合考查。 复习目标 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式 。 2.掌握等差数列的前n项和公式 。 3.掌握等差中项的概念及等差数列常用性质（若 ，则 ）。 4.能利用等差数列的基本量（）进行“知三求二”的运算。 5.掌握等差数列前n项和的最值讨论方法（利用二次函数性质或通项符号判断）。 6.能解决等差数列与等比数列、方程不等式、集合逻辑等融合的综合问题，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 等差数列的定义 一般地，如果数列从第 项起，每一项与它的前一项之 都等于 ，即 恒成立， 则称数列为等差数列，其中d称为等差数列的 . 知识点2 等差数列通项公式的变形及推广 （1）， （2） （3） ，且. 自主检测1已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 自主检测2在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 等差中项 若a，A，b成等差数列，则 是a与b的等差中项，且有 或 ，即如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数． 自主检测1是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 自主检测2在中，设内角，，的对边分别为，，．若，，成等差数列，且，，则（   ） A． B． C．或 D．或 知识点4 下标性质 在等差数列中，若，则 ．特别地，若，则有． 自主检测1已知数列是等差数列，且，，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 自主检测2在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 知识点5 等差数列构造新等差数列的性质 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为 的等差数列为任一常数） 公差为 的等差数列（为任一常数） 公差为 的等差数列为常数， 公差为 的等差数列为常数） （2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 数列. 自主检测1已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 自主检测2已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 知识点6 等差数列通项公式与函数关系 令，，等差数列为一次函数 自主检测1已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 自主检测2已知无穷等差数列的公差为，则“”是“存在无限项满足”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点7 等差数列的单调性与图象 对于一般的等差数列，其通项公式为，将其中的正整数自变量换成实数自变量，得到，当时，是一次函数（其中一次项系数为等差数列的公差）；当时，（为常数），这两种情形的函数图象都是直线，这就说明，当用直角坐标系中的点来表示等差数列时，所有的点一定在一条直线上，且等差数列的图象由该直线上横坐标为正整数的孤立点 组成． （1）当时，直线从左至右上升，等差数列递增（如图甲）； （2）当时，直线从左至右下降，等差数列递减（如图乙）； （3）当时，为水平方向的直线，数列为常数列（如图丙）． 自主检测1已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 自主检测2已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 知识点8 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 自主检测1设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 自主检测2设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 知识点9 知三求二 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以＂ ＂．一般是利用公式列出 的方程组，解出 ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 自主检测1记为等差数列的前项和，，，则（   ） A．5 B．4 C．6 D．7 自主检测2已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 知识点10 等差数列前n项和的性质 ①等差数列中依次k项之和，…组成公差为k2d的等差数列. ②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n（n∈N*），则， （S奇≠0）；若等差数列的项数为2n－1（n∈N*），则是数列的中间项），，＝（）. ③为等差数列⇒ 为等差数列. ④两个等差数列，的前n项和之间的关系为 （）. ⑤ 自主检测1已知数列为等差数列，为其前项和，且，则（    ） A．200 B．400 C．320 D．160 自主检测2设等差数列的前项和分别为，若，则（     ） A． B． C． D． 知识点11 等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中， 当时，有 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 值；当时，有 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 自主检测1已知等差数列的前项和为，，当取得最大值时的值为（    ） A．4 B．4或5 C．5 D．5或6 自主检测2等差数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D．均为的最大值 知识点12 证明数列为等差数列的方法 （1）（为常数）为等差数列 （2）通项公式：（一次函数），前项和：（无常数项的二次函数） （3）若，则，，三个数成等差数列 自主检测1记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 自主检测2在正项数列中，. (1)证明：是等差数列． (2)记，数列的前n项和为，证明： 题●型●破●译 题型1 等差数列的项、公差及通项公式的求解 例1-1（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 例1-2（2026·北京大兴·三模）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为（    ） A．3.5尺 B．2.5尺 C．1.5尺 D．0.5尺 例1-3已知等差数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和，并证明． 方法技巧 1.基本量法：等差数列的核心是首项 和公差 。已知任意两个独立条件（如两项的值、某几项的和等），利用通项公式 建立方程组，解出 和 ，即可求出任意项或通项公式。 2.通项公式的变形：若已知第 项 和公差 ，则 ，这是通项公式的常用变形，可避免每次从头计算 。 3.利用下标关系：若 ，则 （下标和性质）。特别地，若 ，则 。 4.验证：求出 和 后，代回原条件验证，确保无误。 【变式训练1-1】（2026·北京海淀·二模）已知等差数列中，，，则（   ） A．2025 B．2026 C．2048 D．4052 【变式训练1-2】（25-26高三上·北京通州·期末）设为等差数列的前项和.若，，则（   ） A． B． C．32 D．50 【变式训练1-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）在等差数列中，，则的公差为（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【变式训练1-4】（2026·北京房山·一模）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型2 等差中项的应用 例2-1（25-26高三上·北京·期中）已知等差数列，，，则等于（   ） A． B．0 C．2 D．5 例2-2已知等比数列的首项为，且构成递增的等差数列，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 例2-3（2026·北京丰台·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 方法技巧 1.等差中项的定义：若 成等差数列，则 称为 与 的等差中项，满足 （或 ）。 2.三数成等差：若三个数成等差数列，常设为 ，，，其中 为等差中项， 为公差。这种设法的优势在于三数之和为 ，简化计算。 3.四数成等差：若四个数成等差数列，可设为 ，，，（公差为 ），或设为 ，，，，视题目条件选择。 4.等差中项的判定：若 （）恒成立，则数列 为等差数列。这是证明等差数列的常用方法之一。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知是公比不为1的等比数列，，若，，成等差数列，则（    ） A． B． C．8 D．16 【变式训练2-2】（2026·北京丰台·二模）已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 【变式训练2-3】（25-26高三上·北京密云·阶段检测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为______升． 题型3 等差数列的性质 例3-1（2026·北京顺义·二模）已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例3-2（2026·北京朝阳·一模）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 方法技巧 1.下标和性质：若 ，则 。特别地： 若 ，则 （ 为等差中项）； 若 ，则 。 2.间隔相同子数列：从等差数列中抽取下标成等差数列的项，仍构成等差数列。如 仍为等差数列，公差为原公差的 倍。 3.两项和的转化： 可转化为 和 的表达式，也可转化为 ，当 为定值时，和也为定值。 4.通项公式的线性函数特征：，故等差数列的通项是关于 的一次函数（）或常函数（）。一次项系数即为公差 。 【变式训练3-1】（2026·北京海淀·一模）已知等差数列，，，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．18 【变式训练3-2】（25-26高三上·北京·阶段检测）在等差数列中，，当取得最小值时，（    ） A．27 B．18 C．6 D．3 【变式训练3-3】（2026·北京·三模）已知数列，都是等差数列，，，则（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 题型4 等差数列前n项和的求解 例4-1（2026·北京顺义·一模）已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（   ） A．28 B．42 C．56 D．112 例4-2（25-26高三上·北京·阶段检测）设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 方法技巧 1.求和公式： 基本形式：（已知首项和末项）； 变形形式：（已知首项和公差）。 2.灵活选取公式： 若题目给出了 和 ，优先使用 ； 若题目给出了 和 ，优先使用 ； 若题目给出了 和 ，可通过 转化为前两种形式。 3.倒序相加法：等差数列求和公式的本质推导方法，在证明题或抽象函数求和中可能用到。 4.代入验证：求出 后，利用 （）验证是否能还原原数列。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 【变式训练4-2】（25-26高三上·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．6 B．18 C．36 D．42 【变式训练4-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知为等差数列，，．若数列满足，记的前n项和为，则（    ）． A． B． C． D． 题型5 等差数列前n项和的性质 例5-1已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 例5-2设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 例5-3已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 方法技巧 1. 的二次函数特征：，当 时， 是关于 的二次函数（无常数项）。这一性质常用于求 的最值。 2.下标和性质（和版） ：若 ，则 与 无直接关系，但 。若涉及 的下标和，需转化为对应项的和来处理。 3. 的“片段和”性质：，，， 仍构成等差数列，公差为 。这是等差数列前 项和的重要性质。 4.奇偶项和的关系： 若项数为 （偶数项），则 ，； 若项数为 （奇数项），则 （中间项），。 【变式训练5-1】在等差数列中，，其前项和为，若，则（   ） A．-24 B．-12 C．12 D．24 【变式训练5-2】已知为公差不为零的等差数列的前n项和，若，且，则（   ） A．4 B．5 C．10 D．11 【变式训练5-3】设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 题型6 等差数列通项公式与前n项和的关系 例6-1设是数列的前项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 例6-2已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为____________． 例6-3正项数列的前项和，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 方法技巧 1.通项公式表示法：（），这一关系适用于所有数列，是连接 与 的桥梁。 2.已知 求 ： 先求 （）； 计算 ，化简得通项； 单独验证 是否满足上式，若不满足则写成分段形式。 3.已知 求 ：直接利用等差数列求和公式。 4.已知 与 的混合关系： 利用 消去 ，得关于 的递推关系； 利用 消去 ，得关于 的递推关系。 5. 的表达式判断等差数列：若数列 的前 项和 （ 为常数），则 为等差数列，公差为 ，首项为 。若 还有常数项 且 ，则数列从第二项起成等差数列。 【变式训练6-1】设为数列的前项和，若，则________． 【变式训练6-2】已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________. 【变式训练6-3】数列满足，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是，的等比中项，且. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围. 题型7 等差数列通项公式与前n项和的最值 例7-1（2026·北京大兴·三模）已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 例7-2（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(        ) A．3 B．4 C．5 D．6 例7-3（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“存在最小值”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 方法技巧 1.通项公式的最值：等差数列通项 。 若 ，数列单调递增，最小值为 ，无最大值； 若 ，数列单调递减，最大值为 ，无最小值； 若 ，为常数列，所有项相等。 2.前 项和的最值：。 配方法：将 配方成关于 的二次函数，利用二次函数的最值求法（注意 ）； 邻项变号法：利用 的符号变化若 ，当 且 时， 取最小值；若 ，当 且 时， 取最大值。 3.正负项分界法：先求 的临界 值，判断前多少项为正（或负），正项和的最大值出现在最后一个正项处，负项和的最小值出现在最后一个负项处。 4.注意 为正整数：二次函数的对称轴可能不是整数，需比较对称轴两侧最近整数对应的 值。 【变式训练7-1】首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（   ） A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④ 【变式训练7-2】（2025·北京丰台·一模）已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-3】（25-26高三上·北京·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)当n为何值时，取最小值并求出最小值． (3)记为数列的前n项和，求． 题型8 等差数列单调性问题 例8-1已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例8-2设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 1.判断单调性：由公差 决定 ：数列单调递增（）； ：数列单调递减（）； ：数列为常数列（不增不减）。 2.已知单调性求参数范围：若数列 单调递增，则 恒成立；单调递减则 恒成立。将通项代入后转化为关于参数的不等式恒成立问题，利用分离参数法求解。 3.单调性在比较大小中的应用：递增数列中，；递减数列中，。 4.子数列的单调性：从等差数列中抽取下标成等差数列的项，其单调性与原数列一致（若原数列递增，则子数列也递增；递减同理）。 【变式训练8-1】已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【变式训练8-2】设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-3】已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ） A． B． C． D．与均为的最小值 【变式训练8-4】在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（    ） A．数列为递增数列 B． C．数列的前项和最小 D． 题型9 等差数列中的数学文化 例9-1（2026·北京朝阳·模拟预测）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”，已知这9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9枚环权的质量和为（     ） A．284 B．381 C．384 D．484 例9-2（2026·北京丰台·三模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购 16 箱，往后每一年都比上一年多采购 3 箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价 4 元，价格每年变为原来的 3 倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满 4 年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______ 方法技巧 1.题型特征：题目以古代数学名著、历史文献、经典趣题（如《九章算术》、裴波那契前的等差数列应用、垛积术等）为背景，将传统文化与等差数列知识融合，考查阅读理解和数学建模能力。 2.解题策略： 仔细阅读：从题干中提取关键的数学信息问题涉及的量、等差关系、已知项或和、求解目标； 建立模型：将实际问题转化为等差数列模型，确定 、、、、 等核心要素，明确哪些是已知、哪些是未知； 列式计算：利用等差数列的通项公式、求和公式或性质求解。 3.常见模型： 堆垛问题：如“三角垛”“方垛”，每层数量成等差数列，求总数； 按天/按月计酬：每日（月）收入成等差数列； 古代度量衡换算：将古代单位与现代数学术语对应。 4.答题规范：设未知量、列式、计算、作答。若题目涉及诗词或文言文，需先准确翻译为现代数学语言。 【变式训练9-1】（2026·北京·模拟预测）玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示．某学生用技术打印了个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为的等比数列．若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则最矮的玉琮内圆柱形孔洞的体积为________，这个玉琮模型的高度和为________．    【变式训练9-2】（2026·北京西城·一模）《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________， _________． 题型10 等差数列奇偶项的和 例10-1已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 例10-2在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 方法技巧 1.项数为偶数 ： （ 项），（ 项）； ； （利用 或直接由公式推导）。 2.项数为奇数 ： （ 项），（ 项）； （中间项）； ； （用中间项表示前 项和）。 3.解题策略：先判断项数的奇偶，再选择对应的性质和公式，结合题目条件建立方程求解。 【变式训练10-1】已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【变式训练10-2】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型11 等差数列的证明 例11-1已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 例11-2已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 方法技巧 1.定义法（最常用） ：证明 （常数），。这是证明等差数列最直接、最核心的方法。 2.等差中项法：证明 （）恒成立，等价于数列为等差数列。 3.通项公式法：证明 （ 为常数）的形式，即 是关于 的一次函数。 4.前 项和法：证明 （ 为常数），即 是关于 的二次函数（无常数项）。 5.证明的规范步骤： 明确已知条件和递推关系； 选择适当的证明方法； 进行代数推导，得出结论； 指出公差 的值（若需要）。 6.由递推关系证明等差数列： 若递推式为 ，需先变形再证明； 若递推式含 ，先用 消去 ，转化为关于 的递推式再证明； 若递推式含 、 的复杂形式，需通过代数变形（如取倒数、配凑、同除以某式等）化简为标准形式。 【变式训练11-1】已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式训练11-2】在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【变式训练11-3】已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则 A．64 B．96 C．128 D．160 二、填空题 4．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 5．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 6．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知在等差数列中，，．求． 2．在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 3．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 4．若，都是等差数列，且，则数列的前100项和为 A．6000 B．600 C．5050 D．60000 5．画出数列，的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率． 6．已知数列的前项和为，则这个数列的通项公式为 7．已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 8．已知是等差数列的前n项和． (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，求． 9．已知等差数列，，，…的前n项和为，是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值． 10．（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式； （2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值. 11．已知数列是等差数列，其前项和为. (1)若，求； (2)若，且，求. 12．已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足． （1）数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由． （2）若，的公差都等于2，，求数列的通项公式． 13．一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． （1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ （2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？ 14．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 15．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列． （1）写出数列的一个递推公式； （2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．在前项和为的等差数列中，，，则（  ） A．5 B．15 C．45 D．90 2．已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（   ） A．41 B．42 C．43 D．44 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．54 B．90 C．84 D．100 5．在数列中，对任意的，，都有，且，则（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 6．已知是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．20 B．55 C．110 D．220 7．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B．2 C．9 D．21 8．已知为等差数列，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．已知等差数列首项为，公差，则其前6项和_______． 10．设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________． 11．已知是等差数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)n为何值时，取得最大值并求其最大值. 12．已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 重难·创新演练13．等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 14．已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 16．已知等差数列的前项和为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 18．在等差数列中，，，，成公比不为1的等比数列，是的前n项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A．1 B． C． D． 19．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 20．已知数列满足：且，求证：为等差数列． 21．已知数列是公差为2的等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设表示不大于x的最大整数，求数列的前100项和； (3)设，数列的前n项和为，证明：且. 22．已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 23．已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 24．数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $