第04讲 双曲线方程及其性质（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 双曲线方程及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的方程及其性质 知识点3 离心率与渐近线夹角的关系 知识点4 通径 知识点5 双曲线的焦点到渐近线的距离 题型破译 (含超链接） 题型1 双曲线的定义及其应用【含方法技巧】 题型2 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题【含方法技巧】 题型3 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题【含方法技巧】 题型4 双曲线的几何性质【含方法技巧】 题型5 双曲线的渐近线方程【含方法技巧】 题型6 求双曲线的标准方程【含方法技巧】 题型7 双曲线的离心率【含方法技巧】 题型8 直线与双曲线的位置关系【含方法技巧】 题型9 双曲线中的最值问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 双曲线的标准方程与几何性质 T3（4分） T3（4分） T13（5分） 双曲线的渐近线 T3（4分） — — 双曲线的离心率 — T3（4分） — 直线与双曲线的位置关系 — — T13（5分） 考情分析 双曲线是解析几何的重要组成部分，北京卷近三年连续以选择题或填空题形式直接考查，分值4~5分，难度中等偏易。命题集中在双曲线的标准方程、渐近线、离心率及直线与双曲线的位置关系，侧重基本量运算与几何性质的直接应用。2026年T3考查渐近线求参数，2025年T3考查离心率计算，2024年T13考查直线与双曲线只有一个公共点的条件，三年考点各有侧重但均属基础。解答题仍以椭圆为主，双曲线不单独出大题，但小题考查稳定，复习时需确保公式熟练、运算准确。 复习目标 1.理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程 与 。 2.掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率，理解 。 3.掌握双曲线的渐近线方程 （或 ），能根据渐近线求参数或方程。 4.掌握离心率公式 （），能根据条件求离心率或参数。 5.掌握直线与双曲线位置关系的判定方法（联立方程判别式，注意直线与渐近线平行时只有一个交点）。 6.能解决含参双曲线与直线的综合问题，提升数学运算与数形结合素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点，的 距离之差的绝对值 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 焦距 ． 集合，，其中a，c为常数，且，． 1．当 时，点P的轨迹是双曲线． 2．当 时，点P的轨迹是两条射线． 3．当 时，点P不存在． 自主检测1已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 自主检测2已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 自主检测3已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 知识点2 双曲线的方程及其性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 轴长 实轴长 ，虚轴长 焦点 焦距 范围 或， ，或 对称性 对称轴为 轴，轴 ，对称中心为 坐标原点 顶点 渐近线 离心率 自主检测1双曲线的离心率为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用双曲线的离心率定义及参数的关系列方程求解的值. 【详解】由题干可得：，， 又 ，代入已知条件得 ，整理得，即， 结合的条件，解得. 自主检测2已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】利用焦点在轴上的双曲线渐近线方程列等式求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 由题意知，解得. 自主检测3已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 自主检测4若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线设双曲线方程为，再根据点即可求解. 【详解】由题意得：设以直线为渐近线的双曲线的方程为， 又双曲线过点，所以， 所以双曲线为. 知识点3 离心率与渐近线夹角的关系 自主检测1若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C．2或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 知识点4 通径 （同椭圆） 通径长：， 半通径长： 自主检测1设直线过双曲线的一个焦点，且与的实轴所在直线垂直，与交于 ,两点，若为的虚轴长的倍，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】根据条件得为通径长，列方程解得离心率. 【详解】通径即. 【点睛】本题考查双曲线通径长以及离心率，考查基本分析求解能力，属基本题. 知识点5 双曲线的焦点到渐近线的距离 双曲线的焦点到渐近线的距离为 自主检测1已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由双曲线，可得， 又渐近线方程为，所以， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 题●型●破●译 题型1 双曲线的定义及其应用 例1-1已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 例1-2（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 【答案】7 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 例1-3（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 方法技巧 1. 双曲线的第一定义：平面内到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫做双曲线。即 其中 、 为焦点，2c为焦距，a 为实半轴长。 1. 定义的直接应用： 判断动点轨迹是否为双曲线（注意验证 ）； 已知双曲线上一点到一焦点的距离，求到另一焦点的距离（注意双曲线有两支，需判断点在哪一支上）； 求焦点三角形的周长、面积等。 1. 与椭圆定义的对比： 椭圆：（）； 双曲线：（）。 若去掉绝对值， 表示双曲线靠近 的一支； 表示靠近 的一支。 1. 第二定义（离心率定义） ：平面内到定点 的距离与到定直线 的距离之比为常数 （）的点的轨迹为双曲线，其中 为焦点， 为准线，。 1. 焦半径公式：设 为双曲线 （，）上一点，、 为焦点，则 若 在右支上：，； 若 在左支上：，。 1. 注意：使用定义时，必须验证 这一条件；若 ，轨迹为两条射线；若 ，则轨迹不存在；若 ，轨迹为线段 的垂直平分线。 【变式训练1-1】双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 【变式训练1-2】（25-26高三上·北京·阶段检测） ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，得出双曲线的标准方程，求得渐近线方程，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由点，可得，且， 根据双曲线的定义，可得点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支， 且，则， 所以点的轨迹方程为，可得双曲线的渐近线方程为， 要使得直线与双曲线有公共点，需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 题型2 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 例2-1已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 方法技巧 1. 焦点三角形：双曲线上一点 与两焦点 、 构成的三角形 称为焦点三角形。 1. 焦点三角形的周长： 设 在右支上，则 ，故 由于 的最小值为 （右支上顶点到右焦点的距离），故焦点三角形周长的最小值为 注意：双曲线的焦点三角形周长不是定值，与点 的位置有关。 1. 过焦点的弦与另一焦点构成的三角形：若弦 过焦点 ，则 的周长为 需根据 、 所在支分别利用定义转化，注意双曲线两支的区别。 1. 与椭圆的对比：椭圆中过焦点的弦与另一焦点构成的三角形周长为定值 ，但双曲线中不是定值，这是双曲线与椭圆的重要区别，解题时务必注意。 【变式训练2-1】虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于、两点，且，则的周长为（    ） A．3 B．16+ C．12+ D．24 【答案】B 【解析】先由条件求出、、的值，再利用双曲线的定义和性质，求出的周长． 【详解】由于，，，，． 由双曲线的定义知：①，②， 又，①②得：， ，则的周长为， 故选：B 【变式训练2-2】已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 题型3 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 例3-1已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】法一：设，，利用双曲线定义与余弦定理可计算出，再利用面积公式计算即可得解；法二：利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可得. 【详解】法一：设，，则由双曲线定义可得， ，则， ，即， 则，故. 法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得. 例3-2已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积. 【详解】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C 例3-3设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 方法技巧 1. 焦点三角形面积公式：设 为双曲线上一点，，则 其中 为虚半轴长。也可用 结合余弦定理和双曲线定义求解。 1. 推导关键：在 中，由余弦定理： 又 ，，联立可求出 ，进而求面积。 1. 与椭圆焦点三角形面积的对比： 椭圆：； 双曲线：。 注意两者的区别，不可混淆。 1. 过焦点弦与另一焦点构成的三角形面积：若弦 过焦点 ，则 当 、 在同一支上时取减号，在不同支上时取加号，需结合图形判断。 【变式训练3-1】已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 【变式训练3-2】如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】在双曲线中：，所以， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 又， ， 的面积为． 故选：C． 【变式训练3-3】双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据题意得，再结合双曲线的定义得，代入整理即可得答案. 【详解】由题知， 因为、、成等差数列，所以， 由双曲线的定义得：①，②， 得， 又因为， 所以 故选：B 题型4 双曲线的几何性质 例4-1（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 例4-2（2026·北京朝阳·一模）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图所示，由双曲线方程可知，， 则其右焦点的坐标为，渐近线方程为， 取其中一条渐近线，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则右焦点到该渐近线的距离为，且为直角三角形，， 所以， 因此. 方法技巧 1. 范围：双曲线 （，）上点的坐标满足 即双曲线在 和 之外，向左右无限延伸。 1. 对称性：双曲线关于 轴、 轴和原点均对称。 1. 顶点：两个顶点为 ，实轴长为 ，虚轴长为 。 1. 离心率： 越大，双曲线开口越开阔； 越接近 ，开口越狭窄。 1. 通径：过焦点且垂直于实轴的弦称为通径，其长度为 1. 焦点到渐近线的距离：焦点 到渐近线 的距离为 （虚半轴长）。 1. 等轴双曲线：当 时，称为等轴双曲线，此时离心率 ，渐近线为 （互相垂直）。 【变式训练4-1】（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及标准方程求解即可. 【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为. 【变式训练4-2】（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到右顶点为，及其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算． 【详解】解：双曲线，则右顶点为， 由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即， 则右顶点到其渐近线的距离为． 【变式训练4-3】（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过渐近线方程确定，进而可求解. 【详解】 由题可知该双曲线中，解得， 又双曲线的一条渐近线为，因此， 又，得，所以实轴长为. 题型5 双曲线的渐近线方程 例5-1（2026·北京顺义·三模）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的标准方程为，则， 其渐近线方程为：． 例5-2（26-27高三上·北京·开学考试）已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】利用焦点在轴上的双曲线渐近线方程列等式求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 由题意知，解得. 例5-3（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为， 所以，即. 所以双曲线的离心率. 方法技巧 1. 标准双曲线的渐近线： 对于 ，渐近线为 对于 ，渐近线为 记忆口诀：将双曲线方程中的 换成 ，即得渐近线方程。 1. 由渐近线求双曲线方程： 若渐近线为 ，可设双曲线方程为 若渐近线为 ，可设双曲线方程为 时焦点在 轴上， 时焦点在 轴上。 1. 共渐近线的双曲线系：与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程可设为 1. 渐近线与离心率的关系： 若渐近线斜率为 ，则 ，； 特别地，等轴双曲线渐近线斜率为 ，。 1. 渐近线的几何意义：双曲线上的点无限远离原点时，越来越接近渐近线，但永不相交。渐近线是双曲线特有的性质，椭圆和抛物线没有渐近线。 【变式训练5-1】（2026·北京·三模）双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 【答案】 【分析】先根据双曲线渐近线方程求出参数，再利用双曲线的关系求解，进而得到焦距. 【详解】因为双曲线方程为，所以. 所以渐近线方程为，由题意知，渐近线方程为，所以. 又因为，所以，故焦距是. 【变式训练5-2】（2026·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】已知双曲线方程为，其渐近线方程为. 直线可化为. 因为一条渐近线与该直线平行，所以它们的斜率相等， 即，两边同乘得， 解得（舍去，因），所以. 【变式训练5-3】（2026·北京东城·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】可知双曲线的渐近线为， 可知双曲线的渐近线为， 当渐近线相同时，可得或，即， 所以数对可以为. 题型6 求双曲线的标准方程 例6-1（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得. 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 例6-2（25-26高三上·北京·阶段检测）双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为__________，其焦距为__________. 【答案】 【分析】可利用中斜率与倾斜角的关系，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，因为， 所以， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为，焦距为， 故答案为：；. 方法技巧 1. 定位：确定焦点在 轴还是 轴上。 焦点在 轴：标准方程为 （，）； 焦点在 轴：标准方程为 （，）。 1. 定量：确定 、 的值（或 、，或 、）。利用关系式 注意与椭圆的区别：椭圆是 ，双曲线是 。 1. 常用方法： 待定系数法：设出标准方程，代入已知点坐标或几何条件，建立方程组求解； 定义法：利用双曲线定义求 ，再结合焦距 $2c\(\text{求}\)b$； 共渐近线法：若已知渐近线方程，可设双曲线方程为 （），再代入已知点求 ； 共焦点法：若已知与某双曲线共焦点，可设方程为 等形式。 1. 注意：若题目未明确焦点位置，需分焦点在 轴和 轴两种情况讨论，或设一般方程 （）求解。 【变式训练6-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为____________． 【答案】 【分析】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，根据焦距与实轴长的关系及可得，对焦点所在位置分类讨论，代入点求出参数即可得双曲线的标准方程. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 因为双曲线的焦距是实轴长的2倍， 所以，即. 因为，所以，即. 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点， 所以，即，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 所以，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 【变式训练6-2】（25-26高三上·北京顺义·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线渐近线方程，结合待定系数法即可求解. 【详解】由双曲线的渐近线方程为，可得， 再由过点可得：， 代入得：， 则，所以双曲线的方程为， 故选：A. 【变式训练6-3】（25-26高三上·北京海淀·期末）双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点，则该双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而分焦点在轴上、焦点在轴上两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，双曲线的实轴长为2，则，即， 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点，所以，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点，所以，解得， 则双曲线的方程为. 故选：D 题型7 双曲线的离心率 例7-1（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的值，进而求出离心率即可. 【详解】由双曲线方程，可知，，即，， 又因为双曲线的渐近线， 所以，解得，所以，则， 所以双曲线的离心率，故A正确. 例7-2（26-27高三上·北京·开学考试）在下列双曲线中，离心率最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率公式即可求解． 【详解】对于A，离心率为； 对于B，离心率为； 对于C，离心率为； 对于D，离心率为； 因为， 所以离心率最大的是A． 例7-3（2026·北京·三模）双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由题意知，，再根据得，在上的投影向量为，进而求得，再根据建立的方程求解即可得答案． 【详解】设双曲线的焦距为， 则以为直径的圆方程为，双曲线的一条渐近线为， 则， 因为在第一象限，所以， 所以，即，， 因为，垂足为,所以， 所以，即①， 因为，所以在上的投影向量为， 因为， 所以，即， 所以②， 由①②知， 所以． 方法技巧 1. 定义： 1. 与 、 的关系： 1. 求离心率的方法： 直接法：求出 、，代入 ； 方程法：根据题目条件建立关于 、、 的齐次方程，化为关于 的方程求解； 几何法：利用焦点三角形、通径、渐近线等几何关系求 ； 渐近线法：若已知渐近线斜率 ，则 。 1. 常见结论： 若双曲线的渐近线互相垂直（等轴双曲线），则 ； 若 ，则 ； 通径长为 ，与离心率的关系为 。 1. 求离心率范围的策略：根据题目条件列出关于 、、 的不等式，转化为关于 的不等式，结合 求解。常用不等式来源：焦点三角形中两边之和大于第三边、点在双曲线上的位置约束、直线与双曲线相交的判别式条件等。 【变式训练7-1】（2026·北京顺义·一模）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为. 对双曲线：，其中，所以，. 又椭圆与双曲线焦点相同，所以. 所以双曲线的离心率为：.故选项C正确. 【变式训练7-2】（2026·北京丰台·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，线段与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由双曲线定义的应用结合双曲线参数关系与离心率公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，，解得， 则. 【变式训练7-3】（25-26高三下·北京·阶段检测）设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助双曲线的定义及几何性质列出不等式求出离心率范围. 【详解】依题意，由双曲线定义得，而，则， 令双曲线的半焦距为，则，于是，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 题型8 直线与双曲线的位置关系 例8-1（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先利用直线与双曲线只有一个公共点，联立方程组化简，讨论二次项系数，求得的值，从而可进行判断. 【详解】直线与与双曲线只有一个公共点， 联立方程组，消去得，， 当，即时，直线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当，即时，， 此时直线与双曲线恒有两个不同的交点； 当且仅当时，直线与与双曲线只有一个公共点， 由能推出直线与双曲线只有一个公共点， 反之，当直线与双曲线只有一个公共点时不能推出， “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 例8-2（2026·北京·三模）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【答案】B 【分析】先考虑斜率不存在的情况弦长的值；再考虑斜率存在时，联立方程，根据斜率的取值情况判断有几种情况． 【详解】斜率不存在时：，与双曲线交于一点，不满足题意； 斜率必然存在，设直线方程，，； 联立方程：可得：； 则，即， 且恒成立； 即，； 则； 两边平方可得：，即； 解得或；则的取值为四个， 故满足题意的直线有４条． 方法技巧 1. 位置关系的判断方法：联立直线方程与双曲线方程，消元得到一元二次方程（或一次方程），根据方程类型和判别式判断： 一次方程：直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线有且只有一个交点（但不相切）； 二次方程： 相交（两个交点）， 相切（一个交点）， 相离（无交点）。 1. 与椭圆的重要区别： 椭圆中，直线与椭圆相交时 ，相切时 ，相离时 ，且直线与椭圆的位置关系只有这三种； 双曲线中，直线与双曲线有一个交点时，可能是相切（），也可能是与渐近线平行（二次项系数为 ，方程退化为一次方程）。因此，判断双曲线与直线的位置关系时，需先讨论二次项系数是否为零。 1. 弦长公式： 若直线斜率不存在，则直接用纵坐标之差。 1. 中点弦问题（点差法） ： 设弦两端点为 、，中点为 ； 将 、 坐标代入双曲线方程并相减，利用平方差公式得 由此可求中点弦所在直线的斜率，进而写出直线方程。 注意：点差法求出的弦可能不存在（即中点不在双曲线内部），需验证 。 1. 过定点的直线与双曲线交点个数：先判断定点与双曲线的位置关系（在双曲线上、在双曲线内、在双曲线外），再结合渐近线的方向分析过该点的直线与双曲线交点个数的变化规律。 【变式训练8-1】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 【变式训练8-2】已知直线，双曲线，则“”是“直线与双曲线无交点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用充分条件、必要条件的定义，结合双曲线的性质判断即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 当时，直线为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线无交点； 反之直线与双曲线无交点，，即， 所以“”是“直线与双曲线无交点”的充分而不必要条件. 故选：A 【变式训练8-3】（25-26高三下·北京西城·阶段检测）已知双曲线，直线，若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，则a的取值有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】由直线整理得，则直线恒过定点，且斜率为， 又因为双曲线的渐近线斜率为， 所以当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时有， 当时，直线与双曲线渐近线平行，满足题意， 当时，直线与双曲线渐近线平行，满足题意， 再由直线与双曲线联立方程组， 整理得： ， 当（即不是平行渐近线的情况），由直线与双曲线相切可得，判别式， 即，解得， 综上，符合条件的共3个, 故选：B. 题型9 双曲线中的最值问题 例9-1已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设，根据双曲线的定义以及性质可得，再利用离心率的式子即可求解． 【详解】作图，设， 则有 解得，因为是双曲线左支上的一点， 所以， 即，解得， 故选：． 例9-2已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果. 【详解】由双曲线的对称性，假设在右支上，即， 由到的距离为，而， 所以， 综上，，同理，则， 对于双曲线，有且， 所以，而，即. 故选：D 方法技巧 1. 利用定义转化： 利用 将距离之差转化为定值； 利用焦半径公式将焦半径转化为坐标的一次函数。 1. 利用参数方程：将双曲线上的点设为 将目标量表示为 的三角函数，利用三角函数的有界性或单调性求最值。 1. 利用二次函数：若目标量可表示为某变量的二次函数，利用配方法或对称轴求最值，注意变量的取值范围。 1. 利用基本不等式：对于形如 、 的目标量，结合定值条件，利用基本不等式求最值。 1. 数形结合：利用双曲线的几何性质（对称性、顶点、焦点、渐近线）直观判断最值位置。常见结论： 双曲线上点到焦点的最小距离为 （对应顶点处）； 双曲线上点到中心的最小距离为 （对应顶点处）； 双曲线上点到渐近线的距离无最大值，最小值为 （无限接近）。 1. 直线与双曲线的最值：联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式，将弦长、面积等表示为参数的函数，再求最值。注意直线与双曲线相交的条件（ 且二次项系数不为 ）。 1. 焦点三角形的最值： 焦点三角形面积 ，当 最大时面积最小，当 最小时面积最大； 由于 ，，面积无上界（当 时），但有下界（当 时，）。 【变式训练9-1】双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为直角三角形，得到， 的面积为，利用不等式用表示的面积的最大值，得到的齐次式后求解离心率. 【详解】 因为为直角三角形，所以， 又，所以， 因为为以为斜边的直角三角形，所以的面积为， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，即面积的最大值为， 又面积的最大值为，所以，即， 代入，得即， 故离心率为. 【变式训练9-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为______. 【答案】32 【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】题意得，故，如图所示， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 而到渐近线的距离， 又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故答案为：32. 【变式训练9-3】已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由题意可得，，， 所以，当且仅当， 即时取等号，所以， 因为，， 所以，所以． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 3．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为. 故选：B 4．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 【答案】 【分析】首先可得，即可得到双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可； 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 6．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 【答案】； 【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴， 所以设等轴双曲线方程为， 所以，解得， 所以双曲线标准方程为， 渐近线方程为. 2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 【答案】不能，证明见解析. 【详解】当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1， 又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即， 将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解 所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. 3．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【答案】， 【详解】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则， 所以， 4．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 【详解】设，因为， 所以，整理得， 故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 5．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，； (2)渐近线方程是，虚轴长为4. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，解得，，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）由题意，当双曲线焦点在轴上时，，解得，， 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，，解得，， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为或. 6．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 【答案】9 【详解】由题意得，焦距，可得， 在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以 7．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 【答案】. 【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离，到直线的距离， 即 所以动点M的轨迹方程：. 8．已知条件：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.条件：“方程表示双曲线”，其中，. （1）若条件成立，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）若方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则，，且，解得， 所以的取值范围为 （2）若方程表示双曲线， 则，解得或. 若是的充分不必要条件，则 所以或， 解得或，所以的取值范围为 9．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e． 【答案】. 【详解】联立，得，设，， 则，解得. 所以，离心率. 10．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围. 【答案】或 【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：, 当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去； 当时，<0，即或，无公共点. 综上所述：或. 【点睛】本题考查了直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状. 【答案】（1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由见详解；（2）见解析. 【详解】（1）如图,连接. 因为为的垂直平分线,所以, 所以为定值, 又因为点在圆外,所以, 根据双曲线定义,点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线. （2）对于方程, 当时,方程为,即,表示轴; 当时,方程为,即,表示轴; 当且时,方程为, 若,即时,方程为圆,表示以原点为圆心的单位圆; 若,即或时,方程表示双曲线; 若且时,即且时,方程表示椭圆; 综上,当时,表示轴;当时,表示轴; 时,方程表示以原点为圆心的单位圆; 或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆; 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将双曲线化为标准方程，确定的值，进而求得双曲线的离心率. 【详解】将双曲线化为标准方程得. 所以. 所以双曲线的离心率为. 2．（2026·北京平谷·一模）已知双曲线的离心率是2，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】已知双曲线方程为，则， ， ，解得． 3．（2026·北京昌平·一模）已知双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 所以方程可化为：，表示焦点在轴上的双曲线. 所以，， 由. 4．（2026·北京门头沟·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由题知，双曲线焦点位于x轴上，故， 渐近线方程为， 而已知双曲线的一条渐近线方程为， 故，解得. 5．（2026·北京延庆·一模）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率确定的关系，再求双曲线的渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以. 所以双曲线的渐近线方程为：. 6．（25-26高三上·北京房山·期末）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 【答案】2 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于. 所以. 故答案为：2. 7．（25-26高三上·北京朝阳·期末）若双曲线的离心率，则的一个取值为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再表示出离心率，进而结合题意求解参数范围，最后得到取值即可. 【详解】由题意得双曲线方程为， 将其化为标准方程，可得， 则，得到， 因为，所以，解得， 则的一个取值为. 故答案为：（答案不唯一） 8．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）设双曲线C经过点，且与具有相同的渐近线，则C的方程为________． 【答案】 【分析】设与具有相同渐近线的双曲线方程可设为将点代入方程即可求得，从而确定C的方程. 【详解】与具有相同渐近线的双曲线方程可设为与， 双曲线C经过点， ， 即双曲线方程为：. 故答案为： 9．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则______；离心率______． 【答案】 【分析】根据渐近线与标准方程求解. 【详解】标准方程的一条渐近线方程为, 则,, 故. 故答案为：，. 10．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意直线过点且双曲线的右顶点为， 又双曲线的渐近线方程为， 因此由题意，解得， 所以b的取值范围为. 重难·创新演练 11．（25-26高三·北京·一轮复习）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 12．（2025·北京海淀·三模）已知双曲线，若双曲线的左、右两支上各存在一点、，使为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，分析可知斜率为正的渐近线与轴正半轴的夹角应大于，可得出的取值范围，即可求出双曲线离心率的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为为等边三角形，由对称性可知，、关于轴对称， 如下图所示，要使为等边三角形，需，其中是轴正方向的单位向量． 故斜率为正的渐近线与轴正半轴的夹角应大于，所以渐近线斜率． 故．所以只有D选项符合题意． 故选：D. 13．（25-26高三下·北京·开学考试）正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线 部分是双曲线的局部．此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，求出棱的中点到对角线的距离以及到对角线的距离后可求出双曲线的基本量，从而可求离心率. 【详解】如图，设对角线为，为正方体的棱. 由题可设双曲线方程为，设对角线为， 如图，两个顶点之间距离的一半即为的中点到对角线的距离， 设正方体棱长为，则到对角线的距离为，即. 由正方体的性质可得，， 故， 而， 所以，故，故. 14．（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【答案】 （或） 3（答案不唯一） 【详解】对于双曲线：，有， 其渐近线方程为； 设，则， 两式相减得，即， 线段的中点为，则， 若，则中点为双曲线顶点，此时直线AB的方程为，与双曲线只有一个交点，不符合题意，故， 则，即得，即得直线的斜率为， 可得直线的，联立， 得， 则， 化简得，解得或， 故实数的一个取值可为3. 15．（25-26高三下·北京通州·开学考试）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的大小为________． 【答案】 【分析】通过双曲线的离心率，求得渐近线斜率，即可求解. 【详解】由离心率定义 ，平方得 ， 又，代入得 ，解得 即双曲线的渐近线为 ，两条渐近线的倾斜角分别为和， 又直线夹角定义为不大于的角， 因此夹角为 . 16．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 【答案】 / 【分析】双曲线上的点到直线距离无最小值时，直线与双曲线的一条渐近线平行，由此确定的值，再计算离心率． 【详解】方程 表示双曲线，故 ，可化为 ， 其渐近线为，直线 即 ， 若点到直线的距离不存在最小值，则直线与双曲线不相交且平行于渐近线， 故，解得 ， 此时双曲线为 ，即 ，离心率 ． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 双曲线方程及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的方程及其性质 知识点3 离心率与渐近线夹角的关系 知识点4 通径 知识点5 双曲线的焦点到渐近线的距离 题型破译 (含超链接） 题型1 双曲线的定义及其应用【含方法技巧】 题型2 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题【含方法技巧】 题型3 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题【含方法技巧】 题型4 双曲线的几何性质【含方法技巧】 题型5 双曲线的渐近线方程【含方法技巧】 题型6 求双曲线的标准方程【含方法技巧】 题型7 双曲线的离心率【含方法技巧】 题型8 直线与双曲线的位置关系【含方法技巧】 题型9 双曲线中的最值问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 双曲线的标准方程与几何性质 T3（4分） T3（4分） T13（5分） 双曲线的渐近线 T3（4分） — — 双曲线的离心率 — T3（4分） — 直线与双曲线的位置关系 — — T13（5分） 考情分析 双曲线是解析几何的重要组成部分，北京卷近三年连续以选择题或填空题形式直接考查，分值4~5分，难度中等偏易。命题集中在双曲线的标准方程、渐近线、离心率及直线与双曲线的位置关系，侧重基本量运算与几何性质的直接应用。2026年T3考查渐近线求参数，2025年T3考查离心率计算，2024年T13考查直线与双曲线只有一个公共点的条件，三年考点各有侧重但均属基础。解答题仍以椭圆为主，双曲线不单独出大题，但小题考查稳定，复习时需确保公式熟练、运算准确。 复习目标 1.理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程 与 。 2.掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率，理解 。 3.掌握双曲线的渐近线方程 （或 ），能根据渐近线求参数或方程。 4.掌握离心率公式 （），能根据条件求离心率或参数。 5.掌握直线与双曲线位置关系的判定方法（联立方程判别式，注意直线与渐近线平行时只有一个交点）。 6.能解决含参双曲线与直线的综合问题，提升数学运算与数形结合素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点，的 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 ． 集合，，其中a，c为常数，且，． 1．当 时，点P的轨迹是双曲线． 2．当 时，点P的轨迹是两条射线． 3．当 时，点P不存在． 自主检测1已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 自主检测2已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 自主检测3已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 知识点2 双曲线的方程及其性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 轴长 实轴长 ，虚轴长 焦点 焦距 范围 或， ，或 对称性 对称轴为 ，对称中心为 顶点 渐近线 离心率 自主检测1双曲线的离心率为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 自主检测2已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 自主检测3已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 自主检测4若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点3 离心率与渐近线夹角的关系 自主检测1若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C．2或 D．或 知识点4 通径 （同椭圆） 通径长：， 半通径长： 自主检测1设直线过双曲线的一个焦点，且与的实轴所在直线垂直，与交于 ,两点，若为的虚轴长的倍，则的离心率为__________． 知识点5 双曲线的焦点到渐近线的距离 双曲线的焦点到渐近线的距离为 自主检测1已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．3 C．6 D．9 题●型●破●译 题型1 双曲线的定义及其应用 例1-1已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 例1-2（2026·北京海淀·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 例1-3（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 双曲线的第一定义：平面内到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫做双曲线。即 其中 、 为焦点，2c为焦距，a 为实半轴长。 1. 定义的直接应用： 判断动点轨迹是否为双曲线（注意验证 ）； 已知双曲线上一点到一焦点的距离，求到另一焦点的距离（注意双曲线有两支，需判断点在哪一支上）； 求焦点三角形的周长、面积等。 1. 与椭圆定义的对比： 椭圆：（）； 双曲线：（）。 若去掉绝对值， 表示双曲线靠近 的一支； 表示靠近 的一支。 1. 第二定义（离心率定义） ：平面内到定点 的距离与到定直线 的距离之比为常数 （）的点的轨迹为双曲线，其中 为焦点， 为准线，。 1. 焦半径公式：设 为双曲线 （，）上一点，、 为焦点，则 若 在右支上：，； 若 在左支上：，。 1. 注意：使用定义时，必须验证 这一条件；若 ，轨迹为两条射线；若 ，则轨迹不存在；若 ，轨迹为线段 的垂直平分线。 【变式训练1-1】双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式训练1-2】（25-26高三上·北京·阶段检测） ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 例2-1已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 方法技巧 1. 焦点三角形：双曲线上一点 与两焦点 、 构成的三角形 称为焦点三角形。 1. 焦点三角形的周长： 设 在右支上，则 ，故 由于 的最小值为 （右支上顶点到右焦点的距离），故焦点三角形周长的最小值为 注意：双曲线的焦点三角形周长不是定值，与点 的位置有关。 1. 过焦点的弦与另一焦点构成的三角形：若弦 过焦点 ，则 的周长为 需根据 、 所在支分别利用定义转化，注意双曲线两支的区别。 1. 与椭圆的对比：椭圆中过焦点的弦与另一焦点构成的三角形周长为定值 ，但双曲线中不是定值，这是双曲线与椭圆的重要区别，解题时务必注意。 【变式训练2-1】虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于、两点，且，则的周长为（    ） A．3 B．16+ C．12+ D．24 【变式训练2-2】已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 题型3 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 例3-1已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 例3-2已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 例3-3设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 方法技巧 1. 焦点三角形面积公式：设 为双曲线上一点，，则 其中 为虚半轴长。也可用 结合余弦定理和双曲线定义求解。 1. 推导关键：在 中，由余弦定理： 又 ，，联立可求出 ，进而求面积。 1. 与椭圆焦点三角形面积的对比： 椭圆：； 双曲线：。 注意两者的区别，不可混淆。 1. 过焦点弦与另一焦点构成的三角形面积：若弦 过焦点 ，则 当 、 在同一支上时取减号，在不同支上时取加号，需结合图形判断。 【变式训练3-1】已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 题型4 双曲线的几何性质 例4-1（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 例4-2（2026·北京朝阳·一模）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（   ） A． B． C．2 D． 方法技巧 1. 范围：双曲线 （，）上点的坐标满足 即双曲线在 和 之外，向左右无限延伸。 1. 对称性：双曲线关于 轴、 轴和原点均对称。 1. 顶点：两个顶点为 ，实轴长为 ，虚轴长为 。 1. 离心率： 越大，双曲线开口越开阔； 越接近 ，开口越狭窄。 1. 通径：过焦点且垂直于实轴的弦称为通径，其长度为 1. 焦点到渐近线的距离：焦点 到渐近线 的距离为 （虚半轴长）。 1. 等轴双曲线：当 时，称为等轴双曲线，此时离心率 ，渐近线为 （互相垂直）。 【变式训练4-1】（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（2026·北京西城·二模）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练4-3】（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型5 双曲线的渐近线方程 例5-1（2026·北京顺义·三模）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 例5-2（26-27高三上·北京·开学考试）已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 例5-3（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 标准双曲线的渐近线： 对于 ，渐近线为 对于 ，渐近线为 记忆口诀：将双曲线方程中的 换成 ，即得渐近线方程。 1. 由渐近线求双曲线方程： 若渐近线为 ，可设双曲线方程为 若渐近线为 ，可设双曲线方程为 时焦点在 轴上， 时焦点在 轴上。 1. 共渐近线的双曲线系：与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程可设为 1. 渐近线与离心率的关系： 若渐近线斜率为 ，则 ，； 特别地，等轴双曲线渐近线斜率为 ，。 1. 渐近线的几何意义：双曲线上的点无限远离原点时，越来越接近渐近线，但永不相交。渐近线是双曲线特有的性质，椭圆和抛物线没有渐近线。 【变式训练5-1】（2026·北京·三模）双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 【变式训练5-2】（2026·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式训练5-3】（2026·北京东城·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 题型6 求双曲线的标准方程 例6-1（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 例6-2（25-26高三上·北京·阶段检测）双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为__________，其焦距为__________. 方法技巧 1. 定位：确定焦点在 轴还是 轴上。 焦点在 轴：标准方程为 （，）； 焦点在 轴：标准方程为 （，）。 1. 定量：确定 、 的值（或 、，或 、）。利用关系式 注意与椭圆的区别：椭圆是 ，双曲线是 。 1. 常用方法： 待定系数法：设出标准方程，代入已知点坐标或几何条件，建立方程组求解； 定义法：利用双曲线定义求 ，再结合焦距 $2c\(\text{求}\)b$； 共渐近线法：若已知渐近线方程，可设双曲线方程为 （），再代入已知点求 ； 共焦点法：若已知与某双曲线共焦点，可设方程为 等形式。 1. 注意：若题目未明确焦点位置，需分焦点在 轴和 轴两种情况讨论，或设一般方程 （）求解。 【变式训练6-1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为____________． 【变式训练6-2】（25-26高三上·北京顺义·期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】（25-26高三上·北京海淀·期末）双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点，则该双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 题型7 双曲线的离心率 例7-1（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 例7-2（26-27高三上·北京·开学考试）在下列双曲线中，离心率最大的是（     ） A． B． C． D． 例7-3（2026·北京·三模）双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为为坐标原点，，垂足为，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 方法技巧 1. 定义： 1. 与 、 的关系： 1. 求离心率的方法： 直接法：求出 、，代入 ； 方程法：根据题目条件建立关于 、、 的齐次方程，化为关于 的方程求解； 几何法：利用焦点三角形、通径、渐近线等几何关系求 ； 渐近线法：若已知渐近线斜率 ，则 。 1. 常见结论： 若双曲线的渐近线互相垂直（等轴双曲线），则 ； 若 ，则 ； 通径长为 ，与离心率的关系为 。 1. 求离心率范围的策略：根据题目条件列出关于 、、 的不等式，转化为关于 的不等式，结合 求解。常用不等式来源：焦点三角形中两边之和大于第三边、点在双曲线上的位置约束、直线与双曲线相交的判别式条件等。 【变式训练7-1】（2026·北京顺义·一模）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．4 【变式训练7-2】（2026·北京丰台·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，线段与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练7-3】（25-26高三下·北京·阶段检测）设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型8 直线与双曲线的位置关系 例8-1（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例8-2（2026·北京·三模）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 方法技巧 1. 位置关系的判断方法：联立直线方程与双曲线方程，消元得到一元二次方程（或一次方程），根据方程类型和判别式判断： 一次方程：直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线有且只有一个交点（但不相切）； 二次方程： 相交（两个交点）， 相切（一个交点）， 相离（无交点）。 1. 与椭圆的重要区别： 椭圆中，直线与椭圆相交时 ，相切时 ，相离时 ，且直线与椭圆的位置关系只有这三种； 双曲线中，直线与双曲线有一个交点时，可能是相切（），也可能是与渐近线平行（二次项系数为 ，方程退化为一次方程）。因此，判断双曲线与直线的位置关系时，需先讨论二次项系数是否为零。 1. 弦长公式： 若直线斜率不存在，则直接用纵坐标之差。 1. 中点弦问题（点差法） ： 设弦两端点为 、，中点为 ； 将 、 坐标代入双曲线方程并相减，利用平方差公式得 由此可求中点弦所在直线的斜率，进而写出直线方程。 注意：点差法求出的弦可能不存在（即中点不在双曲线内部），需验证 。 1. 过定点的直线与双曲线交点个数：先判断定点与双曲线的位置关系（在双曲线上、在双曲线内、在双曲线外），再结合渐近线的方向分析过该点的直线与双曲线交点个数的变化规律。 【变式训练8-1】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【变式训练8-2】已知直线，双曲线，则“”是“直线与双曲线无交点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-3】（25-26高三下·北京西城·阶段检测）已知双曲线，直线，若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点，则a的取值有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型9 双曲线中的最值问题 例9-1已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 例9-2已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 方法技巧 1. 利用定义转化： 利用 将距离之差转化为定值； 利用焦半径公式将焦半径转化为坐标的一次函数。 1. 利用参数方程：将双曲线上的点设为 将目标量表示为 的三角函数，利用三角函数的有界性或单调性求最值。 1. 利用二次函数：若目标量可表示为某变量的二次函数，利用配方法或对称轴求最值，注意变量的取值范围。 1. 利用基本不等式：对于形如 、 的目标量，结合定值条件，利用基本不等式求最值。 1. 数形结合：利用双曲线的几何性质（对称性、顶点、焦点、渐近线）直观判断最值位置。常见结论： 双曲线上点到焦点的最小距离为 （对应顶点处）； 双曲线上点到中心的最小距离为 （对应顶点处）； 双曲线上点到渐近线的距离无最大值，最小值为 （无限接近）。 1. 直线与双曲线的最值：联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式，将弦长、面积等表示为参数的函数，再求最值。注意直线与双曲线相交的条件（ 且二次项系数不为 ）。 1. 焦点三角形的最值： 焦点三角形面积 ，当 最大时面积最小，当 最小时面积最大； 由于 ，，面积无上界（当 时），但有下界（当 时，）。 【变式训练9-1】双曲线（，）的左顶点为A，右焦点为F，若以为斜边的直角三角形的面积的最大值为，则双曲线C的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为______. 【变式训练9-3】已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 6．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 3．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 4．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 5．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，； (2)渐近线方程是，虚轴长为4. 6．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 7．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 8．已知条件：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.条件：“方程表示双曲线”，其中，. （1）若条件成立，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 9．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e． 10．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围. 11．（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京平谷·一模）已知双曲线的离心率是2，则（    ） A． B．3 C．2 D． 3．（2026·北京昌平·一模）已知双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 4．（2026·北京门头沟·一模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（   ） A． B．3 C． D． 5．（2026·北京延庆·一模）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京房山·期末）双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为_____． 7．（25-26高三上·北京朝阳·期末）若双曲线的离心率，则的一个取值为___________． 8．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）设双曲线C经过点，且与具有相同的渐近线，则C的方程为________． 9．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则______；离心率______． 10．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 重难·创新演练 11．（25-26高三·北京·一轮复习）双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（   ） A． B．2 C． D． 12．（2025·北京海淀·三模）已知双曲线，若双曲线的左、右两支上各存在一点、，使为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·北京·开学考试）正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线 部分是双曲线的局部．此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 15．（25-26高三下·北京通州·开学考试）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的大小为________． 16．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $