第04讲 解三角形（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形专题，涵盖正弦定理、余弦定理、面积公式及三角变换等核心考点，按知识解构-题型归纳-真题溯源的逻辑构建体系，通过考点梳理、方法指导、分层训练等环节帮助学生突破边角互化、多解判断等难点。 讲义创新采用“条件选择-多解讨论”教学策略，如在解的情况分析中结合“大边对大角”培养学生逻辑推理能力，设置基础演练与重难创新分层练习，配合真题溯源强化数学建模与运算能力，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第04讲 解三角形 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 正弦定理、余弦定理 知识点2 余弦定理及其推论的应用 知识点3 解的情况 知识点4 任意三角形的面积公式 知识点5 三角形中的三角变换 题型破译 (含超链接） 题型1 正弦定理及边角互化解三角形【含方法技巧】 题型2 余弦定理解三角形【含方法技巧】 题型3 求三角形的面积【含方法技巧】 题型4 求三角形的周长【含方法技巧】 题型5 三角形中的最值与范围【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 正弦定理 — T16(1)（约6分） T16(1)（约6分） 余弦定理 T10（4分）、T14（5分） — — 三角形面积公式 — T16(2)（约7分） T16(2)（约7分） 解三角形的综合应用 — T16（13分） T16（13分） 考情分析 解三角形是高考的重要考查内容，北京卷近年考查频率高，分值约13~17分，题型覆盖选择、填空、解答，难度中等。命题方式灵活多样：选择、填空题常与实际问题或几何背景结合，考查余弦定理的应用（2026 T10、T14），注重数学建模素养；解答题立足正、余弦定理与面积公式，常设置条件选择的开放性问题，考查学生对三角形存在性的判断及多解问题的处理能力。近三年考情显示，2024年、2025年连续两年以解三角形为解答题第16题，2026年该题位置改为三角函数性质综合题，但解三角形以选择、填空形式出现，其核心地位依然稳固。复习时需强化边角互化能力，熟练掌握面积公式的多种形式，重视解的个数讨论。 复习目标 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形，能根据已知条件灵活选择定理进行边角互化。 2.掌握三角形面积公式 ，能结合条件求面积。 3.能判断三角形解的个数，掌握条件选择类问题的分析策略。 4.能将实际问题或几何问题转化为解三角形问题，提升数学建模与运算求解能力。 5.注意与三角恒等变换、向量、立体几何等板块的融合，提升综合解题能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 正弦定理、余弦定理 在中，若角所对的边分别是为外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦值___的比相等，等于____该三角形外接圆的直径______. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的_____平方和____减去这两边与它们夹角的余弦的积的___两倍____. 公式 ________＝_______＝_______=______. __________________， __________________， __________________. 常见 变形 （1） （2）（3） （4） ， ， . 自主检测1在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解，再结合三角形边角关系求解. 【详解】由正弦定理：，代入，，可得： ， 则或， 由，得， 故. 自主检测2在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】C 【分析】应用余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 由余弦定理得，化简得 则或. 知识点2 余弦定理及其推论的应用 （1）利用余弦定理的变形判定角 在中，为__直角__；为__钝角__；为__锐角__． （2）应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求___三角___． ②已知___两边__及__一角__，求第三边和其他两个角． 自主检测1在中，，，分别为，，的对边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三个选项都有可能 【答案】D 【详解】在中，，由余弦定理得， 整理得，则，因此， 显然之一可以是钝角，也可以是直角，这两个角还可以都是锐角. 自主检测2若三角形三条边的长度分别为2，2025，2026，则该三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定的 【答案】B 【分析】根据题意先判断最大角，再结合余弦定理运算求解即可. 【详解】长度为2026的边所对的角最大，其余弦值为， 可知最大角为钝角，所以该三角形为钝角三角形. 知识点3 解的情况 在中，已知、和时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 _____ ___ /__ 解的个数 __一解___ 两解 __一解___ 一解 自主检测1在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可. 【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误； B：，，，为锐角，，则无解，故B错误； C：，，，为钝角且，则无解，故C错误； D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确. 故选：D 自主检测2已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 知识点4 任意三角形的面积公式 （1）______________________________，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． （2），其中为的一边长，而为该边上的高． 自主检测1已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可求出，然后再根据面积公式即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 自主检测2已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（　　） A． B．3 C． D．3 【答案】C 【分析】根据余弦定理求出值，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理可得，，即， 整理得，解得或（舍去，因为）， 故． 故选C. 知识点5 三角形中的三角变换 （1）角的变换：因为在中，，所以___________，___________，___________，___________. （2）三角形边角关系定理及面积公式：.（r为三角形内切圆半径，） 自主检测1记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若的面积为3，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角恒等变换及余弦定理化简得证； （2）由三角形面积公式得到的关系，利用正弦函数的取值范围求的最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以，即， 所以，即. 证毕. （2）因为，， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以当时，的最小值为. 自主检测2在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【详解】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 题●型●破●译 题型1 正弦定理及边角互化解三角形 例1-1（2026·北京西城·模拟预测）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理，得. 例1-2（2026·北京房山·二模）在中，，则______；若，为钝角，则边的一个取值为______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】由已知应用二倍角正弦公式结合特殊角求解，取特殊角由正弦定理可得，结合两角差正弦公式计算求解. 【详解】因为中，，则，且， 所以，，所以， 因为为钝角，所以，即得， 取，满足为钝角， 由正弦定理得， 所以（答案不唯一）； 例1-3（2026·北京·三模）已知在中，． (1)求角； (2)从条件①、条件②、条件③这三组条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的高． ①，； ②，； ③，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件①或③时，边上的高为，条件②不符合要求 【分析】（1）根据正弦定理，和二倍角公式，对题目条件进行化简，进而求出结果； （2）选择①时，根据两角和的正切公式，求出的正切值，进而求出正弦和余弦值，再根据两角和的正弦公式求出结果； 选择②时，根据三角形正弦面积公式和余弦定理解三角形，由于三角形结果不唯一，不符合题意； 选择③时，根据余弦函数单调性，求出，再根据正弦定理解三角形，求出结果即可. 【详解】（1）因为，所以，化简可得， 可得，因为，解得， 所以，即. （2）选择条件①，时， 由（1）可知，所以， 所以，则，解得， 因为， 则边上的高为； 选择条件②，时， 由，解得， 可知，可得，化简得， 可知，所以，即， 所以，解得或，所以此时存在两种情况，不符合题意； 选择条件③，时， 因为，可知， 所以，则， 此时， 由，得，因为，解得， 由，得，解得， 此时边上的高为. 例1-4（2026·北京·三模）在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 【答案】(1) (2)选②或③， 【分析】（1）法一：根据余弦定理边角互化求解；法二：利用正弦定理和三角恒等变换求解； （2）条件①，根据三角形面积公式和勾股定理判断不唯一； 条件②：根据余弦定理和三角形面积公式求解； 条件③：根据余弦定理和三角形周长求解. 【详解】（1）法一：， ．． ． 又． 法二：，． 由正弦定理，． 又， ． ． ． 又，．． 又． （2）选择① ，又， 解得或，不唯一，不能选①； 选择② 由余弦定理得：， ． ， ． 又，． ． 选择③：由余弦定理得：， ．， 又，． ． ． 方法技巧 1.正弦定理：在 中，（ 为外接圆半径）。常见变形： ，，； ，，； 。 2.边角互化的方向选择： 边化角：当式子中边的次数较高或出现边的齐次式（如 ）时，常将边化为角的正弦，利用三角恒等变换化简； 角化边：当式子中出现角的余弦、正切或角的齐次式时，常将角的正弦化为边，利用代数运算求解。 判断技巧：若等式两边边的次数相同（齐次），则既可边化角也可角化边，选择更易化简的方向。 3.已知两边及其中一边的对角（SSA） ：利用正弦定理求另一边的对角时，需注意多解情况—— 的值对应 可能有两解（ 和 ），需结合“大边对大角”或三角形内角和 进行取舍。 4.求外接圆半径：若已知三角形一边及其对角，可直接利用 求出外接圆半径。 【变式训练1-1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）在中，，则___________；若的内切圆的半径为，则的周长为___________． 【答案】 【分析】由正弦定理即可求出；设的面积为，周长为，内切圆的半径为，根据可求出，再根据余弦定理得到，联立即可求出，即可求出周长. 【详解】由正弦定理得， 设的面积为，周长为，内切圆的半径为， 所以，则，则， 即， 由余弦定理得， 联立，解得， 所以的周长为. 故答案为：；. 【变式训练1-2】（2026·北京·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9． 注：若选择条件不合要求，本小题得0分；若选择多个条件，按所选第一个条件计入． 【答案】(1) (2)选条件②不合题意，选条件①或③时的面积为 【分析】（1）首先根据正弦定理，边化为角，再根据三角恒等变换求解； （2）分别选择3个条件，根据，再根据余弦定理和三角恒等变换，三角形面积公式判断是否符合条件. 【详解】（1），根据正弦定理可知， ，即，因为， 所以，即； （2）若选择①，，，则， 因为，则， 根据余弦定理，即，得， 则，所以， 所以条件①符合要求； 若选择②，则，且， 若为锐角，则，， ， 若为钝角，则，， ， 根据正弦定理，因为有2个值，所以也有2个值， 则三角形的面积也有2个值，故条件②不符合要求； 若选择③，，，且， 所以， 则，则， 所以，故条件③符合要求. 【变式训练1-3】（2026·北京海淀·三模）在中，角所对的边为，已知． (1)求； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 【答案】(1) (2) 选条件①时高线长为，选条件②时高线长为，条件③对应的三角形不存在. 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，再利用辅助角公式，结合三角形角的范围求出角A即可。 （2）选出其中一个条件，来利用正余弦定理和面积公式分别求出对应结果． 【详解】（1）， 根据辅助角公式可得 （2）选择条件①，,，由正弦定理，代入得， 由余弦定理，得解得（负值舍掉）， 边最长,设其高线是,所以，代入得，解得． 选择条件②，由面积公式，得， 由余弦定理，得,即, 联立得或，两种情况最长边均为,面积均为， 故最长边上的高． 选条件③，由正弦定理得, 不符合三角函数值域，故不存在． 【变式训练1-4】（2026·北京昌平·二模）在△中，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的值． 条件①：△的面积为，； 条件②：，； 条件③：AB边上的高为，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件①：；选条件②无效；选条件③：； 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角,再交叉相乘整理式子,借助两角和的正弦公式合并,结合三角形内角和性质代换为,约去不为零的sin求出,最后由角的范围确定角的值. （2）先由（1）得,选条件①时,用三角形面积公式结合比例求出,再由余弦定理求得边长；选条件②时,由同角三角关系得两解,进而sin有两值,三角形不唯一故舍去；选条件③时,先由求,再用两角和正弦公式算出,借助边上的高建立等式求出边长. 【详解】（1）由正弦定理及， 得. 整理得 因为，所以. 所以. 因为在中，，所以. 因为，所以. （2）选条件①：的面积为，. 由（1）知，又由题知， 所以. 因为，所以，. 由余弦定理得， 所以 选条件②：，； ，. 则 代入得或 所以三角形不唯一确定，条件②无效 选条件③：AB边上的高为，． 因为，，所以. 因为, 所以. 因为AB边上的高为，所以，所以. 【变式训练1-5】（2026·北京通州·一模）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 【答案】(1)5 (2)选择条件①或③时，边上的高为；选择条件②时，不满足题意. 【分析】(1)利用正弦定理即可求解； (2)选择条件①或③，首先验证是钝角三角形，再利用余弦定理和面积公式即可求解，选择条件②，验证不满足钝角三角形的条件. 【详解】（1）因为，且，所以， 设外接圆半径为， 由正弦定理得 所以，即：，所以. （2）选择条件①： 由余弦定理，得，代入，，，得，则， 此时，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 选择条件②： 若，则，所以， 由余弦定理得： ， 因为，，，所以，则是直角三角形，不满足题意. 选择条件③： 若周长为18，则， 由余弦定理得：， 联立解得：，， 所以，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 题型2 余弦定理解三角形 例2-1（2026·北京海淀·一模）在中，内角、、的对边分别为、、，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，可得出，推导出且为钝角，利用大角对大边以及余弦定理逐项判断即可. 【详解】因为，，则， 所以，由正弦定理可得， 则，所以， 所以，故，所以， 因为为钝角，为锐角，所以，则， ，则，故ABD错，C对. 例2-2（2026·北京丰台·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)若选②，，若选③，， 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，分别选择条件，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由余弦定理得， 因为，可得. （2）解：选择条件①：，且 由正弦定理，可得， 因为，所以这样的不存在； 选择条件②，因为，且， 所以，则， 由，可得， 因为，所以，解得，所以 由正弦定理，可得， 设边上的高为，可得的面积为，所以， 因为，可得， 又因为，可得，所以. 选择条件③：由， 根据向量的数量积的公式，可得，所以， 因为且，所以，解得， 由余弦定理， 可得，所以 设边上的高为，可得的面积为，所以， 所以. 例2-3（2026·北京西城·一模）已知的面积，且． (1)求C的大小； (2)记的周长为．给出的解析式，并求其最大值． 【答案】(1)/ (2)； 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得解； （2）利用正弦定理表示出，化简，然后结合正弦函数性质求最值. 【详解】（1）由余弦定理和面积公式得：，， 代入可得：，化简得：， 又因为在三角形中，，所以. （2）设为三角形外接圆半径，则由正弦定理可得：，则， 所以，， 则三角形周长为： 其中，所以，代入可得： ， ，其中 所以，则当，即时，取得最大值， 所以. 方法技巧 1.余弦定理：在 中 ； ； 。 变形形式：，，。 2.适用场景： 已知三边（SSS） ：直接用余弦定理求任一角； 已知两边及夹角（SAS） ：用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求其他角； 已知两边及其中一边对角（SSA） ：可用余弦定理建立关于第三边的方程求解，能有效避免正弦定理的多解问题。 3.判断三角形形状： 若 ，则 （直角三角形）； 若 ，则 （锐角三角形）； 若 ，则 （钝角三角形）。 结合最大边对应的角，可判断三角形的形状。 4.余弦定理与方程思想：当已知条件不足以直接求解时，利用余弦定理建立方程，结合其他条件（如周长、面积）联立方程组求解。 【变式训练2-1】（2026·北京西城·二模）在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】先由三角形大边对大角判定边长所对的角是最大内角，再直接套用余弦定理，把代入式子化简计算，即可求出最大内角的余弦值. 【详解】在中，三边，，，根据大边对大角. 最长边所对的角为最大内角. 由余弦定理：. 代入得：. 【变式训练2-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求． (2)若，请再从条件①、②、③中选择一个合适的条件作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ①边上的中线长为；②；③角的平分线长为． 【答案】(1) (2)选① ；选②不合，因为三角形不唯一；选③ . 【分析】（1）使用二倍角公式、余弦定理、正弦定理求解； （2）选①，在中使用余弦定理计算并计算面积，选②，在中由余弦定理计算并计算面积，选③，在中，由余弦定理计算，并分析角的大小求解. 【详解】（1）由二倍角公式得：， 整理得：， 由正弦定理得：，，，代入上式可得： ，即， 由余弦定理，可得，， 因为，所以. （2）若选条件①，记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍）， 所以. 若选条件②，在中由余弦定理得， 即，解得或3，此时与题目中存在且唯一确定矛盾； 若选条件③，记角的角平分线为，，在中，由余弦定理得：， ，，， ，， . 【变式训练2-3】（2026·北京密云·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，的面积；条件③：存在这样的三角形，的面积. 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）条件①，由的值得到的范围，结合的值得到这样的三角形不存在；条件②，由的值得到的范围，利用同角关系式求出，利用结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面积公式求出；条件③，由利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，利用同角关系式求出，由结合两角和的正弦公式求出，利用三角形的面积公式求出. 【详解】（1），， ，，. （2）条件①，，， ，，不符合题意，不存在这样的三角形； 条件②，，， ，， ， ，，，， ； 条件③， ，其中为的外接圆的半径， ， ，，， ，，，，， ， ， . 题型3 求三角形的面积 例3-1（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 例3-2（2026·北京顺义·三模）在中， (1)求； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的值． ①；②；③面积为． 【答案】(1) (2)选①时不存在；选②时；选③时. 【分析】（1）利用正弦定理可求边. （2）选①，利用等边对等角，判断不存在； 选②，先利用正弦定理求边，再利用余弦定理求边，最后利用正弦定理求； 选③，先利用三角形的面积公式求边，再利用余弦定理求边，最后利用正弦定理求. 【详解】（1）由，且为三角形内角，所以. 根据正弦定理，. （2）选①，因为，所以为钝角. 又，则都为钝角，这样的三角形不存在. 选②，由. 由余弦定理，. 所以. 由正弦定理，，此时为锐角，存在. 选③，由，所以. 由余弦定理，， 所以. 由正弦定理，，此时为锐角，存在. 例3-3（2026·北京海淀·二模）如图，在四边形中，是的角平分线． (1)求证：； (2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) 在四边形中，由是的角平分线，， 在中，由正弦定理得， 所以. (2)选条件①②，四边形的面积为，选条件③，四边形不存在. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理推理得证. （2）选条件①②，利用余弦定理建立方程组，再利用三角形面积公式求解；选条件③，利用正弦定理判断三角形无解即可. 【详解】（1）略 （2）选条件①：，则，由（1）得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，又， 所以四边形的面积. 选条件②：，由（1）得，设， 在中，由余弦定理得， 即，则是方程的两个根， 于是，即，， 由，得，则，， 所以四边形的面积. 选条件③：，由（1）得， 在中，由正弦定理得，即不存在，四边形不存在. 例3-4（2026·北京昌平·一模）在中，，的平分线与交于点． (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定．求的长． 条件①：边上的高为； 条件②：的面积为； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件①时无解，选条件②和条件③时 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和同角三角函数基本关系求解即可； （2）选①：根据面积列方程无解，即可排除； 选②：根据三角形的面积公式求得，再用求解的长即可； 选③：根据周长和余弦定理求得，再用求解的长即可. 【详解】（1）因为，所以， 又，由正弦定理，可得，所以. （2）若选①：因为边上的高为，，， 所以，无解，所以三角形不存在； 若选②：由三角形的面积公式，，解得. 所以，所以为等腰三角形，又，所以， 所以，三角形唯一， 由余弦定理可知， ， 由可得， 即，所以； 若选③：因为的周长为，，所以． 由余弦定理可知， 所以，解得，所以， 所以，所以为等腰三角形，又，所以， 所以，三角形唯一， ， 由可得， ，所以. 方法技巧 1.面积公式： （底 高）； （两边及夹角）； （ 为外接圆半径）； （ 为内切圆半径， 为半周长）。 2.面积与三角恒等变换结合：若已知面积和某些边角关系，将面积公式与正余弦定理联立，可求解未知的边或角。常见题型：已知 和 ，利用 求 ，再结合余弦定理求 或 。 3.面积的最值问题：若三角形中某角固定，面积 可化为关于 的函数，利用基本不等式求最值。如 固定时，（当且仅当 时取等号）。 4.多三角形面积：若图形由多个三角形组成，则总面积等于各三角形面积之和，常用正弦定理分别求各三角形面积后再相加。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）在中，，，且，则的面积为______. 【答案】 【分析】利用正弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】由及正弦定理可得，, 由知，故，所以，即， 所以，, 所以， 故答案为： 【变式训练3-2】（2026·北京东城·二模）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知边角关系式转化为角的关系，约去公共项后结合已知直接计算得到； （2）先求出所需的正弦值，再利用正弦定理求出边长，结合和角公式求出，最后代入三角形面积公式得到面积. 【详解】（1）已知，，所以， 由得，等式两边同乘（三角形内角正弦值为正，可约去）， 得：，代入，得； （2）由，，得 由正弦定理，得，解得， 由余弦定理，得，整理得， 解得正根（负根舍去）， 三角形面积. 【变式训练3-3】（2026·北京门头沟·一模）在中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件②或③，存在，周长为. 【分析】（1）根据所给的边结合正弦定理，二倍角公式可得； （2）选条件①直接由余弦定理判断三角形不存在；选条件②先同角三角函数关系式可得A，B的正弦值，再由正弦定理和余弦定理求解可得；选条件③：先由面积公式可得，再结合余弦定理可得三角形的周长. 【详解】（1）因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以. （2）若选条件①：. 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以a边不存在，故不存在. 若选条件②：. 因为，由（1）可知，所以. 同理，得， 所以在中由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以三角形的周长. 若选条件③：的面积为. 因为，由（1）可知，所以, 由三角形面积公式，得. 再由余弦定理，得，即. 所以，所以. 所以三角形的周长. 【变式训练3-4】（2026·北京顺义·一模）在三角形中，角所对的边长分别为，，. (1)求； (2)若点在边上，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件①②, ②③,可得，选择①③，不合题意 【分析】（1）利用正弦定理边化角，可求解； （2）利用余弦定理建立方程组可求解边长，最后可求面积. 【详解】（1）由，将代入得： ， 根据正弦定理，可得，即 已知，代入得： ， 在中，，约去，得， 又因为，所以； （2）选择条件①、②来作解答：    已知，，在上，，， 故， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 代入已知条件得：， 由上两式消整理可得， ， 若，代入上式可得，此时判别式小于0，该方程无解； 若，代入上式可得， 解得正根， 代入：， 此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意， 则. 选择条件①、③来作解答：    已知，在上，，，， 在中，由正弦定理可得：， 当为锐角时，由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得：， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为钝角，则满足，即， 故，此时，    当为钝角时，由，可得， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得：， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为锐角，则满足，即， 故，此时， 则此时三角形为等边三角形， 故满足题意的三角形有两个，不满足题意，故不能选①、③来作解答； 选择条件②、③来作解答：    已知，在上，，，， 过点作，垂足为，因为，所以， 由点在上，可知为锐角，则， 又由，，在直角三角形中，可解得：， 再由，可得， 再由，可得，即， 在中，由余弦定理： ， 代入已知条件得：， 解得：或， 由于为钝角，则满足，即， 故，此时， 此时三角形的解是唯一一组解，故满足题意， 则. 题型4 求三角形的周长 例4-1（2026·北京朝阳·二模）在中，，． (1)求的值； (2)已知的面积为，求的周长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）由正弦定理和同角三角函数关系得到，从而得到； （2）根据三角形面积公式可得，由余弦定理可得，得到三角形周长. 【详解】（1），， 两式相除得，由正弦定理得， 即，又，故，所以， 又，解得， ，故； （2）的面积为，即， 又，所以， 由（1）知， 由余弦定理得， 解得， 故的周长为. 例4-2（2026·北京·二模）在中，为锐角，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求出的周长． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)若选条件①，，若选条件③，. 【分析】（1）由正弦定理得出，结合即可求解； （2）选①③可有余弦定理求解，进而得出周长；选②由正弦定理得出，得出三角形不存在． 【详解】（1）在中，由正弦定理，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为为锐角，所以． （2）选择条件①：， 由（1）得，所以， 由余弦定理，得， 所以（舍），的周长为； 选择条件③：， 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 的周长为； 选择条件②：， 由（1）得， 由正弦定理得：，此时三角形不存在． 方法技巧 1.基本方法：周长 。利用正、余弦定理求出三边或三边之和即可。 2.已知两边及夹角求周长：先用余弦定理求第三边 ，再求周长 。 3.已知两角及一边求周长：利用正弦定理 ，先求出所有边，再相加。若只需求周长而无需逐边求出，可利用比例关系设 ，，，先求 ，再求周长 。 4.已知面积和某角求周长范围：利用面积公式建立 的方程，结合余弦定理和基本不等式，将周长表示为某一变量的函数，利用函数性质或不等式求取值范围。常用不等式： ； 三角形中 等隐含条件对范围的限制。 5.内切圆半径与周长：若已知 和 ，则周长 ，利用此关系可快速求解。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京海淀·期末）在中，为锐角，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) (2)的周长为 【分析】（1）根据题目条件结合正弦定理与角度的函数值即可求出. （2）选取条件后利用余弦定理与正弦定理求出的周长. 【详解】（1）在中，由正弦定理，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为为锐角，所以； （2）选择条件①：， 由（1）得，所以， 由余弦定理， 得， 所以（舍），的周长为. 选择条件③：， 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 的周长为. 选择条件②：， 由（1）得 由正弦定理得：，此时三角形不存在. 【变式训练4-2】（25-26高三上·北京石景山·期末）在中，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的周长． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择①，存在且唯一，周长为；选择②，存在且唯一，周长为；选择③，存在两个，不合题意. 【分析】（1）由条件式利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求得答案； （2）选择条件①，利用三角形面积公式结合余弦定理求解；选择条件②，由三角变换求得，再利用正弦定理分别求得，得解；选择条件③，由余弦定理求得，进而求解判断. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又， ，整理得， 又，得，又，所以. （2）选择条件①，因为，，所以，解得， 又，得， 所以存在且唯一确定，的周长为. 选择条件②，由，，得， 又，所以， ，， 所以存在且唯一确定，的周长为. 选择条件③，由，，，由余弦定理可得， ，即，解得或， 故此时满足条件的有两个，不符合题意. 【变式训练4-3】（2026·北京丰台·一模）在中，，，分别为内角，，所对的边，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择条件①②，周长为；选择条件③，三角形不存在 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，进而可求； （2）选择条件①：利用正弦定理可求得，利用三角恒等变换求得，进而利用正弦定理求得，进而可求周长. 选择条件②：利用三角恒等变换求得，进而利用正弦定理求得，进而可求周长. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知. 选择条件①：因为，，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． ． 由正弦定理，所以，解得． 所以三角形的周长． 选择条件②：． 因为， 所以． 由正弦定理，所以， 解得， 所以三角形的周长. 择条件③：因为，，， 由正弦定理，则， 解得，故不存在. 题型5 三角形中的最值与范围 例5-1在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【详解】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D 例5-2在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，故，利用正弦定理和三角恒等变换得到，由基本不等式可求解. 【详解】因为，故， 所以， 所以， 故 （*）， 当且仅当，即时，等号成立， 又，故，解得， 所以，所以（*）式可取等号， 所以的最小值为. 故选：A 例5-3在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由余弦定理得，，再利用，得到，继而得到，接着利用基本不等式求解即可． 【详解】设，因为D为的中点，，所以， 由三角形的三边关系，可知且，解得． 在中，由余弦定理得；　① 在中，由余弦定理得．　② 因为，所以， 所以，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件， 所以的最小值为． 故选：A． 例5-4已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式化简等式，得出，结合三角形内角取值范围，求出角. （2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出面积最大值. 【详解】（1）根据正弦定理， 所以，， 所以， 又因为，， 代入化简得①， 根据两角和的正弦公式， 又，则， 代入①化简得：， 因为角，所以角. （2）已知的外接圆半径为1，由正弦定理， 可得， 由余弦定理可知，代入的值可得. 由基本不等式，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取最大值3. 由三角形面积公式可得， 因为，当且仅当时，面积最大， 所以. 方法技巧 1.边的最值与范围： 利用正弦定理将边表示为角的正弦函数，结合 消元，转化为三角函数在给定区间上的值域问题。 利用余弦定理建立边的方程，结合基本不等式 求最值。 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的隐含条件是确定范围的基础。 2.角的最值与范围： 若已知三边关系，利用余弦定理将角表示为边的函数，利用不等式求角的范围。 若已知某角为定值，则其他角的范围由 确定。 3.面积的最值与范围： 转化为 ，利用正余弦定理和基本不等式求最值。 利用面积公式 ，结合外接圆半径的变化求最值。 若三角形形状受限制（如锐角三角形），角的范围缩小，面积范围随之变化。 4.周长的最值与范围： 利用正弦定理将周长表示为 ，利用三角恒等变换和单调性求最值。 利用基本不等式：若 固定，则 有最大值（当 时取到），进而周长有最大值。 若三角形为锐角三角形，还需增加 的约束条件。 5.利用基本不等式的常见模型： ，，； 在 固定时，，当 时取最大值。 6.锐角、钝角三角形的额外约束： 锐角三角形：，即所有角的余弦值均为正，由此可得到边的平方关系 等； 钝角三角形：最大角的余弦值为负，边的不等式方向相反。 7.数形结合法：利用三角形的几何意义（如外接圆、内切圆、高线等），将最值问题转化为几何图形中的极值问题，直观判断取得最值的临界状态。 【变式训练5-1】（25-26高三上·北京·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 【答案】/ 【分析】由余弦定理及基本不等式求出的范围，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即的最大值是． 故答案为： 【变式训练5-2】（2026·北京顺义·二模）在中，. ①若，则__________. ②若为锐角三角形，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】①由正弦定理求解即可；②由余弦定理求解即可. 【详解】①由正弦定理: ,代入数据得 解得：. ② 构成三角形，必有，所以 若为锐角三角形，则，即 ，， 所以，，， 代入数据得，因为，所以， 综上所述，的取值范围是. 【变式训练5-3】（25-26高三上·北京·开学考试）在中，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据余弦定理结合角的范围得出范围即可. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，则的范围是. 故答案为：. 【变式训练5-4】在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，结合基本不等式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，且， 即， 由正弦定理得，即， 又由余弦定理，可得， 因为，所以， 又因为且，可得， 所以，当且仅当时，等号成立，即 所以面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 【变式训练5-5】（2026·北京·三模）对于，，则下列结论中正确的有几个．（     ） ①若，，则存在且唯一； ②若的周长为，则的最大值为； ③若的面积为，则的最大值为； ④若的面积为，则的取值范围是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可判断；对于②：可得，利用基本不等式分析判断；对于③④：可知边上的高为，建立平面直角坐标系，设，可得，，进而分析判断. 【详解】对于①：由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 所以不唯一，故①错误； 对于②：若的周长为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故②正确； 对于③④：若的面积为，则边上的高为， 以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，设， 可得，， 则， 当趋近于时，趋近于， 可知无最大值，即无最大值，故③错误； 因为， 若，则； 若，则， 由对勾函数可知，即， 则，可得； 综上所述：，即，故④正确； 综上所述：正确的有2个. 【变式训练5-6】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，满足以下三个条件： ①             ②              ③ (1)从以上条件中任选两个作为已知，能否唯一确定？并说明理由； (2)若选择条件①和条件③，且的面积为，求的最大值. 【答案】(1)不能唯一确定，理由： 由条件①，根据正弦定理，得：， 所以，，即. 因为，所以，所以，即. 由条件②，当时，因为，所以，或. 若选①②，不能唯一确定. 当时，；当时，. 角有两组解，边也没有确定，所以不能唯一确定. 若选①③ ，不能唯一确定. 因为，所以. 因为，所以. 只有两条边，但角有两种情况，所以不能唯一确定三角形. 若选 ②③ ，不能唯一确定. 由，不能确定或的值，即可有多组解，且角有两种情况，所以不能唯一确定. 综上所述，任选两个条件作为已知，不能唯一确定△ABC. (2) 【分析】（1）分别选①②、①③、②③，求解，即可判断； （2）由①③得，由面积公式可得与的关系.利用的范围，可求得的取值范围，从而得到的最大值. 【详解】（1）略 （2）条件①和条件③，且的面积为， 根据正弦定理由，得：， 所以，，即. 因为，所以，所以，即，所以. 因为，所以. 因为的面积为，所以，所以. 由，得，所以. 所以的最大值是. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 2．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 3．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)选①，不存在；选②，高为；选③，高为. 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 4．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 5．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 6．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在； 若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1），则由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得， 与矛盾，故这样的不存在； 若选择②：由（1）可得， 设的外接圆半径为， 则由正弦定理可得， ， 则周长， 解得，则， 由余弦定理可得边上的中线的长度为： ； 若选择③：由（1）可得，即， 则，解得， 则由余弦定理可得边上的中线的长度为： . 7．（2020·北京·高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ）和的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ； 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, . 【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果； 选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件①（Ⅰ） （Ⅱ） 由正弦定理得： 选择条件②（Ⅰ） 由正弦定理得： （Ⅱ） 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（    ） A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 【答案】B 【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案. 【详解】由题知：设的三边分别为，，， 因为，所以角为最大的角. 因为，， 所以为锐角，故三角形为锐角三角形. 故选：B 2．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算即可得角． 【详解】∵，由正弦定理得， 设， 则，又是三角形内角， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题． 3．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对边的长为8，那么30º角所对边的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】用正弦定理即可求出 【详解】设30º角所对边的长为 由正弦定理得： 解得： 故选：B 【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形，较简单. 4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，及的值，利用正弦定理分别求出各选项中的值，由为三角形的内角，得到的范围，可得出选项，及只有一解，而选项根据三角形中大边对大角得到满足题意的有两解，得到正确的选项． 【详解】解：、，，， 由正弦定理得：， 又为三角形的内角， ， 故只有一解，本选项不合题意； 、，，， 由正弦定理得：， 又为钝角，为锐角， 故的度数只有一解，本选项不合题意； 、，，， 由正弦定理得：， 又为钝角，为锐角， 故的度数只有一解，本选项不合题意； 、，，， 由正弦定理得：， ，，即， 则满足题意的有两解，本选项符合题意， 故选：． 【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 二、填空题 5．如图，在加工一个零件时，需要计算A，C两孔中心的距离，已知mm，mm，，则______mm．（精确到0.01mm）    【答案】 【分析】根据余弦定理进行求解. 【详解】由余弦定理得 ， 其中， 故， 故mm. 故答案为： 6．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n． 【答案】 【分析】利用正弦定理求的长度即可. 【详解】由题设， n且， 正弦定理有，则，可得 n. 故答案为： 三、解答题 7．如图．在中，，，点F为AB的中点，且．求AC的长．    【答案】 【分析】分别在和中应用余弦定理，结合得出解方程即可. 【详解】在中， 由余弦定理得： 在 中，由余弦定理得： , 因为, 所以 整理得, 解得或（舍）. 所以 8．如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处32km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．这个人还要走多少路才能到达A城？    【答案】16.41km 【分析】由余弦定理得到，进而求出，由正弦定理求出，在中，由余弦定理得到，进而求出，得到答案. 【详解】由题意得，km，km，km， 在中，由余弦定理得， 故， 在中，由正弦定理得， 故km， 在中，由余弦定理得， 即，解得km，负值舍去， 故km. 故这个人还要走km的路才能到达A城. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 1. 的三边之比为．求这个三角形的最大角． 【答案】 【分析】设出三边，由余弦定理求出最大角的余弦值，进而求出三角形的最大角. 【详解】的三边之比为，不妨设的三边长为， 由于大边对大角，设长度为的边所对角为最大角，设最大角为， 则， 因为，所以， 故这个三角形的最大角为 2. 设R是的外接圆的半径，S是的面积，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由正弦定理得，再代入面积公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理，将角化为边，再代入三角形的面积公式，即可证明. 【详解】（1）由扩充的正弦定理得， 所以． （2）由，，得 ． 3. 如图为一角槽示意图，已知，，并量得mm，mm，mm，则______，______．（精确到0.1°）    【答案】 ; 67.7° 【分析】两次应用余弦定理再结合已知图形特征求解即可. 【详解】在中由余弦定理可得： , 又因为 所以 ,, 故答案为：;. 4. 已知中，，，，，求，． 【答案】， 【分析】代入正弦定理，即可求解. 【详解】由题意可得． 由正弦定理得． 又， 于是． 同理可得． 5. 在中，已知，，，求c和． 【答案】c＝2， 【分析】首先代入余弦定理求，再根据三边，求，即可求解. 【详解】由余弦定理得＝4， 所以． 再由余弦定理可得． 因为是三角形的内角，所以． 6. 在中，已知，，三角形外接圆的面积为，求． 【答案】的度数为或. 【分析】根据正弦定理，结合圆的面积公式进行求解即可. 【详解】设外接圆的半径为，因为外接圆的面积为， 所以有， 由正弦定理可知：，因为， 所以，由正弦定理可知：， 解得：，或，所以的度数为或. 7. 如图，一艘船以42nmile/h的速度向正北方向航行，从处看灯塔位于船北偏东25°的方向上，30min后船航行到处，从处看灯塔位于船北偏东58°的方向上．求灯塔与之间的距离（精确到0.1nmile）． 【答案】16.3nmile. 【分析】根据题意，得出，，进而可求出和，再根据正弦定理得出，即可求出灯塔与之间的距离. 【详解】解：由题可知，在中，，， ，， 在中，由正弦定理得， ， 所以灯塔与之间的距离为16.3nmile. 8. 根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）： (1)已知，，，求a； (2)已知，，，求A． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用余弦定理解三角形即可. 【详解】（1）由余弦定理，得， 所以． （2）由余弦定理，得， 所以． 9. 在中，． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用降幂公式，结合诱导公式和二倍角公式，即可求解. （3）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1） ； （2）根据余弦定理, 即， 得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 10. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且． (1)求的大小； (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意和余弦定理，得到，即可求解； （2）由，得到，进而求得的值. 【详解】（1）解：由题意，在中，满足， 根据余弦定理可得， 又因为，所以. （2）解：因为， 由正弦定理得，所以， 又因为，所以. 模拟·基础演练 1．在中，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，即，由正弦定理，所以， 所以，又，所以，所以. 故选：A 2．在中，若，，，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系式得，再利用正弦定理计算即可. 【详解】根据题意，，所以，且， 由正弦定理得，即，解得. 故选：A. 3．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【分析】利用正弦定理及三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 5．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，，即， 所以. 故选：A. 6．在锐角中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以. 故选：A 7．在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】A 【分析】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状. 【详解】将用余弦定理展开， 得. 由题设，故. 故选：A 8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____. 【答案】 【分析】根据正弦定理可得三边比值，利用勾股定理即可得解. 【详解】由和正弦定理可知，， 设， 因为，所以. 故答案为： 9．在中，，，，则的面积为____________ 【答案】/ 【分析】利用余弦定理可求得，代入三角形面积公式即可. 【详解】由余弦定理得：， ，. 故答案为：. 10．在中，，，． (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合给定数据求解即可. （2）利用余弦定理建立方程求出，最后结合三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 以及，，，得． （2）由余弦定理得，则， 化简得，解得或（舍去）. 故的面积为． 11．在中，为锐角，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角； （2）先根据正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）由及正弦定理， 得． 因为在中，，所以． 因为，所以． 因为为锐角，所以． （2）由，且，解得． 由余弦定理，得，解得或（舍）． 所以的面积． 12．在中，. (1)求的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将边化为角后，借助同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助余弦定理与面积公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 由，则，故， 即，又，故； （2）， 则，故. 13．在中，角A、B、C所对的边为、、，且． (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换将题干中的式子化简为，根据角B的范围即可求解角B的大小； （2）根据余弦定理，通过基本不等式放缩得到ac的最大值，再结合正弦定理面积公式即可求解出面积最大值． 【详解】（1）由及正弦定理可得， 因为，则，所以，故． （2）因为，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故， 故面积的最大值为． 14．在中，． (1)求的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 【答案】(1) (2)选择①， 【分析】（1）利用倍角公式，通过解方程可得答案； （2）先利用正弦定理求出，选择①利用余弦定理求出或先判断为最长边，然后可得答案；选择②利用面积公式和余弦定理求解出两组答案，不合题意；选择③利用余弦定理得到的方程无解，不合题意. 【详解】（1）因为,所以, 所以，所以， 因为，所以舍,所以. （2）选择① 因为，由正弦定理，代入得. 法一： 由余弦定理，代入得， 所以，所以或（舍），所以边最长， 边上的高线. 法二： 因为，所以， 所以，所以，所以为最长边, 边上的高线. 选择② 因为, 所以, 因为，由余弦定理, 所以, 所以或,三角形不唯一，不能选择条件② 选择③，由余弦定理, 得，此时，，所以，三角形不存在． 15．在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 【答案】(1) (2)选①无解；选②或；选③ 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式可得； （2）选①，由三角形中边长数据分析可得不合题意；选②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面积公式即得；选③，由，利用余弦定理可求得，再由余弦定理可求得，进而求得，由三角形面积公式即得. 【详解】（1）在中，， 又， 由正弦定理得，， 即， 即，由正弦定理得，， 又，所以. （2）选①边上的高为7， 过作于，如图， 由已知，在中，，， 显然这样的三角形不存在，所以无解. 选②，即， 又，，则由正弦定理得，即， 则， 由余弦定理，得， 即，解得或， 当时， 的面积， 当时， 的面积. 选③边上的中线长5， 设的中点为，由（1）知，则， 又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 因为，所以， 则，解得， 在中，由余弦定理，， 则， 所以的面积. 重难·创新演练 16．已知内角A，B，C的对边成等比数列，，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由等比中项的性质得，由余弦边角关系及已知化简整理得，进而有，易知为等边三角形，即可求面积. 【详解】由题设，根据余弦边角关系有， 所以，整理得，则， 所以，且，故为等边三角形，面积为. 故选：B 17．在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合得，利用正弦定理得，进而得，由已知求得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理有：，又，所以， 又由正弦定理有：， 又， 所以， 又为三角形的内角， 所以或（舍去），所以，又， 所以    ，所以， 所以， 故选：D. 18．在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由可得，由可得，确定是等边三角形. 【详解】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以， 由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形. 故选：D. 19．在锐角中，，，，的角平分线交于D，则_____；_____. 【答案】 2 【分析】根据正弦定理解三角形，根据三角形边角关系判断三角形形状，求得边长. 【详解】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 20．在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】利用面积公式得到，然后利用余弦定理，以及中线得向量表示可得，利用不等式计算判断. 【详解】由题可知：， 又，所以. 又为的中点，所以，两边平方得：，所以， 又，所以， 由（当且仅当时，取等号），所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为： 21．在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2) 由（1）可知，，又为锐角，故，又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则，由正弦定理，可得； 此时，两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 若选择条件③：，又，解得， 因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得； （2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积. 【详解】（1）因为，则， 又，，故，也即； 又，由正弦定理可得：，解得. （2）略 22．在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 不能选择①； 选择②，， 选择③，， 【分析】（1）由余弦定理可求出，再由可求出； （2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得，再代入可得，即可求出△ABC的周长；若选择③：由等面积法可求出，再代入可得，即可求出△ABC的周长. 【详解】（1）由可得， 由余弦定理可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，因为，所以. （2）若选择①：因为，，所以，所以， 则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①. 若选择②：由（1）可得，即， 则，解得， 再代入可得：， 所以△ABC的周长为：. 若选择③：由（1）可得，即， 由可得：， 所以， 又因为AC边上的高等于，， 所以，解得：，所以，， 所以△ABC的周长为：. 23．在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选条件①③边上中线的长为，选条件②不符合题意. 【分析】（1）法一：由正弦定理及已知可得，再由三角形内角的性质、诱导公式、和角正弦公式并整理得，进而求角的大小；法二：由余弦边角关系及已知得，再由余弦定理求角的大小； （2）根据所选条件，综合运用正余弦定理、三角形面积公式求边上中线的长． 【详解】（1）法一：由正弦定理及，得， 因为， 所以，整理得． 因为，所以，所以，又，所以． 法二：由余弦定理，，代入得：． 整理得：，所以，又，所以． （2）选条件①：取的中点，连接， 由正弦定理及，得， 因为，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件③：取的中点，连接，由正弦定理及，得， 因为的面积为，所以，即， 又，所以，，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以，即边上中线的长为． 选条件②：由，知， 在中，由余弦定理知，， 若，则，该等式恒成立， 即不唯一，不符合题意． 24．在中，. (1)求； (2)若的面积为，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值. 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件①不符合题意；选择条件②或③， 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角的正弦公式，即可求得答案. （2）根据面积公式，可得，若选条件①：，分析可得不符合题意；若选条件②：由正弦定理角化边可得，进而可得b，c的值，代入与余弦定理，即可得答案；若选条件③：根据同角三角函数的关系，可求得，根据诱导公式及两角和的正弦公式，可求得，根据正弦定理，可求得b，c的值，代入与余弦定理，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以， 所以，即， 所以. （2）因为， 所以， 若选条件①：因为， 所以，则可能为锐角，也可能为钝角，不满足存在且唯一确定， 所以条件①不符合题意. 若选条件②：因为，由正弦定理得：， 联立，解得， 由余弦定理得， 所以. 若选条件③：由，得， 所以， 由正弦定理得， 联立，解得， 由余弦定理得， 所以. 25．在中，. (1)求的大小； (2)若点在边上，且，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 若选①：， 在中，由正弦定理， 即，所以，因为， 所以，所以， 此时，则，则不满足三角形内角和定理，故不存在； 若选②：因为，又， 所以， 所以 ，显然， 所以， 所以， 在中，由正弦定理， 即，解得，在中，所以， 所以， 此时， 在中由余弦定理，即，解得（负值已舍去）， 所以存在，且； 若选③：因为的面积为， 所以，所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 又， 所以， 在中，所以， 所以， 此时，所以存在，且. 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）若选①，在中利用正弦定理求出，从而求出，即可判断；若选②，利用两角和的正弦公式求出，即可求出，在中，利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出，即可得解；若选③由面积公式求出，再由余弦定理求出、，再由锐角三角函数求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. （2）略 26．在中，． (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①.，．条件②.，．条件③.，． 【答案】(1) (2) 任选条件①③：边上中线的长为． 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，然后利用两角和的正弦公式化简即可得解； （2）选择条件①，利用同角三角函数基本关系得，，利用两角和的正弦公式得，由正弦定理得，进而由余弦定理求解边上中线的长；选择条件②，利用余弦定理求得或，故不唯一，不符合题意；选择条件③，利用余弦定理求得，再由余弦定理求解边上中线的长. 【详解】（1）由正弦定理可得， 在中，， 所以， 所以原方程变为，因为，所以， 所以原方程变为． （2）选择条件①：在中，因为，所以， 因为，所以，又， 所以，． 因为，所以． 由知角唯一确定， 故存在且唯一确定， 所以， 由正弦定理，可得， 设边上中线为，则由余弦定理得 ． 即边上中线的长为． 选择条件②：，．由余弦定理， 即， 即，可得或， 故不唯一，不符合题意； 选择条件③：，． 由余弦定理，即， 即，可得或（舍去），经检验存在且唯一确定， 设边上的中线为， 由余弦定理得． 即边上中线的长为． 27．在中，，，分别为角，，的对边，，，且. (1)求角的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 选条件①，. 选条件②，不唯一， 选条件③，. 【分析】（1）根据三角形边角关系及的值即可求解； （2）对给出的三个条件逐一探讨，利用三角形的唯一性可排除条件②.若选①，由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选③，由正弦定理求出的值，由两角和的正弦公式求出的值，结合面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，因为，所以，所以，. 因为，所以，所以. （2）选条件①：，为锐角. 由（1）知，所以. 又，， 由余弦定理可得， 即，解得或. 当时，，为钝角，不符合题意，舍去； 当时，，为锐角，符合题意. 综上，满足条件的存在且唯一确定， 此时的面积为. 选条件②：. 由（1）知，所以. 因为，所以.结合余弦函数在上的单调性可知. 因为，所以或，从而角可能为锐角，也可能为钝角， 所以不唯一，故不能选条件②. 选条件③：. 由（1）知，所以. 因为，由正弦定理可得，所以，. 由正弦定理可得. 又， 所以的面积为. 28．在中，，且. (1)求的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：边上的高为； 条件③：. 【答案】(1) (2)选条件①：无解；选条件②：的面积为；选条件③：的面积为 【分析】（1）利用余弦定理边化角即可求解； （2）选①，由余弦定理可得答案；选②，结合余弦定理求出面积可得答案；选③，判断出是钝角，利用平方关系求出，再结合正弦定理求出，最后由三角形的面积公式可得答案. 【详解】（1）由余弦定理及得 ， 因为，所以； （2）选条件①，， 由余弦定理得， 而由（1）得，显然不成立； 所以无解； 选条件②：边上的高为， 可得，即，又.， 由余弦定理得， 化简得，解得，或舍去， 所以有一解，此时的面积为；    选条件③：， 因为，所以是钝角，可得是锐角， 所以， ， 在中，由正弦定理得， 可得，再由解得， 由余弦定理得， 即，符合有一解， 此时的面积为. 29．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 选择条件②：，选条件③：. 【分析】（1）利用正弦定理：边化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案； （2）①利用正弦定理可得为锐角或钝角；②利用基本不等式和三角形的性质可得存在且唯一确定；③利用正弦定理和余弦定理可得存在且唯一确定. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到，又， 又，所以，得到，所以. （2）选条件①：，； 由（1）知，，根据正弦定理知， 所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件； 选择条件②： 已知，，， 由余弦定理，可得， 又因为，所以， 展开可得， 移项化简得，解得， 此时，满足三角形三边关系，且存在且唯一确定， 根据三角形面积公式，可得， 选条件③：边上的高，； 如图所示，边上的高，在中，，即， 由（1）知，，根据余弦定理知，， 化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定， 所以的面积为. 30．已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式化简等式，得出，结合三角形内角取值范围，求出角. （2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出面积最大值. 【详解】（1）根据正弦定理， 所以，， 所以， 又因为，， 代入化简得①， 根据两角和的正弦公式， 又，则， 代入①化简得：， 因为角，所以角. （2）已知的外接圆半径为1，由正弦定理， 可得， 由余弦定理可知，代入的值可得. 由基本不等式，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取最大值3. 由三角形面积公式可得， 因为，当且仅当时，面积最大， 所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 解三角形 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 正弦定理、余弦定理 知识点2 余弦定理及其推论的应用 知识点3 解的情况 知识点4 任意三角形的面积公式 知识点5 三角形中的三角变换 题型破译 (含超链接） 题型1 正弦定理及边角互化解三角形【含方法技巧】 题型2 余弦定理解三角形【含方法技巧】 题型3 求三角形的面积【含方法技巧】 题型4 求三角形的周长【含方法技巧】 题型5 三角形中的最值与范围【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 正弦定理 — T16(1)（约6分） T16(1)（约6分） 余弦定理 T10（4分）、T14（5分） — — 三角形面积公式 — T16(2)（约7分） T16(2)（约7分） 解三角形的综合应用 — T16（13分） T16（13分） 考情分析 解三角形是高考的重要考查内容，北京卷近年考查频率高，分值约13~17分，题型覆盖选择、填空、解答，难度中等。命题方式灵活多样：选择、填空题常与实际问题或几何背景结合，考查余弦定理的应用（2026 T10、T14），注重数学建模素养；解答题立足正、余弦定理与面积公式，常设置条件选择的开放性问题，考查学生对三角形存在性的判断及多解问题的处理能力。近三年考情显示，2024年、2025年连续两年以解三角形为解答题第16题，2026年该题位置改为三角函数性质综合题，但解三角形以选择、填空形式出现，其核心地位依然稳固。复习时需强化边角互化能力，熟练掌握面积公式的多种形式，重视解的个数讨论。 复习目标 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形，能根据已知条件灵活选择定理进行边角互化。 2.掌握三角形面积公式 ，能结合条件求面积。 3.能判断三角形解的个数，掌握条件选择类问题的分析策略。 4.能将实际问题或几何问题转化为解三角形问题，提升数学建模与运算求解能力。 5.注意与三角恒等变换、向量、立体几何等板块的融合，提升综合解题能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 正弦定理、余弦定理 在中，若角所对的边分别是为外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，等于__________. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的_________减去这两边与它们夹角的余弦的积的_______. 公式 ________＝_______＝_______=______. __________________， __________________， __________________. 常见 变形 （1） （2）（3） （4） ， ， . 自主检测1在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 自主检测2在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 知识点2 余弦定理及其推论的应用 （1）利用余弦定理的变形判定角 在中，为____；为____；为____． （2）应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求______． ②已知_____及____，求第三边和其他两个角． 自主检测1在中，，，分别为，，的对边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三个选项都有可能 自主检测2若三角形三条边的长度分别为2，2025，2026，则该三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定的 知识点3 解的情况 在中，已知、和时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 _____ _____ 解的个数 _____ 两解 _____ 一解 自主检测1在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 自主检测2已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 知识点4 任意三角形的面积公式 （1）______________________________，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． （2），其中为的一边长，而为该边上的高． 自主检测1已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 自主检测2已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（　　） A． B．3 C． D．3 知识点5 三角形中的三角变换 （1）角的变换：因为在中，，所以___________，___________，___________，___________. （2）三角形边角关系定理及面积公式：.（r为三角形内切圆半径，） 自主检测1记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)证明：； (2)若的面积为3，求的最小值． 自主检测2在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 题●型●破●译 题型1 正弦定理及边角互化解三角形 例1-1（2026·北京西城·模拟预测）在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-2（2026·北京房山·二模）在中，，则______；若，为钝角，则边的一个取值为______． 例1-3（2026·北京·三模）已知在中，． (1)求角； (2)从条件①、条件②、条件③这三组条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的高． ①，； ②，； ③，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 例1-4（2026·北京·三模）在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 方法技巧 1.正弦定理：在 中，（ 为外接圆半径）。常见变形： ，，； ，，； 。 2.边角互化的方向选择： 边化角：当式子中边的次数较高或出现边的齐次式（如 ）时，常将边化为角的正弦，利用三角恒等变换化简； 角化边：当式子中出现角的余弦、正切或角的齐次式时，常将角的正弦化为边，利用代数运算求解。 判断技巧：若等式两边边的次数相同（齐次），则既可边化角也可角化边，选择更易化简的方向。 3.已知两边及其中一边的对角（SSA） ：利用正弦定理求另一边的对角时，需注意多解情况—— 的值对应 可能有两解（ 和 ），需结合“大边对大角”或三角形内角和 进行取舍。 4.求外接圆半径：若已知三角形一边及其对角，可直接利用 求出外接圆半径。 【变式训练1-1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）在中，，则___________；若的内切圆的半径为，则的周长为___________． 【变式训练1-2】（2026·北京·三模）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9． 注：若选择条件不合要求，本小题得0分；若选择多个条件，按所选第一个条件计入． 【变式训练1-3】（2026·北京海淀·三模）在中，角所对的边为，已知． (1)求； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 【变式训练1-4】（2026·北京昌平·二模）在△中，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的值． 条件①：△的面积为，； 条件②：，； 条件③：AB边上的高为，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式训练1-5】（2026·北京通州·一模）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 题型2 余弦定理解三角形 例2-1（2026·北京海淀·一模）在中，内角、、的对边分别为、、，，，则（    ） A． B． C． D． 例2-2（2026·北京丰台·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 例2-3（2026·北京西城·一模）已知的面积，且． (1)求C的大小； (2)记的周长为．给出的解析式，并求其最大值． 方法技巧 1.余弦定理：在 中 ； ； 。 变形形式：，，。 2.适用场景： 已知三边（SSS） ：直接用余弦定理求任一角； 已知两边及夹角（SAS） ：用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求其他角； 已知两边及其中一边对角（SSA） ：可用余弦定理建立关于第三边的方程求解，能有效避免正弦定理的多解问题。 3.判断三角形形状： 若 ，则 （直角三角形）； 若 ，则 （锐角三角形）； 若 ，则 （钝角三角形）。 结合最大边对应的角，可判断三角形的形状。 4.余弦定理与方程思想：当已知条件不足以直接求解时，利用余弦定理建立方程，结合其他条件（如周长、面积）联立方程组求解。 【变式训练2-1】（2026·北京西城·二模）在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________. 【变式训练2-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求． (2)若，请再从条件①、②、③中选择一个合适的条件作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ①边上的中线长为；②；③角的平分线长为． 【变式训练2-3】（2026·北京密云·一模）在中，. (1)求； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型3 求三角形的面积 例3-1（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 例3-2（2026·北京顺义·三模）在中， (1)求； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的值． ①；②；③面积为． 例3-3（2026·北京海淀·二模）如图，在四边形中，是的角平分线． (1)求证：； (2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 例3-4（2026·北京昌平·一模）在中，，的平分线与交于点． (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定．求的长． 条件①：边上的高为； 条件②：的面积为； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 方法技巧 1.面积公式： （底 高）； （两边及夹角）； （ 为外接圆半径）； （ 为内切圆半径， 为半周长）。 2.面积与三角恒等变换结合：若已知面积和某些边角关系，将面积公式与正余弦定理联立，可求解未知的边或角。常见题型：已知 和 ，利用 求 ，再结合余弦定理求 或 。 3.面积的最值问题：若三角形中某角固定，面积 可化为关于 的函数，利用基本不等式求最值。如 固定时，（当且仅当 时取等号）。 4.多三角形面积：若图形由多个三角形组成，则总面积等于各三角形面积之和，常用正弦定理分别求各三角形面积后再相加。 【变式训练3-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）在中，，，且，则的面积为______. 【变式训练3-2】（2026·北京东城·二模）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积. 【变式训练3-3】（2026·北京门头沟·一模）在中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式训练3-4】（2026·北京顺义·一模）在三角形中，角所对的边长分别为，，. (1)求； (2)若点在边上，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 题型4 求三角形的周长 例4-1（2026·北京朝阳·二模）在中，，． (1)求的值； (2)已知的面积为，求的周长． 例4-2（2026·北京·二模）在中，为锐角，． (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求出的周长． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 方法技巧 1.基本方法：周长 。利用正、余弦定理求出三边或三边之和即可。 2.已知两边及夹角求周长：先用余弦定理求第三边 ，再求周长 。 3.已知两角及一边求周长：利用正弦定理 ，先求出所有边，再相加。若只需求周长而无需逐边求出，可利用比例关系设 ，，，先求 ，再求周长 。 4.已知面积和某角求周长范围：利用面积公式建立 的方程，结合余弦定理和基本不等式，将周长表示为某一变量的函数，利用函数性质或不等式求取值范围。常用不等式： ； 三角形中 等隐含条件对范围的限制。 5.内切圆半径与周长：若已知 和 ，则周长 ，利用此关系可快速求解。 【变式训练4-1】（25-26高三上·北京海淀·期末）在中，为锐角，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【变式训练4-2】（25-26高三上·北京石景山·期末）在中，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的周长． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式训练4-3】（2026·北京丰台·一模）在中，，，分别为内角，，所对的边，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 题型5 三角形中的最值与范围 例5-1在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 例5-2在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 例5-3在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例5-4已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 方法技巧 1.边的最值与范围： 利用正弦定理将边表示为角的正弦函数，结合 消元，转化为三角函数在给定区间上的值域问题。 利用余弦定理建立边的方程，结合基本不等式 求最值。 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的隐含条件是确定范围的基础。 2.角的最值与范围： 若已知三边关系，利用余弦定理将角表示为边的函数，利用不等式求角的范围。 若已知某角为定值，则其他角的范围由 确定。 3.面积的最值与范围： 转化为 ，利用正余弦定理和基本不等式求最值。 利用面积公式 ，结合外接圆半径的变化求最值。 若三角形形状受限制（如锐角三角形），角的范围缩小，面积范围随之变化。 4.周长的最值与范围： 利用正弦定理将周长表示为 ，利用三角恒等变换和单调性求最值。 利用基本不等式：若 固定，则 有最大值（当 时取到），进而周长有最大值。 若三角形为锐角三角形，还需增加 的约束条件。 5.利用基本不等式的常见模型： ，，； 在 固定时，，当 时取最大值。 6.锐角、钝角三角形的额外约束： 锐角三角形：，即所有角的余弦值均为正，由此可得到边的平方关系 等； 钝角三角形：最大角的余弦值为负，边的不等式方向相反。 7.数形结合法：利用三角形的几何意义（如外接圆、内切圆、高线等），将最值问题转化为几何图形中的极值问题，直观判断取得最值的临界状态。 【变式训练5-1】（25-26高三上·北京·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 【变式训练5-2】（2026·北京顺义·二模）在中，. ①若，则__________. ②若为锐角三角形，则的取值范围是__________. 【变式训练5-3】（25-26高三上·北京·开学考试）在中，，则的取值范围是______． 【变式训练5-4】在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为___________． 【变式训练5-5】（2026·北京·三模）对于，，则下列结论中正确的有几个．（     ） ①若，，则存在且唯一； ②若的周长为，则的最大值为； ③若的面积为，则的最大值为； ④若的面积为，则的取值范围是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练5-6】（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，满足以下三个条件： ①             ②              ③ (1)从以上条件中任选两个作为已知，能否唯一确定？并说明理由； (2)若选择条件①和条件③，且的面积为，求的最大值. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 4．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 5．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 6．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 7．（2020·北京·高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a的值： （Ⅱ）和的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（    ） A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 2．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．一个三角形的两个内角分别为30º和45º，如果45º角所对边的长为8，那么30º角所对边的长为（    ） A．4 B． C． D． 4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是 A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在加工一个零件时，需要计算A，C两孔中心的距离，已知mm，mm，，则______mm．（精确到0.01mm）    6．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n． 三、解答题 7．如图．在中，，，点F为AB的中点，且．求AC的长．    8．如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处32km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．这个人还要走多少路才能到达A城？    课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 1. 的三边之比为．求这个三角形的最大角． 2. 设R是的外接圆的半径，S是的面积，求证： (1)； (2)． 3. 如图为一角槽示意图，已知，，并量得mm，mm，mm，则______，______．（精确到0.1°）    4. 已知中，，，，，求，． 5. 在中，已知，，，求c和． 6. 在中，已知，，三角形外接圆的面积为，求． 7. 如图，一艘船以42nmile/h的速度向正北方向航行，从处看灯塔位于船北偏东25°的方向上，30min后船航行到处，从处看灯塔位于船北偏东58°的方向上．求灯塔与之间的距离（精确到0.1nmile）． 8. 根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）： (1)已知，，，求a； (2)已知，，，求A． 9. 在中，． (1)求的值； (2)若，求的最大值． 10. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且． (1)求的大小； (2)若，求的大小． 模拟·基础演练 1．在中，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．在中，若，，，则（   ） A．4 B． C．3 D． 3．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 5．在中，，则（   ） A． B． C． D． 6．在锐角中，，则（   ） A． B． C． D． 7．在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_____. 9．在中，，，，则的面积为____________ 10．在中，，，． (1)求的值； (2)求的面积. 11．在中，为锐角，． (1)求； (2)若，求的面积． 12．在中，. (1)求的大小； (2)若，，求的面积. 13．在中，角A、B、C所对的边为、、，且． (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 14．在中，． (1)求的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：． 15．在中，， (1)求的值. (2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的存在，求的面积. ①边上的高为7； ②； ③边上的中线长5. 重难·创新演练16．已知内角A，B，C的对边成等比数列，，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 17．在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 18．在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 19．在锐角中，，，，的角平分线交于D，则_____；_____. 20．在中，内角A，，的对边分别为，，，S为的面积，为的中点，且，，则的最大值为______． 21．在中，已知，． (1)求的值； (2)若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 22．在△ABC中, (1)求∠B； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长. 条件①: ； 条件②：△ABC的面积为； 条件③：AC边上的高等于 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 23．在中，已知． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 24．在中，. (1)求； (2)若的面积为，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的值. 条件①：；条件②：；条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 25．在中，. (1)求的大小； (2)若点在边上，且，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 26．在中，． (1)求的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①.，．条件②.，．条件③.，． 27．在中，，，分别为角，，的对边，，，且. (1)求角的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 28．在中，，且. (1)求的大小； (2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：边上的高为； 条件③：. 29．在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 30．已知在中，角所对的边分别是，且满足. (1)求角的大小； (2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $