第04讲 数列求和综合（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦数列求和综合专题，覆盖等差等比公式及裂项相消、错位相减等8大求和方法，按“公式-技巧-综合应用”逻辑架构知识，通过考情分析、框架搭建、核心拆解、题型归纳、真题训练及分层突破环节，系统助力学生突破高考难点。 资料以“靶向突破+素养导向”为特色，如裂项相消法总结10类技巧并结合典例训练，错位相减法强调步骤规范与符号处理，培养数学思维与运算能力。设计“题型-方法-变式”三阶训练及分层练习，精准对接高考逻辑，帮助教师把控节奏，提升学生应考能力。

第04讲 数列求和综合 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 公式法求和 知识点2 倒序相加法求和 知识点3 分组转化法求和 知识点4 裂项相消法求和 知识点5 常见的裂项技巧 知识点6 错位相减法求和 知识点7 万能公式法求和 知识点8 奇偶并项法求和 题型破译 (含超链接） 题型1 公式法直接求和【含方法技巧】 题型2 分组转化求和【含方法技巧】 题型3 裂项相消求和【含方法技巧】 题型4 错位相减求和【含方法技巧】 题型5 奇偶并项求和【含方法技巧】 题型6 数列求和之不等式综合【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等差数列求和 T12（5分） — — 数列求和的综合应用 T12（5分） T21(3)（5分） — 考情分析 数列求和是高考数列板块的核心内容，北京卷近年以两种形式考查：一是选择、填空题中直接考查等差、等比数列求和公式的基本运算（2026 T12），分值约5分，难度中等偏易；二是解答题第21题压轴位置，将求和思想融入新定义情境中，作为证明或构造的组成部分（2025 T21），分值约5分，难度较大。近三年考情显示，数列求和的直接考查较少，但求和思想在数列综合题中始终贯穿，常与恒成立问题、新定义推理、充要条件证明等结合。复习时需熟练掌握各种求和方法的适用条件与操作步骤，同时注意求和思想在压轴题中的灵活迁移。 复习目标 1.熟练掌握等差数列与等比数列的前n项和公式，能进行基本量运算。 2.掌握裂项相消法的常见裂项形式（如 、 等），能识别适用场景并准确求和。 3.掌握错位相减法求和的步骤，能处理等差数列与等比数列对应项乘积的求和问题。 4.掌握分组转化法求和，能根据通项特征选择合适的分组策略。 5.能将求和思想迁移到新定义数列问题中，用于构造、证明或反证推理。 6.提升数学运算与逻辑推理素养，做到“算得准、理得清、用得活”。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 自主检测1已知是一个等差数列，且，． (1)求的通项； (2)求的前项和的最大值． 自主检测2已知数列为等差数列，，数列满足. (1)求； (2)求证数列为等比数列，并求该数列前项的和. 知识点2 倒序相加法求和 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和 ，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 自主检测1已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 自主检测2已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 知识点3 分组转化法求和 一个数列的通项公式是 组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 自主检测1是无穷等比数列的前项和，且公比，已知1是和的等差中项，6是与的等比中项．求： (1)和； (2)数列的通项公式； (3)数列的前项和． 自主检测2已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 知识点4 裂项相消法求和 把数列的通项拆成 ，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和． 自主检测1已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 自主检测2已知数列的前项和为，且有，数列的前项和为，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为，求证：． 知识点5 常见的裂项技巧 （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 知识点6 错位相减法求和 如果一个数列的各项是由 构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 自主检测1设数列的前n项和，满足，且． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 自主检测2已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 知识点7 万能公式法求和 形如的数列求和为， 其中，， 知识点8 奇偶并项法求和 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．奇偶并项可采用两大类合并求解． 自主检测1已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)设满足，求的前项和． 自主检测2已知数列满足：，，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 题●型●破●译 题型1 公式法直接求和 例1-1已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 例1-2已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 方法技巧 1.适用条件：数列为等差数列或等比数列（或可化为等差、等比数列的简单情形）。 2.等差数列求和公式： （已知首项和末项）； （已知首项和公差）。 3.等比数列求和公式（需分类讨论）： 当 时，； 当 时，。 注意：应用等比数列求和公式前，务必先判断 是否等于 ，这是最易失分点。 4.常用求和公式补充： ； ； 。 5.解题步骤：先判断数列类型（等差/等比/特殊数列），选择对应公式，代入首项、公差或公比等基本量，计算化简即可。 【变式训练1-1】记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【变式训练1-2】已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式训练1-3】已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 题型2 分组转化求和 例2-1已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 例2-2已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 方法技巧 1.适用条件：数列的通项可拆分成若干个等差、等比或常见求和公式形式的子项之和（或之差），即 ，其中 、 分别为可求和的数列。 2.常见分组类型： 等差 等比：，分别用等差、等比求和公式； 等比 常数：，分别求和后合并； 多段组合：，各项分别求和后相加。 3.解题步骤： 观察通项结构，识别可拆分的子项； 分别对各子项求和（利用公式法）； 将各部分和相加（或相减），化简得到最终结果。 4.分组求和与通项拆分的灵活运用：有些通项需先对原式进行变形（如展开、拆分分式）才能分组，如 ，直接分组为等差数列与等比数列之和。 【变式训练2-1】已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 【变式训练2-2】设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【变式训练2-3】已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 题型3 裂项相消求和 例3-1已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 例3-2设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 方法技巧 1.核心思想：将数列的通项拆分成两项之差（或两项之和的差），即 （或 ），在求和过程中相邻项相互抵消，简化计算。 2.常见裂项模型： ； ； ； （分母有理化）； ； （需结合具体形式调整系数）。 3.裂项系数调整：若通项形如 ，先提出 ，再裂项。 4.解题步骤： 观察通项的分母结构，判断裂项方式； 将通项裂成两项差的形式； 写出前 项和展开式，中间项相互抵消； 化简剩余项（通常为首尾若干项），得出结果。 5.注意：裂项相消后需检查保留的是哪些项（通常保留前 项和后 项），确保不遗漏。 【变式训练3-1】在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【变式训练3-2】已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 【变式训练3-3】已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 题型4 错位相减求和 例4-1设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 例4-2在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 方法技巧 1.适用条件：数列通项为等差数列 等比数列的形式，即 （或 ）。 2.标准形式：，其中 （）。 3.解题步骤： 写出 的展开式； 两边同乘以公比 ，得 的展开式； 将 与 错位相减（注意对齐 的同次幂项）； 右边得到一个等比数列的和（ 项或 项）加上首尾项； 化简，解出 ，并验证 的特殊情况。 4.运算技巧： 对齐时，将 和 中 的同次幂项写在竖直方向上，便于观察相消； 相减后等比数列的项数为 或 ，需仔细判断； 最终结果应化简为 或类似形式，可通过特殊值（如 ）验证。 5.常见易错点： 公比 的判断：若通项为 ，公比为 ；若为 ，公比仍为 （可提出 化为标准形式）； 相减后符号的处理（减号后面所有项变号，务必细心）。 【变式训练4-1】已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：. 【变式训练4-2】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 【变式训练4-3】已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型5 奇偶并项求和 例5-1已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 例5-2已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 方法技巧 1.适用条件：数列的通项含有 或 因子，或需要按项的奇偶性分别讨论求和。 2.并项求和的基本思路：将相邻两项合并为一项（即 ），构成一个新的数列 ，对新数列求和，最后根据项数 的奇偶性确定是否需要加上剩余项。 3.解题步骤： 根据 的奇偶性进行分类讨论； 当 （偶数项）时，求 ； 当 （奇数项）时，； 将结果用 表示（分段形式）或统一形式（含 ）。 4.常见并项模型： 通项为 ：相邻两项并项为 ； 通项为 ：利用平方差公式并项，化简后累加； 通项为 ：并项后转化为 的和。 5.统一形式的表示：若需要将分段结果统一成一个式子，可利用 或 表示奇偶项的选择。 【变式训练5-1】已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【变式训练5-2】已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【变式训练5-3】已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 题型6 数列求和之不等式综合 例6-1在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 例6-2已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 方法技巧 1.题型特征：将数列求和与不等式证明、恒成立、有解或最值问题结合，常见于高考压轴题。难度较大，需综合运用求和方法与不等式技巧。 2.数列求和 不等式证明： 直接求和证明：先利用公式法、裂项相消、错位相减等方法求出 的表达式，再证明 满足某个不等式（如 、），通常转化为求 的最值或极限； 放缩法证明：当通项无法直接求和时，先将通项适当放大或缩小，转化为可求和的数列，再证明放大（缩小）后的和满足目标不等式。 3.常见放缩技巧： （），用于放缩平方倒数型数列； ，用于下界放缩； ，用于根式型数列放缩； （），用于指数型数列放缩； ，用于阶乘型放缩。 4.数列求和 恒成立问题： 若 恒成立，先求 的最大值（或上确界），再令最大值 ，解参数范围； 若 恒成立，先求 的最小值（或下确界），再令最小值 ，解参数范围； 求 最值的方法：单调性法（判断 的增减）、配方法（ 为二次函数型）、极限法（ 有上界或下界）。 5.数列求和 有解问题： 方程 有解，则 应属于 的值域； 若 单调，则值域为区间，判断 是否在区间内即可。 6.数列 不等式放缩的综合证明策略： 第①步：分析通项结构，判断能否直接求和； 第②步：若直接求和可行，先求和再证明不等式； 第③步：若直接求和不可行或过于复杂，尝试放缩通项，转化为易求和的数列； 第④步：验证放缩的方向是否正确（放大 证上界，缩小 证下界）； 第⑤步：求放缩后数列的和，完成不等式的证明。 7.利用前 项和构造新数列：有时题目给出 的递推关系，需先求出 的通项，再利用 求 ，最后结合不等式求解。 【变式训练6-1】已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【变式训练6-2】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数； (2)设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 【变式训练6-3】已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 二、解答题 2．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且； ②； ③，． (1)如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由； (2)若数列是数列，求； (3)设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 2．已知函数. (1)求的解析式； (2)设，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 3．已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 4．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 5．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 6．设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 8．已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 9．已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 10．已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 重难·创新演练11．设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. （参考公式：） 12．记为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 13．已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记为，设数列的前项和，若，求满足条件的最大整数. (3)设，其中，求数列的前项和 14．已知等比数列的前n项和为，， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前2n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 15．已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 16．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 18．记为数列的前项和，已知，． (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 19．已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 20．已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 数列求和综合 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 公式法求和 知识点2 倒序相加法求和 知识点3 分组转化法求和 知识点4 裂项相消法求和 知识点5 常见的裂项技巧 知识点6 错位相减法求和 知识点7 万能公式法求和 知识点8 奇偶并项法求和 题型破译 (含超链接） 题型1 公式法直接求和【含方法技巧】 题型2 分组转化求和【含方法技巧】 题型3 裂项相消求和【含方法技巧】 题型4 错位相减求和【含方法技巧】 题型5 奇偶并项求和【含方法技巧】 题型6 数列求和之不等式综合【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 等差数列求和 T12（5分） — — 数列求和的综合应用 T12（5分） T21(3)（5分） — 考情分析 数列求和是高考数列板块的核心内容，北京卷近年以两种形式考查：一是选择、填空题中直接考查等差、等比数列求和公式的基本运算（2026 T12），分值约5分，难度中等偏易；二是解答题第21题压轴位置，将求和思想融入新定义情境中，作为证明或构造的组成部分（2025 T21），分值约5分，难度较大。近三年考情显示，数列求和的直接考查较少，但求和思想在数列综合题中始终贯穿，常与恒成立问题、新定义推理、充要条件证明等结合。复习时需熟练掌握各种求和方法的适用条件与操作步骤，同时注意求和思想在压轴题中的灵活迁移。 复习目标 1.熟练掌握等差数列与等比数列的前n项和公式，能进行基本量运算。 2.掌握裂项相消法的常见裂项形式（如 、 等），能识别适用场景并准确求和。 3.掌握错位相减法求和的步骤，能处理等差数列与等比数列对应项乘积的求和问题。 4.掌握分组转化法求和，能根据通项特征选择合适的分组策略。 5.能将求和思想迁移到新定义数列问题中，用于构造、证明或反证推理。 6.提升数学运算与逻辑推理素养，做到“算得准、理得清、用得活”。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 自主检测1已知是一个等差数列，且，． (1)求的通项； (2)求的前项和的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意解得 （2）， ，， ∴当时，有最大值． 自主检测2已知数列为等差数列，，数列满足. (1)求； (2)求证数列为等比数列，并求该数列前项的和. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）因为为等差数列，且， 设的首项为，公差为，则，解得， 所以. （2）因为， 所以， 因此为等比数列， 所以的前项和. 知识点2 倒序相加法求和 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数 ，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 自主检测1已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由递推关系求解数列的通项公式； （2）由及倒序相加求数列的和． 【详解】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 自主检测2已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列性质得出，再结合等比中项求出公差即可写出通项； （2）先化简，推导出，26项可凑成13对即可求和. 【详解】（1）由题知，，得， 设等差数列的公差为， 则，解得（舍去）， 所以； （2）由题知，， 所以， 所以． 知识点3 分组转化法求和 一个数列的通项公式是 若干个等差或等比或可求和的数列 组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 自主检测1是无穷等比数列的前项和，且公比，已知1是和的等差中项，6是与的等比中项．求： (1)和； (2)数列的通项公式； (3)数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差中项与等比中项定义，列方程求解即得； （2）利用（1）的结论，结合等比数列的求和公式求出，再求的通项公式； （3）利用分组求和与等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）依题意得，解得； （2），则由，可得， 解得，． ； （3）由（2）得， 则 ． 自主检测2已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可； （2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为． 由题意可得，解得，， 则． （2）由（1）可知，， 故 知识点4 裂项相消法求和 把数列的通项拆成 两项之差 ，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和． 自主检测1已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为①，所以，解得， 对任意的，②， 得，即， 则,即，因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用与的关系推得数列递推式，即可证明是等比数列； （2）先利用对数运算求出，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）分析可得，即． 因为， 所以． 自主检测2已知数列的前项和为，且有，数列的前项和为，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)由（1）（2）知，， 则， 即， ， ， ，证毕. 【分析】（1）应用计算求解； （2）应用等差数列求和公式及等差数列通项公式计算求解； （3）应用裂项相消法计算证明. 【详解】（1）已知， 故当时，， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为； （2）， ， 即为等差数列，设公差为， 则有， 解得：， ， 的通项公式为； （3）略 知识点5 常见的裂项技巧 （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 知识点6 错位相减法求和 如果一个数列的各项是由 一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 自主检测1设数列的前n项和，满足，且． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：，， 两式相减得， 又且，解得， 所以， ， 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． (2) 【分析】（1）根据数列的前n项和与通项的关系，利用相减法得与的递推关系式，从而结合等比数列的定义证明结论； （2）利用错位相减法求解数列的前n项和即可． 【详解】（1）略. （2）由（1）知，，，， （1） （2） （1）-（2）得， . 自主检测2已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为，计算基本量，利用等比数列通项公式即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 所以， 又是的等差中项， 所以，所以， 所以，解得或（舍去）, 时，，此时数列递减，不符合题意， 所以， 所以； （2）由（1）有：， 所以①， 所以②， 由①②得：， 所以. 知识点7 万能公式法求和 形如的数列求和为， 其中，， 知识点8 奇偶并项法求和 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．奇偶并项可采用两大类合并求解． 自主检测1已知正项等比数列满足． (1)求数列的通项公式： (2)设满足，求的前项和． 【答案】(1). (2). 【分析】(1)由递推关系及等比数列定义可得； (2)由分组求和可得. 【详解】（1）设公比为 . 由 得 . 又 , 故 . 令 得 , 令 得 , 两式相除得 , 由正项数列知 , 代入得 , 因此 . （2）由 得 , 则 ， 前 项和拆分为奇数项与偶数项之和: ， 奇数项和为 . 偶数项和为 . 相加得 . 自主检测2已知数列满足：，，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列的递推公式求得数列的递推公式，从而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到数列中的通项公式，结合数列的递推公式求得的通项公式，从而求得数列的通项公式.然后讨论的奇偶性，通过分组求和求得数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以，则 因为为奇数，为偶数，所以， 所以， 即数列是首项为12，公比为4的等比数列， 所以. （2）由（1）可知，，所以. 因为为奇数，则，所以， 当为偶数时，， . 当为奇数时，为偶数，， 综上所述，. 题●型●破●译 题型1 公式法直接求和 例1-1已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) 由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）由题设可得，进而求证即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，则， 所以. 例1-2已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，则，即， 且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可得数列为等差数列， 所以数列的前项和. 方法技巧 1.适用条件：数列为等差数列或等比数列（或可化为等差、等比数列的简单情形）。 2.等差数列求和公式： （已知首项和末项）； （已知首项和公差）。 3.等比数列求和公式（需分类讨论）： 当 时，； 当 时，。 注意：应用等比数列求和公式前，务必先判断 是否等于 ，这是最易失分点。 4.常用求和公式补充： ； ； 。 5.解题步骤：先判断数列类型（等差/等比/特殊数列），选择对应公式，代入首项、公差或公比等基本量，计算化简即可。 【变式训练1-1】记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，-25 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由通项公式求解. （2）求解的表达式，即可根据二次函数的性质求解最值. 【详解】（1）设数列的公差为， 由题意可知，解得． 所以． （2）因为， 所以当时，取得最小值，最小值为． 【变式训练1-2】已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和公式与通项公式构建方程组，可求出首项和公差，即可写出通项公式. （2）写出数列的通项公式，由，可判断出数列是等比数列，再求和. 【详解】（1）∵为等差数列，， ∴. 化简得，又∵，∴. 当时，，求得， 公差. 数列的通项公式为 （2）由第一问可知， 则，， 因此数列是首项为3，公比为9的等比数列， . 【变式训练1-3】已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据给定条件，列式求出等差数列公差、等比数列公比即可. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）在等差数列中，，解得，而， 因此数列的公差，； 设等比数列的公比为，由，得，解得， 又，则，解得，而，因此，， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）得， 所以. 题型2 分组转化求和 例2-1已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 例2-2已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 方法技巧 1.适用条件：数列的通项可拆分成若干个等差、等比或常见求和公式形式的子项之和（或之差），即 ，其中 、 分别为可求和的数列。 2.常见分组类型： 等差 等比：，分别用等差、等比求和公式； 等比 常数：，分别求和后合并； 多段组合：，各项分别求和后相加。 3.解题步骤： 观察通项结构，识别可拆分的子项； 分别对各子项求和（利用公式法）； 将各部分和相加（或相减），化简得到最终结果。 4.分组求和与通项拆分的灵活运用：有些通项需先对原式进行变形（如展开、拆分分式）才能分组，如 ，直接分组为等差数列与等比数列之和。 【变式训练2-1】已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）由（1）得到，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 【变式训练2-2】设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，结合等比数列定义完成证明； （2）先求出的通项，将拆分为等比数列和等差数列分别求和后相加得到. 【详解】（1）已知且． 当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以. 【变式训练2-3】已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 题型3 裂项相消求和 例3-1已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）略 例3-2设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 方法技巧 1.核心思想：将数列的通项拆分成两项之差（或两项之和的差），即 （或 ），在求和过程中相邻项相互抵消，简化计算。 2.常见裂项模型： ； ； ； （分母有理化）； ； （需结合具体形式调整系数）。 3.裂项系数调整：若通项形如 ，先提出 ，再裂项。 4.解题步骤： 观察通项的分母结构，判断裂项方式； 将通项裂成两项差的形式； 写出前 项和展开式，中间项相互抵消； 化简剩余项（通常为首尾若干项），得出结果。 5.注意：裂项相消后需检查保留的是哪些项（通常保留前 项和后 项），确保不遗漏。 【变式训练3-1】在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 【变式训练3-2】已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，联立已知条件，，求出首项和公差，进而写出通项公式； （2）先由求出前项和，再将数列通项裂项为，通过裂项相消求出的表达式，最后解不等式，得到的最小值． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）得，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 化简得， 又，解得， 所以的最小值为． 【变式训练3-3】已知数列中，，. (1)设，证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)在数列中，由，得，， 而，则，， 于是 ，而 ， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. (2). 【分析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）由（1）得，再求出，从而可得，然后用裂项相消法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，， 则， 所以. 题型4 错位相减求和 例4-1设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：由得： ， 所以，                                 所以，即得，                         由等差数列的定义知：数列为以3为首项，4为公差的等差数列 ； (2) 【分析】（1）化简应用裂项及迭代得出通项，再应用等差数列通项公式计算证明； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：， 所以  ，                                  所以， 所以，           所以， 所以； 例4-2在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. (2)由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【详解】（1）略 （2）略 方法技巧 1.适用条件：数列通项为等差数列 等比数列的形式，即 （或 ）。 2.标准形式：，其中 （）。 3.解题步骤： 写出 的展开式； 两边同乘以公比 ，得 的展开式； 将 与 错位相减（注意对齐 的同次幂项）； 右边得到一个等比数列的和（ 项或 项）加上首尾项； 化简，解出 ，并验证 的特殊情况。 4.运算技巧： 对齐时，将 和 中 的同次幂项写在竖直方向上，便于观察相消； 相减后等比数列的项数为 或 ，需仔细判断； 最终结果应化简为 或类似形式，可通过特殊值（如 ）验证。 5.常见易错点： 公比 的判断：若通项为 ，公比为 ；若为 ，公比仍为 （可提出 化为标准形式）； 相减后符号的处理（减号后面所有项变号，务必细心）。 【变式训练4-1】已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列. (1)求数列的通项； (2)设，且的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明：由（1）得， 则， 于是， 两式相减得，， 因此，又， 则数列是递增数列，， 所以. 【分析】（1）根据给定条件，结合等差中项的意义列式求出公比，进而求出通项. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求出，借助单调性推理得证. 【详解】（1）设是等比数列的公比，由，，成等差数列， 得，即，则，解得， 由，得，解得， 所以数列的通项. （2）略 【变式训练4-2】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用定义求解首项，公差，可得通项公式. （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）设数列首项为，公差为，依题有， 即  ，解得． 所以. （2）因为，即，而， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，则， 所以. 而， 则， 两式相减得： . 所以． 【变式训练4-3】已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据等量关系建立方程，求解出和，进而得到两个数列的通项公式；（2）使用错位相减法求解即可. 【详解】（1）依题意可知，，解得， 所以，． （2）由（1）可知，，则 ， ， 两式作差得 ， 所以． 题型5 奇偶并项求和 例5-1已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． （2）因为，则．所以 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上所述， 例5-2已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)63 (3) 【分析】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 方法技巧 1.适用条件：数列的通项含有 或 因子，或需要按项的奇偶性分别讨论求和。 2.并项求和的基本思路：将相邻两项合并为一项（即 ），构成一个新的数列 ，对新数列求和，最后根据项数 的奇偶性确定是否需要加上剩余项。 3.解题步骤： 根据 的奇偶性进行分类讨论； 当 （偶数项）时，求 ； 当 （奇数项）时，； 将结果用 表示（分段形式）或统一形式（含 ）。 4.常见并项模型： 通项为 ：相邻两项并项为 ； 通项为 ：利用平方差公式并项，化简后累加； 通项为 ：并项后转化为 的和。 5.统一形式的表示：若需要将分段结果统一成一个式子，可利用 或 表示奇偶项的选择。 【变式训练5-1】已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 【变式训练5-2】已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     【变式训练5-3】已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 题型6 数列求和之不等式综合 例6-1在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 例6-2已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 方法技巧 1.题型特征：将数列求和与不等式证明、恒成立、有解或最值问题结合，常见于高考压轴题。难度较大，需综合运用求和方法与不等式技巧。 2.数列求和 不等式证明： 直接求和证明：先利用公式法、裂项相消、错位相减等方法求出 的表达式，再证明 满足某个不等式（如 、），通常转化为求 的最值或极限； 放缩法证明：当通项无法直接求和时，先将通项适当放大或缩小，转化为可求和的数列，再证明放大（缩小）后的和满足目标不等式。 3.常见放缩技巧： （），用于放缩平方倒数型数列； ，用于下界放缩； ，用于根式型数列放缩； （），用于指数型数列放缩； ，用于阶乘型放缩。 4.数列求和 恒成立问题： 若 恒成立，先求 的最大值（或上确界），再令最大值 ，解参数范围； 若 恒成立，先求 的最小值（或下确界），再令最小值 ，解参数范围； 求 最值的方法：单调性法（判断 的增减）、配方法（ 为二次函数型）、极限法（ 有上界或下界）。 5.数列求和 有解问题： 方程 有解，则 应属于 的值域； 若 单调，则值域为区间，判断 是否在区间内即可。 6.数列 不等式放缩的综合证明策略： 第①步：分析通项结构，判断能否直接求和； 第②步：若直接求和可行，先求和再证明不等式； 第③步：若直接求和不可行或过于复杂，尝试放缩通项，转化为易求和的数列； 第④步：验证放缩的方向是否正确（放大 证上界，缩小 证下界）； 第⑤步：求放缩后数列的和，完成不等式的证明。 7.利用前 项和构造新数列：有时题目给出 的递推关系，需先求出 的通项，再利用 求 ，最后结合不等式求解。 【变式训练6-1】已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明：，因为，所以， 则. 设 相减得到； 则， 因为，所以，因此，得证. 【分析】（1）先利用赋值思想，得出数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可求解； （2）首先利用数列放缩思想将扩大成，进行错位相减求和即可比较出与的大小关系. 【详解】（1）已知，令，则，因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则. （2）略 【变式训练6-2】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数； (2)设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）27 【详解】【小题1】由得：当时，； 当时，.     验证也满足，故通项公式为，.     解不等式，即，得， 所以满足条件的正整数，2，3，4，其中最大的 【小题2】（i）由得：，，，，，则 .         （ii）由知递增， 当 时，，有. 求和：.     再加上前4项的和，可得当时，有， 因此对所有 ，有，且，     条件对任意正整数 恒成立，等价于， 故满足条件的最小值为27 【变式训练6-3】已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 二、解答题 2．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列： ①，且； ②； ③，． (1)如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由； (2)若数列是数列，求； (3)设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)不可以是数列；理由如下： 因 为 所以， 因 为所 以 所以数列，不可能是数列. (2)； (3)存在；． 【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列； (2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值； (3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值. 【详解】（1）略； （2）性质①， 由性质③，因此或，或， 若，由性质②可知，即或，矛盾； 若，由有，矛盾. 因此只能是. 又因为或，所以或. 若，则， 不满足，舍去. 当，则前四项为:0，0，0，1， 下面用数学归纳法证明： 当时，经验证命题成立，假设当时命题成立， 当时： 若，则，利用性质③： ，此时可得：或； 所以， 同理可得： ，有； ，有； ，又因为，有 即当时命题成立，证毕. 综上可得：，. （3）令，由性质③可知： ， 由于， 因此数列为数列. 由（2）可知: 若； ，， 因此，此时，，满足题意. 【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 【答案】（1）12；（2）. 【详解】当时，即根据上述运算法得出： 故当时，使得需要12步雹程； （2）若， 根据上述运算法进行逆推， 或； 若，则或； 当时，或； 若时，或； 当，则或； 当时，； 当时，， 故所有可能的取值集合． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）求出等比数列的首项，可求得其通项公式，结合数列的单调性求解，即得答案. 【详解】（1）由题意设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 故； （2）由于等比数列的公比为，且满足， 而，则，故， 则， 又，则， 当时，显然成立， 由于随着n的增大而增大，随着n的增大而增大， 当时，，故时，无解， 故满足的所有正整数的值为. 2．已知函数. (1)求的解析式； (2)设，证明数列为等比数列，并求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可得， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. . 【分析】（1）由换元法求函数解析式； （2）利用等比数列的定义即可证明，再由裂项相消法求解. 【详解】（1）解：令，则， 得， 所以. （2）因为， 所以. 3．已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造法可求的通项公式； （2）利用参变分离和数列的单调性可求的最大项，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. （2）若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 4．已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先求出，然后由求经过验证后可得通项公式. （2）根据（1）代入可得，当为偶数时，可看为两两一组，先求出，再利用错位相减求和求得.当为奇数时，因为为偶数项和，所以可利用代入求得. 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）由（1）可得 当为偶数时，， 则， 则， 则 ， 则. 当为奇数时，. 故 5．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为， 由 ，令，可得，解得，从而可得结果； （2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 则，即，解得 ， 所以. 则 数列的通项公式为： （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 所以数列的前项和为 6．设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为等差数列，将，代入解出，，从而求出的通项公式； （2）由（1）问，写出的通项公式，然后利用分组求和求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故 . 7．已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)， 所以. 【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，即可证明. 【详解】（1）由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）略 8．已知数列为等差数列，且，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出的通项公式，由等比数列定义求出的通项公式； （2）利用错位相减求和可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， 解得. 所以. 由数列满足，得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）由（1），得， 则， 则， 两式作差，得 所以. 9．已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的前项和计算，再利用等差数列的通项公式求通项； （2）利用裂项相消求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 又，则， 则数列的通项公式为； （2）， 则 10．已知数列的前n项和（）． (1)求的值； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1)65 (2) 因为，所以（时取“”）. 所以， 即（当且仅当时取“”）. (3) 由（2）（当且仅当时取“”）. 所以，，，…，. 各式相加得：. 即. 【分析】（1）利用求出和即可. （2）明确，再对适度放缩，可得答案. （3）根据（2），可以很容易证明. 【详解】（1）当时，， 又， 所以. （2）略 （3）略 重难·创新演练 11．设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. （参考公式：） 【答案】(1) (2) 由（1）知：， 结合参考公式可得 ， 所以， 所以 ， 因为，所以，即. 【分析】（1）构造常数列求通项； （2）利用参考公式以及分组求和求出，再利用裂项相消求出即可. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，所以数列为常数列， 又，所以，即. （2）略 12．记为等差数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的等差中项以及公差计算，结合其通项公式，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式，可得新数列的通项公式，利用分组求和，可得答案. 【详解】（1）由数列为等差数列，则，解得， 可得等差数列的公差， 可得 所以等差数列的通项公式为.. （2）由等差数列易知， 则，设数列的前项和为， 可得， 当时，； 当时，. 综上可得数列的前项和为. 13．已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记为，设数列的前项和，若，求满足条件的最大整数. (3)设，其中，求数列的前项和 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合与的关系式，得到，且，得出是等比数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）知，可得，得到，求得数列的前项和为，结合，即可求解； （3）由（1）（2），得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由数列的前项和为，且满足， 当时，，解得； 当时，，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知，可得，所以， 所以数列的前项和为， 因为，即，所以且， 所以满足条件的的最大值为. （3）解：由，，可得， 则， 则， 两式相减，可得， 所以. 14．已知等比数列的前n项和为，， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前2n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）设等比数列的公比为q，由题设求得，，可得； （2）由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式，即可求得； （3）由（1）得，分n为偶数和奇数，结合与的单调性，可求得m的取值范围． 【详解】（1）设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以； （2）由有， 所以 ； （3）由(1)知，， 存在正整数n，使得成立， 当n为偶数时，，， 由，得， 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以， 当n为奇数时，，， 由，得， 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为，所以， 综上，m的取值范围是 15．已知数列是等差数列，设为数列的前n项和，数列是等比数列，，若，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式． （2）由（1）先求出，利用错位相减法，先写出的表达式，再乘以公比得到，两式相减后，将等比数列求和公式化简即可. （3）将的前项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别对（裂项相消）、（等比数列求和）进行计算，最后合并结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得， 解得或，又，所以舍去， 所以，. （2）由（1）得，，所以， 所以， 即， ， 两式相减得， 则 整理得. （3）由，，得， 所以， 设， 则 设， 则 所以． 16．已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式可求等差数列的公差，进而得到数列的通项公式；构造数列，判断其为等比数列，利用等比数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法可求数列奇数项的项和，利用等比数列的求和公式可求数列偶数项的项和，再相加即可. 【详解】（1）对数列，因为数列为等差数列，可设公差为， 由题意：，所以， 所以； 对数列，因为， 且， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以. （2）因为. ， 所以 . 17．已知正项数列的前项和为，且，. (1)证明：为等差数列，并求所有满足条件数列的通项公式； (2)把所有满足条件的项从小到大依次排列，组成新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)令，则， 由得，解得或 ， 因为，则， 两式相减得， 化简得， 因式分解得， 由已知 ，故. 所以是公差为3的等差数列. 当时，数列的通项公式为， 当 时，数列的通项公式为 . (2) 【分析】（1）由与的关系求得数列通项公式； （2）由（1）得到，借助等差数列的前项和公式求得. 【详解】（1）略 （2）满足条件的数列有两个： 数列1：，即1，4，7，10，13，… 数列2： ，即2，5，8，11，14，… 将这两项合并后按升序排列，得到：1，2，4，5，7，8，10，11，13，… 所以数列是所有不能被3整除的正整数数列， 所以数列的通项公式为 当为偶数时，设，则 ，将代入得， 当为奇数时，设，，则 ， 将代入得， 因此. 18．记为数列的前项和，已知，． (1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：． 【答案】(1)不是等比数列，且 (2) 设等差数列的公差为，由题意可知，且，， ，， 所以，，， 因为、、成等比数列，所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以 ，故原不等式得证. 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可得出，结合可得出结论，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）设等差数列的公差为，由题意可知，根据题中条件可得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，放缩可得，结合裂项相消法可证得所证不等式成立. 【详解】（1）因为，且对任意的，， 当时，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即，所以， 又因为， 故数列不是等比数列，且该数列是从第项开始成公比为的等比数列， 当时，，即， 综上所述，. （2）略 19．已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，． (1)证明：是等差数列； (2)设，数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在正项数列中，， 则，所以是等差数列. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出及并裂项，再按分奇偶求出，进而求出的最小值即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，等差数列的首项，公差，则，， ，于是，而满足上式， 因此，， 则， ， 显然，且数列单调递增，， 因此，又不等式对任意正整数n恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 20．已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)因， 则 即，从而是等比数列； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）由（1）可得，，利用作差法可判断单调性，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列. 则，从而 ，两式相减可得： 则； （3）由（2）， ，又，则. ，当时，易得， 当时，，. 即，当时，，则为递增数列，则. 即. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $