第02讲 圆的方程及直线、圆的位置关系（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 圆的定义 知识点2 圆的标准方程 知识点3 圆的一般方程及表示圆的充要条件 知识点4 点与圆的位置关系 知识点5 直线与圆的位置关系 知识点6 直线被圆截得的弦长 知识点7 圆与圆的位置关系 知识点8 圆中的最值问题 题型破译 (含超链接） 题型1 圆的标准方程【含方法技巧】 题型2 圆的一般方程【含方法技巧】 题型3 表示圆的条件【含方法技巧】 题型4 直线与圆的位置关系【含方法技巧】 题型5 直线与圆相切的切线问题【含方法技巧】 题型6 直线与圆相交的弦长问题【含方法技巧】 题型7 圆与圆的位置关系【含方法技巧】 题型8 圆上的点到点、线、圆的最值问题综合【含方法技巧】 题型9 圆中的最长弦与最短弦综合【含方法技巧】 题型10 圆综合求值及参数值【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆的方程（标准方程、一般方程） T11（5分） — T3（4分） 直线与圆的位置关系 T11（5分） — T3（4分） 点到直线的距离公式 T11（5分） — T3（4分） 考情分析 圆的方程及直线、圆的位置关系是解析几何的基础内容，北京卷近年以选择题、填空题形式直接考查，分值约4~5分，难度中等偏易。命题侧重圆的一般方程与标准方程的互化、圆心和半径的确定、点到直线的距离公式，以及直线与圆位置关系（相切、相交、相离）的判定。2026年T11以相切条件求参数，2024年T3以距离计算为核心，均体现“几何问题代数化”的基本思想。2025年虽未单独设题，但圆与直线作为解析几何的基本工具，在圆锥曲线综合题中仍有广泛应用。复习时需立足基础，确保公式熟练、运算准确。 复习目标 1. 掌握圆的标准方程 与一般方程 ，能熟练求圆心和半径。 2.掌握点与圆、直线与圆的位置关系判定方法（几何法：比较圆心到直线的距离 与半径 的大小）。 3.掌握点到直线的距离公式 ，能熟练进行距离计算。 4.会求圆的切线方程、弦长及含参直线与圆相切、相交的综合性问题。 5.能利用圆的方程解决与圆有关的轨迹、最值等简单问题。 6.体会数形结合思想在解析几何中的应用，提升直观想象与数学运算素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 圆的定义 平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 知识点2 圆的标准方程 圆的标准方程是 （其中），圆心的坐标是 ，半径是 ． 自主检测1以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 自主检测2圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 知识点3 圆的一般方程及表示圆的充要条件 当 时，二元二次方程叫做圆的一般方程．其中圆心为 ，圆的半径为 . 自主检测1以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 自主检测2经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 自主检测3若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点4 点与圆的位置关系 平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在 ，即在圆外； （2）在 ，即在圆上； （3）在 ，即在圆内． 自主检测1设集合，，则（    ） A． B． C． D． 自主检测2若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点5 直线与圆的位置关系 设圆，直线，圆心到直线的距离为．由消去或，得到关于（或）的一元二次方程，其判别式为． 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 0 0 0 几何观点 d r d r d r 自主检测1直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 自主检测2已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 自主检测3直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 知识点6 直线被圆截得的弦长 （1）几何法：弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形，弦长． （2）代数法：设直线与圆相交于点，把直线方程代入圆方程，消去，得关于的一元二次方程，则． 自主检测1直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 自主检测2直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点7 圆与圆的位置关系 （1）代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 个 个 个 两圆的位置关系 （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 自主检测1圆与圆的公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 自主检测2已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 自主检测3已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点8 圆中的最值问题 圆上一点到圆外一点的距离的最值 圆上一点到圆上一点的距离的最值 圆上一点到直线距离的最值 过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 自主检测1经过点，半径为4的圆的圆心为，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 自主检测2已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 自主检测3已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 圆的标准方程 例1-1（25-26高三上·北京房山·开学考试）把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 标准方程的形式：以点 为圆心， 为半径的圆的标准方程为 1. 由条件求标准方程： 已知圆心和半径，直接代入标准方程； 已知圆心和圆上一点，利用两点间距离公式求半径 ； 已知圆上两点和圆心所在直线，设圆心为 ，利用圆心到两点的距离相等列方程，结合圆心所在直线方程联立求解。 1. 待定系数法：设圆心为 ，半径为 ，根据题目条件列出关于 、、 的方程组，解出后代入标准方程。 1. 确定圆的条件：确定一个圆需要三个独立条件，因为标准方程中含有三个参数 、、。 【变式训练1-1】已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 题型2 圆的一般方程 例2-1（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）若圆的一条对称轴为直线，则______. 例2-2（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 一般方程的形式： 其中 。 1. 一般方程与标准方程的互化： 将一般方程配方： 圆心为 ，半径为 1. 适用场景：当题目给出圆经过三个已知点（三点确定一个圆）时，用一般方程求解更为方便——将三点坐标代入一般方程，得到关于 、、 的三元一次方程组，解出即可。 1. 注意：一般方程中 与 的系数必须相同（通常化为 ），且不含 项。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京海淀·期末）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【变式训练2-2】过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型3 表示圆的条件 例3-1“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 方法技巧 1. 二元二次方程表示圆的条件：方程 表示圆，当且仅当 1. 含参方程表示圆的讨论： 若方程中 与 的系数含参数，需先保证系数相等且不为 ； 若方程中含 项，需令 项系数为 ； 整理为标准形式后，令 ，解关于参数的不等式。 1. 常见类型： 型：直接由 求参数范围； 型：先除以 （），再按上述方法处理； 中参数出现在 、、 中，需分类讨论。 【变式训练3-1】已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 直线与圆的位置关系 例4-1已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4-2（2026·北京朝阳·二模）已知直线与圆交于两点；能使为锐角的的一个取值为___________． 方法技巧 1. 几何法（圆心到直线的距离法） ：设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 ： 直线与圆相离（无公共点）； 直线与圆相切（一个公共点）； 直线与圆相交（两个公共点）。 1. 代数法（判别式法） ：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，其判别式为 ： 相离； 相切； 相交。 1. 方法选择： 几何法计算量小，优先使用，尤其是求弦长、切线等问题； 代数法适用于需要求交点坐标或涉及韦达定理的综合题。 1. 含参直线与圆的位置关系：若直线含参数，需先判断直线是否恒过定点，再结合定点与圆的位置关系分析。 【变式训练4-1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式训练4-2】（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 题型5 直线与圆相切的切线问题 例5-1圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例5-2过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例5-3已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 例5-4（2026·北京昌平·二模）已知圆，则圆的半径为_______；若直线上存在点，使得过点向圆引的两条切线互相垂直，则的取值范围为_________. 方法技巧 1. 过圆上一点的切线： 若点 在圆 上，则过 的切线方程为 若圆的标准方程为 ，点 在圆上，则切线方程为 也可利用斜率：求圆心到 的斜率 ，切线斜率为 （若 ），再用点斜式写出切线方程。 1. 过圆外一点的切线： 设切线斜率为 ，写出点斜式方程，利用圆心到切线的距离等于半径 ，建立关于 的方程，解出 （可能有两条切线）； 若解出的 只有一个值，说明另一条切线斜率不存在，需单独补充竖直线 ； 也可设切点为 ，利用切点在圆上且切线垂直于半径列方程组求解。 1. 切线长的计算：过圆外一点 作圆的切线，切点为 ，则切线长为 其中 为圆心。 1. 切点弦方程：过圆外一点 作圆的两条切线，两切点连线（切点弦）的方程为 （对于圆 ）。 【变式训练5-1】在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【变式训练5-2】设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6 直线与圆相交的弦长问题 例6-1（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 例6-2（25-26高三下·北京·阶段检测）若直线被圆截得的弦长为2，则_____. 例6-3（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 几何法（垂径定理法） ： 设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 ，则弦长 这是求弦长最常用的方法，计算简便。 1. 代数法（韦达定理法） ： 联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程； 利用韦达定理求出 和 ； 代入弦长公式 若消去 得到关于 的方程，则用 1. 中点弦问题： 若已知弦的中点 ，则圆心 与 的连线垂直于弦，即 ，由此求弦的斜率，再用点斜式写出弦所在直线方程； 也可利用垂径定理：圆心到弦的距离 ，弦长 。 1. 弦长与直线斜率的关系：若直线过圆内一定点且被圆截得的弦长为定值，可设直线斜率，利用弦长公式建立方程求解。 【变式训练6-1】（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【变式训练6-2】若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 题型7 圆与圆的位置关系 例7-1若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例7-2已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 例7-3若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 判断方法：设两圆圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 ： 外离（无公共点）； 外切（一个公共点）； 相交（两个公共点）； 内切（一个公共点）； 内含（无公共点）。 1. 公共弦方程：将两圆方程相减，消去 和 项，得到一条直线方程，即为两圆的公共弦所在直线方程（当两圆相交时）。 1. 公共弦长：先求公共弦所在直线方程，再转化为直线与其中一个圆的弦长问题，用垂径定理求解。 1. 两圆相切问题： 外切：圆心距等于两半径之和； 内切：圆心距等于两半径之差的绝对值； 注意分类讨论，相切可能有两种情况（内切和外切）。 1. 含参两圆位置关系：先求圆心和半径（用参数表示），再根据位置关系列出关于圆心距和半径的不等式（或方程），解出参数范围。 【变式训练7-1】圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 【变式训练7-2】圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 题型8 圆上的点到点、线、圆的最值问题综合 例8-1已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例8-2（26-27高三上·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 例8-3（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 方法技巧 1. 圆上点到定点的距离最值： 设圆 的半径为 ，定点为 ，圆心到定点的距离为 ； 最大距离 （当点取在圆心与定点连线的延长线与圆的交点处，远离定点的一侧）； 最小距离 （当点取在圆心与定点连线的交点处，靠近定点的一侧）。 1. 圆上点到定直线的距离最值： 设圆心到直线的距离为 ，半径为 ； 最大距离 ，最小距离 （若直线与圆相交，最小距离为 ）。 1. 圆上点到定圆的距离最值：设两圆圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距为 ： 两圆外离时，最大距离 ，最小距离 ； 两圆相交或内含时，需根据具体位置关系分析。 1. 数形结合法：将最值问题转化为几何图形中距离的极端情况，利用圆心、定点、定直线的位置关系直观判断。 1. 代数法（参数方程法） ：将圆上的点设为参数形式（如 ，），将目标量表示为 的函数，利用三角函数求最值。 【变式训练8-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【变式训练8-2】直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9 圆中的最长弦与最短弦综合 例9-1（25-26高三上·北京昌平·期末）直线与圆交于两点，若是的等差中项，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D．6 例9-2（2026·北京密云·一模）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 方法技巧 1. 过圆内一点的最长弦：过圆内一点 的最长弦是过 的直径，其长度等于 2r，r为圆的半径）。 1. 过圆内一点的最短弦：过圆内一点 的最短弦是垂直于 （ 为圆心）的弦，其长度等于 此时弦心距最大，为 。 1. 过圆外一点的最长弦与最短弦：过圆外一点 作圆的割线，最长弦为过圆心 的弦（即直径），最短弦为过 且与 垂直的弦（此时弦长最短，但需注意该弦必须在圆内）。 1. 弦长与弦心距的关系：在圆中，弦长 、弦心距 、半径 满足 弦心距越大，弦长越短；弦心距越小，弦长越长。 1. 综合应用：最长弦和最短弦的垂直关系常用于证明题——过圆内一点的最长弦与最短弦互相垂直（因为最长弦过圆心，最短弦垂直于圆心与该点的连线）。 【变式训练9-1】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知直线与圆相交于，两点，若的最小值为4，则圆的半径等于（    ） A． B． C．3 D．5 【变式训练9-2】已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】（25-26高二上·北京平谷·期末）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型10 圆综合 例10-1（25-26高三下·北京·开学考试）若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的一个值为___________． 例10-2（25-26高三下·北京·阶段检测）若圆：上存在两点，，直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 例10-3（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知动直线的方程：，给出如下结论： ①动直线l恒过某一定点； ②存在不同的实数，，使相应的直线，平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上； ④动直线可表示坐标平面上除，之外的所有直线； ⑤动直线可表示坐标平面上的所有直线； 其中正确结论的序号是__________． 【变式训练10-1】（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】（2026·北京海淀·一模）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】（2026·北京大兴·三模）若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 4．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2026·北京·高考真题）若直线与圆相切，则________． 6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为(　　) A．-2 B．1 C． D．2 2．已知的三个顶点分别是点，，，求的外接圆的标准方程． 3．已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 4．（1）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程； （2）求与圆关于直线对称的圆的方程． 5．已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 6．已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 7．已知点和以点Q为圆心的圆． （1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； （2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ （3）求直线AB的方程． 8．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 9．如图，在四边形ABCD中，，，且，，AB与CD间的距离为3．求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 10．已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程． (3)已知三点，点在圆上运动，求的最大值和最小值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．（2026·北京房山·一模）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 3．过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．（25-26高三上·北京房山·期末）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离 5．（25-26高三下·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则直径AB的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 6．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 7．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）写出一个关于直线对称的圆的方程__________. 8．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是_______.（写出满足条件的一个值即可） 9．（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知圆的圆心为，斜率为1的直线与该圆相切，且与轴交于点，则______． 10．（2025·北京丰台·一模）已知直线与圆有且仅有一个公共点，则______. 重难·创新演练 11．（2026·北京·三模）过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三下·北京·阶段检测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A．0 B．1 C． D．4 13．（2026·北京丰台·二模）已知圆的圆心为，斜率为的直线与该圆相切且与轴交于点，则（    ） A． B．2 C． D．4 14．（2026·北京东城·二模）某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·北京海淀·二模）已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 17．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·北京房山·二模）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 四、填空题 19．（25-26高三下·北京·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 20．（2026·北京朝阳·一模）已知点，点（，）为圆：上的动点，若，则的一个取值为______. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 圆的定义 知识点2 圆的标准方程 知识点3 圆的一般方程及表示圆的充要条件 知识点4 点与圆的位置关系 知识点5 直线与圆的位置关系 知识点6 直线被圆截得的弦长 知识点7 圆与圆的位置关系 知识点8 圆中的最值问题 题型破译 (含超链接） 题型1 圆的标准方程【含方法技巧】 题型2 圆的一般方程【含方法技巧】 题型3 表示圆的条件【含方法技巧】 题型4 直线与圆的位置关系【含方法技巧】 题型5 直线与圆相切的切线问题【含方法技巧】 题型6 直线与圆相交的弦长问题【含方法技巧】 题型7 圆与圆的位置关系【含方法技巧】 题型8 圆上的点到点、线、圆的最值问题综合【含方法技巧】 题型9 圆中的最长弦与最短弦综合【含方法技巧】 题型10 圆综合求值及参数值【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆的方程（标准方程、一般方程） T11（5分） — T3（4分） 直线与圆的位置关系 T11（5分） — T3（4分） 点到直线的距离公式 T11（5分） — T3（4分） 考情分析 圆的方程及直线、圆的位置关系是解析几何的基础内容，北京卷近年以选择题、填空题形式直接考查，分值约4~5分，难度中等偏易。命题侧重圆的一般方程与标准方程的互化、圆心和半径的确定、点到直线的距离公式，以及直线与圆位置关系（相切、相交、相离）的判定。2026年T11以相切条件求参数，2024年T3以距离计算为核心，均体现“几何问题代数化”的基本思想。2025年虽未单独设题，但圆与直线作为解析几何的基本工具，在圆锥曲线综合题中仍有广泛应用。复习时需立足基础，确保公式熟练、运算准确。 复习目标 1. 掌握圆的标准方程 与一般方程 ，能熟练求圆心和半径。 2.掌握点与圆、直线与圆的位置关系判定方法（几何法：比较圆心到直线的距离 与半径 的大小）。 3.掌握点到直线的距离公式 ，能熟练进行距离计算。 4.会求圆的切线方程、弦长及含参直线与圆相切、相交的综合性问题。 5.能利用圆的方程解决与圆有关的轨迹、最值等简单问题。 6.体会数形结合思想在解析几何中的应用，提升直观想象与数学运算素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 圆的定义 平面上到 定点 的距离等于 定长 的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 知识点2 圆的标准方程 圆的标准方程是 （其中），圆心的坐标是 ，半径是 r ． 自主检测1以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为． 自主检测2圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 知识点3 圆的一般方程及表示圆的充要条件 当 时，二元二次方程叫做圆的一般方程．其中圆心为 ，圆的半径为 . 自主检测1以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 自主检测2经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【详解】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A 自主检测3若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的标准形式为， 圆的半径的平方大于0，故，解得， 故实数的取值范围是． 知识点4 点与圆的位置关系 平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在 圆外 ，即在圆外； （2）在 圆上 ，即在圆上； （3）在 圆内 ，即在圆内． 自主检测1设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次判断集合中的每个元素是否在圆上即可. 【详解】已知集合，， 将集合中的元素代入圆， 计算得，而，可知点在圆上，点不在圆上， 于是，故C正确. 自主检测2若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 知识点5 直线与圆的位置关系 设圆，直线，圆心到直线的距离为．由消去或，得到关于（或）的一元二次方程，其判别式为． 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 < 0 = 0 > 0 几何观点 d > r d = r d < r 自主检测1直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 自主检测2已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 自主检测3直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 知识点6 直线被圆截得的弦长 （1）几何法：弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形，弦长． （2）代数法：设直线与圆相交于点，把直线方程代入圆方程，消去，得关于的一元二次方程，则． 自主检测1直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 自主检测2直线：被圆：截得的弦长为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆：，则圆心，半径为， 则圆心到直线：的距离为， 由题意得，，解得. 知识点7 圆与圆的位置关系 （1）代数法： 联立两圆方程，消元得一元二次方程，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2 个 1 个 0 个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 （2）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆圆心的距离为，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与，的关系 自主检测1圆与圆的公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设的半径为，的半径为， 由题意得，，，，，，则， 可得两圆内切，即两圆的公切线条数为. 自主检测2已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 自主检测3已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆相交的性质直接得出. 【详解】由题意知：圆心与圆心， 则圆心距， 因为圆与圆有两个交点， 所以， 解得：. 故选：D 知识点8 圆中的最值问题 圆上一点到圆外一点的距离的最值 圆上一点到圆上一点的距离的最值 圆上一点到直线距离的最值 过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 自主检测1经过点，半径为4的圆的圆心为，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由题可知，点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆，接着求出点到直线的距离为，再由圆上的点到直线的距离最大值为即可求解． 【详解】依题意，点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆， 可得点到直线的距离为， 设圆的半径为， 所以点到直线的距离的最大值为， 点到直线的距离的最大值为. 故选：B． 自主检测2已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 自主检测3已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线所过定点，确定定点在圆内，则有时，直线l被圆C截得的弦长最小，依此求解即可. 【详解】直线， 令，即，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即点P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 题●型●破●译 题型1 圆的标准方程 例1-1（25-26高三上·北京房山·开学考试）把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出平移后的圆心，得到圆的方程. 【详解】圆的圆心为原点， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 故得到. 故选：C 方法技巧 1. 标准方程的形式：以点 为圆心， 为半径的圆的标准方程为 1. 由条件求标准方程： 已知圆心和半径，直接代入标准方程； 已知圆心和圆上一点，利用两点间距离公式求半径 ； 已知圆上两点和圆心所在直线，设圆心为 ，利用圆心到两点的距离相等列方程，结合圆心所在直线方程联立求解。 1. 待定系数法：设圆心为 ，半径为 ，根据题目条件列出关于 、、 的方程组，解出后代入标准方程。 1. 确定圆的条件：确定一个圆需要三个独立条件，因为标准方程中含有三个参数 、、。 【变式训练1-1】已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 【变式训练1-2】的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 题型2 圆的一般方程 例2-1（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）若圆的一条对称轴为直线，则______. 【答案】 【分析】由题意，圆心在已知直线上，代入坐标求得参数值. 【详解】圆即, 由题设，圆心在直线上，则. 例2-2（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径. 【详解】由，得. 所以方程表示的圆的圆心坐标为，半径为3. 故选：B. 方法技巧 1. 一般方程的形式： 其中 。 1. 一般方程与标准方程的互化： 将一般方程配方： 圆心为 ，半径为 1. 适用场景：当题目给出圆经过三个已知点（三点确定一个圆）时，用一般方程求解更为方便——将三点坐标代入一般方程，得到关于 、、 的三元一次方程组，解出即可。 1. 注意：一般方程中 与 的系数必须相同（通常化为 ），且不含 项。 【变式训练2-1】（25-26高三上·北京海淀·期末）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程， 得，解得. 故选：B 【变式训练2-2】过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由圆的一般方程可列出方程组，直接求解即可. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 题型3 表示圆的条件 例3-1“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 方法技巧 1. 二元二次方程表示圆的条件：方程 表示圆，当且仅当 1. 含参方程表示圆的讨论： 若方程中 与 的系数含参数，需先保证系数相等且不为 ； 若方程中含 项，需令 项系数为 ； 整理为标准形式后，令 ，解关于参数的不等式。 1. 常见类型： 型：直接由 求参数范围； 型：先除以 （），再按上述方法处理； 中参数出现在 、、 中，需分类讨论。 【变式训练3-1】已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围. 【详解】圆的标准方程为：， 故即或， 故选：D. 【变式训练3-2】若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 题型4 直线与圆的位置关系 例4-1已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 例4-2（2026·北京朝阳·二模）已知直线与圆交于两点；能使为锐角的的一个取值为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先确定圆圆心和半径,利用为锐角等价于余弦定理得弦长平方小于两半径平方和,求出圆心到直线距离的范围,再代入点到直线距离公式解出,得到或,任取区间内一个数即可. 【详解】圆:，圆心，半径，故. 直线:，即. 为锐角所以. 设圆心到直线的距离为，则. 圆的弦长. 在中，由余弦定理：， 为锐角所以可得，代入得. 即，化简得. 将代入：，，， 解得或，故可取. 方法技巧 1. 几何法（圆心到直线的距离法） ：设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 ： 直线与圆相离（无公共点）； 直线与圆相切（一个公共点）； 直线与圆相交（两个公共点）。 1. 代数法（判别式法） ：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，其判别式为 ： 相离； 相切； 相交。 1. 方法选择： 几何法计算量小，优先使用，尤其是求弦长、切线等问题； 代数法适用于需要求交点坐标或涉及韦达定理的综合题。 1. 含参直线与圆的位置关系：若直线含参数，需先判断直线是否恒过定点，再结合定点与圆的位置关系分析。 【变式训练4-1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为2． 因为圆心到的距离为，所以与圆相离． 【变式训练4-2】（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 题型5 直线与圆相切的切线问题 例5-1圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 例5-2过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】    如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 例5-3已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 例5-4（2026·北京昌平·二模）已知圆，则圆的半径为_______；若直线上存在点，使得过点向圆引的两条切线互相垂直，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】先把圆方程配方求出圆心(2,3)与半径,由两条切线互相垂直推得动点到圆心距离为2,即在以圆心为定点、2为半径的圆上,再转化为直线与该圆有公共点,利用圆心到直线距离不大于半径列不等式,化简解得的取值范围. 【详解】圆的方程：，配方得：，因此圆的圆心为，半径. 设点，过引圆的两条切线互相垂直，则两条切线与半径构成正方形. 圆心到点的距离：. 即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆：. 直线上存在点，等价于直线与圆有公共点. 故圆心到直线的距离，距离公式：. 平方化简：，展开得：. 整理得：. 方法技巧 1. 过圆上一点的切线： 若点 在圆 上，则过 的切线方程为 若圆的标准方程为 ，点 在圆上，则切线方程为 也可利用斜率：求圆心到 的斜率 ，切线斜率为 （若 ），再用点斜式写出切线方程。 1. 过圆外一点的切线： 设切线斜率为 ，写出点斜式方程，利用圆心到切线的距离等于半径 ，建立关于 的方程，解出 （可能有两条切线）； 若解出的 只有一个值，说明另一条切线斜率不存在，需单独补充竖直线 ； 也可设切点为 ，利用切点在圆上且切线垂直于半径列方程组求解。 1. 切线长的计算：过圆外一点 作圆的切线，切点为 ，则切线长为 其中 为圆心。 1. 切点弦方程：过圆外一点 作圆的两条切线，两切点连线（切点弦）的方程为 （对于圆 ）。 【变式训练5-1】在平面直角坐标系中，过点与圆相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆相切的直线方程是或. 故选：D. 【变式训练5-2】设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 【变式训练5-3】已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 题型6 直线与圆相交的弦长问题 例6-1（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【详解】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 例6-2（25-26高三下·北京·阶段检测）若直线被圆截得的弦长为2，则_____. 【答案】或/或 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，最后根据勾股定理列方程求解并检验. 【详解】圆即， 则该圆的圆心为，半径. 设弦心距为，如图， 则圆心到直线的距离， 因为弦长为2，所以. 在中，由勾股定理得，即， 解得或. 当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 综上，或. 例6-3（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准形式得到圆心和半径，结合平行线距离公式可得正方形边长，再由正方形的对称性知弦心距，再代入圆的弦长公式求解可得. 【详解】由圆的方程，配方得，因此圆心为，半径. 计算平行直线距离：将直线整理为，， 由平行线距离公式得两直线距离. 因为四个交点构成正方形，故直线截圆所得弦长等于两平行线距离， 因两直线关于圆心对称，所以圆心到每条直线的距离.如图： 代入弦长公式计算：弦长，代入，，， 得，两边平方得，解得，即. 再将代入，得. 方法技巧 1. 几何法（垂径定理法） ： 设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 ，则弦长 这是求弦长最常用的方法，计算简便。 1. 代数法（韦达定理法） ： 联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程； 利用韦达定理求出 和 ； 代入弦长公式 若消去 得到关于 的方程，则用 1. 中点弦问题： 若已知弦的中点 ，则圆心 与 的连线垂直于弦，即 ，由此求弦的斜率，再用点斜式写出弦所在直线方程； 也可利用垂径定理：圆心到弦的距离 ，弦长 。 1. 弦长与直线斜率的关系：若直线过圆内一定点且被圆截得的弦长为定值，可设直线斜率，利用弦长公式建立方程求解。 【变式训练6-1】（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 【变式训练6-2】若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 题型7 圆与圆的位置关系 例7-1若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 例7-2已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】A 【分析】首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 例7-3若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 方法技巧 1. 判断方法：设两圆圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 ： 外离（无公共点）； 外切（一个公共点）； 相交（两个公共点）； 内切（一个公共点）； 内含（无公共点）。 1. 公共弦方程：将两圆方程相减，消去 和 项，得到一条直线方程，即为两圆的公共弦所在直线方程（当两圆相交时）。 1. 公共弦长：先求公共弦所在直线方程，再转化为直线与其中一个圆的弦长问题，用垂径定理求解。 1. 两圆相切问题： 外切：圆心距等于两半径之和； 内切：圆心距等于两半径之差的绝对值； 注意分类讨论，相切可能有两种情况（内切和外切）。 1. 含参两圆位置关系：先求圆心和半径（用参数表示），再根据位置关系列出关于圆心距和半径的不等式（或方程），解出参数范围。 【变式训练7-1】圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外切 B．内切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】由两圆的圆心距及半径的关系求解即可得解. 【详解】对于圆的方程， 所以圆的圆心坐标为，半径. 对于圆的方程， 所以圆的圆心坐标为，半径. 计算两圆心之间的距离 两圆半径之和.同时. 则 .所以两圆的位置关系是相交. 故选:D． 【变式训练7-2】圆和圆的两条公切线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断两圆位置关系，再根据几何性质可得为的中点，故可求交点坐标. 【详解】， 故圆的半径为，圆的半径为，且， 故圆心距为，而， 故两圆相交，故两圆有两条外公切线，    设一条公切线与两圆的切点分别为，两条切线的交点为， 连接，则，故， 由几何性质可得共线，故， 故为的中点，故， 故选：C. 【变式训练7-3】已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意可知圆和圆外切，利用列等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切， ，即，解得或. 故选：D. 题型8 圆上的点到点、线、圆的最值问题综合 例8-1已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】点到圆心的距离为，且圆的半径为1， 所以，故的最大值为6. 例8-2（26-27高三上·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 例8-3（25-26高三上·北京·开学考试）已知：，点，O是坐标原点．若点B在上，则面积的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】分析易得在的延长线上，且在圆上时，面积最大，进而求解即可. 【详解】由：，即， 则圆心，半径为， 因为，，则，， 又，则，即， 要使面积最大，则在延长线上，且在圆上，如图， 此时， 则面积的最大值为. 故选：B. 方法技巧 1. 圆上点到定点的距离最值： 设圆 的半径为 ，定点为 ，圆心到定点的距离为 ； 最大距离 （当点取在圆心与定点连线的延长线与圆的交点处，远离定点的一侧）； 最小距离 （当点取在圆心与定点连线的交点处，靠近定点的一侧）。 1. 圆上点到定直线的距离最值： 设圆心到直线的距离为 ，半径为 ； 最大距离 ，最小距离 （若直线与圆相交，最小距离为 ）。 1. 圆上点到定圆的距离最值：设两圆圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距为 ： 两圆外离时，最大距离 ，最小距离 ； 两圆相交或内含时，需根据具体位置关系分析。 1. 数形结合法：将最值问题转化为几何图形中距离的极端情况，利用圆心、定点、定直线的位置关系直观判断。 1. 代数法（参数方程法） ：将圆上的点设为参数形式（如 ，），将目标量表示为 的函数，利用三角函数求最值。 【变式训练8-1】（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由题意可得，线段的中点的轨迹为圆，因此可将求线段的中点到直线距离的最大值转化为求圆上的点到直线距离的最大值，转化为圆心到直线的距离加半径，即可得解. 【详解】设，则，即. 记线段的中点为点，设点的坐标为，则. 所以，即. 所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆. 点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 【变式训练8-2】直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 题型9 圆中的最长弦与最短弦综合 例9-1（25-26高三上·北京昌平·期末）直线与圆交于两点，若是的等差中项，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由等差中项求得直线定点，然后由圆的方程确定圆心及半径，由弦长公式得到最小值. 【详解】∵是的等差中项，∴，即， 将代入直线方程并整理可得 ∴直线过定点， 整理圆方程得，∴圆的圆心为，半径为， ∵，即点在圆内， ∴当时，取得最小值， ∴. 故选：D. 例9-2（2026·北京密云·一模）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】先确定点的轨迹，再确定线段中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解. 【详解】直线：，所以直线过定点； 直线：，所以直线过定点. 又，所以. 所以点的轨迹是以线段为直径的圆. 因为的中点为，， 所以点的轨迹方程为：. 因为直线与圆交于两点，且， 所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则. 如图： ，且, 所以，即的最大值为. 方法技巧 1. 过圆内一点的最长弦：过圆内一点 的最长弦是过 的直径，其长度等于 2r，r为圆的半径）。 1. 过圆内一点的最短弦：过圆内一点 的最短弦是垂直于 （ 为圆心）的弦，其长度等于 此时弦心距最大，为 。 1. 过圆外一点的最长弦与最短弦：过圆外一点 作圆的割线，最长弦为过圆心 的弦（即直径），最短弦为过 且与 垂直的弦（此时弦长最短，但需注意该弦必须在圆内）。 1. 弦长与弦心距的关系：在圆中，弦长 、弦心距 、半径 满足 弦心距越大，弦长越短；弦心距越小，弦长越长。 1. 综合应用：最长弦和最短弦的垂直关系常用于证明题——过圆内一点的最长弦与最短弦互相垂直（因为最长弦过圆心，最短弦垂直于圆心与该点的连线）。 【变式训练9-1】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知直线与圆相交于，两点，若的最小值为4，则圆的半径等于（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，再利用弦长公式及两点间距离公式计算即可得解. 【详解】，则直线过定点， 由的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离满足弦长公式，即， 要使得最小，则需使得取最大值， 又， 则，解得. 【变式训练9-2】已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，分析可知当时，即当为的中点时，圆心到直线的距离取最大值，利用勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 【变式训练9-3】（25-26高二上·北京平谷·期末）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，结合弦长最短时直线，求解即可. 【详解】圆：，配方得. 圆心，半径. 直线：，整理为，故直线恒过点. 经验证，点在圆内，当直线时，弦长最短. 又，所以. 此时直线的方程为，即. 故选：B. 题型10 圆综合 例10-1（25-26高三下·北京·开学考试）若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的一个值为___________． 【答案】（答案不唯一，只需） 【详解】由可得：， 因为在圆上，所以也满足， 即直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离，直线与圆有公共点则：即， 取，直线的方程为（即轴）： 取，在直线上，此时， 对应，满足，确实在圆上， 符合所有题干条件，因此是一个正确解. 例10-2（25-26高三下·北京·阶段检测）若圆：上存在两点，，直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】结合几何知识将角度条件转化为圆心到直线的距离需要满足的条件，即圆心到直线的距离满足，进而利用点到直线的距离公式求解. 【详解】当直线与圆相交时，若点固定在如图所示的位置， ，与直线和圆的两交点分别重合，则；若，两点重合，则，故直线与圆相交时一定存在，及，使得. 当直线与圆相切时，类似直线与圆相交的分析可知，一定存在，及，使得. 当直线与圆相离时，对直线上的任一点，若，相距越来越近，直至，两点重合，则仍有，若与圆相切于，与圆相切于，则取最大值，如图所示. 设圆的半径为，连接，，，则，， 当最短，即长度等于圆心到直线的距离时，最大，即最大，也即最大， 所以若圆上存在两点，，直线上存在点，使得，则必有，又，故. 又直线与圆相交或相切时，，满足题意， 综上，. 又因为圆的半径，圆心到直线的距离， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 例10-3（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知动直线的方程：，给出如下结论： ①动直线l恒过某一定点； ②存在不同的实数，，使相应的直线，平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上； ④动直线可表示坐标平面上除，之外的所有直线； ⑤动直线可表示坐标平面上的所有直线； 其中正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】该直线方程为以圆心，以1为半径的圆的切线方程，由此判断各结论是否正确. 【详解】点到动直线的距离为, 所以动直线为以为圆心，以1为半径的圆的所有切线. ①，因为动直线表示以为圆心，以1为半径的圆的所有切线， 这些切线与圆相切，不过定点，故①错 ②，当，即斜率存在时，直线化成一般形式得， 所以斜率，存在不同的实数，，使得，相应的直线，平行， 如，，直线平行，故②正确 ③，动直线表示圆的所有切线，圆内部的点都不在任何一条切线上，至少两个显然满足，故③正确 ④，该方程表示以为圆心，半径为1的圆的切线，不是除，的所有直线，故④错误 ⑤，该方程表示以为圆心，半径为1的圆的切线，不是坐标平面上的所有直线，故⑤错误. 【变式训练10-1】（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【详解】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 【变式训练10-2】（2026·北京海淀·一模）已知平行四边形的两个顶点为，另两个顶点在圆上.对于给定的t，若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合圆的性质，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由圆，可知圆心为，半径为，可得直径， 又由点，，可得， ①当， 若以为平行四边形的一边时， 如图所示，作与直线平行的直线，使得截得的弦长为， 此时存在两条直线与圆相交，可构成两个平行四边形，不符合题意； 若以为平行四边形的一条对角线时，可得的中点， 过点作直线的垂线，此直线与圆有两个公共点，如图所示， 此时点分别是和的中点，所以四边形为平行四边形， 综上可得，此时构成的平行四边形的个数为3个，不符合题意； ②当，此时为平行四边形的对角线， 要使得这样的平行四边形有且只有一个，则满足且点在圆内， 由，可得，解得或， 又由在圆内，可得，整理得，解得， 所以，所以实数的取值范围为. 【变式训练10-3】（2026·北京大兴·三模）若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，根据对称性得到，进而得到点的轨迹方程，结合向量数量积的坐标表示、圆与圆的位置关系及圆上的点到定点距离的最值求解判断即可. 【详解】由，得，所以直线恒过点. 点关于动直线的对称点为，则直线是线段的垂直平分线，所以. 设，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，轨迹方程为. ①，，则. 由圆的方程可知，的范围为， 所以的取值范围是，①正确. ②当时，即，表示以原点为圆心，以为半径的圆，    联立，解得或，即或. 当时，，直线的方程为，存在； 当时，，直线的方程为，存在； 故当时，符合条件的点有2个，②错误. ③当取到最大值时，，此时在延长线上，坐标为. 此时的中点为，， 所以，即，解得，③正确. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 4．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心，则， 化简得， 所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以，所以， 当且仅当在线段上时取得等号， 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 5．（2026·北京·高考真题）若直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．圆关于直线对称的圆的方程为，则实数a的值为(　　) A．-2 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为圆的圆心坐标为；圆的圆心为， 所以，两圆心的中点坐标为， 又两圆关于直线对称， 所以点在直线上， 因此，解得. 故选D 【点睛】本题主要考查由两圆位置关系求参数的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型. 2．已知的三个顶点分别是点，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【详解】由题意知，为圆的直径，设圆心为， 则中点即为， 所以半径为， 故外接圆的标准方程为：. 3．已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 【答案】直线l与圆C相交， 【详解】解法1：联立直线l与圆C的方程， 得， 消去y得，解得，， 所以直线l与圆C相交， 把，分别代入方程①，得，， 所以直线l与圆C的两个交点是，. 因此直线l被圆C所截得的弦长为. 解法2：圆C的方程可化为， 因此圆心C的坐标为，半径为， 圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆C相交， 所以直线l被圆C所截得的弦长为. 4．（1）求经过点以及圆与圆交点的圆的方程； （2）求与圆关于直线对称的圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由得：或， 即圆与圆交点为和， 所求圆的圆心在轴上，不妨设圆心为， 则，解得：，， 所求圆的方程为：； （2）由圆的方程知：圆心，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得：， 所求圆的圆心为，半径为，对称的圆的方程为：. 5．已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【详解】（1）证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 6．已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点； (2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】(1)证明见解析 (2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【详解】（1）直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 （2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 7．已知点和以点Q为圆心的圆． （1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； （2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ （3）求直线AB的方程． 【答案】(1)作图见解析，； (2)证明见解析；(3) . 【详解】(1)易知，所以PQ的中点， 又因为 ，圆的半径为， 所以圆的方程为.作图如下： (2)因为PQ为直径，在圆Q上，所以, 所以直线PA，PB是圆Q的切线. (3) 圆的方程可化为， 圆Q的方程可化为， 两圆方程相减，得， 所以直线AB的方程为. 8．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）;（2）. 【详解】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：， 圆心到直线AB的距离为，则， 所以； （2）当弦被点平分时，AB与垂直， 因为，所以， 直线AB的点斜式方程为 即. 9．如图，在四边形ABCD中，，，且，，AB与CD间的距离为3．求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 【答案】圆心坐标为,半径长为. 【详解】由题意可知A (-3,0),B (3,0),C 设所求圆的方程为, 则. 解得，故所求圆的方程为, 其圆心坐标为,半径长为. 10．已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程． (3)已知三点，点在圆上运动，求的最大值和最小值． 【答案】(1)或 (2)． (3)最大值为107，最小值为67 【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为，则切线方程为，即 圆心到切线的距离等于半径解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）联立，解得或． 圆与圆的交点为， 线段的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为． 由，解得，所以圆心为． 因此，所求圆的方程为 （3）设，因为三点， 所以， ， 因为点P在圆上运动，则，所以， 当时，取的最大值107， 当时，取的最小值67． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【详解】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 2．（2026·北京房山·一模）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得． 3．过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】过点且倾斜角为的直线，即． ∵圆，即， ∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 4．（25-26高三上·北京房山·期末）直线与圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离 【答案】C 【分析】联立直线方程和圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据方程解的个数得到直线与圆的交点个数，从而得到直线与圆的位置关系. 【详解】联立，消元得， ∴， ∴或， 由可得，解得， 故当时，方程组存在唯一解，此时直线与圆相切， 当时，方程组存在两个不同解，此时直线与圆相交， 故选：C. 5．（25-26高三下·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则直径AB的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由题意可得在圆C上，过向直线作垂线，垂足为，则垂足与切点重合时直径AB最小. 【详解】因为为直径，，所以点必在圆C上， 过向直线作垂线，垂足为， 则当恰为圆与直线的切点时，圆心为的中点， 此时圆C的半径最小，即直径AB最小， 即. 6．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】将圆的方程变为标准式，可得其圆心，根据直线过圆心，代入可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】圆变形可得，圆心为， 因为直线经过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 7．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）写出一个关于直线对称的圆的方程__________. 【答案】（答案不唯一，形如，） 【分析】在直线上任取一点为圆心，为半径写出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为，，圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称， 所以， 所以圆的方程为，， 不妨取，， 则关于直线对称的一个圆的方程为：. 故答案为：（答案不唯一，形如，） 8．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是_______.（写出满足条件的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到直线距离公式和题意列出关于的不等式，求解即可. 【详解】由圆：，可知：圆心，半径. 直线方程的一般式为. 由点到直线距离公式和题意可得： ，解得：. 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一） 9．（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知圆的圆心为，斜率为1的直线与该圆相切，且与轴交于点，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 设斜率为1的直线为， 直线与该圆相切，则，解得， 又直线与轴交于点，则， 所以． 10．（2025·北京丰台·一模）已知直线与圆有且仅有一个公共点，则______. 【答案】 【分析】先把有且仅有一个公共点转化应用点到直线距离等于半径求解. 【详解】直线与圆有且仅有一个公共点， 圆心为，半径为， 则， 所以. 故答案为：. 重难·创新演练 11．（2026·北京·三模）过原点的直线与圆相切，则满足条件的直线的斜率之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线的方程，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出直线的斜率，即可得解. 【详解】将化为标准方程为, 所以可得圆心，半径. 因为直线过原点且与圆相切，所以可知直线的斜率一定存在，设为， 则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径可得， 两边同时平方，整理可得，即，解得， 所以满足条件的直线的斜率之和为. 12．（25-26高三下·北京·阶段检测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】由已知两条直线是平行线，因此圆心到它们的距离相等，从而可得结论. 【详解】易知直线，平行，则两条直线截圆所得的弦为矩形的一组对边. 因为矩形的四个顶点都在圆上，所以矩形对角线交点即为圆心， 即圆心到它们的距离相等，且， 所以，所以， 即或，所以. 13．（2026·北京丰台·二模）已知圆的圆心为，斜率为的直线与该圆相切且与轴交于点，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据方程可得圆心和半径，设，根据直线与圆相切可得，即可得结果. 【详解】圆即，圆心为，半径， 设，则直线，即， 则，即， 所以. 14．（2026·北京东城·二模）某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线性质，结合勾股定理、锐角三角函数定义、直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】因为是圆的切线， 所以，且， 由勾股定理可得，因此点的坐标为， 因为， 所以圆的切线的斜率为， 所以圆的切线的方程为，化简，得. 15．（2026·北京海淀·二模）已知圆，则“”是“圆与直线相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线与圆相切，再结合充分条件，必要条件的概念即可判断. 【详解】将圆的一般方程配方为标准方程： ， 得圆心为，半径，（）， 直线，即， 圆心到直线的距离为： ， 圆与直线相切等价于，代入得： ， 两边平方整理得 ，即圆与相切， 充分性：若，可得或，当时，不满足，圆与直线不相切，因此充分性不成立， 必要性：若圆与相切，则，必然满足，因此必要性成立， 综上，是圆与相切的必要不充分条件. 16．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为， 所以的最小值为. 17．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 18．（2026·北京房山·二模）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出且为圆的切线时的的值，由是最大角可得的范围． 【详解】如图，固定，则在圆上移动过程中， 当为切线时，最大， 设其最大值为，最小值为，且能取得内所有值， 所以的范围是， 若在圆上存在点，，则有, 所以，由图可知，所以. 四、填空题 19．（25-26高三下·北京·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 【答案】1（的任何一个值都行） 【分析】首先分析直线所过的定点，再作出曲线的图象，由题意结合临界情况即可求解. 【详解】直线变形为，所以直线恒过点， 曲线两边平方化简得， 如图，作出曲线的图象， 过点的直线与半圆交于端点时，这时直线与曲线有2个交点，斜率， 直线绕点逆时针旋转到与半圆相切时（不包括相切），都有2个交点， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得：或（舍去）， 所以满足直线与曲线有2个不同交点的的取值范围是. 20．（2026·北京朝阳·一模）已知点，点（，）为圆：上的动点，若，则的一个取值为______. 【答案】 (区间内的值都对) 【详解】设，已知点，则， 点（，）为圆：上的动点， 当时，，此时， 由，得. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $