第01讲 直线方程及直线间的位置关系（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 直线方程及直线间的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 直线倾斜角的定义及取值范围 知识点2 直线的斜率 知识点3 直线方程的五种形式 知识点4 直线的方向向量的定义及有关结论 知识点5 直线的法向量的定义 知识点6 两条直线的位置关系 知识点7 两直线的交点 知识点8 两点距离、点线距离、线线距离 题型破译 (含超链接） 题型1 直线的倾斜角与斜率【含方法技巧】 题型2 直线的5种方程【含方法技巧】 题型3 两直线平行求参数【含方法技巧】 题型4 两直线垂直求参数【含方法技巧】 题型5 过点处与某直线平行垂直【含方法技巧】 题型6 两点距离、点线距离、线线距离【含方法技巧】 题型7 直线恒过定点问题【含方法技巧】 题型8 直线中的对称问题【含方法技巧】 题型9 直线综合问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 直线方程的求解与参数 T11（5分） — T3（4分） 点到直线的距离公式 T11（5分） — T3（4分） 直线与圆锥曲线的位置关系 — — T13（5分） 考情分析 直线方程及直线间位置关系是解析几何的基础内容，北京卷近年不单独设题考查两直线平行与垂直，而是将直线方程、斜率、距离公式作为工具融入直线与圆、圆锥曲线等综合问题中。直接命题以选择题、填空题为主，分值4~5分，难度中等偏易。近三年考情显示，命题侧重直线方程的基本运算（求参数、求距离）及直线与圆锥曲线的位置关系判断，强调坐标法思想。复习时需熟练掌握直线方程的各种形式及距离公式，为后续解析几何综合题打好基础。 复习目标 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握斜率公式。 2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，能根据条件求直线方程。 3.掌握两直线平行与垂直的判定条件，能解决含参直线平行垂直问题。 4.掌握两点间距离公式、点到直线距离公式、两条平行线间距离公式。 5.能利用直线方程与距离公式解决直线与圆、圆锥曲线的位置关系问题。 6.体会坐标法思想，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 直线倾斜角的定义及取值范围 1．定义：x轴 正向 与直线 向上 的方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0° ． 2．倾斜角的取值范围 平面直角坐标系中的每一条直线都有 唯一 的倾斜角，倾斜角的取值范围是 ． 自主检测1直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得直线斜率，结合斜率与倾斜角关系，即可得到答案. 【详解】设该直线的倾斜角为，且， 由直线，可得直线的斜率为，即，所以. 自主检测2直线的方程为，则直线的倾斜角α的范围是（   ） A．（0，π） B． C． D． 【答案】C 【分析】按是否为0分类讨论，求出斜率的取值范围，进而求出倾斜角的范围. 【详解】设直线l的倾斜角为 当时，直线的斜率不存在，则直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当，即时，则； 当，即时，则； 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：C. 知识点2 直线的斜率 （1）斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当 时，称 为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率 不存在 . （2）斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为 ，当时，直线l的斜率 不存在 . 自主检测1已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 自主检测2已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 知识点3 直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点 不含直线 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点 不含直线 和直线 截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 自主检测1一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 自主检测2已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 知识点4 直线的方向向量的定义及有关结论 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 平行或重合 ，则称向量为直线的一个方向向量，记作. 直线方向向量的有关结论 ①如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量. ②如果直线的斜率为，则 是直线的一个方向向量. ③若直线的方向向量为，则直线的斜率 . 自主检测1若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 自主检测2直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量，再求与共线的向量即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的一个方向向量， 对于A，因，即向量与不共线，A不合题意； 对于B，因，即向量与不共线，B不合题意； 对于C，因，即向量与不共线，C不合题意； 对于D，因，即向量与共线，D符合题意. 故选：D 知识点5 直线的法向量的定义 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线 垂直 ，则称向量为直线的一个 法向量 ，记作.一条直线的方向向量与法向量互相 垂直 知识点6 两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线与的位置关系 相交 重合 平行 位置关系 ，满足的条件 ，满足的条件 平行 ，且 且 垂直 相交 自主检测1已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直斜率间的关系得出实数的值. 【详解】直线可化为，即斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率存在且等于，即. 自主检测2直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 知识点7 两直线的交点 点P的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 交点 坐标. 知识点8 两点距离、点线距离、线线距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 ， 点到直线的距离 到直线的距离为 两平行线间的距离 直线到直线的距离为d（） 自主检测1点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点到直线的距离为. 自主检测2已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 题●型●破●译 题型1 直线的倾斜角与斜率 例1-1直线的倾斜角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为， 则， 因为，所以. 例1-2已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 方法技巧 1. 倾斜角的定义：直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角，记作 ，范围是 。 1. 斜率与倾斜角的关系：（）。 当 时，，直线与 轴平行或重合； 当 时，，直线上升； 当 时，斜率不存在，直线竖直； 当 时，，直线下降。 1. 过两点的斜率公式：若直线过 、，则 当 时，斜率不存在，倾斜角为 。 1. 由斜率范围求倾斜角范围：注意正切函数在 和 上分别单调递增，需分段讨论，不能直接取反函数。 1. 方向向量与斜率：若直线的方向向量为 ，且 ，则斜率 ；若 ，则斜率不存在。 【变式训练1-1】已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 【变式训练1-2】已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线过、两点，且倾斜角为， 故， 由斜率公式可得，解得. 【变式训练1-3】已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围. 【详解】直线：经过定点， 因为，， 又直线与线段恒相交，所以． 故选：D. 题型2 直线的5种方程 例2-1经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 例2-2经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 方法技巧 1. 点斜式：，适用于已知一点和斜率，但不能表示斜率不存在的竖直线。 1. 斜截式：，适用于已知斜率和 轴截距，同样不能表示竖直线。 1. 两点式： 适用于已知两点，但不能表示竖直线和水平线。 1. 截距式： 其中 ，，适用于已知 轴、 轴截距，但不能表示过原点的直线、竖直线和水平线。 1. 一般式：（、 不同时为 ），可表示平面内任意一条直线，是通式。 1. 选择策略：已知斜率优先用点斜式或斜截式；已知两点可用两点式或先求斜率；已知截距用截距式；涉及通用证明或复杂条件时用一般式。使用特殊形式时，务必单独考虑斜率不存在或截距为零的情况。 【变式训练2-1】已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程是. 故选：D 【变式训练2-2】若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论直线是否经过原点，经过原点时，设为，不经过原点时设为，代入求解. 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 故选：D. 【变式训练2-3】已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定点的轨迹，再求直线方程. 【详解】由条件可知，点的轨迹是线段的垂直平分线， 线段的中点为，，所以所求直线的斜率为， 直线方程为，整理为. 故选：D 题型3 两直线平行求参数 例3-1已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】将直线方程化为斜截式方程，根据，即可判断求解. 【详解】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B 例3-2直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线的平行关系求出的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由，得，解得或， 当时，，即，，此时重合； 当时，，，此时. 综上所述，是的充要条件. 故选：A 方法技巧 1. 斜率法：若 ，，则 若两条直线斜率都不存在，则它们都竖直，此时平行（若 截距不同）。 1. 一般式法：若 ，，则 或等价地，，确保不重合。 1. 含参问题的步骤： 先由平行条件 列出关于参数的方程； 解出参数的所有可能值； 逐一检验是否满足不重合条件，排除导致两直线重合的参数值。 1. 向量法：两直线平行等价于方向向量成比例，且法向量也成比例，但常数项不成比例。 【变式训练3-1】若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两条直线平行时的条件即可求出. 【详解】直线，其中、、， 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线重合，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线平行，故正确. 故选：. 【变式训练3-2】已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 【变式训练3-3】“”是 “直线与互相平行”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据直线一般式方程直线平行或重合的条件得或，再检验排除两直线重合的情况得，最后根据充要条件的概念判断即可. 【详解】若直线与互相平行或重合， 则，即，解得或， 当时，，，满足； 当时，，，此时重合， 所以当时，. 所以“”是 “”的充要条件. 故选：C 题型4 两直线垂直求参数 例4-1已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【详解】因为直线垂直于直线， 所以，解得. 故选：A. 例4-2已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 方法技巧 1. 斜率法：若两条直线斜率都存在，则 若一条直线斜率为 （水平），另一条斜率不存在（竖直），则两直线也垂直。 1. 一般式法：若 ，，则 1. 含参问题的步骤： 由垂直条件列出关于参数的方程； 解方程求出参数； 检验是否存在斜率不存在的特殊情况，确保没有遗漏。 1. 向量法：两直线垂直等价于方向向量点积为 ，或法向量点积为 。 【变式训练4-1】设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【答案】C 【分析】利用斜率之积为,来判断两直线垂直即可. 【详解】由直线的斜率为：， 直线的斜率为， 可得，所以两直线互相垂直. 故选：C 【变式训练4-2】若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的一般式方程判断两直线垂直的条件列式，求解可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得． 故选：C． 【变式训练4-3】已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 【答案】C 【分析】先根据与平行求解出的值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD；然后根据与垂直列出等量关系求解的值，由此可判断C. 【详解】直线；， 若与垂直，则有，则，故C正确； 若与平行，则有，解得或， 时，，，两直线平行， 时，，，两直线平行. 所以与平行时，或，B选项错误； 与不可能重合，故D选项错误； 若与相交，则且， 当时，两直线垂直相交，满足相交的条件，但不满足A选项的结论，A选项错误. 故选：C. 题型5 过点处与某直线平行垂直 例5-1经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 例5-2若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 方法技巧 1. 过点 且与已知直线平行： 若已知直线斜率为 ，则所求直线为 ； 若已知直线竖直（斜率不存在），则所求直线为 ； 一般式法：与 平行，可设所求直线为 ，即 。 1. 过点 且与已知直线垂直： 若已知直线斜率为 ，则所求直线斜率为 ，方程为 ； 若已知直线水平（），则所求直线竖直，方程为 ； 若已知直线竖直，则所求直线水平，方程为 ； 一般式法：与 垂直，可设所求直线为 。 1. 注意：求出方程后化为一般式或斜截式，并检查是否过给定点。 【变式训练5-1】过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平行关系设出直线方程，再代入点，即可写出直线方程. 【详解】因为直线与平行，设直线方程为. 因为直线经过，代入解得.所以直线方程为. 故选：A 【变式训练5-2】已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 【变式训练5-3】已知直线的一个方向向量为，直线经过点，且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解即得 【详解】直线的一个方向向量为，则直线的斜率为， ∵， ∴直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 题型6 两点距离、点线距离、线线距离 例6-1若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 例6-2已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线的距离的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设圆心坐标，可得圆心满足的条件，再用三角换元及辅助角公式可得距离的最小值. 【详解】设圆心为，因为圆经过，且半径为1，所以， 令，即. 所以圆心到直线的距离为 ，其中. 当且仅当时等号成立. 所以圆心到直线的距离的最小值为3. 故选：B 方法技巧 1. 两点间距离： 1. 点到直线的距离：点 到直线 的距离为 1. 两平行线间的距离：若 ，，则 使用前必须将两直线方程化为 、 对应相同的系数形式。 1. 中点坐标公式：、 的中点为 1. 应用：距离公式常用于求最值、证明不等式、判断位置关系以及对称问题。 【变式训练6-1】直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将变形为， 故两直线的距离为， 故选：B 【变式训练6-2】已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 【变式训练6-3】已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 题型7 直线恒过定点问题 例7-1直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【详解】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A 例7-2已知直线，，则下列选项中不正确的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，，之间的距离为 【答案】C 【分析】利用动直线过定点的判定方法可判定A；利用两直线平行，垂直的判定可判断BC；利用两平行线间的距离可判断D. 【详解】直线 的方程可整理为 ， 因此它恒过直线 与 的交点 ，故选项 A 正确； 当 时， 的方程为 ， 其斜率与 相同且截距不同，因此 ，选项 B 正确； 当 时， 的方程为 ， 即 ，为垂直于 轴的直线， 而 的斜率为 ，两者不垂直，故选项 C 错误； 当 时，得，解得 ， 此时 ，与 的距离为 ，选项 D 正确. 故选：C 方法技巧 1. 点斜式识别法：若直线方程可化为 的形式，则无论 取何值，直线恒过定点 。 1. 分离参数法（核心方法） ：将含参数的直线方程整理为关于参数 的方程： 令 解出的 即为直线恒过的定点。 1. 特殊值法：若参数不易分离，可给参数取两个特殊值，得到两条直线，求其交点，再将该交点代入原方程验证是否恒成立。 1. 注意：若直线方程整理后参数的系数恒为零，则需单独讨论，可能直线恒过某点或与参数无关。 【变式训练7-1】直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化简为，根据直线经过的定点的坐标满足，解出定点坐标即可. 【详解】由，化简得， 所以直线经过的定点的坐标满足，联立方程组解得， 即直线的定点为. 故答案为：B 【变式训练7-2】点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 【答案】C 【分析】数形结合，利用当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点 与点 的距离为：. 当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段 的斜率为 ，直线 垂直于 ，直线 的斜率为 . 故选：C 【变式训练7-3】已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 【答案】B 【分析】求出直线过定点坐标，即可判断A；求出直线所过象限，即可判断B；将直线方程化为斜截式，即可判断C；分截距均为、截距均不为两种情况讨论，求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线：，即， 令，解得，所以直线过定点，故A错误； 对于B：当时直线：，即， 所以直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确； 对于C：直线：，即，所以直线的斜率为，即直线的斜率一定存在，故C错误； 对于D：若直线在坐标轴上的截距相等， 若截距均为，则，解得； 若截距均不为，显然，对于，令可得， 令，则，所以，解得（舍去）或； 综上可得或，故D错误. 故选：B 题型8 直线中的对称问题 例8-1已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 例8-2已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解. 【详解】联立，解得， 所以直线与直线的交点为， 所以点在直线上， 所以可设直线即， 在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等， 所以，解得或（舍去）. 所以直线的斜率为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解. 方法技巧 1. 点关于点对称：点 关于点 的对称点为 1. 点关于直线对称：点 关于直线 的对称点 满足： 中点 在直线上； 直线 与对称轴垂直，即 与法向量 平行。 联立方程组求解。也可直接用公式： 1. 直线关于点对称： 若对称中心在直线上，则对称直线为原直线本身； 若对称中心不在直线上，则对称直线与原直线平行，且原直线上任一点关于对称中心的对称点都在对称直线上。可设对称直线为 ，利用点到两直线距离相等求 。 1. 直线关于直线对称： 若两直线平行，则对称直线与原直线平行，且到对称轴的距离相等； 若两直线相交，先求交点，再取原直线上一点求关于对称轴的对称点，由两点确定对称直线。 1. 常用对称结论： 点 关于 轴对称得 ； 关于 轴对称得 ； 关于原点对称得 ； 关于直线 对称得 ； 关于直线 对称得 。 1. 光线反射问题：入射光线、反射光线关于反射面（直线）对称，可转化为对称点问题求解。 【变式训练8-1】已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 【变式训练8-2】已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称关系得出直线斜率及直线所过的点即可得解. 【详解】因为，所以， 又的中点在直线l上， 所以直线l的方程为，即， 故选：A 【变式训练8-3】已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，根据PQ的斜率为1，线段PQ中点在对称轴上求解。 【详解】在上任取一点，设关于直线的对称点为， 所以，解得， 代入， 得：， 所以直线的方程为. 故选：A 【点睛】本题主要考查直线的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 题型9 直线综合问题 例9-1若，则方程表示的直线条数为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先分两类讨论：当时，方程仅表示条直线；当时，共个有序对，再找出其中因成比例而重复的个有序对，用总数减去重复数，最终得到直线条数为． 【详解】当时，方程只表示直线， 当时，对应的数组有个， 但是下列各组中的方程分别表示同一条直线： ，，， ，，， 所以方程表示的直线条数为． 例9-2记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 方法技巧 【变式训练9-1】已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得点的轨迹是以为直径的圆，求得圆的方程，进而求得圆心到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值. 【详解】由题知直线过定点，直线过定点， 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 又的中点坐标为，半径， 所以圆的方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：C. 【变式训练9-2】已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 【变式训练9-3】实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离. 【详解】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为. 故答案为：；. 【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 2．过，两点的直线l的倾斜角为，求的值． 【答案】. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又，整理得， 解得或， 当时，，不符合， 当时，，符合， 综上：. 3．判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行. 【详解】（1）经过，两点，则， 则，可得两直线平行. （2）经过，两点，可得平行于x轴， 平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以； （3）经过，两点，， 经过，两点，则， 所以. 4．的四条边所在直线的方程分别是，，，. (1)求对角线交点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意联立直线方程，解得，不妨取交点为； 同理联立可得，联立可得，联立可得； 对角线交点坐标即为中点坐标，即， 即对角线交点的坐标为 （2）易知， 点到边的高即为两平行线之间的距离，即， 所以的面积为. 5．的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离． 【答案】 【详解】由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O. 由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同, 则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为: 即; 所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:， 综上，直线l与CD所在直线的距离为. 6．求直线（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质： （1）与两条坐标轴都相交；     （2）只与x轴相交； （3）只与y轴相交；         （4）是x轴所在的直线； （5）是y轴所在的直线． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），，；（5），，； 【详解】（1）直线（A，B不同时为0）与x轴相交时， 方程组有唯一解，所以， 同理直线（A，B不同时为0）与y轴相交时， 方程组有唯一解，所以， 所以当，时，直线与两条坐标轴都相交； （2）已知直线只与x轴相交， 所以直线与y轴平行或重合， 所以当，时，直线只与x轴相交； （3）已知直线只与y轴相交， 所以直线与x轴平行或重合， 所以当，时，直线只与y轴相交； （4）当，，时，直线是x轴所在的直线； （5）当，，时，直线是y轴所在的直线； 7．求满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且平行于过和两点的直线； （3）经过点，且与直线垂直． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点 则直线为； （2）过和两点的直线斜率为， 则与MN平行且过点的直线方程为：； （3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为， 则经过点，且与直线垂直的直线方程为； 8．已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 【答案】直线，过定点 【详解】因为方程化简得： 为任意实数，方程表示直线. 因为， 所以当，直线恒成立， 故直线过定点. 9．判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)(I);(II) 【详解】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：； 因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：， 则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以， 因为直线的斜率为， 所以， 则直线与直线垂直. （3）因为直线过， 所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得： (II) 当直线与直线垂直时则，解得： 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 2．点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点到直线的距离为. 3．已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的充要条件，代入对应直线系数计算即可得到的值. 【详解】由于直线与垂直， 得 ，解得. 4．若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 5．已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 6．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 7．曲线的切线与直线垂直，则切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为， 由，得， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 由得，所以其斜率为. 所以，解得，， 所以切点. 所以所求切线方程为，即. 8．如图，直线的右上方有一点，则的值（    ） A．与A同号 B．与B异号 C．与C同号 D．无法判断 【答案】A 【解析】化简得直线，有图像可知，根据点与坐标原点在直线的两侧，即可列出不等式求解 【详解】由题得直线．由图象知，∴．又点与坐标原点在直线的两侧，∴，∴与A同号，与B同号，与C异号，故选A． 【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力、抽象概括能力，考查逻辑推理核心素养． 9．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为, 的平分线所在直线方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出B的坐标，将AB中点代入直线CM，求出m的值，从而求出B的坐标，再求出A关于的对称点 ，表示出的方程，即BC的方程，整理即可． 【详解】解：由题意可知，点B在角平分线上，可设点B的坐标是， 则AB的中点在直线CM上，， 解得：，故点． 设A关于的对称点为，则有，，即 则由在直线BC上，可得BC的方程为，即，即， 故选A． 【点睛】本题主要考查点关于直线对称的性质，根据两点坐标求直线方程以及三角形的中线的性质，属于中档题． 10．若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B 重难·创新演练 11．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 12．已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两条直线的定点，再求交点的轨迹，最后计算直线的斜率的最值之和. 【详解】直线整理为， 令，得定点； 直线整理为， 令，得定点； 因为，所以，则交点在以为直径的圆上. 的中点为，半径， 圆的方程为. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为. 故选： 13．已知点是抛物线上任意一点，若点到直线的最短距离为，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用点到直线的距离公式和最值求出的值，得到抛物线方程. 【详解】联立，消去并化简得：， 因为点到直线的最短距离为， 所以抛物线与直线无交点，且点到直线的距离为， 所以，且 所以，且当时，， 解得或，又，所以， 所以抛物线方程为， 故选：C 14．在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则，    直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 15．已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质求出点的轨迹，然后根据直线与圆的位置关系求出的范围. 【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，， 所以，因为， 所以，那么. 所以是以为圆心，4为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与点的轨迹圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为. 解得. 故选：C. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线方程及直线间的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 直线倾斜角的定义及取值范围 知识点2 直线的斜率 知识点3 直线方程的五种形式 知识点4 直线的方向向量的定义及有关结论 知识点5 直线的法向量的定义 知识点6 两条直线的位置关系 知识点7 两直线的交点 知识点8 两点距离、点线距离、线线距离 题型破译 (含超链接） 题型1 直线的倾斜角与斜率【含方法技巧】 题型2 直线的5种方程【含方法技巧】 题型3 两直线平行求参数【含方法技巧】 题型4 两直线垂直求参数【含方法技巧】 题型5 过点处与某直线平行垂直【含方法技巧】 题型6 两点距离、点线距离、线线距离【含方法技巧】 题型7 直线恒过定点问题【含方法技巧】 题型8 直线中的对称问题【含方法技巧】 题型9 直线综合问题【含方法技巧】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 直线方程的求解与参数 T11（5分） — T3（4分） 点到直线的距离公式 T11（5分） — T3（4分） 直线与圆锥曲线的位置关系 — — T13（5分） 考情分析 直线方程及直线间位置关系是解析几何的基础内容，北京卷近年不单独设题考查两直线平行与垂直，而是将直线方程、斜率、距离公式作为工具融入直线与圆、圆锥曲线等综合问题中。直接命题以选择题、填空题为主，分值4~5分，难度中等偏易。近三年考情显示，命题侧重直线方程的基本运算（求参数、求距离）及直线与圆锥曲线的位置关系判断，强调坐标法思想。复习时需熟练掌握直线方程的各种形式及距离公式，为后续解析几何综合题打好基础。 复习目标 1.理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握斜率公式。 2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，能根据条件求直线方程。 3.掌握两直线平行与垂直的判定条件，能解决含参直线平行垂直问题。 4.掌握两点间距离公式、点到直线距离公式、两条平行线间距离公式。 5.能利用直线方程与距离公式解决直线与圆、圆锥曲线的位置关系问题。 6.体会坐标法思想，提升数学运算与逻辑推理素养。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 直线倾斜角的定义及取值范围 1．定义：x轴 与直线 的方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． 2．倾斜角的取值范围 平面直角坐标系中的每一条直线都有 的倾斜角，倾斜角的取值范围是 ． 自主检测1直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 自主检测2直线的方程为，则直线的倾斜角α的范围是（   ） A．（0，π） B． C． D． 知识点2 直线的斜率 （1）斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当 时，称 为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率 . （2）斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为 ，当时，直线l的斜率 . 自主检测1已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 自主检测2已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 知识点3 直线方程的五种形式 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点 不含直线 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点 不含直线 和直线 截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 自主检测1一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 自主检测2已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 知识点4 直线的方向向量的定义及有关结论 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 ，则称向量为直线的一个方向向量，记作. 直线方向向量的有关结论 ①如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量. ②如果直线的斜率为，则 是直线的一个方向向量. ③若直线的方向向量为，则直线的斜率 . 自主检测1若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 自主检测2直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 知识点5 直线的法向量的定义 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线 ，则称向量为直线的一个 ，记作.一条直线的方向向量与法向量互相 知识点6 两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 直线与的公共点的个数 一个 零个 直线与的位置关系 重合 位置关系 ，满足的条件 ，满足的条件 平行 ，且 且 垂直 相交 自主检测1已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 自主检测2直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 知识点7 两直线的交点 点P的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的 坐标. 知识点8 两点距离、点线距离、线线距离 三种距离 条件 公式 两点间的距离 ， 点到直线的距离 到直线的距离为 两平行线间的距离 直线到直线的距离为d（） 自主检测1点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 自主检测2已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（   ） A． B． C．2 D． 题●型●破●译 题型1 直线的倾斜角与斜率 例1-1直线的倾斜角大小为（   ） A． B． C． D． 例1-2已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 倾斜角的定义：直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角，记作 ，范围是 。 1. 斜率与倾斜角的关系：（）。 当 时，，直线与 轴平行或重合； 当 时，，直线上升； 当 时，斜率不存在，直线竖直； 当 时，，直线下降。 1. 过两点的斜率公式：若直线过 、，则 当 时，斜率不存在，倾斜角为 。 1. 由斜率范围求倾斜角范围：注意正切函数在 和 上分别单调递增，需分段讨论，不能直接取反函数。 1. 方向向量与斜率：若直线的方向向量为 ，且 ，则斜率 ；若 ，则斜率不存在。 【变式训练1-1】已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【变式训练1-2】已知直线过、两点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 题型2 直线的5种方程 例2-1经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 例2-2经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 方法技巧 1. 点斜式：，适用于已知一点和斜率，但不能表示斜率不存在的竖直线。 1. 斜截式：，适用于已知斜率和 轴截距，同样不能表示竖直线。 1. 两点式： 适用于已知两点，但不能表示竖直线和水平线。 1. 截距式： 其中 ，，适用于已知 轴、 轴截距，但不能表示过原点的直线、竖直线和水平线。 1. 一般式：（、 不同时为 ），可表示平面内任意一条直线，是通式。 1. 选择策略：已知斜率优先用点斜式或斜截式；已知两点可用两点式或先求斜率；已知截距用截距式；涉及通用证明或复杂条件时用一般式。使用特殊形式时，务必单独考虑斜率不存在或截距为零的情况。 【变式训练2-1】已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【变式训练2-3】已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型3 两直线平行求参数 例3-1已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 例3-2直线，，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 1. 斜率法：若 ，，则 若两条直线斜率都不存在，则它们都竖直，此时平行（若 截距不同）。 1. 一般式法：若 ，，则 或等价地，，确保不重合。 1. 含参问题的步骤： 先由平行条件 列出关于参数的方程； 解出参数的所有可能值； 逐一检验是否满足不重合条件，排除导致两直线重合的参数值。 1. 向量法：两直线平行等价于方向向量成比例，且法向量也成比例，但常数项不成比例。 【变式训练3-1】若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【变式训练3-3】“”是 “直线与互相平行”的（     ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 题型4 两直线垂直求参数 例4-1已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 例4-2已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 1. 斜率法：若两条直线斜率都存在，则 若一条直线斜率为 （水平），另一条斜率不存在（竖直），则两直线也垂直。 1. 一般式法：若 ，，则 1. 含参问题的步骤： 由垂直条件列出关于参数的方程； 解方程求出参数； 检验是否存在斜率不存在的特殊情况，确保没有遗漏。 1. 向量法：两直线垂直等价于方向向量点积为 ，或法向量点积为 。 【变式训练4-1】设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【变式训练4-2】若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练4-3】已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 题型5 过点处与某直线平行垂直 例5-1经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 例5-2若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 过点 且与已知直线平行： 若已知直线斜率为 ，则所求直线为 ； 若已知直线竖直（斜率不存在），则所求直线为 ； 一般式法：与 平行，可设所求直线为 ，即 。 1. 过点 且与已知直线垂直： 若已知直线斜率为 ，则所求直线斜率为 ，方程为 ； 若已知直线水平（），则所求直线竖直，方程为 ； 若已知直线竖直，则所求直线水平，方程为 ； 一般式法：与 垂直，可设所求直线为 。 1. 注意：求出方程后化为一般式或斜截式，并检查是否过给定点。 【变式训练5-1】过点且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知直线的一个方向向量为，直线经过点，且，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型6 两点距离、点线距离、线线距离 例6-1若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 例6-2已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线的距离的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 方法技巧 1. 两点间距离： 1. 点到直线的距离：点 到直线 的距离为 1. 两平行线间的距离：若 ，，则 使用前必须将两直线方程化为 、 对应相同的系数形式。 1. 中点坐标公式：、 的中点为 1. 应用：距离公式常用于求最值、证明不等式、判断位置关系以及对称问题。 【变式训练6-1】直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【变式训练6-3】已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型7 直线恒过定点问题 例7-1直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 例7-2已知直线，，则下列选项中不正确的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，，之间的距离为 方法技巧 1. 点斜式识别法：若直线方程可化为 的形式，则无论 取何值，直线恒过定点 。 1. 分离参数法（核心方法） ：将含参数的直线方程整理为关于参数 的方程： 令 解出的 即为直线恒过的定点。 1. 特殊值法：若参数不易分离，可给参数取两个特殊值，得到两条直线，求其交点，再将该交点代入原方程验证是否恒成立。 1. 注意：若直线方程整理后参数的系数恒为零，则需单独讨论，可能直线恒过某点或与参数无关。 【变式训练7-1】直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 【变式训练7-3】已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限 C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则 题型8 直线中的对称问题 例8-1已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 例8-2已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1. 点关于点对称：点 关于点 的对称点为 1. 点关于直线对称：点 关于直线 的对称点 满足： 中点 在直线上； 直线 与对称轴垂直，即 与法向量 平行。 联立方程组求解。也可直接用公式： 1. 直线关于点对称： 若对称中心在直线上，则对称直线为原直线本身； 若对称中心不在直线上，则对称直线与原直线平行，且原直线上任一点关于对称中心的对称点都在对称直线上。可设对称直线为 ，利用点到两直线距离相等求 。 1. 直线关于直线对称： 若两直线平行，则对称直线与原直线平行，且到对称轴的距离相等； 若两直线相交，先求交点，再取原直线上一点求关于对称轴的对称点，由两点确定对称直线。 1. 常用对称结论： 点 关于 轴对称得 ； 关于 轴对称得 ； 关于原点对称得 ； 关于直线 对称得 ； 关于直线 对称得 。 1. 光线反射问题：入射光线、反射光线关于反射面（直线）对称，可转化为对称点问题求解。 【变式训练8-1】已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【变式训练8-2】已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为 A． B． C． D． 题型9 直线综合问题 例9-1若，则方程表示的直线条数为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 例9-2记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 方法技巧 【变式训练9-1】已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 2．过，两点的直线l的倾斜角为，求的值． 3．判断下列不同的直线与是否平行. （1）的斜率为2，经过，两点； （2）经过，两点，平行于x轴，但不经过P，Q两点； （3）经过，两点，经过，两点． 4．的四条边所在直线的方程分别是，，，. (1)求对角线交点的坐标； (2)求的面积. 5．的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离． 6．求直线（A，B不同时为0）的系数A，B，C分别满足什么关系时，这条直线有以下性质： （1）与两条坐标轴都相交；     （2）只与x轴相交； （3）只与y轴相交；         （4）是x轴所在的直线； （5）是y轴所在的直线． 7．求满足下列条件的直线的方程. （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且平行于过和两点的直线； （3）经过点，且与直线垂直． 8．已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 9．判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 3．已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 4．若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 5．已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 6．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．曲线的切线与直线垂直，则切线方程是（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线的右上方有一点，则的值（    ） A．与A同号 B．与B异号 C．与C同号 D．无法判断 9．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为, 的平分线所在直线方程为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 重难·创新演练 11．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 12．已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 13．已知点是抛物线上任意一点，若点到直线的最短距离为，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 14．在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 15．已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $