四川省成都市第七中学2026-2027学年高三上学期10月小练习数学试题

数学10月小练习 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若且，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线C：经过点和点，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种 7. 已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为1和2，该棱台的高为，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7 8. 已知函数，（其中）.对于不相等的实数，，设，，如下说法中正确的为（ ） A. 对于任意不相等的实数，，都有 B. 对于任意的a及任意不相等的实数，，都有 C. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 D. 对于任意的a，存在不相等的实数，，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）． A. 圆C的圆心坐标为 B. 直线l与圆C相交 C. 圆与圆C相切 D. 圆C上存在4个点到直线l的距离为1 10. 若数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列是递增数列，数列可能不是递增数列 B. 数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C. 若是等差数列（公差），，则是的充分不必要条件 D. 若是等比数列，则（，）的充要条件是 11. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 13. 若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 14. 已知球M的直径，是球M球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的图象的对称轴方程； （2）求函数在区间上的值域． 16. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N. （1）在直观图中标出点F，G，H，并证明：直线平面BDH； （2）求二面角的正弦值. 17. 成都某玩具厂对一批熊猫玩具进行抽样质检，每次抽检1件玩具，至多抽检n次（整数），当且仅当抽到1件次品或n件玩具均为正品时，停止抽检.已知每件玩具是次品的概率为，各件玩具是否为次品相互独立.记X为停止抽检时抽检的玩具件数. （1）当，时，求质检员停止抽检时抽检的玩具件数小于3的概率； （2）当时，质检员停止抽检时抽检的玩具件数为3的概率，求p； （3）当时，记停止抽检时抽检的玩具件数大于2k的概率为，停止抽检时抽检的玩具件数大于k的概率为，证明：. 18. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连接并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接. （1）若点C的坐标为，且， ①求椭圆的方程； ②若斜率存在且不为0的直线l经过点，且与椭圆交于P，Q两点.线段PQ的垂直平分线交x轴于点N，求面积的最大值； （2）若，求椭圆离心率e的值. 19. 已知函数，，其中且. （1）若，求函数的单调区间； （2）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. （3）若函数与的图象恰有三个交点，求实数a的取值范围. 数学10月小练习 （时间：120分钟 满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）连结BD，设O为BD的中点. 因为M，N分别是BC，GH的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以OMNH是平行四边形，从而， 又平面BDH，平面BDH， 所以平面BDH. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）当时，说明前k次均未抽到次品，则，，说明前2k次均未抽到次品，则， 因为，所以. 【18题答案】 【答案】（1）①；② （2） 【19题答案】 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）曲线在点处的切线：. 曲线在点处的切线：. 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线， 只需证明当时，存在，，使得和重合. 即只需证明当时，方程组有解， 由①得，代入②，得.③ 因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解. 设函数， 即要证明当时，函数存在零点. 由，可知时，；时，单调递减， 而又由，， 故存在唯一的，且，使得，即. 由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值. 因为，故， 所以 . 下面证明存在实数t，使得. 由（1）可得，当时， ，根据二次函数的性质， 所以存在实数t，使得， 因此，当时，存在，使得. 所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $