精品解析：四川成都市实验外国语学校2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

成都市实验外国语学校高2024级高三九月月考 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知，则 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，解得. 3. 在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中，由性质：，则，解得， 已知，则公差. 4. 抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦半径公式直接代入求解即可. 【详解】由题，抛物线：的焦点为， 因为点到焦点的距离为6，设， 所以，解得， 所以点的横坐标为4. 5. 有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【详解】将甲、乙两人捆绑为一个整体，两人内部的排列种数为， 将甲乙整体看成一个元素与剩余的4人共5个不同元素进行全排列，排列种数为， 总排法种数为种. 6. 工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，可以计算出常数；再令准确率提升倍数时，计算出. 【详解】根据该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数， 又已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20，那么 ，故， 令，得 ， ，，故C正确. 7. 已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，令，，应用数形结合的方法，判断有两个不同的交点时，求的范围即可. 【详解】由题设，令，，即有两个不同的交点， ∵是过定点的直线，是圆心为，半径为2的圆的上半部分， ∴它们的图象如下： 当过时，有两个交点，此时. 当与相切时，即到的距离，解得. ∴由图知：当时，有两个交点. 故选：D 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得 构造函数， 讨论函数性质，可得，可得,构造函数,求导，求值域可得. 【详解】因为函数 的零点为 ，所以 ． 因为函数 的零点为 ，所以 ， 则 ，即 ， 可得 ． 令 ，则 ，可得 在 上单调递增． 所以 ，则 ，即 . 可得 . 由已知得 ，则 (关于自变量的函数,根据简单的复合函数单调性可知该函数单调递增)． 又 . 则 ，解得 ． 令 ，则 . 令 ,则 ;令,则. 可得在上单调递增,在上单调递减， 则的最大值为,,即. 【点睛】本题考查了学生指对同构的思想，利用指对同构找到，的关系，化多元为单变量，构造新函数解决问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 10. 若，，，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率加法公式，结合已知条件分析即可. 【详解】对于A，若事件与互斥，则，由题意知，故A错误； 对于B，因为事件与不互斥，则事件与一定不对立，故B错误； 对于C，因为，所以， 由，故C正确； 对于D，根据概率加法公式得：，故D正确. 11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由是奇函数得关于(1,0)中心对称；联立两个等式推导周期，再逐一判断奇偶性、函数值与求和. 【详解】因为是奇函数，所以，且奇函数在 0 处有定义，则，图像关于(1,0)中心对称， 因为，则， 代入①式得，即周期为4. 选项A，，代入①式得，即，A正确； 选项B，假设，则时，，因为，所以，矛盾，假设不成立，B错误； 选项 C，，周期为4，则，， ，则一个周期内， 则，C正确； 选项 D，，周期 4，则周期也为 4， ， 则， ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为, 令得的展开式中，的系数为. 13. 已知正数、满足，则的最小值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件得出，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正数、满足，则. 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 14. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求该几何体内切球的表面积，根据几何关系求半径，再求表面积. 【详解】几何体内最大的球为几何体的内切球，如图，点分别是切点， 连接交圆锥底面于点，连结，，， 因为，所以， 又，，且， 所以四边形是正方形，且， 则，即，解得：， 所以内切球的表面积为，即这个球的表面积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式即可求解； （2）由（1）得出数列，然后利用分组求和法和等差数列，等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 即. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，，，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，，所以. 因为平面，，，平面， 所以，，. 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间坐标系. 由题意知，，，，，，. 所以，. 所以，即. 又因为，，平面，， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由，，得.因为平面，所以可以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.利用向量证明，易知，由线面垂直的判定定理证得平面； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，根据面面角的向量求法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，. 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则，即，令，则，所以. 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过两点列方程组求解即可. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立（法一：消去；法二，消去），根据韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式及已知条件，结合弦长公式求解即可. 法三：设出直线方程，与椭圆方程联立（消去），根据韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式及已知条件，结合中点坐标公式求解即可. 【小问1详解】 依题意得，，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 法一： 依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，整理得，所以， 设原点到的距离为，因为的面积与的面积相等， 所以，得， 所以，得 依题意，与异号，所以，所以，解得， 所以直线的方程为或． 法二： 依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，得，所以， 因为的面积与的面积相等，所以， 所以，则，即. 依题意，与异号，所以，则，解得， 所以直线的方程为或． 法三： 依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线：，，，所以， 联立，得，所以， 设原点到的距离为. 因为的面积与的面积相等，所以，得，所以与的中点重合， 又的中点，的中点，所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或． 18. 围棋擂台赛“天王守擂”是赛事中最紧张的高强度对决环节，通常有一擂主与多位挑战者进行多轮棋艺较量．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． （1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．求该擂主连胜三局的概率． （2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明： 【答案】（1） （2）（i）的分布列为： 2 4 5 期望的最大值为． （ii）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”． 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”， 当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 因此，得， 而，所以． 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率公式计算即可． （2）（i）求出所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值； （ii）设事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解． 【小问1详解】 设该擂主连胜三局为事件，该擂主与甲、乙、丙比赛获胜分别为事件B，C，D， 则 由题知，事件B，C，D相互独立， 所以， 所以该擂主连胜三局的概率为． 【小问2详解】 （i）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得的所有可能取值为：2，4，5， ， 所以的分布列为： 2 4 5 所以的期望为： ， 由，得，当且仅当时取等号，则， 因此， 所以的最大值为． （ii）略 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及导数的运算求解即可. （2）通过参变分离，得到存在，使得成立；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. （3）通过参变分离，构造函数，，，根据导数与单调性及最值的关系得到；令，结合，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校高2024级高三九月月考 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 4. 抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ） A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 360种 6. 工程师对某种AI图象识别算法模型进行优化，该算法模型的准确率提升倍数与数据投喂量（单位：）的关系式为，其中为常数．已知数据投喂量为时，算法模型的准确率提升倍数为20；当准确率提升倍数时，该算法模型就能达到商用标准．若要想达到商用标准，则数据投喂量至少应为（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 10. 若，，，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与互相独立 D. 11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为________． 13. 已知正数、满足，则的最小值为_______. 14. 如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，，，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 18. 围棋擂台赛“天王守擂”是赛事中最紧张的高强度对决环节，通常有一擂主与多位挑战者进行多轮棋艺较量．现有一擂主与三名挑战者甲、乙、丙． （1）擂主与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该擂主与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．求该擂主连胜三局的概率． （2）若新赛制让甲和乙进行比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立． （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件，证明： 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $