四川省南充市九师联盟2026-2027学年高三上学期10月学业评估联考数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．已知平面向量，不共线，，，若，则 A． B．3 C．4 D． 4．已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，则到直线的距离为 A．1 B．2 C．3 D．4 5．2026年8月22日~26日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动队有4名操作员和4名人形机器人（每名操作员固定控制1名人形机器人），赛后此机器人运动队排成一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有 A．24种 B．120种 C．384种 D．786种 6．在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，将射线绕着原点按逆时针方向旋转角得到射线，若射线经过点，则 A． B． C． D． 7．近年来，新能源汽车特别是电动汽车销量快速增长，充电基础设施仍存在布局不够完善、结构不够合理、服务不够均衡、运营不够规范等问题．为进一步构建高质量充电基础设施体系，某市计划在2026年新建设3万个新能源汽车充电桩，后面每年新建设的充电桩数量比上一年增加25%，按照这样的发展趋势，若从2026年起，到年，该市新建设的充电桩数量之和在42万个与48万个之间（含42万个和48万个），则 （参考数据：，） A．2031 B．2032 C．2033 D．2034 8．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为 A．3 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，是上一点，且，则 A．的短轴长为4 B．的离心率为 C．的周长为 D．的面积为2 10．已知函数，且存在，，使得，则 A．的最小正周期为 B．在上的值域为 C． D． 11．已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则 A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．4是的一个周期 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若圆锥的高为3，母线长为4，则该圆锥的体积为_________． 13．已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是_________． 14．已知，，都是正数，且随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 若，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，将得到的评分（满分100分，60分及60分以上为及格）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）从这500名游客中随机抽取1人，求此游客的评分不低于80分的概率； （2）该市为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，采取专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，得到的数据和列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（本小题满分15分） 在各项都是正数的数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． （1）证明：平面； （2）是棱上一点，若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知双曲线的一条渐近线为，且的焦距为6，动直线交于，两点，其中为定值且． （1）求的方程； （2）若，，且直线与圆相切，为原点，求的面积； （3）是否存在，使得以线段为直径的圆经过定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案、提示及评分细则 1.AMUN={x|-9<x≤5}.故选A 4i4i(1+i) =一4+4i=一2+2i故选C. 2.C1-)+D2 3.D因为m∥n,且m≠0，所以存在A∈R,使得n=m,即aa十12b=4a十9b,又平面向量a,b不共线，所以x=4,12= 以，解得=专号放选D 4.B因为点M(1,2)在C上，所以22=2p×1,解得p=2,所以F到直线l的距离为2.故选B. 5.C先将每名操作员与其控制的人形机器人捆绑，然后全排列，所以每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排 法共有AAA6AA=384种.故选C. 1 &A因为an&=子ma十B)=号-2所以amB产ma+Bo)=中ama分：me1+(-2)× .tan (a+B)-tan a 一2-4 一号故选A 7.B从2026年起，每年新建设的充电桩数量构成数列{a,}(单位：万个)，则数列{a,}是首项为3，公比为1.25的等比数 列，设数列{a,的前1项和为S,则S,=31-125）=121.25"-1D,令42≤S.≤48，则42≤121.25-1)≤48，即 1-1.25 多}L5所以版名e5s号-高-半兰-或8，版5-品器景 9 9 7.21,所以6.73≤n≤7.21，又n∈N°，所以n=7,所以从2026年起，到2032年，该市新建设的充电桩数量之和在42万 个与48万个之间，即m=2032.故选B. &D由csnA=(-)sinC及正弦定理AsC得u=(c-)c,即ab=e-,由余弦定理，得=d+ -2 abcos C,即c2-b=a2-2 abcos C=ab,即a-2 bcos C=b,由正弦定理，得sinA-2 sin Bcos C=sinB,又sinA= sin[x-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C-+sin Ccos B,所以sin(C-B)=sinB.因为OB,C<π，所以C-B=B,或 C-B+B=元，解得C=2B或C=x舍)，因为0<A,BC<,所以0<B<音，0sBc(3,1),0C告2_=s2B cos B cos B 2cos B-1-2cos BIR cos B cosB≥2V2cosB· 7B2E,当且仅当2mB=万即m月=号时，等号成立所以 S后子的显小值为2反.散D .AC设椭圆E的长轴长，短轴长，焦距分别是2a,2弘，2，由E:号+￥=1，得。2=9，=4，所以a=3,b=2,c V后一下一5，所以E的短轴长为4，离心率。=台-气，放A正确，B错误，由椭圆的定义，得PR,1十PR=2a 6,又|FF2|=2c=25,所以△PFF2的周长为6+25，故C正确：因为PF⊥PF2,所以|PF|2+|PF2|2= |EFP,所以PF·IPF|=8,△PFP的面积为2|PF|·PF=4,故D错误.故选AC 1Q以D因为了水x)号m2一方os2=m(2x一看)，所以T-受-，即f)的最小正周期为x放A错误：由 x∈[o,受]得2x-吾∈[-晋，g],所以sim(2x-吾)∈[-1]，即f)在[o,受]上的值域为[-1]，故 B正确：由2x一吾=x十受（∈），得x=经+受(k∈Z),所以f(x)图象的对称轴方程为直线x=经+哥 (k∈Z),因为f)=f),且西∈(-吾，)<)，所以十-，故C正确：因为f)=() =寺，即sim(2a-晋）=sm(2吾）=青，又∈(-吾，晋)<)，所以∈(-若季)，2a-吾 (-受，受)，所以cos(2x一吾)=号，放D正确.故选BCD, 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 9/2FJ-G 11.BCD因为f(2+x)十g(1一x)=3,所以f(2-x)+g(1+x)=3,因为直线x=1是函数g(x)图象的一条对称轴， 所以g(1一x)=g(1十x),所以f(2十+x)=f(2一x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称，易知f(x)不恒为0，故 A错误；因为g(x)-f(x-1)=5,所以g(x+3)-f(x十2)=5，所以g(x+3)+g(1一x)=8,所以g(x)的图象关 于点(2,4)对称，故B正确：因为g(x)=f(x一1)十5，所以g(x)与f(x)有相同的周期性，因为g(x十3)十 g(1-x)=8,g(1-x)=g(1+x),所以g(x+3)十g(1十x)=8,所以g(x十5)+g(x十3)=8，所以g(x十5)= g(x十1)，即g(x十4)=g(x),所以4是g(x)的周期，所以4是f(x)的周期，故C正确：g(1)=2,g(2)=4,g(3)=6, g)=4,所以g(1D+g(2)+g(3)+g4)=16,所以写g(D=506×16+g(2025)+g(2026)=8096+g1)+ g(2)=8102,故D正确.故选BCD. 12.7x因为圆锥的高为3，母线长为4，所以圆锥的底面圆半径为√-一3=厅，该圆锥的体积为了x(厅)'×3=7 13.[0,十oo)由不等式mx十1-sin≥0对Hx∈(0，x)恒成立，得不等式m≥in1对Hx∈(0，x)恒成立，令f(x) =血，xe(0,),则f(x）=os0士出，令g(x)=xosx-sinx+1,x∈(0x),则g(5）=0,g(x) 22 =-zsin<0恒成立，所以g(x)单调递减，当x∈(0，受)时，g(x)>0,即∫(x)>0,f(x)单调递增，当x∈ (受，x)时，g(x)<0,即∫(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)m=f(5)=0,m≥0，即实数m的取值范围 是[0，十∞). 由随机变量X的分布列的性质及E(X)=子，得a十号十什c=1,a十号+36叶4c=子，所以3a+6=1,2a一c 古又ac锦员正数：所以ga日兰。气。=己。一3+六。16己。。5己。+ 36+。(”a+)如1)-+1+8≥+2V81=9当且仅当} }号即a=6时等号成立，所以普。+产分，即兰。+产 二a十二的最小值为 15.解：(1)由题意，得(0.005+0.005+0.01+m十m)×20=1,解得m=0.015. …3分 因为0.015×20=0.3,0.3×500=150， 所以从这500名游客中随机抽取1人，则此游客的评分不低于80分的概率为89-0,3， 6分 (2)2×2列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 统计假设H:评分是否及格与专项整治行动无关 由题意，得X-10020X40030X100)2-100≈42.619， …… 500×500×300×700 21 10分 由查表可得P(X≥10.828)=0.001， 因为47.619>10.828，所以统计假设H不成立，根据小概率值a=0.001的独立性检验，可以认为评分是否及格与专 项整治行动有关.… …13分 16.(1)解：由au+一an=4(√a+i+√an),得（√aw+i+an)(√a+-√an)=4(a++an), 又√a+i十√/an>0,所以√a+i-V√an=4.… …2分 又√@=6，所以数列{√an}是首项为6，公差为4的等差数列.… …4分 所以/an=√a1+(n-1)×4=4+2,即an=(4n+2)2. 6分 (2)证明：由(1)知a=(4十2)2，所以1 以a.44n+2n+p(分) 1 …9分 所以T.=(1-)+六（合-吉）++（分）61+D 12分 1 因为neN,所以16十D>0,T,=616+D< 15分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 9/2FJ-G 1n.(L)证明：因为DM=DC=马CM,所以DM+DC=Cf,DMIC.. 2 …1分 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.…2分 又AC⊥BM,BD∩BM=B,BD,BMC平面BDM,所以AC⊥平面BDM,… …4分 又DMC平面BDM,所以AC⊥DM. …5分 因为DM⊥DC,DM⊥AC,DC∩AC=C,DC,ACC平面ABCD,所以DM⊥平面ABCD.…7分 (2)解：记AC∩BD=O,过点O作OO1∥DM,所以OO⊥平面ABCD,因为AC,BD M C平面ABCD,所以OO⊥BD,OO⊥AC,即OA,OB,OO两两垂直，以O为原点， OA,OB,OO,所在直线分别为x轴，y轴，x轴建立空间直角坐标系如图所示. 设AB=2,因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以BD=2,AC=2√3， A(5,0,0),B(0,1,0),C(-√3,0,0)，D(0,-1,0),M(0,-1,2).…8分 D 设器(0<)，则=Ad成=(5，-1,2).即N5-5,-A,2a) …9分 m·AB=0, A亦=(-√5,1,0)，A衣=(B入-25，-，2x),设平面ABN的法向量为m=(x,y,2),则 即 m·AN=0, -5x+y=0, 令x=入，得y=√3入，x=3,所以m=(入，W5入，√5)是平面ABN的一个法向量. (W3A-25)x-Ay+2λx=0, ……1l分 AC=(-25,0,0),A衣=(51-23，-A,2A),设平面ACN的法向量为n=(a,b,c),则 n·AC=0, 即 n·Ai=0, -23a=0, 令c=1,得a=0,b=2,所以n=(0,2,1)是平面ACN的一个法向量.…13分 ((3x-23)a-Ab+2λc=0, 设平面ABN与平面ACV所成角为0，则血广4所以ms=委】 31 又1os=wmw=”:一后 =23λ+3 =严，所以6+3以-11=0，解得X=号（含）或x=号 所以微子 …15分 181)解：由m=-1得fx)=22-4x-1nf1D=- 2 …1分 因为了()=x-4-所以∫1)=-4，… …3分 所以函数了)的图象在1,1)处的切线方程为叶子-一4仪（红一1D,即8x十2y-1=0…4分 (2)解：f(x)的定义域为(0，十∞)， 由fx)=2r+(m-3)x+mln得了x)-+m3)x+m, …5分 因为函数∫(x)在(0，十o∞)上单调递增，所以了(x)≥0在(0，十∞)上恒成立，即m≥在(0，十∞)上恒成 ………6分 令gx)=3,x(0,十o0),则g(x)=二（+3)D,令g)=0,得=1 x+1 (x+1)2 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(1，十∞)时，g(x)<0,g(x)单调递减，所以当x=1时，g(x)取 得极大值，也是最大值，即g(x)mx=g(1)=1.… …8分 所以m≥1，即实数m的取值范围是[1，十∞).…9分 (3)证明：因为函数f(x)有两个极值点x1,,所以f()=+(m二3》+m=0有两个不同的正根，所以4 (m-3)2-4m>0且十x2=-(m-3)>0,2=m>0,解得0<m<1.… … 10分 )+f)=号+(n-3)a+mln西+号龙+(m-3)m+mlna=-m+2m号 +mlnm.…12分 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 9/2FJ-G 令hm)）=-名f+2m-号+mhm,0<m<1,则N(m）=-m+3+lnm 令p(m)=(m)=一m十3+lnm,0<m<1,则g'(m）=m>0恒成立，所以0(m)单调递增， m 又g(e3)=-e3<0,9(e2)=1-e2>0,所以3mm∈(e3,e2),使得9(ma)=0,即-m+3+lnm=0, …14分 当m∈(0，m)时，o(m)=h'(m)0,h(m)单调递减，当m∈(m,1)时，p(m)=h(m)>0,h(m)单调递增，所以 当m=ma时，h(m)取得极小值，也是最小值， 即A(x=h(m)=一之通+2m,-号+mnm=号(m-1)-5 因为m∈(e3,e2),所以2(m-1)2-5>-5,所以(x)m>-5,即f()+f()>-5。…17分 18解：因为双曲线C的渐近线为y=士名，所以由题意知2-气，即6一。 0，…1分 由C的焦距为6，得2√a2+6=6,所以a=2,b=√5，… ………3分 所以C的方程为-号白1.……… …4分 (2)圆x2+(y-1)2=5的圆心为(0,1)，半径5， 因为直线1与圆x+(-1D2=5相切，所以-5，解得m=一号（舍）或m=2,所以1的方程为x=2y十3，即 /1+m x-2y3=0.…5分 x=2y+3, 4 4为为-25 设Any),B80),联立方程三芝=1得16y+60y+25=0,所以y十%=- 161 …6分 5 所以AB=中1--5+为)-4纱为-草 …7分 又原点O到l的距离d= 1-3 35 …8分 V√/1+(-2)2 5 所以△A0B的面积为号AB1·d=之×孕×5-155 5 8 …9分 (3)设A(x1,y),B(2y2), x=my十n, 联立方程2一上=1 得(5m2-4)y2+10my+5n2-20=0,△=80(5m2+n2-4)>0, 45 所以y十2= -4为-一29 10mn 5mm2-4 11分 假设定点D(s,t)在以线段AB为直径的圆上，则DA.D亦=0， 又DA=(x-s,y-t)=(my十n-s,y-t),DB=(x2-s,2-t)=(my2十1-s,2-t), 所以DA·DB=(my+-s)(my2十n-s)+(y-t)(-t)=0, 即(m2+1)y2+(m1-sm-t)(y十2)十s2+2+-2s=0,… 13分 所以成+1…翠+(mm(警）++f+f-2s=0… 即5(2+32-4)m2+10tm十n2-412-4s2+8s-20=0, 5(2+2-4)=0, 所以310m1=0, 000t■0g000■0g000 15分 （n2-4t2-4s2+8s-20=0, 若n=0,则2十2+5=0，方程无解，所以t=0,s=±2， 当s=2,t=0时，n2+16n-36=0,解得n=2(舍)或n=一18： 当s=-2,t=0时，7n2-161-36=0,解得n=-2(舍)或n=18. 综上所述，n=一18或=18.…17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 9/2FJ-G