专题07 几何最值模型之将军饮马模型（含勾股）（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级上册

专题07.几何最值模型之将军饮马模型 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 1）轴对称性质：对称点连线被对称轴垂直平分，对称轴上任意一点到两个对称点距离相等； 2）基本公理：两点之间线段最短；垂线段最短； 3）勾股定理；勾股逆定理； 4）垂直平分线性质，全等三角形。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 【模型提炼与证明】 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； (2)的面积______；(3)在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． (4)在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，故答案为：； （3）解：如图所示，取格点E、F、G、H，连接交于点O，点O即为所求； 易证明分别垂直平分线，则； （4）解：如图所示，连接交直线l于点P，点P即为所求． 【典例2】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为______． 【答案】12 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴，， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线，∴， ∴，∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：．故答案为：12． 【典例3】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，E是上一点，，P是上一动点，则的最小值是__________． 【答案】10 【详解】解：如图所示，作点B关于直线的对称点D，连接， ∵，∴， 由轴对称的性质可得，∴， ∴当P、D、E三点共线时， 有最小值，最小值为的长， ∵，∴，故答案为：10． 【典例4】（25-26九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ． 【答案】5 【详解】解：， ∵把式看成点到两点和的距离之和， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，，即的最小值为5，故答案为：5． 【典例5】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作关于的对称点，∴， ∵是是的平分线，∴在上，，∴， 当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，，∴， ∵，∴，故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 【模型提炼与证明】 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·广东深圳·专题练习）如图，每一个小正方形的边长为． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小，并且求出最小值为___________； (3)在上画出点，使最大；并且求出最大值为___________； (4)求点到所在直线的距离为___________． 【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析，(3)画图见解析，(4) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，此时， 由勾股定理得，，即的最小值为，故答案为：； （3）解：如图所示，点即为所求，此时的最大值即为线段的长， 由勾股定理得，，故答案为：； （4）解：如图，过点作于点， ∵，∴，解得， ∴点到所在直线的距离为，故答案为：． 【典例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8． 【典例3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴，∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 【典例4】（25-26七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【答案】 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，，此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵当的最大值是时，∴． ∵，，∴，由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴．故答案为：90 【典例5】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）两点的坐标分别为，在轴上找一点，使线段的值最大，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：作点关于轴的对称点，如图所示： 则点坐标为，∴，∴， ∴当点、、共线时，的值最大，设直线的解析式为， 把、代入得，解得，∴直线的解析式为， 令，则，解得，∴点坐标为，故答案为：． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 【模型提炼与证明】 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，，周长， 此时周长最小，∵周长的最小值等于8，即 ，，，是等边三角形， ，由对称的性质得：， ，故选：A． 【典例2】（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，交于于，连接，如图所示： 则当点共线时，的周长为，此时周长最小， ∵点与点关于对称，∴垂直平分，∴， ∵点与点关于对称，∴垂直平分，∴， ，，∴， 又∵，∴， ∴是等边三角形，∴，∴，故选：C． 【典例3】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，    ∵，且，∴， ∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴，，， ∵，∴，∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为， ∴的面积的最小值为，故选：B． 【典例4】（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．的度数是 ；周长的最小值是 ． 问题探究（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 【答案】（1），；（2）； 【详解】解：点与点关于对称，， 点与点关于对称，， ，，， ，故答案是：； 解：点与点关于对称，，， 点与点关于对称，，，， 由可知，是等边三角形，， 的周长是，周长的最小值是，故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称，连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值，是等腰直角三角形，，， ，，， 在和中，，， ，，， 点是的中点，，，的最小值是； 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 【模型提炼与证明】 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵，∴， ∴， ∴，即的最小值为10，故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·成都·期末）设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】解：如图，分别作A、D关于、的对称点、点，连接、、，，， 则，，，，∴， ∴当共线时，有最小值， 由轴对称的性质得，，∴， 取的中点，连接，则，∴，∴是等边三角形， ∴，，∴， ∴，∴． 故折线的长的最小值为12．故选：A． 【典例3】（25-26八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作点关于的对称点，则，∴ 当四点共线时，最小，连接， ∵则, ∴∵, 过作垂直的延长线交于点，∴ 在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知， 则，∴ 即的最小值为．故答案为：． 模型常见易错点 1）对称点找错，直接连接 AB，同侧当成异侧 错误：A、B 在直线同侧，直接连 AB 交直线 l。 解决方案：同侧必须作对称；异侧直接连线；做题第一步标记两点在直线哪一侧。 2）找到三点共线之后，不会构造直角三角形，无法用勾股求长度 解决方案：算出最短路径A'B后，横向、竖向做垂线，构造直角三角形，读出两条直角边再套勾股。 3）混淆 PA+PB最小 和|PA-PB|最大 错误：求|PA-PB|最大值时，还用将军饮马作对称。 解决方案：PA+PB最小：将军饮马，异侧时连接AB延长交直线，同侧作对称；|PA-PB|最大：同侧时连接AB延长交直线，异侧作对称。 4）对称轴选错，比如正方形选 AB 边，而不是对角线 解决方案：动点在哪条线上，就以这条线作为对称轴，定点向这条直线作对称。 5）忽略取等条件，不写三点共线 解决方案：大题必须写：当A'、P、B三点共线时，取得最小值，否则步骤扣分。 解题方法总结 解题步骤： 1）识别标志：定直线，定点，动点在定直线上，求折线段之和最小； 2）判断定点在直线同侧/异侧； 异侧：直接连接两点；同侧：选其中一个定点，作关于定直线的对称点； 连接对称点与另一个定点，与定直线交点即为动点P； 3）构造直角三角形，找到两条直角边，勾股定理计算这条线段长度，就是最小值； 4）书写：说明三点共线取最小值。 记忆口诀 将军饮马找对称，同侧翻折异侧连； 折线段化成直线段，Rt勾股算出值； 看清动点在哪线，三点共线是关键。 1．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，，∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴，∴，∴最小时，最小． 当时最小，即为的长，∵，， ∴，∴的最小值是4．故选C． 2．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连交直线于点，连接，， ，，，， 当三点共线时，的最小值为， 轴，轴，，，， ，，的最小值为，故选：A ． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】连接，与的交点为， ， 是的垂直平分线，点与点关于直线对称，，此时周长最小， 是等腰三角形，是的中点，，长为，面积是48，， 周长最小，故选：C． 4．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，， ， 由轴对称的性质可得，，，∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，为， 由勾股定理可得：，∴的最小值为，故答案为：． 5．（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，分别作点关于的对称点、,连接,交于,交于, ，，，根据轴对称的性质，可得, 由两点之间线段最短可知，的周长的最小值,, 等腰中，, ,故答案为：． 6．（25-26八年级上·新疆·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵，∴，，∴． ∴，故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)在图中画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)的面积为______． (3)点是轴上一动点，当的值最小时，画出点的位置，此时点的坐标为______． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：如图所示． （2）． （3）如图所示，点的坐标为． 7．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为， (1)在图中准确画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标为______； (2)顺次连接A，B，C，得到的的面积是______；边上的高是______； (3)已知与关于x轴对称，请在坐标系中画出； (4)在y轴有一点M，使得的值最大，请画出点M的位置，并写出M的坐标______；（保留画图的痕迹） 【答案】(1)图见解析，(2)4，(3)见解析(4)图见解析， 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下： 点C的坐标为，故答案为：； （2）解：如图所示， 的面积是；根据勾股定理得， ∴边上的高是，故答案为：4，； （3）解： （4）解：如图所示， 当点不在同一条直线上时，如点，根据三角形的三边关系得，； 当点在同一条直线上时，如点，根据线段的和差得，； ∴的值最大时，点在同一条直线上，延长交轴于一点，即为点； ∵为的正方形的对角线，∴点在的正方形的对角线上， ∴通过观察图形可得，故答案为：． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点作，垂足为，交于点，连接，，    平分，，在和中，，， ，，，， 当，点与重合时，的值最小，为的长， ，，，的最小值是，故选：B． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为___________． 【答案】45 【详解】解：∵，∴， 作点关于直线的对称点，连接，则， ∵轴，∴三点共线，∴， ∵，∴当三点共线时，的值最小， ∵，∴为等腰直角三角形，∴；故答案为：45． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，∴是等边三角形， 如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点． ，，， ，， ，∴，∴， ，最小时，的值最小， 当时，的值最小，此时，∴， ∴的最小值为， 的周长的最小值为，故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期中）是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，∴，过点作交于， 则，且所在直线为过点的对称轴，即点是直线上的一动点，如图， ∵，∴， ∵为中点，∴，在中，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号，∴取得最大值，最大值为； ∵点关于的对称点为点，∴， ∴，当、、三点共线，取等号，∴的最小值为， ∵是等边三角形，为的中点，∴，则， ∴，∴的最小值为，故答案为：，． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】（1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】（3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【详解】（1），，， ∴的最小值是13，故答案为13； （2）如图，，，， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则，， ，，，，∴方程的解是． 6．（25-26七年级下·吉林·期中）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称，直线是的垂直平分线． ________，________________＝________． 在中，，，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】(1)，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边(2)9(3) 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线．，， ．在中，，，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是“两点之间线段最短”，或“三角形两边之和大于第三边”； （2）解：如图，直线m与交于点D，连接 ∵直线m垂直平分，∴B、C关于直线m对称，，∴ ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，，∴周长的最小值是． （3）解：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴，∴， ∴由轴对称的性质可得，，，∴． 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在等腰中，斜边的长为4，D为的中点，E为边上的动点，． 交于点F，P为的中点，连接，，则的最小值是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，、． 是等腰直角三角形，且在中，为的中点， ．同理．．点在的垂直平分线上运动． 作A关于垂直平分线的对称点，连接．的最小值为． ，为中点，．在中，．故选：C． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称，∴，， ∵，∴，∴，∴三点共线， ∴，∴当最小时，最小， ∵点M是上一点，∴时，最小，此时：， ∴，∴，∴的最小值为，故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点，过点作直线， ∵等边与的边长都为，，∴， ∵、、三点在一条直线上，∴ 与关于直线对称， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴、关于直线对称， ∴当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长．故答案为： 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作的垂线交于点，连接并延长， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴，∴点在过点与垂直的射线上运动， 作点关于的对称点，连接与射线交于点， ∴，则， 根据两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，即， 过点作的垂线，交于点，则是等腰直角三角形， ∵，∴， ∵，∴，则， ∵点关于的对称点为，∴，则， ∵，且， ∴在中，， ∴. 5．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，，∴______=______． 在中，∵，∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】（1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有） 【答案】简单应用：（1）6；（2）；拓展应用：千米 【详解】解：简单应用：（1）∵是等边三角形，， ∴垂直平分线，∴，∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵，∴都是等边的高，∴，∴的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小， ∵，∴， ∵，∴， ∵，， ∴； 拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得，∴货船行驶的水路长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得， ∴，∴，∴，∴货船行驶的水路最短路程为千米． 6.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点，在直线上找一点，使点到两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 (1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小；(2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________．(3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：如图，，点即为所求， （2）作于点H，交于点，过点作于点，则的最小值为， 平分，， 在中， 由勾股定理得 ，所以的最小值为，故答案为： （3）作点C关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接分别交于点，连接，则的最小值为的长．由对称可得垂直平分，垂直平分， 在中，由勾股定理得 所以的最小值为13，故答案为： 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07.几何最值模型之将军饮马模型 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 1）轴对称性质：对称点连线被对称轴垂直平分，对称轴上任意一点到两个对称点距离相等； 2）基本公理：两点之间线段最短；垂线段最短； 3）勾股定理；勾股逆定理； 4）垂直平分线性质，全等三角形。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 【模型提炼与证明】 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； (2)的面积______；(3)在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． (4)在直线l上找一点P，使的值最小． 【典例2】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为______． 【典例3】（25-26八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，，E是上一点，，P是上一动点，则的最小值是__________． 【典例4】（25-26九年级上·四川广元·期中）在平面直角坐标系中设两个点A、B坐标分别为，则A和B两点之间的距离为：．小明遇到如下问题：求的最小值，聪明的你认为答案是 ． 【典例5】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 【模型提炼与证明】 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·广东深圳·专题练习）如图，每一个小正方形的边长为． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小，并且求出最小值为___________； (3)在上画出点，使最大；并且求出最大值为___________； (4)求点到所在直线的距离为___________． 【典例2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【典例3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【典例4】（25-26七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【典例5】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）两点的坐标分别为，在轴上找一点，使线段的值最大，则点的坐标是______． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 【模型提炼与证明】 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【典例3】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．18 【典例4】（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出（1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小．的度数是 ；周长的最小值是 ． 问题探究（2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 【模型提炼与证明】 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【典例2】（25-26八年级上·成都·期末）设，A为上一点，D为上一点，，C为上任一点，B是上任一点，那么折线的长最小值是（　　） A．12 B． C．8 D． 【典例3】（25-26八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 模型常见易错点 1）对称点找错，直接连接 AB，同侧当成异侧 错误：A、B 在直线同侧，直接连 AB 交直线 l。 解决方案：同侧必须作对称；异侧直接连线；做题第一步标记两点在直线哪一侧。 2）找到三点共线之后，不会构造直角三角形，无法用勾股求长度 解决方案：算出最短路径A'B后，横向、竖向做垂线，构造直角三角形，读出两条直角边再套勾股。 3）混淆 PA+PB最小 和|PA-PB|最大 错误：求|PA-PB|最大值时，还用将军饮马作对称。 解决方案：PA+PB最小：将军饮马，异侧时连接AB延长交直线，同侧作对称；|PA-PB|最大：同侧时连接AB延长交直线，异侧作对称。 4）对称轴选错，比如正方形选 AB 边，而不是对角线 解决方案：动点在哪条线上，就以这条线作为对称轴，定点向这条直线作对称。 5）忽略取等条件，不写三点共线 解决方案：大题必须写：当A'、P、B三点共线时，取得最小值，否则步骤扣分。 解题方法总结 解题步骤： 1）识别标志：定直线，定点，动点在定直线上，求折线段之和最小； 2）判断定点在直线同侧/异侧； 异侧：直接连接两点；同侧：选其中一个定点，作关于定直线的对称点； 连接对称点与另一个定点，与定直线交点即为动点P； 3）构造直角三角形，找到两条直角边，勾股定理计算这条线段长度，就是最小值； 4）书写：说明三点共线取最小值。 记忆口诀 将军饮马找对称，同侧翻折异侧连； 折线段化成直线段，Rt勾股算出值； 看清动点在哪线，三点共线是关键。 1．（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．6 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为 ． 5．（25-26八年级上·天津河东·期末）如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 6．（25-26八年级上·新疆·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 6．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)在图中画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）； (2)的面积为______． (3)点是轴上一动点，当的值最小时，画出点的位置，此时点的坐标为______． 7．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为， (1)在图中准确画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标为______； (2)顺次连接A，B，C，得到的的面积是______；边上的高是______； (3)已知与关于x轴对称，请在坐标系中画出； (4)在y轴有一点M，使得的值最大，请画出点M的位置，并写出M的坐标______；（保留画图的痕迹） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（   ）    A． B． C． D．3 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线为直线上一动点，连接，当的值最小时，的度数为___________． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期中）是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】（1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】（3）已知正数x满足，求x的值． 6．（25-26七年级下·吉林·期中）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． (1)【题型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线、如图②，小明作点关于直线的对称点，连结与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明．以下是说明过程： 如图③，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，． 点与点关于直线对称，直线是的垂直平分线． ________，________________＝________． 在中，，，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． (2)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为________． (3)【模型拓展】如图⑤，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在等腰中，斜边的长为4，D为的中点，E为边上的动点，． 交于点F，P为的中点，连接，，则的最小值是（ ） A．3 B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为______． 5．（25-26八年级上·湖南株洲·阶段检测）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，，∴______=______． 在中，∵，∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】（1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有） 6.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点，在直线上找一点，使点到两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 (1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小；(2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________．(3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $