专题05 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学讲义通过系统梳理等腰直角三角形两大经典模型构建知识体系，以等直内接等直模型和等直+高分模型为核心，结合知识储备、模型提炼与证明过程呈现知识脉络，突出旋转全等、角度推理等重难点及模型间的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计和方法指导创新，A组基础题、B组提升题、C组压轴题覆盖不同层次需求，典例2通过等腰直角三角形中求CD+CE培养推理意识和几何直观，解题步骤与记忆口诀帮助学生掌握方法，支持教师实施精准化教学。

专题05 等腰三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等直内接等直模型、等直+角分模型，是等腰直角三角形两大经典压轴模型。 命题特点：①等直内接等直：以等腰直角+斜边中点为载体，考察旋转全等、线段相等、面积不变量，常设置动点；存在点落在延长线变式；②等直 + 角分模型：依托等腰直角特殊 45°角，角平分线分出22.5°特殊角，用来倒角、证明线段相等、等腰判定；常与高分线模型结合考察；③两个模型极少单独命题，常和手拉手、半角、中点模型嵌套；④核心考察能力：旋转构造全等、角度推理、动态图形不变量探究。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+高分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具，是各地模考题改编的热门素材。 1）等腰直角三角形性质：两腰相等，两底角45°；斜边上中线= 斜边一半，三线合一； 2）全等判定：ASA、SAS、AAS；旋转全等思想； 3）三角形内角和、外角定理，同角的余角相等； 4）角平分线定义、等腰三角形判定：等角对等边。 模型1.等直内接等直模型 【模型提炼与证明】 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，D为边的中点，点E，F分别在边上，，则四边形的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（ ） A． B． C．2 D． 【典例3】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例4】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）已知：如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，．在点，运动的过程中，有下列四个结论：①是等腰直角三角形；②面积的最小值是1；③至少存在一个，使得的周长是；④四边形的面积是1．其中正确结论的有（    ） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【典例5】（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）在中，，，为的中点． （1）如图，，分别是，上的点，且．求证：为等腰直角三角形； （2）如图，若，则四边形的面积为______（直接写出结果）； （3）如图2，若．分别为，延长线上的点，仍有，其他条件不变，则是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 模型2.）等直+高分线模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例2】（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）如图，已知在中，，平分交于点，过点作于点，交于点，且．(1)证明：垂直平分；(2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 【典例4】（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分；(2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由；②求证：平分． 模型常见易错点 1）等直内接等直，忽略D必须是斜边中点，直接套用全等结论 错误：只要是大等腰直角，随便取D点，直接判定△ADE≌△CDF。 解决方案：模型前提D是斜边BC中点；读题优先确认中点条件，无中点不能直接套用全等；看到斜边中点优先连中线AD。 2）E、F 在延长线变式，直接照搬面积不变结论 错误：E、F跑到边延长线上，仍然认为四边形面积等于大三角形一半。 解决方案：内点（在边上）面积不变；延长线变式，全等仍然成立，但面积不再是定值，画图区分内外两种图形。 3）等直 + 高分模型，分不清角平分线是顶角还是底角，乱倒角 错误：只要等腰直角里面有角平分线，直接当成 22.5°。 解决方案：顶角平分线分出两个 45°；底角平分线分出两个 22.5°；做题先看清平分哪个角，优先内角和推导，不要直接记角度。 4）证明全等，漏掉 AD⊥BC、45° 等隐藏条件 解决方案：等腰直角斜边中点，第一步辅助线固定为连接中线AD，一次性得到等线段、45°角、垂直关系。 解题方法总结 等直内接等直模型解题步骤 1）识别标志：大等腰 Rt△+ 斜边中点D +过D作90°角，两边交两条直角边；2）辅助线：连接斜边中线AD；3）推导：等腰直角三线合一，得到等线段、45°角；利用同角的余角相等推导一组等角；4）ASA 证明三角形全等；5）取用结论：线段相等、△EDF为等腰直角、面积不变；6）变式判断：E、F在边上/延长线，区分面积结论。 等直 + 高分模型解题步骤 1）识别标志：等腰直角三角形，存在角平分线，常搭配斜边上高线；2）标记：标出 45°底角，底角平分后 22.5°；3）倒角：直角三角形两锐角互余、对顶角、外角定理，寻找相等角；4）等角对等边，证明等腰三角形；5）线段计算可搭配勾股定理。 记忆口诀：等直中点连中线，同角余角证全等； 内接等直边角定，面积不变记心间； 等直搭配角分线，22.5° 倒角现。 1.（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，在等腰直角中，点是边上的中点，点为边上的动点，连接，过点作，交于点，连接，，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长一定的等腰直角中，点为斜边的中点，点是边上一动点，过点作，交边于点，在点运动的过程中，关于四边形下列说法正确的是（    ） A．面积不变，周长不变 B．面积不变，周长改变 C．面积改变，周长不变 D．面积改变，周长改变 4.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，为边中点，，则四边形的面积与等腰直角的面积的比值为 ． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 6．（25-26八年级·广东·校考期中）如图，是等腰直角三角形，，点是的中点，连接，作，连接交于点．求证：． 1.（25-26八年级上·黑龙江·校考期中）如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点分别在直角边、上，且，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（25-26八年级上·浙江丽水·期中）已知：如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，则下列说法正确的个数有（   ）    ①   ②  ③  ④  ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，于点平分，且于点，与相交于点是边的中点，连接与相交于，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，等腰的直角顶点D恰好为等腰底边中点，且点E，F分别在AB，AC上，若，则EF的最小值为 ．    5.（2025·广西·校考一模）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是 ； (2)类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证； (3)拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形面积． 6.（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，是等腰直角三角形，D是中点，． (1)求证：；(2)若平分，求证：； (3)如图2，若F是中点，求证：． 1.（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点，连接，．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④⑤其中正确的为（    ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图1，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下4个结论：①；②；③；④如图2，当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 4．（25-26九年级下·湖南长沙·培优）如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为 ． 5．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．（1）说明：；（2）说明：；（3）试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论． 6．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． (2)如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等直内接等直模型、等直+角分模型，是等腰直角三角形两大经典压轴模型。 命题特点：①等直内接等直：以等腰直角+斜边中点为载体，考察旋转全等、线段相等、面积不变量，常设置动点；存在点落在延长线变式；②等直 + 角分模型：依托等腰直角特殊 45°角，角平分线分出22.5°特殊角，用来倒角、证明线段相等、等腰判定；常与高分线模型结合考察；③两个模型极少单独命题，常和手拉手、半角、中点模型嵌套；④核心考察能力：旋转构造全等、角度推理、动态图形不变量探究。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+高分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具，是各地模考题改编的热门素材。 1）等腰直角三角形性质：两腰相等，两底角45°；斜边上中线= 斜边一半，三线合一； 2）全等判定：ASA、SAS、AAS；旋转全等思想； 3）三角形内角和、外角定理，同角的余角相等； 4）角平分线定义、等腰三角形判定：等角对等边。 模型1.等直内接等直模型 【模型提炼与证明】 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·河南开封·期末）如图，在中，，D为边的中点，点E，F分别在边上，，则四边形的面积为（　　） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形，∴， 又∵，∴， ∴，∴ 又∵ ∴故选：C． 【典例2】（2026·重庆·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，且AB=，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD+CE=（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：连接OC，∵等腰直角△ABC中，AB=，∴∠B=45°， ∴cos∠B=，∴BC=×cos45°=×=， ∵点O是AB的中点，∴OC=AB=OB，OC⊥AB，∴∠COB=90°， ∵∠DOC+∠COE=90°，∠COE+∠EOB=90°，∴∠DOC=∠EOB，同理得∠ACO=∠B， ∴△ODC≌△OEB，∴DC=BE，∴CD+CE=BE+CE=BC=，故选A． 【典例3】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形，，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； ∵，∴，当为的中位线时，满足，此时， ∵点E是边上一动点，∴无法确定是否为的中位线， ∴无法判断和的大小关系，故④错误；故选∶B 【典例4】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）已知：如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，．在点，运动的过程中，有下列四个结论：①是等腰直角三角形；②面积的最小值是1；③至少存在一个，使得的周长是；④四边形的面积是1．其中正确结论的有（    ） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：①∵四边形是正方形，，相交于点，∴，， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴是等腰直角三角形，故①正确； ②∵是等腰直角三角形∴的面积，∴当最小时，的面积最小， ∴当时，最小，此时， ∴面积的最小值是，故②错误； ③∵，∴，假设存在一个，使得的周长是， 则，由①得是等腰直角三角形，∴， ∵，的最小值是1，， ∴存在一个，使得的周长是，故③正确； ④由①知：， ∴，故④正确． 综上所述，其中正确结论的有①③④．故选：C． 【典例5】（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）在中，，，为的中点． （1）如图，，分别是，上的点，且．求证：为等腰直角三角形； （2）如图，若，则四边形的面积为______（直接写出结果）； （3）如图2，若．分别为，延长线上的点，仍有，其他条件不变，则是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）仍为等腰直角三角形，证明见解析． 【详解】解：（1）证明：连接AD；∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点 ∴AD==BD=CD，∠B=∠C=45°，且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF ∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形； （2）解：∵∠A=90°，AB=AC=4，D为BC的中点， ∴△ABD的面积=△ABC的面积=××AB×AC=××4×4=4， 由（1）得：△BDE≌△ADF，∴S△BDE=S△ADF，∴四边形AEDF的面积=△ABD的面积=4故答案为：4； （3）解：仍为等腰直角三角形．理由：连接AD， 由（1）可知AD=BD，∠BAD=∠ABD=45°，∴∠FAD=∠EBD=135°， ∵AF=BE，∴△AFD≌△BED（SAS）∴DF=DE，∠ADF=∠BDE ∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90° 即：∠EDF=90° ∴△EDF为等腰直角三角形． 模型2.）等直+高分线模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 【模型运用】 【典例1】（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，中，，，垂足为，平分，且，垂足为，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 故①正确. ∵平分，∴，∴， ∴，∴， ， ， 故②正确， ，，故③正确； ∵平分∴点到的距离等于点到的距离，设为h， 故④正确，故选：A. 【典例2】（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 【典例3】（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）如图，已知在中，，平分交于点，过点作于点，交于点，且．(1)证明：垂直平分；(2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：，. ，，，. 在和中，，，. ， 又，， ，即，. 平分，（角平分线的性质）. 在和中，，， （全等三角形对应边相等），垂直平分. （2）如图，连接，∵，是边的中点，∴，即垂直平分， ∴，由（1）可知，， 在中，，∴． 【典例4】（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分；(2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由；②求证：平分． 【答案】(1)证明：∵，∴是等腰三角形， ∵于点M，∴，∴垂直平分； (2)①解：，理由如下：∵，∴， ∵于点H，∴，∴， ∵，∴， 在和△中，，∴，∴； ②证明：过点H作于点J，于点K， ∵是等腰直角三角形，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴平分． 模型常见易错点 1）等直内接等直，忽略D必须是斜边中点，直接套用全等结论 错误：只要是大等腰直角，随便取D点，直接判定△ADE≌△CDF。 解决方案：模型前提D是斜边BC中点；读题优先确认中点条件，无中点不能直接套用全等；看到斜边中点优先连中线AD。 2）E、F 在延长线变式，直接照搬面积不变结论 错误：E、F跑到边延长线上，仍然认为四边形面积等于大三角形一半。 解决方案：内点（在边上）面积不变；延长线变式，全等仍然成立，但面积不再是定值，画图区分内外两种图形。 3）等直 + 高分模型，分不清角平分线是顶角还是底角，乱倒角 错误：只要等腰直角里面有角平分线，直接当成 22.5°。 解决方案：顶角平分线分出两个 45°；底角平分线分出两个 22.5°；做题先看清平分哪个角，优先内角和推导，不要直接记角度。 4）证明全等，漏掉 AD⊥BC、45° 等隐藏条件 解决方案：等腰直角斜边中点，第一步辅助线固定为连接中线AD，一次性得到等线段、45°角、垂直关系。 解题方法总结 等直内接等直模型解题步骤 1）识别标志：大等腰 Rt△+ 斜边中点D +过D作90°角，两边交两条直角边；2）辅助线：连接斜边中线AD；3）推导：等腰直角三线合一，得到等线段、45°角；利用同角的余角相等推导一组等角；4）ASA 证明三角形全等；5）取用结论：线段相等、△EDF为等腰直角、面积不变；6）变式判断：E、F在边上/延长线，区分面积结论。 等直 + 高分模型解题步骤 1）识别标志：等腰直角三角形，存在角平分线，常搭配斜边上高线；2）标记：标出 45°底角，底角平分后 22.5°；3）倒角：直角三角形两锐角互余、对顶角、外角定理，寻找相等角；4）等角对等边，证明等腰三角形；5）线段计算可搭配勾股定理。 记忆口诀：等直中点连中线，同角余角证全等； 内接等直边角定，面积不变记心间； 等直搭配角分线，22.5° 倒角现。 1.（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：∵在等腰直角中，，，， ∴，，，∴，故①正确； ∵，∴，∵，∴， ∴，故②正确；， ∵，∴，即， ∴是等腰直角三角形，∴；故③正确；故选D． 2．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，在等腰直角中，点是边上的中点，点为边上的动点，连接，过点作，交于点，连接，，则下列结论错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意：为等腰直角三角形，点是的中点， ，平分，且，， ，，， 在和中，，，A正确，不符合题意；， ，，C正确，不符合题意； ，，，， 为等腰直角三角形，点是的中点，，D正确，不符合题意； 无法得出，B错误，符合题意；故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长一定的等腰直角中，点为斜边的中点，点是边上一动点，过点作，交边于点，在点运动的过程中，关于四边形下列说法正确的是（    ） A．面积不变，周长不变 B．面积不变，周长改变 C．面积改变，周长不变 D．面积改变，周长改变 【答案】B 【详解】∵等腰直角，∴，，连接 ∵点为斜边的中点，∴，∴，，∴， ∵，∴，∴， 又，，∴，∴，， ∴，∴， ∵的边长一定，∴四边形的面积为定值， ∵四边形的周长， ∴四边形的周长随着的变化而变化，故四边形的面积不变，周长改变，故选B． 4.（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，为边中点，，则四边形的面积与等腰直角的面积的比值为 ． 【答案】 【详解】解：连接AD，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD=BD，∠DAF=∠B=45°，∴∠ADE+∠BDE=90°， ∵DE⊥DF，∴∠EDA+∠ADF=90°，∴∠ADF=∠BDE，∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∵，∴， ∵，∴四边形的面积与等腰直角的面积的比值为；故答案为． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在等腰直角中，，点是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与、相交，交点分别为、，则 ． 【答案】1 【详解】连接CO，如图所示： ∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，点O是AB的中点，∴CO=AO，∠A=∠OCB=45°，且∠AOC=90°， ∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠DOC=∠DOC+∠COE=90°，∴∠AOD=∠COE， 在△ADO和△COE中 ∴△ADO≌△COE（ASA）， ∴AD=CE，∴CD+CE=CD+AD=AC=1，故答案是：1． 6．（25-26八年级·广东·校考期中）如图，是等腰直角三角形，，点是的中点，连接，作，连接交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，过点作交的延长线于点， 在和中，，， ，，又，， 在和中，，，，， ，，，． 1.（25-26八年级上·黑龙江·校考期中）如图，在等腰直角中，，是斜边的中点，点分别在直角边、上，且，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴，故①②正确； ∵，∴， ∵，∴，即，故③正确； ∵，∴，∵∴，故④正确；故选：D． 2.（25-26八年级上·浙江丽水·期中）已知：如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，则下列说法正确的个数有（   ）    ①   ②  ③  ④  ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵是边的中点，∴，故①正确； ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵是边的中点，∴，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，， ∴，∴，故②正确；作于点，如下图，则，    ∴，∴，∴， ∵平分，，，∴，∴，故③错误； ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，故④正确； 连接，如图，∵是等腰直角三角形，是边的中点， ∴垂直平分，∴，∴， ∵，，∴， ∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故⑤错误．综上所述，说法正确的个数有3个．故选：B． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，于点平分，且于点，与相交于点是边的中点，连接与相交于，下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：中，，∴∴．∴． ∵，，，∴．∴，． ∵，，，∴ 又，，∴． ∴，．∴．故选项①，②正确； ∵，∴．故选项③正确； 中，，H是边的中点，∴．∴． ∵，，∴． ∵，∴．∴． ∴是等腰三角形．故选项④正确；综上可知，①②③④都正确，故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，等腰的直角顶点D恰好为等腰底边中点，且点E，F分别在AB，AC上，若，则EF的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：∵三角形为等腰直角三角形，∴, 又∵D为等腰底边的中点，∴当最小时，最小，此时， 又∵，∴，故答案为：. 5.（2025·广西·校考一模）综合与探究 问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，D为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点D上，得到，将绕点D旋转，射线，分别与边交于E，F两点，如图1所示． (1)操作发现：如图2，当E，F分别是的中点时，试猜想线段与的数量关系是 ； (2)类比探究：如图3，当E，F不是的中点，但满足时，求证； (3)拓展应用：如图4，将两根小木棒构建的角，放置于边长为4的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点O重合，射线分别与交于E，F两点，且满足，请求出四边形面积． 【答案】(1)相等(2)见解析(3)4 【详解】（1）解：相等；∵，D为的中点，，， ∵E，F分别是的中点，∴， ∴，，∴；故答案为：相等； （2）∵，∵D是中点，平分， ，，， 在，； （3）连接，∵四边形是正方形，， 在和中， ， 6.（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，是等腰直角三角形，D是中点，． (1)求证：；(2)若平分，求证：； (3)如图2，若F是中点，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴， ∵D为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴垂直平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 由（1）知，，∴，∴； （3）证明：过点C作，交的延长线于点M， ∵，∴，∴． ∵F为的中点，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴． 1.（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，在正方形中，点是对角线、的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点，连接，．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④⑤其中正确的为（    ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】D 【详解】解：①在正方形中，，，， ，，， ，，，， ，，故①正确； ②在正方形中，，，， ，，；故②正确； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等， 四边形的面积为正方形面积的，故③正确； ④，，四边形为正方形，，， 在中，，，∵不成立 故④不正确； ，，，，， ，，，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③⑤，故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．下面四个结论中：（1）；（2）是等腰直角三角形；（3）；（4）有最小值，为．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点，∴，，，∴， 在和中，，∴， ∴，，故结论（1）正确； ∵，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，故结论（2）正确； ∵，∴，∵是的中点，，， ∴， ∴，故结论（3）正确； 当，时，、分别取小值， ∵，∴，此时的值最小， 又∵，∴四边形是矩形，∴，故结论（4）正确； 综上所述，正确的个数是4个．故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图1，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下4个结论：①；②；③；④如图2，当点、落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：如图，连接DC，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴CE＝BF，∠BFD＝∠CED，DE＝DF， ∴∠BFD+∠DFC＝180°＝∠CED+∠DFC， 如图，当点E、F落在AC、CB的延长线上时，连接CD， 同理可证△DEC≌△DFB，∴DE=DF，∠DEC＝∠DFC，故①正确；②错误， 当分别落在上时，∵∠BDC＝90°，∴∠BDF+∠CDF＝∠CDE+∠CDF＝90°， ∴∠EDF＝90°，∴EF2＝DE2+DF2＝2DE2， 当分别落在的延长线上时，同理可得EF2＝DE2+DF2＝2DE2，故③正确； 如图，连接CD，同理可证：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．故④正确，故选：D． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·培优）如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为 ． 【答案】49 【详解】解：如图，过点作，交于点，延长相交于点， 是等腰直角三角形，∴，∴为等腰直角三角形， ，假设，由勾股定理得， ∵平分，∴，，， 由勾股定理得，∵，，， ∴，∴，， ∴，，由勾股定理得 即解得，，∴的面积为，答案：49． 5．（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．（1）说明：；（2）说明：；（3）试探索，,之间的数量关系，并证明你的结论． 【解析】解：（1）∵CD⊥AB∴∠BDF=∠CDA=90  ∠A+∠ACD=90 ∵BE⊥AC∴∠A+∠FBD="90  " ∴∠FBD=∠ACD ∵ ∠BDC="90 " ∴∠DCB= ∴BD="CD " ∴△BDF≌△CDA ∴ (2) ∵平分∴△ABC关于直线BE成轴对称图形 ∴ ∵ ∴ (3) 连结GC ∵∠DCB= ∵CD⊥AB∴△BDC是等腰直角三角形 ∵H是BC的中点  ∴DH是BC的中垂线  ∴CG="BG " ∠EGC=2∠EBC=45 ∵BE⊥AC ∴△GEC是等腰直角三角形 ∴CE=GE=CG即CE=GE=BG 6．（2025八年级下·湖北·专题练习）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点． (1)如图1，若点C的坐标为，且于点H，交于点P．求证：． (2)如图2，若点D为的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，①线段与有什么数量关系？ ②若S表示三角形的面积，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，写出该式子的值． 【答案】(1)见解析(2)①，②不变，4 【详解】（1）证明：∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴， ∵，，∴，∵，∴， 在和中，，∴； （2）解：①线段，理由如下：如图2，连接， ∵，，点D为的中点，∴， ∴，，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴； ②式子的值不发生改变，理由如下：， ∵点D为的中点，∴， ∵，∴． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $