精品解析：河南省许昌市建安区第三高级中学2026-2027学年高二上学期9月测评数学试题

2026年9月22日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D. -1或3 2. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角周长的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 是直线的一个方向向量 C. D. 若点是点在平面内的射影，则 11. 已知正方体的棱长为2，点为正方体表面上一动点．则下列说法正确的是（ ） A. 当点在线段上时，直线与直线可能是异面直线 B. 当点在线段上时， C. 当点在线段上时，的最小值为 D. 当点在侧面上时，且三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为 三、填空题 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 13. 如图，已知是直角三角形且是圆锥的轴截面，点为下底面圆周上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为______． 14. 在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 四、解答题 15. 已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． （1）求过点且与直线垂直的直线方程； （2）求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若点是边的中点，且，求的取值范围． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 18. 已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． （1）若直线的一个方向向量为，求直线的斜率及倾斜角； （2）若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． （3）若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 19. 如图，四棱锥中，是正三角形，平面，，，为的中点，为直线与平面所成的角，且，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年9月22日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 3 D. -1或3 【答案】A 【解析】 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 2. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对选项A：若，，则或，故A错误； 对选项B：若，，则与可能平行，也可能相交（如墙角处两两垂直的三个平面），故B错误； 对选项C：由，，根据线面垂直的性质可得； 又，由线面平行的性质可知，平面内存在直线满足，故， 结合，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确； 对选项D：若，，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，不一定垂直，故D错误. 3. 已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【详解】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 4. 若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设, 又， 所以，解得, 向量在基下的斜坐标为, 故选：A 5. 已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 6. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 . 反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 7. 在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角周长的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用正弦定理边角互化求出角，再结合余弦定理、基本不等式与锐角三角形约束，求的取值范围进而得到周长的取值范围. 【详解】因为且，则， 根据正弦定理得，整理得， 因为，则，可得，解得， 由锐角得，即，得， 由正弦定理， 所以， 由，得，所以， 所以， 周长 所以锐角周长的取值范围为． 8. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二、多选题 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 10. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 是直线的一个方向向量 C. D. 若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 11. 已知正方体的棱长为2，点为正方体表面上一动点．则下列说法正确的是（ ） A. 当点在线段上时，直线与直线可能是异面直线 B. 当点在线段上时， C. 当点在线段上时，的最小值为 D. 当点在侧面上时，且三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】分析 四点共面可判断A；根据线面垂直的判定定理和性质定理可判断B；将平面沿翻折，使平面与平面共面，此时的最小值为翻折后点到点的线段长度，利用余弦定理计算即可判断C；先求出外接球半径，确定球心位置，从而得点的轨迹，当点 到平面的距离最大时，三棱锥 的体积最大，计算体积最大值即可判断D. 【详解】对于A ，如图 1 所示，当点 在线段 上时，因为 是正方体，所以 ， 当点 与 不重合时， ，所以 四点共面，所以与 是共面直线； 当点 与 重合时，与 相交，也是共面直线．所以直线与直线 不可能是异面直线，故A错误； 对于B，正方形中，对角线 ；正方体侧棱 底面，因此 ，与 交于点 ，因此 平面 . 当点 在线段 上时， 平面 ，因此 平面 ，故 ，故B正确； 对于C，将平面沿翻折，使平面与平面共面，此时的最小值为翻折后点到点的线段长度， 已知正方体的棱长为2，所以 ， 则 ， 即 的最小值为 ，故C正确； 对于D，如图4所示，分别设 为正方形与正方形 的中心，连接 ． 三棱锥外接球的球心在线段上，又因为三棱锥 外接球的表面积为 ， 设外接球的半径为 ，则 ，则 ． 连接，则 ，所以 ，即 ，解得 ． 过点作平面，垂足为，设 分别为 的中点， 则点 在线段 上，且 ， 则 ，即 ，即 ． 又因点 在侧面 内，则点 是以 为圆心，半径为 的弧，如图5所示． 因为三棱锥 的体积 ，且 ， 所以当点 到平面的距离最大时，三棱锥 的体积最大， 当点 三点共线时，点 到平面的距离最大，且最大值为 ， 所以三棱锥的体积的最大值为 ，故D 错误． 三、填空题 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【解析】 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 13. 如图，已知是直角三角形且是圆锥的轴截面，点为下底面圆周上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，求证与平面所成的角为，再利用勾股定理计算边长即可. 【详解】过点作，垂足为，连接， 易得平面，因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以与平面所成的角为， 设，所以， 因为为圆的直径，所以，则，，， 因为是直角三角形，所以，则， 因为平面，所以， 则与平面所成的角的正弦值为. 14. 在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设中点为R，，连接，则有，且，从而得，解得，可得，由重心性质可得，设，且，从而可得，最后由D，E，F，G四点共面，即可求得答案. 【详解】如图所示：设中点为R，，连接， 由P，R，C，Q，S，G共面， 可知与平面的交点即与的交点D. 因为，，， 设， 则， 设， 则， 故， 故， 解得，代入， 可得，即. 由重心性质可得， 设， 又， 则， 故，解得， 故， 则， 由D，E，F，G四点共面， 可知：（其中）， 所以， 则. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． （1）求过点且与直线垂直的直线方程； （2）求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线垂直求解过点直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. （2）由直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，可得直线斜率存在，设直线，令，分别求解、两点，再根据求解直线斜率，根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以， 所以过点的直线方程为，即. 【小问2详解】 由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以， 当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 所以，，又因为， 所以，且，即，所以，即， 解得，所以，， 所以，所以的面积为. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若点是边的中点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理对条件等式进行边角互换求解； （2）利用向量计算和余弦定理，可以将表示为关于的代数式，进而通过的取值范围求的取值范围. 【小问1详解】 由题可知， 由正弦定理得，，故， 所以． 【小问2详解】 由为边中点，故， 平方可得， 故，① 由①知，故，又，故， 由余弦定理， 又由①式可得，所以，a的取值范围为． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 【答案】（1）证明：由题意知、分别是、的中点，则得， 因为平面，平面，所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可； （3）利用向量法求点到平面的距离，再由棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则, 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 三角形的面积为，所以三棱锥体积． 18. 已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． （1）若直线的一个方向向量为，求直线的斜率及倾斜角； （2）若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． （3）若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的斜率为，倾斜角为； （2）证明： 设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 由，，可知直线，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； （3）不存在，理由如下： 设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意. 【解析】 【分析】（1）利用直线方向向量求斜率，再由斜率求倾斜角，注意倾斜角范围； （2）采用横截式设直线，写出直线与、坐标轴交点坐标；识别围成图形为直角梯形，由面积条件得到参数关系式；对方程整理，分离参数求得直线过定点； （3）设直线横截式，联立直线方程求得坐标；分别写出三角形面积与线段乘积表达式，联立条件化简，推出矛盾，因此不存在满足条件的直线. 【小问1详解】 因为直线的方向向量为，由直线斜率与方向向量的关系可得：. 设倾斜角为，，由​​，得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，四棱锥中，是正三角形，平面，，，为的中点，为直线与平面所成的角，且，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面平面， 所以． 所以，又因为是正三角形，所以． 又因为，，所以， 则， 则，所以． 又因为为的中点，所以，又因为，，平面， 所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）证明：因为点为中点，所以，又因为，， 所以，即， 即，所以，． 因为为直线与平面所成的角， 所以过点作平面，垂足一定在直线上， 因为平面，所以， 又因为是正三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 且为的中点，所以； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，即证即可； （2）利用余弦定理计算，得，又为直线与平面所成的角，过点作平面，垂足一定在直线上，利用线面垂直的判定定理即可得证平面，进而得证； （3）连接，得即为二面角的平面角，进而得，，利用正弦定理得，进而得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，且，，所以， 所以，连接，因为为的中点，所以， 又因为，则即为二面角的平面角， 即， 在中，又因为， 所以， 由正弦定理得：，即， 解得， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $