精品解析：河南省部分校2026-2027学年高二上学期10月测评数学试题

2026~2027学年高二10月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章~第二章2.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得直线的斜率为,再结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】将直线化为斜截式方程为：, 所以，直线的斜率为, 因为直线的倾斜角满足, 所以，直线的倾斜角为. 2. 已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点D的坐标为．结合平行四边形的一组对边平行且相等的性质和空间向量的相等向量的计算即可求解. 【详解】设设点D的坐标为， 由题意得 ， 因为四边形是平行四边形，所以， 所以，解得， 故选：A 3. 已知直线，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由，， 可知，解得. 故选：C 4. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案. 【详解】当共面时，不妨设， 变形得到， 则， 设，若点与点共面， 则， 只有选项中符合题意. 故选：. 5. 直线关于直线对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 6. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】向量的夹角为钝角，则，排除的情况即可. 【详解】由，得， 当时，，即，得，解得， ∴当向量的夹角为钝角时，的取值范围为． 故选：D. 7. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 8. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式可判断A；看向量是否有倍数关系可判断B；根据数量积的坐标运算，可判断C；根据向量的坐标运算结果可判断D. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以不存在使，所以B不正确； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D不正确． 故选：AC． 10. 已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】AC 【解析】 【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案. 【详解】直线：和：平行，则， 两条平行直线间距离，解得且， 故0和2符合要求. 故选:AC． 11. 如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（ ） A. 直线和为异面直线 B. 异面直线与的夹角为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据已知证明四点共面来排除；对于B，用平移一条直线的方法找到异面直线所成的角，并求解；对于C，用向量的加法法则表示未知向量；对于D，用向量求模的公式表达并运算. 【详解】因为，由已知得，所以在内，， 所以，所以四点共面，故A不正确； 因为，所以为异面直线与所成的角. 因为，所以为等腰直角三角形，故B正确； 因为，所以与相似，因为，所以. ，故C正确； 因为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三点共线，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据A与B的坐标，结合截距式方程可求直线AB的方程，再将C点代入可求m的值. 【详解】直线的方程为，代人，解得． 故答案为：-3. 13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称求出点的坐标，然后根据两点间的距离公式求的值即可. 【详解】因为点A与点C关于x轴对称，所以点的坐标为， 又因为点B的坐标为，所以． 故答案为：. 14. 若直线与曲线有4个交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定直线恒过的定点，然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律、直线与抛物线的位置关系，数形结合求解即可. 【详解】直线恒过点且斜率存在的动直线，做出的图像，如图 当与相切时有三个公共点，此时，过程如下： 因为与相切，联立得 ，所以.解得舍去. 所以当时直线与曲线有4个交点. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且． （1）求向量的坐标； （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【详解】（1）由题意可得，，，， 故，. （2）由（1）可知，， 所以，， ， 所以， 故与所成角的余弦值为. 16. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【小问1详解】 因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，． （1）证明：平面ACQ； （2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ， ∵，，则， ∴，， ∵，∴， 平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似得，结合，则有，利用线面平行的判定即可证明； （2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面，平面,， 因为底面,则AB，AD，AP两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 各点坐标如下：，，，． 设平面ACQ的法向量为， 由，，有，令，，，可得， 由，有，， 则． 故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为． 18. 在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． （1）求直线的方程； （2）若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程. （2）按直线过的中点及与平行求出方程即得. 【小问1详解】 由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即， 而边中线所在的直线方程为， 由，解得，则，设点，则点， 于是，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或， 当直线过时，直线的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 19. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为等腰梯形，，． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，点为线段上一点，求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的取值范围． 【答案】（1） 四边形为等腰梯形，， ． 设， 在中，可得， 在中，可得， 所以，解得， 取的中点，连接，则，且， 在中，，则，所以， 在直四棱柱中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用余弦定理，列出方程求得，取的中点，连接，得到，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程求得，再利用向量的距离（3）设，分别求得平面和的法向量为和，利用向量的夹角公式，求得的表达式，结合函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为原点，以所在直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，因为直线与平面所成角的正弦值为， 可得，解得， 在直四棱柱中，可得， 且平面，且平面，所以平面， 因为，点为线段上一点，所以到平面的距离等于到平面的距离， 又由，且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 解：由（2）中的空间直角坐标系，设， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角的夹角为， 可得， 因为，可得，所以，所以， 所以，所以平面与平面夹角的取值范围. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年高二10月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：选择性必修第一册第一章~第二章2.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. -2 4. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 直线关于直线对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 11. 如图，在直三棱柱中，为上一点，为上一点，，则（ ） A. 直线和为异面直线 B. 异面直线与的夹角为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三点共线，则_____________． 13. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________. 14. 若直线与曲线有4个交点，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为在上，在上，且． （1）求向量的坐标； （2）求与所成角的余弦值． 16. 已知的顶点坐标为. （1）若点是边上的中点，求直线的方程； （2）求边上的高所在的直线方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，． （1）证明：平面ACQ； （2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值． 18. 在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． （1）求直线的方程； （2）若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 19. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为等腰梯形，，． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，点为线段上一点，求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $