专题10 赵爽弦图模型与勾股树模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题10.赵爽弦图模型与勾股树模型 赵爽弦图是勾股定理的几何本源，衔接代数完全平方公式与几何面积割补，是初中数形结合最经典模型。主要考向：给面积求边长、给边长求内外正方形面积、勾股定理证明、K字型全等证明等。 勾股树是规律探究压轴专属模型，训练学生整体代换、递推思维。主要考向：多层面积求和、阴影面积替换、规律归纳填空压轴。 两个模型常结合正方形性质、翻折、全等三角形、完全平方公式、阴影面积、图形规律、多层递推探究。掌握弦图结构与面积推导、熟记二级结论，理解勾股树面积传递原理，熟练解决边长计算、面积求值、多层规律探究问题。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.弦图模型 2 模型2.勾股树模型 9 易错点与方法总结 15 模型运用 16 A组（基础题） 16 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 27 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。内弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 1）勾股定理：； 2）正方形面积公式、直角三角形面积公式； 3）完全平方公式变形：； 4）全等三角形性质（弦图四三角形全等）； 5）数形结合、整体代换思想。 模型1.弦图模型 【模型提炼与证明】 （1）内弦图模型（赵爽弦图）： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型（毕达哥拉斯弦图）： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏·校考期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号) 【典例2】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，连接，，，，若的面积等于的面积，则大正方形与小正方形的边长之比为________． 【典例3】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【典例4】（2026·四川广元·中考真题）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形．某数学兴趣小组在进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是__________． 【典例5】（25-26八年级下·湖北·期中）“出入相补法”是我国古代几何的核心方法，以图形割补、以盈补虚实现面积守恒，直观推导各类公式并奠定数形结合的数学传统．如图是我国古代数学家刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”，四边形，，均为正方形．若，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【典例6】（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且，正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【典例7】（25-26八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 模型2.勾股树模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·湖北·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理；勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【典例2】（25-26成都·八年级校考期中）如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2026·重庆·模拟预测）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有3个正方形，第二代勾股树中有7个正方形，第三代勾股树中有15个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（） A．15 B．31 C．63 D．127 【典例4】（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【典例5】（24-25广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以的三边为边分别向外作三个正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足为G，交于P，连接，.则结论：①，②，③，④.正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 模型常见易错点 1）弦图小正方形边长记反 错误：小正方形边长 正确：小正方形边长 2）勾股树面积关系颠倒 永远记住：斜边面积 = 两直角边面积之和，不可写反。 3）弦图面积计算漏乘 4 四个三角形总面积必须是 ，不可只写 4）多层勾股树逐个硬算 不用逐层计算，直接整体代换，底层总和 = 顶层面积 5）内外弦图结构混淆 内弦图：大正方在外、小正方在内；外弦图：大正方在内、三角在外 解题方法总结 1.赵爽弦图解题步骤 1）设直角边 ，斜边 ；写出大、小正方形面积公式 2）利用 、 列等式 3）整体代换求出 、边长、面积；检验边长为正，作答 2.勾股树解题步骤 1）找到顶层原始直角三角形 2）写出：斜边正方形面积 = 两直角边面积和 3）多层题目直接使用：下层总面积 = 顶层面积 4）求阴影、求和、规律直接秒杀 万能口诀 弦图割补得平方，大小正方公式装；勾股树形层层换，上等于下不用算。 1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 4．（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 5．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 6.（2026·陕西商洛·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 7．（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 1.（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、． 结论Ⅰ：、、满足只有（4）；结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（    ）． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为81，小正方形面积为9，若用表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④，其中说法正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 4．（25-26八年级下·北京·期中）“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 5．（25-26八年级下·北京·期中）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 6．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 7．（25-26八年级下·山东·课后作业）解答： 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 (1)小明画出类型①锐角，，，则________； (2)小金画出了类型②直角，，，计算的值； (3)小山画出了类型③钝角，，，计算的值． 1．（25-26八年级下·四川自贡·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是______． 3．（2026·江苏徐州·二模）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期中）赵爽是我国古代著名的数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图①），小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造了“类赵爽弦图”．如图②，在等边中，，，是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长为_____． 5．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    6．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程．(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积．(3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 7．（25-26八年级下·绵阳·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，，分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理；(2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为，，，连接，求的平方． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.赵爽弦图模型与勾股树模型 赵爽弦图是勾股定理的几何本源，衔接代数完全平方公式与几何面积割补，是初中数形结合最经典模型。主要考向：给面积求边长、给边长求内外正方形面积、勾股定理证明、K字型全等证明等。 勾股树是规律探究压轴专属模型，训练学生整体代换、递推思维。主要考向：多层面积求和、阴影面积替换、规律归纳填空压轴。 两个模型常结合正方形性质、翻折、全等三角形、完全平方公式、阴影面积、图形规律、多层递推探究。掌握弦图结构与面积推导、熟记二级结论，理解勾股树面积传递原理，熟练解决边长计算、面积求值、多层规律探究问题。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.弦图模型 2 模型2.勾股树模型 9 易错点与方法总结 15 模型运用 16 A组（基础题） 16 B组（能力提升题） 20 C组（综合压轴题） 27 “弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。内弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割补思想、数形结合特性成为中考热点。 勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感‌。 赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树‌。希腊毕达哥拉斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣‌。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。 1）勾股定理：； 2）正方形面积公式、直角三角形面积公式； 3）完全平方公式变形：； 4）全等三角形性质（弦图四三角形全等）； 5）数形结合、整体代换思想。 模型1.弦图模型 【模型提炼与证明】 （1）内弦图模型（赵爽弦图）： 条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH； 证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB． 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． 图1 图2 图3 图4 （2）外弦图模型（毕达哥拉斯弦图）： 条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形， 结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH； 证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC． 又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE． （3）内外组合型弦图模型： 条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S正方形EFGH= S正方形ABCD+S正方形PQMN. 证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用 S△表示他们的面积。 ∵S正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△； ∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH 上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。 （4）半弦图模型 图5 图6 图7 条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。 证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90° ∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG． 又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。 条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。 证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。 条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。 证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。 ∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。 上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼就要想到用弦图的相关知识解决问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏·校考期末）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有 ．(填序号) 【答案】① 【详解】解：根据题意，得，， ∵，∴，∴，故． 故①正确；②错误；③错误；④错误；故答案为：①． 【典例2】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，连接，，，，若的面积等于的面积，则大正方形与小正方形的边长之比为________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：，，，∴， ∵的面积等于的面积，∴，，∴， ∴，∴， ∴大正方形与小正方形的边长之比为． 【典例3】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【详解】解：A、设，则，在中，， 正方形的面积为，，则，解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ，则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ，， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 【典例4】（2026·四川广元·中考真题）如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1个小正方形．某数学兴趣小组在进行探究时，将图1中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2和图3，图2中菱形对角线的和为12，图3中间正方形的面积为20，则图1中间正方形的面积是__________． 【答案】4 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长分别为，()，斜边长为 由图2可知，菱形的两条对角线长分别为， ∵菱形对角线的和为12 ∴，即 由图3可知，中间正方形的边长为 ∵中间正方形的面积为20； ∴ 在直角三角形中，由勾股定理得 图1中间小正方形的边长为，其面积为 ∵ ∴，解得 ∴． 【典例5】（25-26八年级下·湖北·期中）“出入相补法”是我国古代几何的核心方法，以图形割补、以盈补虚实现面积守恒，直观推导各类公式并奠定数形结合的数学传统．如图是我国古代数学家刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”，四边形，，均为正方形．若，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是正方形，∴正方形的面积为． 【典例6】（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且，正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、(2)见解析(3)97 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，，∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法），∴，∴； （2）证明：∵， ∴，，∴， 又∵，，∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为，∴， 设，则，在中，， ∴，将，代入可得， ，解得，∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 【典例7】（25-26八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； 【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若，，求的面积；（3）如图4，四边形中，，的面积为20，且的长为8，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题意得，，，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴（AAS）， ∴，，∴； （2）同（1）可证，∴，，∴， ∵，∴，∴，，∴的面积为； （3）过点A作于F，过点B作交DC的延长线于E， ∵的面积为20，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴， 同（1）可证，∴，∴的面积为． 模型2.勾股树模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边为元素所作图形的面积为S1，S2，以斜边为元素所作的图形的面积为S3。 结论：S1+S2=S3 证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S1、S2、S3。 由等边三角形和勾股定理易得：S1的高为：； ∴S1。同理：；。 由题意可得：；∴S1+S2=S3 由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。 条件：如图，正方形的边长为a，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，结论：。证明：∵正方形的边长为a，为等腰直角三角形， ∴，，∴．观察，发现规律： ，，，，…， 条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图， 结论：第n代勾股树中正方形的个数为：；第n代勾股树中所有正方形的面积为：。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有=22-1（个）， 第二代勾股树中正方形有=23-1（个）， 第三代勾股树中正方形有=24-1（个）， 由此推出第n代勾股树中正方形有（个）。 设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得：=m2， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·湖北·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理；勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；(2)①3，②结论；(3) 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则由勾股定理，得，∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，，∴， ∵，∴，∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则，，， ∵，，∴， ∴；∴满足的有3个，故答案为：3； ②结论； ，； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，，∴故答案为： 【典例2】（25-26成都·八年级校考期中）如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ，，． 观察，发现规律：，，，，， ．当时，．故选：C． 【典例3】（2026·重庆·模拟预测）小蜀同学在学习了勾股定理之后回家查阅“勾股树”资料，发现图中正方形的个数按照一定规律出现，已知第一代勾股树中有3个正方形，第二代勾股树中有7个正方形，第三代勾股树中有15个正方形，则第六代勾股树中正方形的个数是（） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】D 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有（个），第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个），∴第四代勾股树图形中正方形的个数有（个）； ∴第五代勾股树图形中正方形的个数有（个）； ∴第六代勾股树图形中正方形的个数有（个）． 【典例4】（25-26八年级上·湖南常德·期末）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（   ） A．1013 B．2027 C．2026 D．2025 【答案】B 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为，第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为，第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为，故选：B． 【典例5】（24-25广西南宁·八年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以的三边为边分别向外作三个正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足为G，交于P，连接，.则结论：①，②，③，④.正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：由题意可得，，， ，，， ∵，，故①、②符合题意，正确； 延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形， ，故，，故，③符合题意，正确；   ； 延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形，故， ，，故，④符合题意，正确． 故选：D． 模型常见易错点 1）弦图小正方形边长记反 错误：小正方形边长 正确：小正方形边长 2）勾股树面积关系颠倒 永远记住：斜边面积 = 两直角边面积之和，不可写反。 3）弦图面积计算漏乘 4 四个三角形总面积必须是 ，不可只写 4）多层勾股树逐个硬算 不用逐层计算，直接整体代换，底层总和 = 顶层面积 5）内外弦图结构混淆 内弦图：大正方在外、小正方在内；外弦图：大正方在内、三角在外 解题方法总结 1.赵爽弦图解题步骤 1）设直角边 ，斜边 ；写出大、小正方形面积公式 2）利用 、 列等式 3）整体代换求出 、边长、面积；检验边长为正，作答 2.勾股树解题步骤 1）找到顶层原始直角三角形 2）写出：斜边正方形面积 = 两直角边面积和 3）多层题目直接使用：下层总面积 = 顶层面积 4）求阴影、求和、规律直接秒杀 万能口诀 弦图割补得平方，大小正方公式装；勾股树形层层换，上等于下不用算。 1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵图中是四个全等的直角三角形，∴，故小正方形的边长为， 由勾股定理，得. 3．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【详解】解：，，，为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍，延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【答案】B 【详解】解：如下图，由题意得：，， ，同理， ． 5．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：由题意可知，， 阴影部分的面积是49，阴影部分的边长为7，， ，即大正方形的边长是13． 6.（2026·陕西商洛·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若，小正方形的面积为1，则大正方形的面积为__________． 【答案】13 【详解】解：由题意可得：，，∴， ∵，∴两式相加可得，∴， ∴结合勾股定理可得，大正方形的面积为． 7．（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为，所以小正方形的边长为， 因为，得，因为，所以，所以． （2）解：因为小正方形的面积为，所以，即①， 因为，即②， ，得，所以．所以直角三角形的面积为：． 1.（25-26八年级下·河北承德·期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、． 结论Ⅰ：、、满足只有（4）；结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（    ）． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】D 【详解】解：直角三角形的三边长分别为、、，， 图1中，，，，则，，， 同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：， 对于Ⅱ：，但是都符合，故结论Ⅱ错误．故选：D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为81，小正方形面积为9，若用表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④，其中说法正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由大正方形面积为81，小正方形面积为9，若用表示直角三角形的两直角边可知大正方形的边长为、小正方形的边长为，、，故①②正确； 则，，故③错误； ，则，故④错误； 综上所述，说法正确的有①②，共2个． 3．（25-26八年级下·重庆永川·期末）如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（）， 图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ， 将代入上式，得，解得． 图2中大正方形的边长为，因此大正方形面积为： ． 4．（25-26八年级下·北京·期中）“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是_______． 【答案】 【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得， 两式相加可得， 解得或（舍去）， 大正方形的边长是． 5．（25-26八年级下·北京·期中）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【详解】解：大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成， ，，， ，，， ∴，设，， ，，解得，， ∴阴影部分的面积． 6．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设，， 在中，，即， 解得，即（千米），（千米）， 答：新路比原路少千米； (3)设，则， 在中，，在中，， ，即，解得，． 7．（25-26八年级下·山东·课后作业）解答： 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 (1)小明画出类型①锐角，，，则________； (2)小金画出了类型②直角，，，计算的值； (3)小山画出了类型③钝角，，，计算的值． 【答案】(1)；(2)；(3)； 【详解】（1）解：∵，∴， ∴,∴； （2）解：由题意知，，由勾股定理得：， ，即； （3）解：过点作交的延长线于，在中，，，， ，，设，则， 由勾股定理得：，，的周长为， ，在中，，，， 由勾股定理得：，即，解得：， ，，，， 1．（25-26八年级下·四川自贡·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】四边形和均为正方形，图形关于点中心对称，，，共线， ，，， ，，，点是的中点，， 过点作于点，则为中点，， 设，，，，，， 在中，，，解得：（负值已舍去）， ，，在中，， ，，，共线，． 2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是______． 【答案】2027 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：、，斜边为，∴， ∵正方形的边长为，∴， 由图可知，“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，∴所有正方形的面积和为：， 由图可知，“生长”次后，所有正方形的面积和为：，…… 按此规律，“生长”次后，所有正方形的面积和为：． 3．（2026·江苏徐州·二模）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个． 【答案】96 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个，第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个，第4个图形中正方形有个，……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第5个图形中正方形有个，第7个图形中正方形有个， ∴第7个图形里的正方形比第5个图形多个． 4．（25-26八年级下·陕西延安·期中）赵爽是我国古代著名的数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图①），小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造了“类赵爽弦图”．如图②，在等边中，，，是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：过点作于点，在等边中，，， ，，是三个全等的三角形， ，，，， 是等边三角形，， ，，， ，，． 5．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为 ．（结果用含的式子表示）    【答案】 【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，    则．，即， 同理可得：， ，故答案为：． 6．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程．(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积．(3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴，∴，∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，，∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即，解得：， ∴，∴，∴该风车状图案的面积． 7．（25-26八年级下·绵阳·期末）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，，分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理；(2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为，，，连接，求的平方． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，∴，∴； （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴； （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵在中，，，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中， 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $