专题07 勾股定理中的最短路径模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题07勾股定理中的最短路径模型 人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。勾股定理最短路径模型的核心原理：两点之间，线段最短。立体图形（圆柱、长方体、阶梯）表面的路径为折线或曲线，无法直接求解，需通过展开立体图形为平面图形，将立体最短路径问题，转化为平面两点间线段长度问题，最终利用勾股定理计算线段长度。本模型综合性极强，常联动：立体图形展开图、轴对称最值、勾股定理计算、实数化简、分类讨论思想。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 6 模型3.阶梯中的最短路径模型 9 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 12 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 31 勾股定理最短路径模型拥有多重理论起源。古希腊欧几里得提出 “两点之间线段最短” 这一核心公理（提出 “展平求直线” 思路）。直角边长关系最早记录于我国《周髀算经》商高定理（为模型提供计算工具）。而考试常见的立体图形中爬行最短路径并非古代原题，是近代初等几何衍生模型，通过将立体表面展开为平面构造直角三角形，依靠勾股定理计算斜边，以此得到表面最短路线。 1）基本公理：两点之间，线段最短； 2）核心公式：勾股定理 （直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）； 3）立体基础：圆柱侧面展开为长方形、长方体表面可展开为不同长方形组合； 4）基础能力：实数运算、平方根化简、分类讨论。 模型1. 在圆柱表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为，画展开图形如下： 根据勾股定理得．∴它爬行的最短路程为，故选：D． 【典例2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 【答案】/厘米 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到长方形，则这圈金属丝的长度最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为，∴，， ∴，∴，∴这圈金属丝的长度最小为． 【典例3】（25-26八年级下·湖南张家界·期末）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到距离下底面且与点相对的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为___________． 【答案】 【详解】解：如图，圆柱体展开图为长方形，，，， 中，，即它沿圆柱侧面爬行的最短距离为．故答案为：． 【典例4】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是______． 【答案】米 【详解】解：如图是其侧面展开图：米，米，米， 在中，，解得负值舍去， 故他滑行的最短距离约为米；故答案为：米． 【典例5】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为________． 【答案】米 【详解】解：将圆柱体侧面展开如图：此时米，米， 有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，米， 在中，米，则彩带长至少为米．故答案为：米． 模型2.在长方体表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 秒杀结论：长方体最短路径，固定让最长棱单独做一条直角边，剩余两棱之和做另一条直角边，所得斜边最短。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】将正方体展开，连接A、B，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长， 由题意得，在中，， ∴，∴蚂蚁走过的最短路程为． 【典例2】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，蚂蚁沿路线爬行路程最短， ∵ ，M为的中点，∴，∴ ．故选：B． 【典例3】（25-26八年级上成都·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【详解】解：如图，将长方体展开： ∵底面是正方形，，，∴，， ∴，∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，行走的最短距离相当于直角三角形的斜边的长， ∵，∴最短距离为，故选：D． 【典例4】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 【答案】D 【详解】解：如图，过P作于G，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵米，米，点P到的距离是3米， ∴米，∴（米）， ∴（米），∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．故选：D． 模型3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·湖南张家界·期中）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高分别为, ∴ 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是，故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点.A处，到达C处需要走的最短路程是多少米？ 【答案】2.6 【详解】由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米；于是最短路径为： (米). 【典例3】（25-26八年级上·成都·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接， 则最短路径．故选：A． 【典例4】（25-26八年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得：，， 由勾股定理得：，，蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选． 【典例5】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图所示，长方形地面上有一块地毯(阴影部分)，地毯因使用时间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径，且点、均在边上，点、均在边上，已知，，，，若一只蚂蚁要从点爬到点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为_______． 【答案】 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，连接， 根据题意得到半圆的周长为：，． 在长方形中，，，， 在中，由勾股定理得，， 即蚂蚁爬行的最短路径长为．故答案为：． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，      结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C． 【典例2】（25-26八年级下·绵阳·期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）． 【答案】（1）见解析；（2）100cm 【详解】解：(1)如下图所示，作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点， 由两点之间线段最短，此时A’G最短，则为最短路线． (2)∵，∴，∴． 在中，，，∴． 由对称性可知，∴． 故小虫爬行的最短路线长为100cm． 【典例3】（25-26八年级下·安徽黄山·期中）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：，解得：．故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图：由题意得：，， ，该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有：， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 模型常见易错点 1）圆柱模型误用完整周长（常考半圈或几圈）； 2）长方体只算一种展开情况，漏分类； 3）不会立体转平面，直接在立体图中量折线； 4）勾股定理斜边直角边混淆，计算开方错误； 5）正方体展开错误判断路径； 6）阶梯模型不会平移拼接边长。 解题方法总结 1）圆柱最短路径解题模板 步骤1：剪开圆柱侧面，展开为长方形；步骤2：确定两条直角边：圆柱高、底面半（全）周长； 步骤3：代入勾股定理 ； 步骤4：化简根式，得出最短路径。 2）长方体最短路径解题模板 步骤1：设长宽高，列出三种展开组合的直角边；步骤2：分别计算三种斜边长度； 步骤3：对比大小，选取最小值； 步骤4：规范作答最短路径。 3）阶梯折面最短路径解题模板 步骤1：平移所有横、竖边，求出总水平长度、总竖直长度；步骤2：构造直角三角形； 步骤3：勾股定理计算斜边，即为最短路径。 1．（25-26八年级上·广东·专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：，解得：．故选：C． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，在长方体中，，，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（    ） A． B． C． D．10 【答案】D 【详解】解：如图1所示： 由题意得：，，在中，由勾股定理得， 如图2所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得；， 展开左边与上面同理可得： ．第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是10．故选：D． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【答案】B 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，，∴，解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米．故选：B． 4.（25-26九年级下·浙江·单元复习）在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是______米． 【答案】26 【详解】解：根据题意，得展开图的矩形长为米，宽为10米， 故，故答案为：26． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带．已知大厅圆柱的高为，底而周长为．如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带_米． 【答案】10 【详解】解：将圆柱的侧面展开呈长方形，则应购买彩带的长为4个一样的长方形并排后形成的大长方形的对角线长，∵大厅圆柱的高为，底而周长为，∴， ∴，∴至少需要彩带，故答案为：10． 6．（25-26八年级下·山东·专题练习）追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是(2) 【详解】（1）解：如图1，．如图2，． 因为，故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为，根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，，根据勾股定理得． 因为，所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 【答案】(1)见解析(2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【详解】（1）解：如图所示：该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得，． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 1．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【详解】解：如图1，，，，，，； 如图2，，，，，，， ，它需要爬行的最短路程为10．故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 【答案】A 【详解】解：∵长方体盒子中，且，N是的中点 ∴，，分三种情况讨论， ①如下图，∵，∴； ②如下图，过点作于点，则， ∵，∴； ③如下图，∵，∴． ∵，∴蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离为10．故选：A． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ）    A．5cm B．4cm C．cm D．15cm 【答案】C 【详解】解：如下图，画出钢管的侧面展开图，作点关于右侧关口的对称点，连接，    ∵钢管横截面的周长为18cm，∴， ∵由题意得：，∴， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离为cm．故选：C． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度， 三棱柱的高为，底面边长为，∴灯带的长度至少为：． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是________米． 【答案】 【详解】解：将木块展开如图所示， 则米，米，米， 一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是米，故答案为： 6．（26-27九年级·广东·暑假作业）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，，绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 7．（2025八年级上·广东·专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____． (4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____． 【答案】(1)见解析；(2)两点之间线段最短；(3)120cm，50cm；(4)130cm 【详解】（1）如图所示即为所求： （2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的cm，cm．故答案为：120cm，50cm； （4）由题（1）可得：在Rt中， 由勾股定理可得：cm，故答案为：130cm． 8．（26-27八年级·江苏·暑假作业）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A(2)所需金属丝的最短长度为(3) 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短，故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得．答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则．所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得：． 所以最短路程为． 1．（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接， 则最短路径．故选：A． 2．（26-27九年级·江苏·暑假作业）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取） 【答案】 【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可得，，∴， ∵，∴，∴它至少要走的路程，故答案为：． 3．（2026·宁夏银川·三模）如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【详解】解：如图，将截面和上底面展开在同一平面内，连接交于，根据两点之间线段最短可知的长即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵正方体棱长为， ∴截面的边长， 是等边三角形，∵上底面被剪掉一半，剩余部分为等腰直角三角形 ， ，， ，，， ， ， ， ，，∴， ∴， ， ， ∴蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为． 4．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为_______． 【答案】100 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短．则， 根据题意：，，∴， ∴，∴最短路线长为，故答案为：． 5．（25-26八年级上·河北·专题练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 【答案】（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下：①如图，， ②如图，，③如图，， ，∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点，， 连接，则即为最短距离，∴故答案为：10． 6．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】（3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【详解】解：（1）由题意得，故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得，蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图，从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，，，， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东·专题练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______）；∴______． 在中，∵，（依据______），∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质）∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系），∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵，∴，∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为，∴，∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为．故答案为：17． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07勾股定理中的最短路径模型 人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。勾股定理最短路径模型的核心原理：两点之间，线段最短。立体图形（圆柱、长方体、阶梯）表面的路径为折线或曲线，无法直接求解，需通过展开立体图形为平面图形，将立体最短路径问题，转化为平面两点间线段长度问题，最终利用勾股定理计算线段长度。本模型综合性极强，常联动：立体图形展开图、轴对称最值、勾股定理计算、实数化简、分类讨论思想。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.圆柱中的最短路径模型 2 模型2.长方体中的最短路径模型 6 模型3.阶梯中的最短路径模型 9 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 12 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 25 C组（综合压轴题） 31 勾股定理最短路径模型拥有多重理论起源。古希腊欧几里得提出 “两点之间线段最短” 这一核心公理（提出 “展平求直线” 思路）。直角边长关系最早记录于我国《周髀算经》商高定理（为模型提供计算工具）。而考试常见的立体图形中爬行最短路径并非古代原题，是近代初等几何衍生模型，通过将立体表面展开为平面构造直角三角形，依靠勾股定理计算斜边，以此得到表面最短路线。 1）基本公理：两点之间，线段最短； 2）核心公式：勾股定理 （直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）； 3）立体基础：圆柱侧面展开为长方形、长方体表面可展开为不同长方形组合； 4）基础能力：实数运算、平方根化简、分类讨论。 模型1. 在圆柱表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为______． 【典例3】（25-26八年级下·湖南张家界·期末）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到距离下底面且与点相对的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为___________． 【典例4】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离是______． 【典例5】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为________． 模型2.在长方体表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 秒杀结论：长方体最短路径，固定让最长棱单独做一条直角边，剩余两棱之和做另一条直角边，所得斜边最短。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 【典例2】（25-26八年级上·四川内江·期末）如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（   ） A．3 B． C． D． 【典例3】（25-26八年级上成都·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【典例4】（25-26八年级上·湖北·期中）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 模型3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·湖南张家界·期中）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点.A处，到达C处需要走的最短路程是多少米？ 【典例3】（25-26八年级上·成都·期中）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【典例4】（25-26八年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【典例5】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图所示，长方形地面上有一块地毯(阴影部分)，地毯因使用时间过长而变形，成为了一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径，且点、均在边上，点、均在边上，已知，，，，若一只蚂蚁要从点爬到点且必须翻过半圆柱凸起，则它爬行的最短路径长为_______． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 【模型提炼与证明】 条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处，   结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 【模型运用】 【典例1】（25-26·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【典例2】（25-26八年级下·绵阳·期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）． 【典例3】（25-26八年级下·安徽黄山·期中）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 模型常见易错点 1）圆柱模型误用完整周长（常考半圈或几圈）； 2）长方体只算一种展开情况，漏分类； 3）不会立体转平面，直接在立体图中量折线； 4）勾股定理斜边直角边混淆，计算开方错误； 5）正方体展开错误判断路径； 6）阶梯模型不会平移拼接边长。 解题方法总结 1）圆柱最短路径解题模板 步骤1：剪开圆柱侧面，展开为长方形；步骤2：确定两条直角边：圆柱高、底面半（全）周长； 步骤3：代入勾股定理 ； 步骤4：化简根式，得出最短路径。 2）长方体最短路径解题模板 步骤1：设长宽高，列出三种展开组合的直角边；步骤2：分别计算三种斜边长度； 步骤3：对比大小，选取最小值； 步骤4：规范作答最短路径。 3）阶梯折面最短路径解题模板 步骤1：平移所有横、竖边，求出总水平长度、总竖直长度；步骤2：构造直角三角形； 步骤3：勾股定理计算斜边，即为最短路径。 1．（25-26八年级上·广东·专题练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，在长方体中，，，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（    ） A． B． C． D．10 3．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 4.（25-26九年级下·浙江·单元复习）在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是______米． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带．已知大厅圆柱的高为，底而周长为．如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带_米． 6．（25-26八年级下·山东·专题练习）追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 7．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 1．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 2．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 3．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ）    A．5cm B．4cm C．cm D．15cm 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在一个长2米，宽1米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是________米． 6．（26-27九年级·广东·暑假作业）课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 7．（2025八年级上·广东·专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中___，___．(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是___． 8．（26-27八年级·江苏·暑假作业）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 1．（25-26八年级上·江苏·课后作业）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 2．（26-27九年级·江苏·暑假作业）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取） 3．（2026·宁夏银川·三模）如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 4．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为_______． 5．（25-26八年级上·河北·专题练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 6．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】（3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 7．（25-26八年级上·广东·专题练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______）；∴______． 在中，∵，（依据______），∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $