3.9 两条直线的位置关系 课时作业 2026-2027学年北京版数学 七年级上册

北京版七年级上册　第三章　3.9 两条直线的位置关系　课时作业 3.9　两条直线的位置关系　课时作业 北京版·七年级上册·第三章　简单的几何图形 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　用时：______分钟 一、学习目标 1．知道在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种。 2．理解垂直的概念，掌握垂线的性质，理解点到直线的距离，会用三角板过一点画已知直线的垂线。 3．理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论，会用直尺和三角板过一点画已知直线的平行线。 二、知识点梳理 知识点1　同一平面内两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。 （1）两条直线只有一个公共点时，称这两条直线相交； （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线a与b平行，记作“a∥b”。 知识点2　垂直 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 如图，直线AB与CD互相垂直，垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”。 几何语言：因为∠AOC＝90°，所以AB⊥CD；反之，因为AB⊥CD，所以∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°。 知识点3　垂线的性质与点到直线的距离 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。 （3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，PO⊥l于点O，线段PO的长度就是点P到直线l的距离，且PO＜PA，PO＜PB，PO＜PC。 知识点4　平行公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即：若b∥a，c∥a，则b∥c。 知识点5　画垂线与画平行线 （1）画垂线：用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿这条直角边画直线。 （2）画平行线（一落、二靠、三推、四画）：①把三角板的一边落在已知直线上；②用直尺紧靠三角板的另一边；③沿直尺推动三角板，使原来与已知直线重合的边经过已知点；④沿这条边画直线。 图　用直尺和三角板画平行线 易错提醒：（1）“同一平面内”这一前提不能省略；（2）平行公理中的“直线外一点”不能改为“一点”；（3）点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身；（4）垂线是直线，垂线段是线段，二者不同。 三、典型例题精讲 例1　下列说法中，正确的有（　　） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行、垂直三种；②在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若a∥b，b∥c，则a∥c。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】①错误，垂直是相交的特殊情况；②正确；③错误，应为“过直线外一点”；④正确。所以正确的有2个。故选B。 例2　如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝35°，求∠AOC和∠BOC的度数。 【解答】因为OE⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－35°＝55°。因为∠AOB是平角，所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－55°＝125°。 例3　如图，点P是直线l外一点，PO⊥l于点O，点A，B，C在直线l上。若PA＝5 cm，PO＝3 cm，PB＝4 cm，PC＝6 cm，则点P到直线l的距离是多少？线段PA，PO，PB，PC中最短的是哪条？依据是什么？ 【解答】因为PO⊥l，所以点P到直线l的距离是线段PO的长度，即3 cm。最短的是PO，依据是“垂线段最短”。 例4　体育课上测量跳远成绩时，要测量落地点到起跳线的垂线段的长度，这样做的依据是什么？ 【解答】依据是“垂线段最短”。跳远成绩就是落地点（脚后跟着地点）到起跳线的距离。 例5　如图是一个长方体，用符号表示：（1）与棱AB平行的棱；（2）与棱AB相交且垂直的棱。 【解答】（1）与AB平行的棱有：CD，A′B′，C′D′（AB∥CD，AB∥A′B′，AB∥C′D′）；（2）与AB相交且垂直的棱有：AD，AA′，BC，BB′。 四、基础巩固 （一）选择题 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（　　） A．相交或垂直 B．平行或垂直 C．相交或平行 D．只有平行 2．下列说法中正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．点到直线的距离是这点到直线的垂线段 3．测量跳远成绩的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．平行公理 4．如图，点P是直线l外一点，A，B，C是直线l上三点，PA＝4，PB＝5，PC＝2，则点P到直线l的距离（　　） A．等于2 B．小于2 C．不大于2 D．等于4 5．已知直线a，b，c在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝35°，则∠BOD的度数是（　　） A．35° B．45° C．55° D．125° 7．在同一平面内，过直线l外一点P画l的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 8．在例5图的长方体中，与棱AA′平行的棱有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 （二）填空题 9．在同一平面内，______的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的四个角中有一个角是______时，这两条直线互相垂直。 10．直线AB与CD互相垂直，垂足为O，用符号表示为______________；此时∠AOD＝______°。 11．直线外一点到这条直线的______的长度，叫做点到直线的距离。 12．经过直线外一点，______一条直线与这条直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线____________。 13．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠AOC＝50°，则∠COE＝______°，∠BOC＝______°。 14．在例5图的长方体中，与棱BC平行的棱是__________，与棱BC相交且垂直的棱有______条。 （三）解答题 15．如图，点P在直线l外。 （1）过点P画直线l的垂线，垂足为O；（2）过点P画直线m，使m∥l；（3）量出点P到直线l的距离（精确到0.1 cm）。 16．如图（例2图），直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠BOC＝4∠COE，求∠COE和∠AOD的度数。 17．已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠AOE＝28°，请画出图形，并求∠BOC的度数（写出所有可能的情况）。 五、能力提升 18．如图，村庄P要修一条水渠，把河流中的水引到村庄。 （1）怎样修水渠最短？请在图中画出水渠的位置；（2）说明这样设计的理由。 19．已知OA⊥OC，∠AOB＝30°，求∠BOC的度数。 20．在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是多少？请画图说明。 21．在同一平面内，直线a∥b，直线c与直线a相交于点P，那么直线c与直线b有怎样的位置关系？请说明理由。 参考答案及解析 1．C　【解析】垂直是相交的特殊情况。 2．C　【解析】A应为“过直线外一点”；B缺少“在同一平面内”；D点到直线的距离是垂线段的长度。 3．C 4．C　【解析】点P到直线l的距离是垂线段的长度，垂线段最短，所以距离≤PC＝2，即不大于2（当PC⊥l时等于2）。 5．B　【解析】根据平行公理的推论，a∥c。 6．C　【解析】∠AOC＝90°－35°＝55°，∠BOD＝180°－∠BOC＝180°－（180°－55°）＝55°。 7．B　【解析】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 8．C　【解析】与AA′平行的棱有BB′，CC′，DD′，共3条。 9．不相交，直角 10．AB⊥CD，垂足为O；90 11．垂线段 12．有且只有，也互相平行 13．40，130 14．AD，A′D′，B′C′；4　【解析】与BC相交且垂直的棱有AB，CD，BB′，CC′。 15．画图如下（m∥l，PO⊥l，垂足为O），点P到直线l的距离为线段PO的长度（以实际测量为准）。 16．【解答】设∠COE＝x°，则∠BOC＝4x°。因为OE⊥AB，所以∠BOE＝90°，∠BOC＝∠BOE＋∠COE，即4x＝90＋x，解得x＝30。所以∠COE＝30°，∠AOC＝90°－30°＝60°，∠AOD＝180°－∠AOC＝120°。 17．【解答】因为OE⊥CD，所以∠COE＝∠DOE＝90°。 ①当射线OA在∠COE内部时，∠AOC＝90°－28°＝62°，∠BOC＝180°－62°＝118°； ②当射线OA在∠DOE内部时，∠AOD＝90°－28°＝62°，∠AOC＝180°－62°＝118°，所以∠BOC＝180°－118°＝62°。 所以∠BOC的度数为118°或62°。 18．（1）过点P作河岸的垂线，垂足为Q，沿线段PQ修水渠最短（如下图）。（2）理由：垂线段最短。 19．【解答】∠AOC＝90°。①当OB在∠AOC内部时，∠BOC＝90°－30°＝60°；②当OB在∠AOC外部时，∠BOC＝90°＋30°＝120°。所以∠BOC＝60°或120°。 20．交点个数可能是0个、1个、2个或3个：三条直线互相平行时，有0个交点；三条直线相交于同一点时，有1个交点；两条直线平行，第三条直线与它们都相交时，有2个交点；三条直线两两相交且不交于同一点时，有3个交点。（画图略） 21．直线c与直线b相交。理由：假设c与b不相交，那么在同一平面内c∥b，又a∥b，过点P就有两条直线a，c都与b平行，这与平行公理“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，所以c与b相交。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $