3.4 点、线、面、体 课时作业 2026-2027学年北京版数学七年级上册

北京版七年级上册　第三章　3.4 点、线、面、体　课时作业 3.4　点、线、面、体　课时作业 北京版·七年级上册·第三章　简单的几何图形 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　用时：______分钟 一、学习目标 1．认识常见的几何体（柱体、锥体、球体），能识别几何体的面、棱、顶点。 2．理解点、线、面、体之间的关系，体会“点动成线、线动成面、面动成体”。 3．能想象平面图形旋转后得到的立体图形，探索棱柱、棱锥的面数、棱数、顶点数之间的规律。 二、知识点梳理 知识点1　体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 常见几何体的分类： （1）柱体：圆柱、棱柱（三棱柱、四棱柱（包括长方体、正方体）、五棱柱……）； （2）锥体：圆锥、棱锥（三棱锥、四棱锥、五棱锥……）； （3）球体：球。 图1　常见的几何体 知识点2　面、线、点 （1）面：包围着体的是面。面有平面和曲面两种，例如长方体的6个面都是平面，球的面是曲面，圆柱的侧面是曲面、两个底面是平面。 （2）线：面与面相交的地方形成线。线有直线和曲线两种，例如长方体相邻两个面相交成直的线（棱），圆柱的侧面与底面相交成曲线。 （3）点：线与线相交的地方是点。例如长方体相邻的两条棱相交成点（顶点）。 图2　正方体中的点、线、面 知识点3　点、线、面、体之间的关系 （1）从组成看：体是由面围成的，面与面相交成线，线与线相交成点。 （2）从运动看：点动成线，线动成面，面动成体。 例如：流星划过夜空留下一道光线（点动成线）；汽车的雨刷在挡风玻璃上扫出一个扇形（线动成面）；长方形纸片绕它的一边旋转一周形成圆柱（面动成体）。 （3）常见的平面图形旋转成体：长方形绕一边所在直线旋转一周得到圆柱；直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥；半圆绕直径所在直线旋转一周得到球；直角梯形绕垂直于底的腰所在直线旋转一周得到圆台。 图3　面动成体 知识点4　棱柱、棱锥中的数量关系 n棱柱：有（n＋2）个面，3n条棱，2n个顶点； n棱锥：有（n＋1）个面，2n条棱，（n＋1）个顶点； 对于棱柱、棱锥，都有：顶点数＋面数－棱数＝2（欧拉公式）。 易错提醒：（1）正方体、长方体都属于四棱柱；（2）圆锥有2个面（一个平面，一个曲面），圆柱有3个面（两个平面，一个曲面），球只有1个曲面；（3）判断旋转体时，要注意旋转轴的位置，旋转轴不同，得到的几何体也可能不同。 三、典型例题精讲 例1　观察图1中的几何体，回答下列问题： （1）属于柱体的有__________，属于锥体的有__________，属于球体的有__________； （2）围成几何体的面都是平面的有__________，含有曲面的有__________。 【解答】（1）柱体：①②⑤⑦；锥体：③⑥⑧；球体：④。（2）面都是平面的有①③⑤⑦⑧；含有曲面的有②④⑥。 【点评】正方体①是特殊的四棱柱；判断柱体、锥体要看它是否有两个互相平行且形状相同的底面，或者是否有一个“尖顶”。 例2　下列现象分别体现了点、线、面、体之间的什么关系？ （1）流星划过夜空，留下一道光线；（2）汽车的雨刷在挡风玻璃上扫出一个扇形；（3）旋转门转动时形成一个圆柱形的空间。 【解答】（1）点动成线；（2）线动成面；（3）面动成体。 例3　如图2是一个正方体。 （1）它有几个面？几条棱？几个顶点？ （2）面ABCD与面BB′C′C相交成哪条线？棱AB与棱BC相交于哪个点？ 【解答】（1）正方体有6个面，12条棱，8个顶点。 （2）面ABCD与面BB′C′C相交成线（棱）BC；棱AB与棱BC相交于点B。这说明“面与面相交成线，线与线相交成点”。 例4　如图，长方形ABCD的长AB＝4 cm，宽AD＝3 cm。分别绕边AB和边AD所在的直线旋转一周，得到的两个几何体是什么？哪个的体积大？（结果保留π） 【分析】长方形绕一边所在直线旋转一周得到圆柱，作为旋转轴的边是圆柱的高，与它相邻的边是底面半径。 【解答】都得到圆柱。绕AB所在直线旋转：底面半径为3 cm，高为4 cm，体积为π×3²×4＝36π（cm³）；绕AD所在直线旋转：底面半径为4 cm，高为3 cm，体积为π×4²×3＝48π（cm³）。因为48π＞36π，所以绕AD所在直线旋转得到的圆柱体积大。 例5　探究n棱柱的顶点数V、面数F、棱数E之间的关系。 【解答】n棱柱有两个底面，每个底面是n边形，有n个顶点，所以V＝2n；面数F＝n＋2；每个底面有n条棱，侧棱有n条，所以E＝3n。于是V＋F－E＝2n＋（n＋2）－3n＝2。即n棱柱满足：顶点数＋面数－棱数＝2。 例6　如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC。分别绕下列边所在的直线旋转一周，各得到什么样的几何体？ （1）绕AB所在直线；（2）绕BC所在直线；（3）绕AD所在直线。 【分析】旋转时，平面图形中每一条线段都形成一个面：与旋转轴平行的线段形成圆柱的侧面，与旋转轴斜交的线段形成圆锥的侧面，与旋转轴垂直的线段形成圆面。 【解答】（1）绕AB所在直线旋转一周，得到圆台（上下两个底面是大小不同的圆）。 （2）绕BC所在直线旋转一周，AB形成一个圆面，AD形成圆柱的侧面，CD形成圆锥的侧面，得到的是一个圆柱和一个圆锥组合在一起的几何体（圆柱在一端，圆锥的尖顶在C处）。 （3）绕AD所在直线旋转一周，AB形成圆面，BC形成圆柱的侧面，CD形成圆锥的侧面，得到的是从一个圆柱的一端挖去一个圆锥后剩下的几何体。 【点评】同一个平面图形，绕不同的直线旋转，得到的几何体一般不同。 四、基础巩固 （一）选择题 1．在图1所示的8个几何体中，属于柱体的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．汽车的雨刷在挡风玻璃上扫过时，形成一个扇形区域，这可以用数学知识解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交成线 3．用笔尖在纸上画出一条线，这可以用数学知识解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 4．如图所示的几何体（上面是圆锥，下面是圆柱）是由下列哪个平面图形绕虚线所在直线旋转一周得到的（　　） A． B． C． D． 5．一个六棱柱的面数、棱数、顶点数分别是（　　） A．6，12，18 B．8，18，12 C．8，12，18 D．7，18，12 6．关于圆柱，下列说法正确的是（　　） A．圆柱有2个面，都是平面 B．圆柱有3个面，都是曲面 C．圆柱有3个面，2个平面、1个曲面 D．圆柱有2个面，1个平面、1个曲面 7．下列说法中正确的是（　　） A．圆锥由2个面围成 B．球有1个面，它是平面 C．正方体有6个顶点 D．圆柱的侧面是平面 8．一个棱柱有12个顶点，则这个棱柱是（　　），它有（　　）条棱。 A．六棱柱，18 B．六棱柱，12 C．十二棱柱，36 D．四棱柱，12 （二）填空题 9．包围着体的是______；面与面相交的地方形成______；线与线相交的地方是______。面有______和______两种。 10．七棱柱有______个面，______条棱，______个顶点。 11．n棱锥有______个面，______条棱，______个顶点；八棱锥有______条棱。 12．一个棱柱共有15条棱，那么它是______棱柱，它有______个面，______个顶点。 13．长方形绕它的一边所在直线旋转一周得到______；半圆绕它的直径所在直线旋转一周得到______；直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周得到______。 14．一个长方体的长、宽、高分别是5 cm，4 cm，3 cm，它的所有棱长之和是______cm。 （三）判断题（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）长方体、正方体都是四棱柱。（　　） （2）圆锥的侧面展开后是平面，所以圆锥的侧面是平面。（　　） （3）棱柱的所有棱长都相等。（　　） （4）面与面相交一定得到直线。（　　） （5）一个三棱锥有4个面，4个顶点，6条棱。（　　） （6）钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面，这说明“线动成面”。（　　） （四）解答题 15．观察图1中的几何体①③⑤⑦⑧，完成下表： 几何体：①正方体　③四棱锥　⑤三棱柱　⑦六棱柱　⑧三棱锥 面数F：______　______　______　______　______ 棱数E：______　______　______　______　______ 顶点数V：______　______　______　______　______ 你发现V，F，E之间有什么关系？ 16．一个长方形的长为5 cm，宽为2 cm，把它绕长边所在的直线旋转一周，得到的是什么几何体？求这个几何体的体积（π取3.14）。 17．一个直棱柱有10个面，它的每条侧棱长都是5 cm，底面每条边长都是3 cm。 （1）这是几棱柱？它有多少条棱？多少个顶点？ （2）求它的所有棱长之和。 五、能力提升 18．观察下面的五棱柱和五棱锥，分别数出它们的顶点数、面数、棱数，验证“顶点数＋面数－棱数＝2”是否成立。 19．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm。 （1）将三角形绕直线AC旋转一周，得到什么几何体？求它的体积； （2）将三角形绕直线BC旋转一周，得到什么几何体？求它的体积； （3）比较（1）（2）中两个几何体体积的大小（结果保留π）。 20．第4题图中的几何体（上面是圆锥，下面是圆柱）由几个面围成？其中有几个平面、几个曲面？这些面相交形成几条线？ 21．一个棱柱的面数、棱数、顶点数之和为50，这个棱柱是几棱柱？ 六、拓展探究 22．如图，把一个正方体截去一个角（截面不经过原正方体的顶点）。 （1）剩下的几何体有多少个面？多少条棱？多少个顶点？ （2）它是否满足“顶点数＋面数－棱数＝2”？ 23．足球的表面是由若干个黑色正五边形和白色正六边形皮块缝合而成的。已知一个足球共有32块皮块，其中正五边形12块，正六边形20块，相邻两块皮块之间缝合成一条棱。请利用“顶点数＋面数－棱数＝2”求足球表面的棱数和顶点数。 24．把一个棱长为3 cm的正方体木块的表面全部涂上红色，然后把它切成棱长为1 cm的小正方体。 （1）一共可以切成多少个小正方体？ （2）三个面涂色的小正方体有多少个？它们位于大正方体的什么位置？ （3）两个面涂色、一个面涂色、各面都没有涂色的小正方体分别有多少个？ 25．（实践题）请你用一张长方形的硬纸片和一根细木棒（当作旋转轴）做一个“面动成体”的小实验：把纸片的一边贴在木棒上，快速转动木棒，观察纸片“形成”的几何体是什么；如果把纸片换成直角三角形纸片（一条直角边贴在木棒上），又会看到什么几何体？请画出示意图并写出你的结论。 参考答案及解析 四、基础巩固 1．B　【解析】柱体有①正方体、②圆柱、⑤三棱柱、⑦六棱柱，共4个。故选B。 2．B　【解析】雨刷可以看成一条线，它在玻璃上运动形成一个面，体现了“线动成面”。 3．A　【解析】笔尖可以看成一个点，点运动形成线。 4．C　【解析】该几何体上部是圆锥、下部是圆柱，所以平面图形应是由长方形和直角三角形组成的直角梯形（“上尖下方”），且直角边在旋转轴上。A旋转得到圆柱，B旋转得到圆锥，D旋转得到的几何体上部是“凹进去”的。故选C。 5．B　【解析】六棱柱有6＋2＝8个面，3×6＝18条棱，2×6＝12个顶点。 6．C 7．A　【解析】圆锥由1个平面（底面）和1个曲面（侧面）围成；球的面是曲面；正方体有8个顶点；圆柱的侧面是曲面。故选A。 8．A　【解析】n棱柱有2n个顶点，2n＝12，n＝6，是六棱柱，有3×6＝18条棱。 9．面，线，点，平面，曲面 10．9，21，14 11．n＋1，2n，n＋1，16 12．五，7，10　【解析】3n＝15，n＝5，五棱柱有5＋2＝7个面，2×5＝10个顶点。 13．圆柱，球，圆锥 14．48　【解析】长方体有长、宽、高各4条棱，棱长之和为4×（5＋4＋3）＝48（cm）。 判断题：（1）√；（2）×，圆锥的侧面是曲面；（3）×，棱柱的侧棱长都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等；（4）×，如圆柱的侧面与底面相交成曲线；（5）√；（6）√。 15．面数F：6，5，5，8，4；棱数E：12，8，9，18，6；顶点数V：8，5，6，12，4。发现：V＋F－E＝2。 16．【解答】得到圆柱，底面半径为2 cm，高为5 cm，体积为3.14×2²×5＝62.8（cm³）。 17．（1）n棱柱有（n＋2）个面，n＋2＝10，n＝8，是八棱柱，有3×8＝24条棱，2×8＝16个顶点。 （2）八棱柱有8条侧棱和16条底面上的棱，所有棱长之和为8×5＋16×3＝40＋48＝88（cm）。 五、能力提升 18．五棱柱：顶点数10，面数7，棱数15，10＋7－15＝2；五棱锥：顶点数6，面数6，棱数10，6＋6－10＝2。所以都满足“顶点数＋面数－棱数＝2”。 19．（1）绕直线AC旋转一周得到圆锥，底面半径为BC＝4 cm，高为AC＝3 cm，体积为×π×4²×3＝16π（cm³）。 （2）绕直线BC旋转一周得到圆锥，底面半径为AC＝3 cm，高为BC＝4 cm，体积为×π×3²×4＝12π（cm³）。 （3）因为16π＞12π，所以绕直线AC旋转一周得到的圆锥体积较大。 【拓展】若绕斜边AB所在直线旋转一周，得到的是两个底面重合的圆锥组成的几何体。 20．由3个面围成，其中1个平面（圆柱的下底面），2个曲面（圆柱的侧面和圆锥的侧面）；这些面相交形成2条线（都是曲线）。 21．【解答】设这个棱柱是n棱柱，则面数为n＋2，棱数为3n，顶点数为2n。由题意得（n＋2）＋3n＋2n＝50，即6n＋2＝50，解得n＝8。所以这个棱柱是八棱柱。 六、拓展探究 22．（1）截去一个角后，原来的6个面都保留，又多了1个截面（三角形），共7个面；原来的12条棱都保留（其中3条变短），又多了截面三角形的3条边，共15条棱；原来的8个顶点去掉1个，又多了3个，共10个顶点。 （2）10＋7－15＝2，满足“顶点数＋面数－棱数＝2”。 23．【解答】每块正五边形皮块有5条边，每块正六边形皮块有6条边，每条棱由两块皮块的边缝合而成，所以棱数E＝＝＝90。面数F＝32，由V＋F－E＝2得V＝2－32＋90＝60。所以足球表面有90条棱，60个顶点。 24．（1）3×3×3＝27（个）。 （2）三个面涂色的小正方体位于大正方体的8个顶点处，共8个。 （3）两个面涂色的小正方体位于大正方体每条棱的中间，每条棱上有3－2＝1个，12条棱共12个；一个面涂色的小正方体位于每个面的中心，每个面有1个，6个面共6个；各面都没有涂色的小正方体位于大正方体的中心，有1个。检验：8＋12＋6＋1＝27。 【点评】本题中“顶点”“棱”“面”的位置分别决定了小正方体涂色面的个数，体现了点、线、面、体之间的关系。 25．长方形纸片转动时“形成”圆柱；直角三角形纸片转动时“形成”圆锥。这说明面动成体，旋转时贴在木棒上的边是几何体的高（或轴）。（示意图略，画出类似图3的图即可） 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $