3.5 直线、射线、线段 课时作业2026-2027学年北京版数学 七年级上册

北京版七年级上册　第三章　3.5 直线、射线、线段　课时作业 3.5　直线、射线、线段　课时作业 北京版·七年级上册·第三章　简单的几何图形 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　用时：______分钟 一、学习目标 1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的表示方法，能区分它们之间的联系与区别。 2．掌握“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”两个基本事实，并能解释生活中的现象。 3．会比较线段的长短，会画一条线段等于已知线段，理解线段的中点，能进行线段的和、差、倍、分的计算。 二、知识点梳理 知识点1　直线、射线、线段的概念与表示 （1）直线：向两方无限延伸，没有端点，不能度量长度。用直线上两个点的大写字母表示（如直线AB或直线BA），或用一个小写字母表示（如直线l）。 （2）射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。射线向一方无限延伸，不能度量长度。用端点和射线上另一点表示，端点字母必须写在前面（如射线OA）。 （3）线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。线段有两个端点，可以度量长度。用两个端点表示（如线段AB或线段BA），也可以用一个小写字母表示（如线段a）。 图1　直线、射线、线段 知识点2　点与直线、直线与直线的位置关系 （1）点与直线：点在直线上（直线经过这个点）；点在直线外（直线不经过这个点）。 （2）两条直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 知识点3　两个基本事实 （1）两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。如：木工师傅弹墨线、固定一根木条至少需要两颗钉子、植树时先确定两端的树坑。 （2）两点之间，线段最短：连接两点的所有线中，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。如：把弯曲的河道改直可以缩短航程，走“捷径”。 知识点4　线段的比较与运算 （1）比较线段长短的方法：度量法（用刻度尺量出长度再比较）和叠合法（把一条线段移到另一条线段上，使一端重合，看另一端的位置）。 （2）用圆规可以画一条线段等于已知线段，进而画出线段的和、差、倍。 （3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。如图，若M是线段AB的中点，则AM＝MB＝AB，AB＝2AM＝2MB。 类似地，把线段分成三条相等线段的两个点叫做线段的三等分点。 知识点5　计数规律 （1）一条直线上有n个点，则共有线段条，以这些点为端点的射线有2n条。 （2）平面内有n个点，其中任意三点都不在同一条直线上，则过其中任意两点共可画条直线。 易错提醒：（1）射线的表示中，端点字母一定要写在前面，射线AB与射线BA不是同一条射线；（2）直线、射线不能度量，不能说“延长直线AB”“射线OA长3 cm”，但可以说“延长线段AB”“反向延长射线OA”；（3）题目中没有给出图形时，要注意点的位置可能有多种情况，需要分类讨论。 三、典型例题精讲 例1　如图，直线l上有A，B，C三个点。图中共有几条直线？几条射线？几条线段？ 【分析】直线上的每一个点都是两条射线的端点；线段可以按“以A为左端点、以B为左端点……”的顺序不重不漏地数。 【解答】直线只有1条；射线有3×2＝6条；线段有AB，AC，BC，共3条。 例2　请用学过的数学知识解释下列现象： （1）植树时，只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行树坑所在的直线； （2）把弯曲的河道改直，能够缩短航程。 【解答】（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短。 例3　如图，点C在线段AB上，AB＝10 cm，AC＝6 cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长。 【分析】MN＝MC＋CN，而MC，CN分别是AC，BC的一半。 【解答】因为AB＝10 cm，AC＝6 cm，所以BC＝AB－AC＝10－6＝4（cm）。因为M，N分别是AC，BC的中点，所以MC＝AC＝3 cm，CN＝BC＝2 cm，所以MN＝MC＋CN＝3＋2＝5（cm）。 【点评】MN＝AC＋BC＝（AC＋BC）＝AB，所以无论点C在线段AB上的什么位置，都有MN＝AB。 例4　已知A，B，C三点在同一条直线上，AB＝8 cm，BC＝3 cm，求线段AC的长。 【分析】题目没有给出图形，点C可能在线段AB的延长线上，也可能在线段AB上，需要分类讨论。 【解答】情况①：点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝8＋3＝11（cm）；情况②：点C在线段AB上时，AC＝AB－BC＝8－3＝5（cm）。所以线段AC的长为11 cm或5 cm。 例5　如图，一条直线上有A，B，C，D，E五个点，图中共有多少条线段？ 【解答】以A为左端点的线段有4条，以B为左端点的有3条，以C为左端点的有2条，以D为左端点的有1条，共4＋3＋2＋1＝10（条）。也可用公式＝10（条）。 例6　已知线段a，b，用圆规和直尺作一条线段AC，使AC＝a＋b。 【作法】（1）作射线AM；（2）在射线AM上用圆规截取AB＝a；（3）在射线AM上，以B为端点，在点A的另一侧截取BC＝b。线段AC就是所求作的线段（如图）。 例7　如图，点C是线段AB上一点，AC＝BC，点D是线段AB的中点，若CD＝2 cm，求线段AB的长。 【分析】设BC＝3x cm，用含x的式子表示各线段，再根据CD＝AD－AC列方程。 【解答】设BC＝3x cm，则AC＝2x cm，AB＝5x cm。因为D是AB的中点，所以AD＝AB＝x cm。CD＝AD－AC＝x－2x＝x＝2，解得x＝4。所以AB＝5×4＝20（cm）。 【点评】线段的计算中，当已知线段之间的比例关系时，常设未知数，利用方程求解。 四、基础巩固 （一）选择题 1．下列说法中正确的是（　　） A．射线AB与射线BA是同一条射线 B．直线AB与直线BA是同一条直线 C．延长直线AB到点C D．射线OA的长为5 cm 2．如图，从A地到B地有①②③三条路线，最短的路线是②，其中的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．线段可以度量 D．直线向两方无限延伸 3．木工师傅在锯木板时，往往先在木板上弹出一条墨线，这样做的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．线段的中点 D．以上都不对 4．点C是线段AB上一点，点M是AC的中点。若AB＝10，CB＝4，则AM的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．一条直线上有4个点，以这些点为端点的线段共有（　　） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 6．下列语句中，正确的是（　　） A．画直线AB＝3 cm B．画射线OA＝3 cm C．延长线段AB到点C，使BC＝AB D．延长射线OA到点B 7．线段AB＝12，点C，D是线段AB的三等分点（点C靠近点A），则AD的长是（　　） A．4 B．6 C．10 D．8 8．如图，直线上有A，B，C，D四个点，图中以这四个点为端点的射线共有（　　） A．4条 B．6条 C．8条 D．10条 （二）填空题 9．固定一根木条至少需要两颗钉子，依据是______________________；“走捷径”的依据是______________________。 10．如图，点C，D在线段AB上，AB＝8，AC＝2，点D是线段CB的中点，则CD＝______，AD＝______。 11．平面内有4个点，其中任意三点都不在同一条直线上，过其中任意两点画直线，共可以画______条直线。 12．一条铁路线上共有5个车站（含起点站和终点站），需要准备______种不同的车票（从甲站到乙站与从乙站到甲站的车票不同）。 13．已知线段AB＝6 cm，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，则AC＝______cm。 14．A，B，C三点在同一条直线上，AB＝5，BC＝3，点M是线段AC的中点，则AM＝______。 （三）判断题（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）线段AB是点A与点B之间的距离。（　　） （2）射线比直线短。（　　） （3）经过一点可以画无数条直线。（　　） （4）若AM＝BM，则点M是线段AB的中点。（　　） （5）两条直线相交，只有一个交点。（　　） （四）解答题 15．如图，平面上有A，B，C，D四个点，按下列要求画图： （1）画直线AB；（2）画射线AC；（3）画线段BD，线段BD与射线AC相交于点E。 16．如图，点C在线段AB上，AC∶CB＝3∶2，AB＝10 cm，点M，N分别是AC，CB的中点。 （1）求线段AC，CB的长；（2）求线段MN的长。 17．已知线段a，b（a＞b），请写出用圆规和直尺作一条线段AB，使AB＝2a－b的作法步骤。 五、能力提升 18．已知线段AB＝12 cm，点C在直线AB上，且BC＝4 cm，点M，N分别是线段AB，BC的中点，求线段MN的长。 19．如图，线段AB＝6 cm，点P是直线AB上的一个动点。 （1）当点P在什么位置时，PA＋PB的值最小？最小值是多少？依据是什么？ （2）若PA＝2PB，求PA的长。 20．（1）一个班有10名同学参加数学兴趣小组的活动，见面时每两人都握手一次，一共要握手多少次？ （2）平面内有5条直线，最多有多少个交点？ 21．（请先画出图形）线段AB上有两点C，D，且AC∶CD∶DB＝2∶3∶4，点M是线段AB的中点。若CD＝6，求线段AB和MD的长。 六、拓展探究 22．如图，直线上依次有A，B，C，D四个点，AB＝2，BC＝3，CD＝4。在这条直线上找一点P，使PA＋PB＋PC＋PD的值最小，点P应在什么位置？最小值是多少？ 23．观察并探究： （1）线段上有3个点（包括端点）时，共有______条线段；有4个点时，共有______条线段；有5个点时，共有______条线段；有n个点时，共有______条线段。 （2）若一条线段上的点（包括端点）构成的线段共有45条，则这条线段上共有多少个点？ 24．（与数轴结合）如图，数轴上点A表示的数是－2，点B表示的数是6。 （1）线段AB的长是多少？线段AB的中点表示的数是多少？ （2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动；同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动。设运动时间为t秒，当PQ＝2时，求t的值。 25．（实际应用）如图，A，B两个村庄位于一条笔直公路l的两侧，现要在公路l上修建一个公交车站P，使它到A，B两村的距离之和最小。请在图中画出点P的位置，并说明理由。 26．已知点A，B，C在同一条直线上，点M，N分别是线段AB，BC的中点，AB＝a，BC＝b（a＞b）。请用含a，b的式子表示线段MN的长。 参考答案及解析 四、基础巩固 1．B　【解析】射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，不是同一条射线；直线无限延伸，不能延长；射线不能度量长度。故选B。 2．B 3．A　【解析】墨线两端固定后，墨线所在的直线就确定了，依据是“两点确定一条直线”。 4．B　【解析】AC＝AB－CB＝10－4＝6，AM＝AC＝3。 5．C　【解析】＝6（条）。 6．C　【解析】直线、射线都不能度量长度，也不能延长（射线可以反向延长），所以A，B，D错误。 7．D　【解析】AC＝CD＝DB＝×12＝4，AD＝AC＋CD＝8。 8．C　【解析】每个点都是两条射线的端点，共4×2＝8条射线。 9．两点确定一条直线；两点之间，线段最短 10．3，5　【解析】CB＝AB－AC＝6，CD＝CB＝3，AD＝AC＋CD＝2＋3＝5。 11．6　【解析】＝6（条）。 12．20　【解析】5个车站之间的线段有＝10条，每条线段对应往返两种车票，共10×2＝20（种）。 13．18　【解析】BC＝2AB＝12 cm，AC＝AB＋BC＝6＋12＝18（cm）。 14．4或1　【解析】当点C在线段AB的延长线上时，AC＝5＋3＝8，AM＝4；当点C在线段AB上时，AC＝5－3＝2，AM＝1。 判断题：（1）×，线段AB的长度才是A，B两点间的距离；（2）×，射线和直线都无限延伸，不能比较长短；（3）√；（4）×，点M还必须在线段AB上；（5）√。 15．画图如下： 16．（1）设AC＝3x cm，CB＝2x cm，则3x＋2x＝10，x＝2，所以AC＝6 cm，CB＝4 cm。 （2）MC＝AC＝3 cm，CN＝CB＝2 cm，MN＝MC＋CN＝5 cm。 17．作法：（1）作射线AM；（2）在射线AM上依次截取AC＝a，CD＝a（此时AD＝2a）；（3）在线段AD上，从点D向点A的方向截取DB＝b。线段AB就是所求作的线段，AB＝AD－DB＝2a－b。 五、能力提升 18．【解答】因为M是AB的中点，所以MB＝AB＝6 cm；因为N是BC的中点，所以BN＝BC＝2 cm。 ①当点C在线段AB的延长线上时，MN＝MB＋BN＝6＋2＝8（cm）； ②当点C在线段AB上时，MN＝MB－BN＝6－2＝4（cm）。 所以线段MN的长为8 cm或4 cm。 19．（1）当点P在线段AB上（包括端点）时，PA＋PB的值最小，最小值为AB＝6 cm，依据是“两点之间，线段最短”。 （2）①当点P在线段AB上时，PA＋PB＝6，PA＝2PB，所以3PB＝6，PB＝2，PA＝4 cm；②当点P在线段AB的延长线上（点B右侧）时，PA－PB＝6，PA＝2PB，所以PB＝6，PA＝12 cm；③当点P在线段BA的延长线上（点A左侧）时，PA＜PB，不可能有PA＝2PB。所以PA的长为4 cm或12 cm。 20．（1）＝45（次）。（2）每两条直线最多有1个交点，5条直线最多有＝10个交点。 【点评】握手问题、车票问题、直线交点问题都与“线段计数”有相同的数学模型。 21．【解答】设AC＝2x，则CD＝3x，DB＝4x。由3x＝6得x＝2，所以AC＝4，DB＝8，AB＝4＋6＋8＝18。因为M是AB的中点，所以AM＝9，又AD＝AC＋CD＝10，所以MD＝AD－AM＝10－9＝1。 六、拓展探究 22．【解答】点P应在线段BC上（包括端点B，C）。理由：要使PA＋PD最小，点P应在线段AD上，此时PA＋PD＝AD＝9；要使PB＋PC最小，点P应在线段BC上，此时PB＋PC＝BC＝3。线段BC在线段AD上，所以当点P在线段BC上时，两者同时取得最小值，PA＋PB＋PC＋PD的最小值为9＋3＝12。 23．（1）3，6，10，。 （2）由＝45，得n（n－1）＝90，因为10×9＝90，所以n＝10，即这条线段上共有10个点。 24．（1）AB＝6－（－2）＝8；中点表示的数是＝2。 （2）t秒后，点P表示的数是－2＋t，点Q表示的数是6－2t。 ①相遇前：（6－2t）－（－2＋t）＝2，即8－3t＝2，解得t＝2； ②相遇后：（－2＋t）－（6－2t）＝2，即3t－8＝2，解得t＝。 所以当t＝2或t＝时，PQ＝2。 25．【解答】连接AB，与公路l相交于点P，点P就是所求的车站位置（如下图）。理由：对于公路l上任意一点P′，PA＋PB＝AB，而P′A＋P′B是连接A，B两点的折线的长，根据“两点之间，线段最短”，P′A＋P′B≥AB，所以点P到A，B两村的距离之和最小。 26．【解答】①当点C在线段AB的延长线上时，MN＝MB＋BN＝a＋b＝；②当点C在线段AB上时，MN＝MB－BN＝a－b＝。所以MN的长为或。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $