专题08 勾股定理中的翻折模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

专题08.勾股定理中的翻折模型 勾股翻折模型是八年级几何计算的核心题型，承接轴对称变换与勾股定理两大知识点，是学生从纯几何证明过渡到 “几何 + 方程” 综合计算的关键。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角； 它常常和矩形、正方形结合出现在填空压轴，也可以和K型全等、动点问题嵌套在一起。熟练掌握本模型的设元+勾股列方程的套路后，可以解决初中绝大多数折叠求值类问题，完善勾股专题的解题体系。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 8 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 10 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 15 易错点与方法总结 18 模型运用 19 A组（基础题） 19 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 29 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 1）轴对称折叠性质：对应边相等，对应角相等； 2）矩形、直角三角形边角特征，直角识别； 3）勾股定理：a2+b2=c2； 4）线段和差表示，用未知数表示线段长度；一元一次方程解法。 勾股中的翻折（折叠）属于轴对称变换，核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题核心思路：把折叠产生的等线段标注在图形上，将所求线段设为未知数，利用矩形 / 直角三角形自带的直角，锁定 Rt△，以勾股定理为等量关系列出一元一次方程，解方程求出线段长度。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是______． 【典例2】（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，矩形中，，，把沿对角线折叠，得到，且与相交于点，则的长为________． 【典例3】（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，四边形是矩形，，把矩形沿直线折叠，点落在点处，、交于点，则与的面积之比是（） A． B． C． D． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【典例3】（2026·河南周口·模拟预测）在矩形中，，，点为射线上一动点，连接，将沿翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长度为________． 【典例4】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在矩形纸片ABCD中，．点F是DC上的动点，将沿AF折叠，点D的对应点为分别与BC相交于点G，O．当时，BG的长为________． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【模型运用】 【典例1】（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的长度为_____． 【典例3】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕交于点F，若，，则____________． 【典例4】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【典例2】（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，D是边上一点，连接，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【典例3】（25-26河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【典例2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于（    ） A．2 B． C． D． 【典例3】（25-26八年级上·广东·期中）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·校考期末）如图，在中，，，点在上，点在上，将沿直线翻折，点的对称点落在上，在，则的长是______． 【典例2】（2026·河南·校考一模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【典例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接，．将沿翻折，点落在上的点处，则_________． 【典例4】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（　　） A． B． C．1 D． 模型常见易错点 1）看错折叠对应边，等量标注错误； 错误：随便找两条线段当作折叠相等线段，对应关系混乱。 正解：找准折叠前后的对应顶点，顶点一一对应，再写相等线段。 2）不会用代数式表示线段，只会硬算； 很多学生只愿意用数字计算，不习惯设 x，无法把零散线段转化为代数式，不能建立方程。 3）找错直角三角形，在斜三角形里套用勾股； 勾股定理只适用于直角三角形，折叠后很多三角形并非直角三角形，盲目列式导致方程错误。 4）线段和差运算出错，总长减未知时符号写错； 在矩形折叠中，边长 = 总长−折线段，代数式书写出错，方程建立错误。 5）解答题只计算数值，不写折叠性质的文字说明； 书写扣分：直接列方程，没有先写 “由折叠可知：XX=XX”，逻辑链条缺失。 解题方法总结 步骤 1：利用折叠，写出等量线段： 由折叠的性质可得：____ = ____ 步骤 2：设未知数，用 x 表示相关线段：设所求线段EC=x，则其余线段用含x的式子表达。 步骤 3：确定直角三角形，写出直角条件：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠C=90° 步骤 4：根据勾股定理列出方程：在 Rt△____中，由勾股定理得：直角边² + 直角边² = 斜边²，列出方程。 步骤 5：解方程，求出未知数，写出答案 万能口诀 折叠先找对应边，设元代换各线段；锁定直角三角形，勾股方程解答案。 1.（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）如图，在矩形中，为对角线，将沿翻折，点B的对应点为点，与相交于点E，分别延长与相交于点F，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，在矩形纸片中，，，点E在边上，将纸片沿折叠，点A落在F处，的延长线交于点G，交延长线于点H．若，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，将翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为____________. 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是________． 7．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长为___________ 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．(1)求证：；(2)若，，求的长． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知等边的边长为6，点D是的中点，点E在边上，将沿翻折得到，与交于点F，若，则的周长为______． 2.（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为________． 3.（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 4．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合，折痕，若长方形的长为8，宽为4，则的面积为________． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，点是射线上一点，连接．将沿翻折至的位置，使点落在处． (1)若在边上，如图，当点落在边上时，________；(2)在（）的条件下，求的长； (3)若在延长线上，利用图探索当为直角三角形时的长，并直接写出结果________． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘．某班数学学习小组就“折纸中的数学”展开主题学习．他们所用的是一张三角形纸片，，，．请根据以下信息，解答问题． (1)小组一：如图，若翻折后，点与点重合，折痕为，求的长； (2)小组二：如图，若翻折后，点落在边上的点处，折痕为．连接，，当是直角三角形时，求的长； (3)小组三：如图，点为边上一动点，沿直线翻折，点的对应点为点，连接，当的长最小时，求的面积． 1.（25-26八年级上·陕西·期末）如图，在中，，点在上，且满足，将沿翻折后，得到，连接，若，则以下结论中，①垂直平分；②；③；④，正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为（     ） A．5 B．15 C．5或20 D．5或15 3．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则________． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别是边上的点，且，将沿翻折得到，连接． （1）若，则_____；（2）若是以为一腰的等腰三角形，则_____． 5．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图1，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点B落在边上的P点处，连结．如图2，连接，动点M在线段上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段的延长线上，且，连接交于点F，作于点E．点M、N在移动过程中，线段的长度是____________． 6．（25-26八年级下·山东临沂·期末）在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：；②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____． (2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长． (3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08.勾股定理中的翻折模型 勾股翻折模型是八年级几何计算的核心题型，承接轴对称变换与勾股定理两大知识点，是学生从纯几何证明过渡到 “几何 + 方程” 综合计算的关键。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角； 它常常和矩形、正方形结合出现在填空压轴，也可以和K型全等、动点问题嵌套在一起。熟练掌握本模型的设元+勾股列方程的套路后，可以解决初中绝大多数折叠求值类问题，完善勾股专题的解题体系。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 8 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 10 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 15 易错点与方法总结 18 模型运用 19 A组（基础题） 19 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 29 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 1）轴对称折叠性质：对应边相等，对应角相等； 2）矩形、直角三角形边角特征，直角识别； 3）勾股定理：a2+b2=c2； 4）线段和差表示，用未知数表示线段长度；一元一次方程解法。 勾股中的翻折（折叠）属于轴对称变换，核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题核心思路：把折叠产生的等线段标注在图形上，将所求线段设为未知数，利用矩形 / 直角三角形自带的直角，锁定 Rt△，以勾股定理为等量关系列出一元一次方程，解方程求出线段长度。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】∵矩形，∴，， ∵，∴，，∴，， ∵矩形沿对角线进行翻折，∴，，，∴， ∵在和中，∴，∴， 设，∴，， ∵，，∴， 整理得：，解得：，∴的坐标是． 【典例2】（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，矩形中，，，把沿对角线折叠，得到，且与相交于点，则的长为________． 【答案】 【详解】解：由折叠得，，∵四边形是矩形， ∴，，．∴， ∴，∴，设，则， 在中，，即，解得 则的长为． 【典例3】（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，四边形是矩形，，把矩形沿直线折叠，点落在点处，、交于点，则与的面积之比是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，， ∴；由折叠性质可知：， ∴，，，， ∴，∴，设，则，∴， 在中，，，，由勾股定理得： 解得，即，的直角边，， ∴ 在中，， ． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，，； 在中，∴ 设， 在中，∴解得：∴ 故选：B． 【典例2】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，∴，∴，， 设，则，在中，， 即，解得，∴． 【典例3】（2026·河南周口·模拟预测）在矩形中，，，点为射线上一动点，连接，将沿翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长度为________． 【答案】或 【详解】在矩形中，，，，，， 如图1，当点在线段上时， 将沿翻折得到，，， ，，设，则， 在中，，即，解得，； 如图2，当点在延长线上时，同理可得，， 设，则，在中，，即，解得，． 综上，的长度为或． 【典例4】（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，在矩形纸片ABCD中，．点F是DC上的动点，将沿AF折叠，点D的对应点为分别与BC相交于点G，O．当时，BG的长为________． 【答案】 【详解】解：由矩形的性质得出∶，． 由折叠的性质得出，，， 在和中，，∴， ∴，∴，即， 设，则，∴， ∴，∴， 在中，，，解得，即． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【模型运用】 【典例1】（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形，∴， ∴四边形是矩形，∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．∴， 设，则，∴， 在中，，即，解得即的长为． 【典例2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的长度为_____． 【答案】5 【详解】解：根据折叠可得：，设，则， 在矩形中，根据勾股定理得：， 即，解得：，即的长度为5． 【典例3】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点E的直线翻折，使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕交于点F，若，，则____________． 【答案】 【详解】解：如图，过点F作于点G，连接， 在矩形纸片中，，，， 设，，由折叠可知：，， 在中，，在中，，有， 即， ， ， ， ，在中，， 即， ， 在中，，即， ， ，解得：，即． 【典例4】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵，∴，在中，， 即，解得：； （2）解：①∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵长方形纸片的边，∴，∴，∴； ②∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处， ∴，，，∴， 在中，，∴． 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系中，的直角边，分别在x轴和y轴上，其中，E是上一点，将以为轴翻折，点A刚好落在y轴的点D处，则点E的坐标是______． 【答案】 【详解】解：在中，，，∴， 由翻折性质得：，． ，在轴上，，即． 设，则，，∴． 在中，即解得，∴点E的坐标为． 【典例2】（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，，，，D是边上一点，连接，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，， ∴，由折叠的性质可得：， ∵点C落在边上的点E处，∴． 【典例3】（25-26河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于， 将沿直线翻折，，，， ，，，，，， ，， ，， ，，，，故答案为：． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】7 【详解】 解：∵，，，∴， 由折叠的性质可知，，∴的周长． 【典例2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接交于点，过点作于点， 在中，，由勾股定理得：， ，，， 由翻折的性质可知：、、，垂直平分， 点D是的中点，， ，，，， ，，，， ，， ，即，在中，由勾股定理得： ． 【典例3】（25-26八年级上·广东·期中）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，过作于，∵，，， ∴由勾股定理得，由折叠可得，与全等，    ∵的面积是面积的一半，， ∴的面积是面积的一半，，∴F是的中点，∴ 又∵是的中点，∴，即是的中点， 又∵，∴，∴， 又∵，∴中，，故选：A． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·校考期末）如图，在中，，，点在上，点在上，将沿直线翻折，点的对称点落在上，在，则的长是______． 【答案】/ 【详解】∵，，∴，由折叠得， ∵，∴，∴，故答案为： 【典例2】（2026·河南·校考一模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或． 【详解】解：在中，，，∴； ①当时，如图，由折叠得：， ∴，设，则， 在中，，∴，解得，，即：； ②当时，如图，由折叠得，， ∵，∴，又，∴， 设，则，∴, ∵，∴，解得：， 经检验，是原方程的解，∴；综上，的长为或． 【典例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接，．将沿翻折，点落在上的点处，则_________． 【答案】3 【详解】解：∵是边的中点，，∴，∵，∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， 设，则，由勾股定理可得：， ∴，解得：，∴，故答案为：． 【典例4】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：根据折叠的性质可知， ，，， 是等腰直角三角形，，，， ，， 在中，，，，则由勾股定理得， ，， ， ，，故选：B． 模型常见易错点 1）看错折叠对应边，等量标注错误； 错误：随便找两条线段当作折叠相等线段，对应关系混乱。 正解：找准折叠前后的对应顶点，顶点一一对应，再写相等线段。 2）不会用代数式表示线段，只会硬算； 很多学生只愿意用数字计算，不习惯设 x，无法把零散线段转化为代数式，不能建立方程。 3）找错直角三角形，在斜三角形里套用勾股； 勾股定理只适用于直角三角形，折叠后很多三角形并非直角三角形，盲目列式导致方程错误。 4）线段和差运算出错，总长减未知时符号写错； 在矩形折叠中，边长 = 总长−折线段，代数式书写出错，方程建立错误。 5）解答题只计算数值，不写折叠性质的文字说明； 书写扣分：直接列方程，没有先写 “由折叠可知：XX=XX”，逻辑链条缺失。 解题方法总结 步骤 1：利用折叠，写出等量线段： 由折叠的性质可得：____ = ____ 步骤 2：设未知数，用 x 表示相关线段：设所求线段EC=x，则其余线段用含x的式子表达。 步骤 3：确定直角三角形，写出直角条件：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠C=90° 步骤 4：根据勾股定理列出方程：在 Rt△____中，由勾股定理得：直角边² + 直角边² = 斜边²，列出方程。 步骤 5：解方程，求出未知数，写出答案 万能口诀 折叠先找对应边，设元代换各线段；锁定直角三角形，勾股方程解答案。 1.（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】∵四边形是长方形，，， 由折叠的性质得：，，， 设，则，在中，，即，解得：， 则，则．故选B． 2．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）如图，在矩形中，为对角线，将沿翻折，点B的对应点为点，与相交于点E，分别延长与相交于点F，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ，，，， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∵ 沿AC翻折得到，∴ ，∴ ，∴ ， 设，则，在中，由勾股定理得， 即，展开得，化简得，解得， ∴ ，故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，在矩形纸片中，，，点E在边上，将纸片沿折叠，点A落在F处，的延长线交于点G，交延长线于点H．若，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：在矩形纸片中，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 在和中，，， ，，，设，则， ，，， 在中，，，解得：，即的长为. 4．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，∴，， ∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得到，即，解得． 5．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，将翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为____________. 【答案】 【详解】解：，点是边的中点，， 设，则，由折叠可知， ，，，解得：，． 6．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是________． 【答案】 【详解】解：由折叠性质可知，，，， ∵，，∴，，∴，， ∴垂直平分，，∴， 在中，由勾股定理得，，∴， ∴，∴，故答案为：． 7．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长为___________ 【答案】5 【详解】解：四边形是矩形，，，， 根据勾股定理得：，， 由折叠可得，，，，， 设，则有，根据勾股定理得：， 解得：，则，故答案为：5． 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：∵四边形为矩形，∴，∴， 由折叠的性质可得：，∴，∴； （2）解：∵四边形为矩形，∴，由折叠的性质可得， 设，则，由勾股定理可得：， ∴，解得：，∴． 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知等边的边长为6，点D是的中点，点E在边上，将沿翻折得到，与交于点F，若，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作， 是等边三角形，， 点D是的中点，， ，， ，，根据翻折可知， ，， ，， ，， ，， 的周长为．故答案为：． 2.（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为________． 【答案】/ 【详解】解：∵纸片是长方形，∴， ∵将沿翻折得到，∴，，， ∵点E为边的中点，∴， ∵，∴， ∵，∴，连接，如下图： 设，∴，∵，∴， ∴在中，，∴ ；；，故答案为：． 3.（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． 4．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，，∵，，∴， 在中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，， 设，则，在中，， 即，解得：，即． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合，折痕，若长方形的长为8，宽为4，则的面积为________． 【答案】10 【详解】解：设，则，由折叠的性质可知，， ∵四边形是矩形，∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理得，解得． ∴， ，．又∵，， ，． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，长方形中，，，点是射线上一点，连接．将沿翻折至的位置，使点落在处． (1)若在边上，如图，当点落在边上时，________；(2)在（）的条件下，求的长； (3)若在延长线上，利用图探索当为直角三角形时的长，并直接写出结果________． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：由折叠可得，，∵四边形是长方形，∴， ∴，故答案为：； （2）解：∵四边形是长方形，∴，，， ∵，∴，由折叠得，， 设，则，在中，， ∴，解得，∴的长为； （3）解：当时，如图， ∵四边形是长方形，∴，∴， 由折叠得，， ，∴，， ∴点三点共线，∴； 当时，如图，∵四边形是长方形，∴， 又∵，∴点三点共线， 由折叠得，，， ∴，∴， ∵，∴，解得； 综上，的长为或， 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·江苏南通·期末）综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘．某班数学学习小组就“折纸中的数学”展开主题学习．他们所用的是一张三角形纸片，，，．请根据以下信息，解答问题． (1)小组一：如图，若翻折后，点与点重合，折痕为，求的长； (2)小组二：如图，若翻折后，点落在边上的点处，折痕为．连接，，当是直角三角形时，求的长； (3)小组三：如图，点为边上一动点，沿直线翻折，点的对应点为点，连接，当的长最小时，求的面积． 【答案】(1)的长为；(2)的长为或；(3)的面积为． 【详解】（1）解：如图，由折叠得点与点关于直线对称，∴垂直平分，∴， 设，则，由勾股定理得：， ∴，解得：，∴，∴的长为； （2）解：如图，当时，此时与重合，同上理可得：， 如图，当时，∵沿翻折后，点落在边上的点处，∴，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，设，则， 由勾股定理得：，∴，解得：，∴，∴的长为； 由，∵，∴，∴不存在， 综上可得：的长为或； （3）解：由翻折得，， ∵，∴当点三点共线时，最小，如图， 此时，∴，∵与的高相同，∴， ∵，∴，∴的面积为． 1.（25-26八年级上·陕西·期末）如图，在中，，点在上，且满足，将沿翻折后，得到，连接，若，则以下结论中，①垂直平分；②；③；④，正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：连接，交于点，如图所示： 将沿翻折后，得到，由对称性可知，且， 即垂直平分，故①正确；将沿翻折后，得到，， ，，故②正确； 将沿翻折后，得到，，，， ， 即，，，故③正确； 由前面的求解过程可知，点是中点、点是中点，则是的中位线，， 在中，，，则由勾股定理可得，， 设，则，在中，由， 在中，由，则，解得， ，故④错误；综上所述，正确的结论是①②③，共个． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为（     ） A．5 B．15 C．5或20 D．5或15 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，， ∵，，∴，∵，∴四边形的矩形， ∴，由题意可分：当点在矩形内部时，如图所示： 由折叠的性质可知：，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理可得：，∴，解得：； 当点在矩形外部时，如图所示：∵，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴，解得：；综上所述：的长为5或20． 3．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于，取的中点G，连接， 矩形中，为边的中点，，． 在中，，∴， ∴，∴为等边三角形，∴． 将沿翻折，点的对应点为，，，． ，，， ．为直角三角形，且． 点在同一直线上，， ．∴． ，，． ．．． 在和中，．．故答案为． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别是边上的点，且，将沿翻折得到，连接． （1）若，则_____；（2）若是以为一腰的等腰三角形，则_____． 【答案】 或 【详解】解：（1）∵，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， 由翻折的性质可得，∴； （2）①当时，∵四边形是矩形，∴， ∴，由勾股定理得， 即，解得； ②当时，如图所示，过点作于点，∴， 由（1）得，且，∴， 又∵，，∴，∴， 即，∴；综上，或． 5．（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图1，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点B落在边上的P点处，连结．如图2，连接，动点M在线段上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段的延长线上，且，连接交于点F，作于点E．点M、N在移动过程中，线段的长度是____________． 【答案】 【详解】解：四边形是长方形，，， 将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，， ，，， 过点作交于，， ∵，，，， 又，，又，， 在和中，∴，， ，，，，． 6．（25-26八年级下·山东临沂·期末）在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：；②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，，， 将沿直线翻折至的位置，， 在中，，∴； (2)①证明：四边形是矩形，， 由翻折的性质知，、，， 在和中，，，； ②解：，，设，则， ，、， 在中，，，解得：，． （3）的长为1或9        解：分两种情况讨论：情况1：当点在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、，， 四边形是矩形，，，，， ，； 情况2：当点在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、，， 设，则、， ，在中，， ，解得：，即，综上，的长为或 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，分别将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线． (1)如图，若点F为边的中点，，点G与点H重合，则_____°；△AEF的周长＝_____； _____． (2)如图，若点F为矩形的边的中点，平分，，，求的度数及的长． (3)如图，当，时，若F为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1)45，12，2(2)，(3)或 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形，∴四边形是正方形，∴， ∵F为的中点，∴， ∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点G、H， ∴，，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴． ∴，， ∴的周长； ∵将和沿翻折，点D、B的对应点分别为点， ∴， ∵，∴．故答案为：45；12；2； （2）解：如图2，延长，交于点M， ∵平分，∴∠2=∠4．由折叠的性质可知，，． ∴，∴． ∵，，∴和均为等腰直角三角形， ∴，∴，即，解得． （3）解：分两种情况：①当时， 如图3，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 设，，，∴，解得，∴． ②当时，如图4，过点E作，交的延长线于点P，连接，则四边形为矩形，，， 由折叠的性质可知，，，∴， ∵，∴．设， ∵，∴，解得，∴． 综上可知，的长为4或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $