第2讲 分数乘法拆分巧算（进阶篇） 专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第2讲分数乘法拆分巧算（进阶篇)专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 入知识讲凝 1.基础裂差公式（复习铺垫） 分母为两个自然数乘积、分子为两因数之差时，可拆分为两个分数的差： 相邻自然数：=11 n(n+1)nn+1 差为k的自然数： k一=1-1 n(n+k)nn+k 分子非差时调整系数：1一=1×1-1 n(n+k)kn n+k 2.进阶核心1：三个连续自然数乘积的裂差 分母为三个连续自然数相乘时，构造“前后两项差”拆分，裂项系数为（因数个数减1的 倒数)： in1212n in2j =1×1。- 1y(n+2)-n 1 推导验证：右边通分后吃×nn+1n+2nn+1jn+2, 与左边相等。 推广：分母为三个差为k的自然数乘积时： 1. 1 1 n(n+k)(n+2k)2kn(n+k)(n+k)(n+2k) 第1页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.进阶核心2：裂和型拆分 当分子恰好等于分母两个因数的和时，可拆分为两个单位分数的和： a+b_1.1 a×bab 常见形式： 2n+1=1+1 n(n+1)nn+1 裂差用于“抵消中间项”，裂和用于“分组凑整”或结合符号简化计算。 4.进阶核心3：系数调整法 当分子不等于标准裂项的分子时，先计算原分子与标准分子的倍数关系，提取系数后再套用 公式。 3 例如：nn+1(n+2' 标准裂差分子为2，因此： 3 1 n(n+1)(n+2)2nn+1)(n+1)n+2 5.进阶核心4：多因数连乘裂项推广 份母为m个连续自然数乘积时，裂项系数为m一了 拆分后为前后两个“m-1个因数乘积”的 分数差。 例如4个因数： 第2页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.解题通用步骤 ①观察分母结构，判断因数个数与公差： ②观察分子与分母因数的关系，确定裂差或裂和： ③分子不标准时，先调整系数： ④套用公式拆分全部项： ⑤消去中间项，计算首尾剩余项得结果。 呢例题饼图 【典型例题1】三因数连续乘积裂差求和 计算： 1 1 1 +…十 1×2×32×3×43×4×598×99×100 【分析】每一项分母都是三个连续自然数乘积，分子为1，直接套用三因数裂差公式，拆分 后中间项两两抵消。 【详解】 =1×1-1+1-1+ 原式=× +…+1 1 21×22×32×33×4 98×9999×100 1 =1× 1 22 9900 =4949 19800 【答案】 4949 19800 【跟踪训练1】 1 1 1 计算：2x3×43×4x5m19×20×21 十…十 第3页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】结构与例题1完全一致，首项n=2,末项n=19,套用三因数裂差公式。 【详解】 原式=上× 1.1 1 1 1 -× 一…十 22×33×43×419×2020×21 69 Γ2420 【答案】 23 280 【典型例题2】分子非1的两因数裂差（系数匹配） 计算： 2+2+2+…+ 2 1×33×55×799×101 k-11 【分析】分母两因数差为2，分子恰好等于差，直接套用n+收片n+k:拆分后中间抵 消。 【详解】 保式1日引目引+的可 =100 101 【答案】 【跟踪训练2】 3 计算： 3 +3 3 十…十 2×5'5×88×11 29×32 【分析】分母两因数差为3，分子恰好为3，直接裂差抵消。 【详解】 第4页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原式 1-1+1-1+ …+ 1 25581 29-32 -15 32 【答案】 15 【典型例题3】三因数连乘且分子非1（系数调整） 计算： 十…十 1×2×32×3×419×20×21 【分析】标准三因数裂差的分子应为2，原式分子为4，是标准值的2倍，先提取系数再裂 项。 【详解】 原式 =2× 209 420 【答案】209 210 【跟踪训练3】 计算： 6 6 6 +…+ 1×3×53×5×7 15×17×19 【分析】分母为三个差为2的自然数乘积， 标准裂差系数为好， 分子为6，调整系数后计算。 【详解】 原式=6x 11 1 1 +…+ 41×33×515×1717×19 =3×320 2969 乙 第5页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】160 323 【典型例题4】裂和与交替符号混合巧算 计算： 35 79 1×22×3"3×44×5 ++、19 9×10 【分析】每一项分子都是分母两因数之和，符合裂和公式：符号交替变化，拆分后中间项两 两抵消。 【详解】 原式 1 =1+ 10 【答案】 10 【跟踪训练4】 计算： 7 ×、 9-11+13 2×33×44×55×66×7 【分析】分子为分母两因数之和，符号交替，裂和拆分后中间抵消。 【详解】 原式=+合目+后 9 14 【答案】是 /现店绣习 第6页共14页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.计算： 1 1 1 1×2×32×3×4 8×9×10 【分析】标准三因数连续裂差，首项n=1,末项n=8。 【详解】 原式 11 45 【答案】 45 2.计算： 3+3 3 十十 1×44×7 22×25 【分析】分母差为3，分子等于差，直接裂差。 【详解】 原式=1-1 25 【答案】24 5 3.计算： 2 2 2 +…十 1×2×32×3×4 10×11×12 【分析】分子恰好等于三因数裂差的标准分子2，直接裂差。 【详解】 原式=2132 11 【答案】65 132 4.计算：，3+5+7+9+1 1×2"2×33×44×55×6 第7页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】分子为分母两因数之和，裂和后分组计算。 【详解】 原式 =1+1+2+1+2,1 325'6 【答案】56 5 5.计算： 1 1 1 1×3×53×5×7 十…十 11×13×15 【分析】三因数差为2，裂差系数 【详解】 原式 -1 95 【答案】品 6.计算： 4t4。+…+ 4 1×55×9 33×37 【分析】分母差为4，分子等于差，直接裂差。 【详解】 原式=137 【答案】36 7 7.计算： 3 5 79,11 1×22×33×44×55×6 【分析】裂和+交替符号，中间抵消。 第8页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 原式=1+1 6 【答】日 8.计算： 1 1 ,十…十 1×2×3×42×3×4×5 7×8×9×10 【分析】四因数连续裂差，系数行 【详解】 原式=是x11 36720 【答案】119 2160 9.计算：1号+22+3+…+101 612 110 【分析】带分数拆分，整数部分等差求和，分数部分裂差。 【详解】 原式 =5+ 【答案】5510 11 10.计算：，6 6 ×55×8 +…+ 6 32×35 【分析】分母差为3，分子6是差的2倍，提取系数后裂差。 【详解】 第9页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原式=2× 1 1 35 i 乙 【答案】33 5 11.计算： 1+1+1+1+1 62460120210 【分析】将分母改写为三因数乘积形式，再用三因数裂差。 【详解】 原式 1 1 1 1×2×32×3×4 5×6×7 5 21 【你突】员 12.计算： 1+1+1+…+ 1 26129900 【分析】分母为两连续数乘积，基础裂差求和。 【详解】 原式=1- 1 100 【答案】99 100 真题训练 1.(希望杯模拟题)计算： 十…+ 2×3×43×4×5 10×11×12 【分析】标准三因数连续裂差。 【详解】 第10页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原式=×1 1 26 132 【答案】 88 2.（小升初真题)计算： 2+2 2 1×33×5 19×21 【分析】分母差2，分子等于差，直接裂差。 【详解】 原式=121 1 【答案】引 3.(华杯赛初赛)计算： 3 3 3 +…十 1×2×3'2×3×4 20×21×22 【分析】三因数裂差，分子3，调亲系数为号 【详解】 原式品 【答)品 4.（重点中学分班考)计算：，5。-，7， 9-11+13-15 2×33×44×55×66×77×8 【分析】裂和+交替符号，中间全部抵消。 【详解】 原式=1-1 28 i 第11页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 8 5.(走美杯真题)计算： 1 1 1 1×3×53×5×75×7×97×9×11 【分析】三因数差2裂差。 【详解】 原式 111 4399 i 【答案】 99 6.(小升初真题)计算：1+21+3是+41+51 3-153563 99 【分析】带分数拆分，分数部分分母为奇数乘积，裂差计算。 【详解】 原式 =15+ 乙 G 【答案】15 1 7.（希望杯真题)计算： 4 4 4 十…十 1×3×5'3×5×7 13×15×17 【分析】三因数差2，分子4，调整系数后裂差。 【详解】 原式 1 3255 【答案】28 5 第12页共14页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 2 8(重点中学自主招生)计算：2+23 100×101 【分析】提取2后基础裂差。 【详解】 原式 =2×1-1 101 【答案】贺 9。（华杯赛模拟)计算：+号+ 61220+.+400 【分析】分母改写为两连续数乘积，裂差求和。 【详解】 原式=1 1 Γ221 【答案】19 2 10.（奥数竞赛题)计算： 1 1 1 1×2×3×42×3×4×53×4×5×6 【分析】四因数连续裂差。 【详解】 原式 【答案】19 360 11.(小升初压轴题)计算： 3t3+…+ 2×55×8 2018×2021 第13页共14页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】分母差3，分子等于差，直接裂差。 【详解】 原式 =1 1 22021 i 【答案】2019 4042 12.(思维训练题)计算： 【分析】两个括号分别裂差求和再相加。 【详解】 第一个括号：1立9 第二个括号： 1-1-5 21212 原式 =10+5 1112 【答】盟 第14页共14页可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第2讲分数乘法拆分巧算（进阶篇)专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 入知识讲凝 1.基础裂差公式（复习铺垫） 分母为两个自然数乘积、分子为两因数之差时，可拆分为两个分数的差： 相邻自然数：=11 n(n+1)nn+1 差为k的自然数： k一=1-1 n(n+k)nn+k 分子非差时调整系数：1一=1×1-1 n(n+k)kn n+k 2.进阶核心1：三个连续自然数乘积的裂差 分母为三个连续自然数相乘时，构造“前后两项差”拆分，裂项系数为（因数个数减1的 倒数)： in1212n in2j =1×1。- 1y(n+2)-n 1 推导验证：右边通分后吃×nn+1n+2nn+1jn+2, 与左边相等。 推广：分母为三个差为k的自然数乘积时： 1. 1 1 n(n+k)(n+2k)2kn(n+k)(n+k)(n+2k) 第1页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.进阶核心2：裂和型拆分 当分子恰好等于分母两个因数的和时，可拆分为两个单位分数的和： a+b_1.1 a×bab 常见形式： 2n+1=1+1 n(n+1)nn+1 裂差用于“抵消中间项”，裂和用于“分组凑整”或结合符号简化计算。 4.进阶核心3：系数调整法 当分子不等于标准裂项的分子时，先计算原分子与标准分子的倍数关系，提取系数后再套用 公式。 3 例如：nn+1(n+2' 标准裂差分子为2，因此： 3 1 n(n+1)(n+2)2nn+1)(n+1)n+2 5.进阶核心4：多因数连乘裂项推广 份母为m个连续自然数乘积时，裂项系数为m一了 拆分后为前后两个“m-1个因数乘积”的 分数差。 例如4个因数： 第2页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.解题通用步骤 ①观察分母结构，判断因数个数与公差； ②观察分子与分母因数的关系，确定裂差或裂和： ③分子不标准时，先调整系数： ④套用公式拆分全部项： ⑤消去中间项，计算首尾剩余项得结果。 电例两讲图 【典型例题1】三因数连续乘积裂差求和 计算：1 1 1 、1 十…十 1×2×32×3×4'3×4×598×99×100 【跟踪训练1】 1 1 计算：2×3×4+3×4x5m*19×20×21 +…+ 第3页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典型例题2】分子非1的两因数裂差（系数匹配） 2+2+2 2 计算：1女3+3x5+5x7++ 99×101 【跟踪训练2】 计算：7品写写8*8n 、+、3 3 十…十 29×32 【典型例题3】三因数连乘且分子非1（系数调整） 4 4 4 计算：1×2x3+2x3×4+m+19×20×21 【跟踪训练3】 6 +6+…+ 计算：1x3x53×5×7 6 15×17×19 第4页共10页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典型例题4】裂和与交替符号混合巧算 计0高22*54403*+g0 【跟踪训练4】 计算：，5。，7+9业+13 2×33×44×55×66×7 √巩图练习 1.计算：1×2×3 1 1 1 十…十 2×3×4 8×9×10 2计第是7**22万 22×25 第5页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3计第：1子好2x号x4*D 2 57 49+11 4.计算：1×2f2x33×44x55x6 1 5.计算：1×3×5+3x5×7m1×13x15 1 1 十…十 6.计第：7是5*写g*3初 第6页共10页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7计第：是2克34品品6 1 1 1 8.计算：1×2x3×42x3×4×57×8×9×10 9.计第：2哈*3品**100 6°12 10计第：2是558285 第7页共10页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1计第：吉会高+0*品 12.计算：号+++…+1 2612 9900 /真题训练 1.(希望杯模拟题)计算： 23x43x4x5 1 十…十 1 10×11×12 2。(小牙初真题0)计第：居33品写0及7 3.(华杯赛初赛)计算：1×2×32×3×4 3 3 3 …十 20×21×22 4(重点中学分班考)计算2品744品。品6号品。 第8页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 1 6.(走美杯真题)计算：1x3x53x5×75x7x97x9x1 6.(小丹韧真题)计第：片+2亡*3品*4信+5动 (希望杯美题)计第：1×*3女*B。 4 十…十 8.(鼠点中学自主招生)计算：品22名3+100101 2 9.（华环赛模拟)计第：言立易+0 ++1 第9页共10页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(奥数竞赛题)计算： 1 1 1 1×2×3×42×3×4×5'3×4×5×6 1山（小牙初压轴题)计第：及558 3 2018×2021 12。(思维训练题）计算：合右++品十信+品中2 第10页共10页