14.2 三角形全等的判定 知识清单2026-2027 学年人教版八年级数学上册

14.2 三角形全等的判定 知识清单 2026—2027 学年　八年级数学上册　人教版（2024） 14.2 三角形全等的判定 知识地图 ★SSS：三边分别相等，两三角形全等 ★SAS：两边和它们的夹角分别相等 ★ASA：两角和它们的夹边分别相等 ★AAS：两角和其中一个角的对边分别相等 ★HL：斜边和一条直角边分别相等（仅直角三角形） 隐含条件：公共边、公共角、对顶角 ★易错1：SSA（边边角）不能判定全等 ★易错2：AAA（角角角）只能得相似，不能判定全等 方向：判定是「条件→全等」，与 14.1 的性质方向相反 一、学习目标与重难点 【学习目标】① 理解判定与性质的区别，掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 四种判定方法，了解直角三角形特有的 HL；② 能根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等；③ 会用「先证全等，再得对应边、对应角相等」解决计算与说理问题。 重点：SSS、SAS、ASA、AAS 四种判定方法的条件与规范书写；会用判定证明两个三角形全等。 难点：① 分清「夹角」「夹边」与「对角」「对边」，避免 SAS 与 SSA 混淆；② 从图形中挖出隐含相等条件（公共边、公共角、对顶角）。 关键：判定需要「三组条件」，且角必须是夹在两边之间（SAS）或边必须是夹在两角之间（ASA）；写全等时严格按「对应顶点写在对应位置」。 二、判定与性质的区别 14.1 学的是性质：已知两个三角形全等，推出对应边相等、对应角相等（全等 → 相等）。本节学的是判定：已知若干边、角相等，推出两个三角形全等（条件 → 全等）。两者方向恰好相反，解题时不要用反。 图 1 性质与判定的方向相反 三、探究：一个或两个条件能判定吗 判定两个三角形全等，究竟需要几个条件？先从最少的开始试探。 给出的条件 能否判定全等 举例说明 一条边（如 AB = DE） 不能 另一顶点可任意移动，能画出无数个形状不同的三角形 一个角（如 ∠A = ∠D） 不能 两边可任意伸缩，形状、大小都不确定 两条边（如 AB = DE，BC = EF） 不能 两边的夹角可任意，三角形形状不唯一 两个角（如 ∠A = ∠D，∠B = ∠E） 不能 只能确定形状，大小可放大缩小（相似不全等） 一边一角（边不在两角之间） 不能 满足条件的三角形可能有多种形状 三组条件（如三边） 能 形状、大小都被唯一确定 → 全等 图 2 只给一个或两个条件，画出的三角形形状可能不同 ★结论：判定两个三角形全等，一般需要三组条件，而且这三组条件必须搭配得当（角与边的位置关系是关键）。 四、五种判定方法 1. 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等（简写成「边边边」或「SSS」）。 图 3 三边分别相等 → △ABC ≌ △DEF（SSS） ★适用情形：题目中给出的相等条件大多是「边」，且能凑齐三组边对应相等时，优先考虑 SSS。 ★规范书写（对应顶点写在对应位置）： 　在 △ABC 和 △DEF 中，AB = DE，BC = EF，CA = FD，∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）。 2. 边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成「边角边」或「SAS」）。 注意「夹角」二字：这个角必须恰好是那两条边所夹的角。写成 SAS 时，三组条件应按「边—角—边」的顺序排列，角写在中间。 图 4 两边和它们的夹角相等 → △ABC ≌ △DEF（SAS） ★规范书写：在 △ABC 和 △DEF 中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。 ★易错提醒：∠A 是 AB 与 AC 的夹角，所以能用 SAS；若给出的是 AB = DE、AC = DF、∠B = ∠E，则角不是夹角，不能用 SAS。 3. 角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成「角边角」或「ASA」）。 同样要注意位置的对称性：这里的边必须是两个角所夹的边。三组条件按「角—边—角」排列，边写在中间。 图 5 两角和它们的夹边相等 → △ABC ≌ △DEF（ASA） 4. 角角边（AAS） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成「角角边」或「AAS」）。 道理很简单：已知两角，第三角可由三角形内角和为 180°求出，于是「两角 + 任一边」都能转成 ASA。所以 AAS 与 ASA 本质相同，区别只在已知的那条边是夹边还是对边。 图 6 两角和其中一个角的对边相等 → △ABC ≌ △DEF（AAS） ★两种情形的对比与统一写法（以 ∠A、∠B 为例）： 　ASA：∠A = ∠D，AB = DE（夹边），∠B = ∠E； 　AAS：∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF（对边）。 　若题目给的是 AAS 的条件，也可先由内角和求出第三个角，再按 ASA 书写。 5. 斜边、直角边（HL，仅限直角三角形） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成「斜边、直角边」或「HL」）。 HL 是直角三角形特有的判定方法，一般三角形不能用。使用时必须交代「在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中」，并写明直角条件（如 ∠A = ∠D = 90°）。 图 7 斜边和一条直角边相等 → Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL） ★规范书写：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠A = ∠D = 90°，AB = DE，BC = EF，∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。 五、不能判定全等的情形 1. 边边角（SSA）不能判定 两边和其中一边的对角分别相等时，两个三角形不一定全等——满足条件的三角形可能有两个，形状不同。因此 SSA 不是判定方法，书写时切勿把它当作 SAS 使用。 图 8 SSA 的「陷阱」：同样条件可画出两个不全等的三角形 2. 角角角（AAA）不能判定 三组角分别相等的两个三角形，只能说明形状相同（相似），大小可以不同（如一大一小两个等边三角形），所以 AAA 不能判定全等。全等要求形状、大小都相同，缺少「边」这一条件就无法确定大小。 ★一句话记住不能判定的两种情形： 　没有「SSA」，没有「AAA」。 　即：角必须是夹角（SAS 成立），边必须是夹边（ASA 成立）；只有三组角、或只有两边一对角，都不能判定。 六、选判定的思路与书写步骤 1. 先找隐含的相等条件 证全等时，除了题目直接给出的条件，还要学会从图形中「挖」出隐含条件： 图 9 三种常见的隐含相等条件 隐含条件 说明 典型图形 公共边 两个三角形合用的那条边，两个三角形中相等 △ABC 与 △ABD 共用 AB 对顶角 两条直线相交形成的对顶角相等 △AOB 与 △COD 中 ∠AOB = ∠COD 公共角 两个三角形合用的那个角，两个三角形中相等 两三角形共用 ∠A 等量代换 等式两边同加（减）同一条线段（或同角）后仍相等 如 AC = BD → AB = CD 2. 按条件选择合适的判定方法 已知条件 首选判定 口诀 三组边对应相等 SSS 三边齐全用 SSS 两边 + 它们的夹角 SAS 两边夹角用 SAS（角夹中间） 两角 + 它们的夹边 ASA 两角夹边用 ASA 两角 + 一角的对边 AAS 两角对边用 AAS 直角三角形的斜边 + 一条直角边 HL 直角斜边用 HL 两边 + 一边的对角（SSA） 不能判定 边边角，画图有两个 三组角对应相等（AAA） 不能判定 角角角，只相似不全等 3. 证全等的规范书写步骤 第一步：写出「在 △××× 和 △××× 中」； 第二步：用大括号列出三组条件（对应顶点写在对应位置），必要时先说明隐含条件； 第三步：写出结论「∴ △××× ≌ △×××（依据的方法）」； 第四步：若题目要求线段或角相等，再由全等性质得出「∴ ×× = ××（全等三角形的对应边相等）」。 ★书写范式（以 SAS 为例）： 　在 △ABC 和 △DEF 中， 　　AB = DE， 　　∠B = ∠E，　　∴ △ABC ≌ △DEF（SAS）。 　　BC = EF， 　（三组条件一定要包含「对应顶点在同一位置」，次序不影响正确性，但习惯上按方法的字母顺序排。） 七、典型方法与例题（近三年期末真题） 以下例题选自 2024—2025 学年各地八年级上学期期末（阶段性）真题（人教版），按「基础 → 提升 → 拓展」三层编排，只涉及本课时的判定方法。 基础题（判定方法辨析与直接应用） 【例 1】（2024·江苏南京期末）下列条件中，不能判定 △ABC ≌ △DEF 的是（　　） A. AB = DE，BC = EF，AC = DF B. AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF C. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，AC = DF D. AB = DE，AC = DF，∠B = ∠E 解：选 D。 A 是三边对应相等，用 SSS；B 是两边夹一角，用 SAS；C 是两角及其中一角的对边，用 AAS，三者都能判定。 D 中 ∠B 是 AC 的对角，不是 AB 与 AC 的夹角，属于 SSA，不能判定全等，故选 D。 【例 2】（2025·浙江温州期末）如图，点 B、F、C、E 在同一条直线上，∠B = ∠E，BF = CE，添加下列一个条件后，仍不能判定 △ABC ≌ △DEF 的是（　　） A. AB = DE　　B. ∠A = ∠D　　C. AC = DF　　D. ∠ACB = ∠DFE 解：选 C。 由 BF = CE 得 BF + FC = CE + FC，即 BC = EF（等量代换）。 此时已有 ∠B = ∠E、BC = EF。A 加 AB = DE，是 SAS；B 加 ∠A = ∠D，是 AAS；D 加 ∠ACB = ∠DFE，是 ASA。 C 加 AC = DF，则 AC 与 DF 是 ∠B、∠E 的对边，构成 SSA，不能判定，故选 C。 【例 3】（2024·山东青岛期末）下列关于两个三角形全等的说法，正确的是（　　） A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 B. 有三个角分别相等的两个三角形全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 面积相等的两个三角形全等 解：选 C。 A 是 SSA，不能判定；B 是 AAA，只能相似、不全等；D 面积相等推不出全等（如底 4 高 3 与底 6 高 2）。 C 正是 SAS，是判定全等的基本事实，正确。 【例 4】（2025·湖北武汉期末）如图，∠1 = ∠2，要利用「SAS」判定 △ABD ≌ △ACD，还需要添加的条件是（　　） A. AB = AC　　B. BD = CD　　C. ∠B = ∠C　　D. ∠ADB = ∠ADC 解：选 A。 △ABD 与 △ACD 有公共边 AD。已知 ∠1、∠2 是 AD 分别与 AB、AC 的夹角，即 ∠BAD = ∠CAD。 要凑成 SAS（边—角—边），已有 AD = AD、∠BAD = ∠CAD，还需 AB = AC，故选 A。 提升题（判定与性质的综合） 【例 5】（2025·四川成都期末）如图，AB = AD，CB = CD。求证：∠B = ∠D。 证明：连接 AC。 在 △ABC 和 △ADC 中， 　AB = AD， 　CB = CD，　　∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）。 　AC = AC（公共边）， ∴ ∠B = ∠D（全等三角形的对应角相等）。 【例 6】（2024·湖南长沙期末）如图，∠A = ∠D = 90°，AC = DB，求证：Rt△ABC ≌ Rt△DCB。 证明：∵ ∠A = ∠D = 90°，∴ △ABC 与 △DCB 都是直角三角形。 在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中， 　BC = CB（公共斜边）， 　AC = DB，　　∴ Rt△ABC ≌ Rt△DCB（HL）。 【例 7】（2024·福建福州期末）如图，点 E、F 在 BC 上，BE = CF，AB = DC，∠B = ∠C。求证：△ABF ≌ △DCE。 证明：∵ BE = CF，∴ BE + EF = CF + EF，即 BF = CE（等量代换）。 在 △ABF 和 △DCE 中， 　AB = DC， 　∠B = ∠C，　　∴ △ABF ≌ △DCE（SAS）。 　BF = CE， 【例 8】（2025·安徽合肥期末）如图，点 C、B、D 在同一条直线上，∠CAB = ∠DAB，∠ABC = ∠ABD。求证：AC = AD。 证明：在 △ABC 和 △ABD 中， 　∠CAB = ∠DAB， 　AB = AB（公共边，∠CAB、∠DAB 与 ∠ABC、∠ABD 的夹边）， 　∠ABC = ∠ABD， ∴ △ABC ≌ △ABD（ASA）。 ∴ AC = AD（全等三角形的对应边相等）。 拓展题（综合与说理） 【例 9】（2025·江西南昌期末）如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE。求证：△BAD ≌ △CAE。 证明：∵ ∠BAC = ∠DAE， ∴ ∠BAC − ∠DAC = ∠DAE − ∠DAC， 即 ∠BAD = ∠CAE（等量代换）。 在 △BAD 和 △CAE 中， 　AB = AC， 　∠BAD = ∠CAE，　　∴ △BAD ≌ △CAE（SAS）。 　AD = AE， 【例 10】（2024·河南洛阳期末）如图，已知 AB ∥ CD，AB = CD。求证：AD ∥ BC。 证明：∵ AB ∥ CD，∴ ∠ABD = ∠CDB（两直线平行，内错角相等）。 在 △ABD 和 △CDB 中， 　AB = CD， 　∠ABD = ∠CDB，　　∴ △ABD ≌ △CDB（SAS）。 　BD = DB， ∴ ∠ADB = ∠CBD（全等三角形的对应角相等）， ∴ AD ∥ BC（内错角相等，两直线平行）。 【例 11】（2025·河北石家庄期末）如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，DE ⊥ AB 于 E，DF ⊥ AC 于 F，且 DE = DF。求证：AB = AC。 证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，∴ ∠DEB = ∠DFC = 90°，△BDE 与 △CDF 都是直角三角形。 ∵ D 是 BC 的中点，∴ BD = CD。 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， 　BD = CD（斜边）， 　DE = DF（直角边），　　∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）。 ∴ ∠B = ∠C（全等三角形的对应角相等）， ∴ AB = AC（等角对等边）。 【例 12】（2025·广东广州期末）如图，∠ABC = 90°，AB = BC，点 D 在 AC 上，AE ⊥ BD 于 E，CF ⊥ BD 于 F。求证：AE = BF。 证明：∵ AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，∴ ∠AEB = ∠BFC = 90°。 ∵ ∠ABC = 90°，∴ ∠ABE + ∠FBC = 90°； 又 ∠ABE + ∠BAE = 90°，∴ ∠BAE = ∠FBC（同角的余角相等）。 在 △ABE 和 △BCF 中， 　∠AEB = ∠BFC， 　∠BAE = ∠FBC，　　∴ △ABE ≌ △BCF（AAS）。 　AB = BC， ∴ AE = BF（全等三角形的对应边相等）。 【例 13】（2024·重庆期末）如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC 于点 D，点 E 在 AD 上，且 BE = AC，DE = DC。求证：AD = BD。 证明：∵ AD ⊥ BC，∴ ∠BDE = ∠ADC = 90°，即 △BDE 与 △ADC 都是直角三角形。 在 Rt△BDE 和 Rt△ADC 中， 　BE = AC（斜边）， 　DE = DC（直角边），　　∴ Rt△BDE ≌ Rt△ADC（HL）。 ∴ BD = AD（全等三角形的对应边相等）。 八、易错清单 序号 易错点 正确认识 1 把 SSA（边边角）当作 SAS 用来判定全等 SAS 要求角是两边的夹角；SSA 不是判定方法，画图能举出反例 2 把 AAA（角角角）当作判定全等的依据 三组角相等只能说明两三角形相似，大小可以不同，不能判定全等 3 SAS 中写出的两个角不是夹角 如给出 AB = DE、AC = DF、∠B = ∠E，∠B 不是 AB 与 AC 的夹角，不能用 SAS 4 ASA 中写出的边不是夹边 ASA 的边必须夹在两已知角之间；若给的是对边，应改用 AAS 5 用 HL 判定非直角三角形 HL 只适用于直角三角形，使用前必须说明两个三角形是直角三角形 6 漏掉图形中的隐含相等条件 公共边、公共角、对顶角、等量代换，都是常见条件来源，要先找再用 7 全等式中对应顶点顺序写乱 对应顶点必须写在对应位置，否则会推出错误的对应边、对应角 8 用判定代替性质，方向用反 判定是「条件→全等」，性质是「全等→相等」，证题时先判定、后性质 九、方法总结与知识结构 核心内容 具体表述 典型用途 判定与性质 判定：条件→全等；性质：全等→相等 明确解题方向，顺序不错 四种通用判定 SSS、SAS、ASA、AAS 一般三角形的全等证明 直角三角形判定 HL（斜边 + 一条直角边） 含垂直、高线、直角的问题 不能判定 SSA（边边角）、AAA（角角角） 识别题目陷阱，判断条件是否足够 隐含条件 公共边、公共角、对顶角、等量代换 补全缺少的相等条件 书写步骤 在△…和△…中 → 列三组条件 → 得全等 → 用性质 规范表达，避免跳步失分 ★解题三步法：① 找条件：把已知条件与隐含条件（公共边、公共角、对顶角、等量代换）全部列出；② 选判定：看三组条件中角与边的位置关系，选出 SSS / SAS / ASA / AAS / HL；③ 写过程：按「在△…和△…中 → 列条件 → 得结论」的格式规范书写，需要时再由性质得对应边、角相等。 ★牢记一句话：「角必须是夹角，边必须是夹边」—— SAS 的角夹在两边中间，ASA 的边夹在两角中间；反过来（角不夹边、边不夹角）就是 SSA，不能判定。 ★解题提示：题目中只要出现「中点、垂直、平行、公共边、对顶角」，就要把对应的相等条件（BD = CD、直角、内错角、公共边、对顶角）先写出来，往往一步就能打开思路。 学科网（北京）股份有限公司 $