专题10 导数综合问题6类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题10 导数综合问题6类题型归类 目录 典例详解 类型一、极值点偏移问题 类型二、指对同构问题 类型三、切线放缩问题 类型四、洛必达法则 类型五、必要性探路与端点效应 类型六、导数新定义问题 压轴专练 类型一、极值点偏移问题 例1.已知，若，，且，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证明： 等价于， 即， 等价于， 即， 令，， 要证明，即证， 因为， 所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 作出函数的图象，如图所示： 令， 易知. 只需， 要证， 故需构造， ，， ， 由于， 故只需证明， 构造， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以单调递增，故， 命题得证. 【变式1-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)1； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 【变式1-2】已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，该函数的定义域为，， ①若，则恒成立，不可能有两个零点； ②若，， 令，令，可得，令， 由可得，由可得， 故在单调递增，在单调递减， 且，则， 时符合题意， 因为函数有两个零点、， 则，可得，同理可得， 要证，即证，即证，即证， 即证，即证， 故只需证，即证． 构造函数，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以在单调递减，在单调递增，则， 即，在上单调递增， 因为，故，即，故原不等式得证. 【变式1-3】已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 【答案】证明见解析 【详解】因为，有两个零点，， ， 令，则， 即证明，即证， 设， 由于，即， 左边即证， 即证， 设，则，单调递增， 则当时，，即成立，故. 要证， 即证即, 而, 故即证， 即证：， 令，即证：. 则， 设， 则， 设，则， 设，则，其， 而，故在为减函数， 而，，故存在， 使得时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，且， 故，故即恒成立， 故在上为减函数，而， 故当时，即，时，即， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故（不恒为零），故为减函数， 故，即， 即得证. 【变式1-4】已知函数有两个不同的零点.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】定义域为， ，所以在上单调递减. ，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 又， 所以先保证必要条件成立，即满足题意. 当时，； ， 由以上可知，当时，有两个不同的零点. 由题意，设，要证明，只需证明. 因为在上单调递减，且， 只需证. 又，即只需证， 构造函数， 因为， 所以 ，， 则， 所以在单调递减， 所以. 因为，所以，成立，即， 所以. 【变式1-5】已知函数，其中.当时，设的两个零点为，，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】由，因为，所以定义域为， 则， 令，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，又，故，. 要证，只需证，而， 又在上单调递减，只需证即可. 又， 令，则，所以在上单调递增， 故，即，则， 所以. 类型二、指对同构问题 例2.若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】AB 【详解】依题意，在上恒成立， 当时，， 令，则，， 故当时，，当时，， 故，故，则不等式成立； 当时，令，因为， ，故在内必有零点，设为，则， 则，故，不合题意，舍去； 综上所述，. 【变式2-1】已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 则，即， 即，即， 则， 等价于， 令， 因为都是增函数， 所以函数是增函数， 则，即为， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以， 所以的取值范围是. 【变式2-2】函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，，设，则问题可转化为. 因为是上的增函数（增+增），所以恒成立. 设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是. 故答案为：. 【点睛】本题的破解点在于设，进而得到，此方法叫“同构”，平常注意归纳总结. 【变式2-3】已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当时，单调递增，当时，单调递减． 所以时，有最大值，于是，解得． 故答案为：. 类型三、切线放缩问题 例3. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】对于①，对，由于恒成立，可得，当时，两边取自然对数得， 所以有，即，故①正确； 对于②，对，由于恒成立，可得，即，故②正确； 对于③，对，由于恒成立，可得，因为， 所以有，即，故③正确； 对于④，对，由于恒成立，可得， 当时，两边取自然对数得， 把用代得：， 又因为，所以有，故④正确； 故选：D. 【变式3-1】利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线 (1)求的解析式 (2)求证： (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，得，则， 故在点处的切线方程为， 即，即的解析式为； （2）令， 满足且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 故； （3）的定义域是，且， ①当时，由（2）得，则， 故在上单调递增，则恒成立，符合题意， ②当时，令，的导数， 则在区间上单调递增， 因为，所以存在，使得， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 此时不可能恒成立，不符合题意， 综上所述，的取值范围是. 类型四、洛必达法则 例4.1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1，证明见解析 (2)（i）,；（ii） 【详解】（1）， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 【变式4-1】“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，． 已知函数． (1)证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切； (2)若函数有两个零点，函数有两个零点． ①指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； ②试探究与的大小关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，的取值范围是；② 【详解】（1）证明：时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程是，即． 因为， 所以曲线在点处的切线方程是，即． 所以时曲线在点处的切线与曲线也相切． （2）①． 由，得， 令，则与的零点相同，与的零点相同， 又， 时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增；时，单调递减， 所以和在上都是增函数，在上都是减函数， 所以时，时，， 因为有两个零点，即有两个零点， 所以，且解得． 当时，， 又时， 根据洛必达法则可知，时， 所以时， 所以时，在区间和上各有一个零点，所以， 因此，若函数各有两个零点，的取值范围是． ②令，则 与的零点相同，与的零点相同，在区间上是增函数， ， 令，则， 时单调递减；时单调递增； 所以时， 于是时等号仅当时成立， 所以在上是增函数． 所以时，即时； 时，即时； 由①知，所以， 又，所以， 又在区间上是增函数，且， 所以．同理可证， 于是． 【变式4-2】洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)对于恒成立，求实数的取值范围； (2)，证明：（附：）. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，成立.当时，由可得， 令， ， 令，则， 令，则， 若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减， 若，则单调递增，，即 存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增， 且， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减. 所以在上单调递减，. 由洛必达法则：， . （2）当且时，，令， 则，令，则， 在上单调递增，， 即在上单调递增，（当时取等号）， ， ， ， ， 即. 【变式4-3】①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①； ②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 【答案】(1)①1；② (2)是，证明见解析 【详解】（1）①根据洛必达法则，； ②设，两边同时取对数得，， 设，， ∴，∴ （2）∵，， ∴，，， ∴ ∴，均有， ∴是区间上的2阶无穷递降函数. 方法一： 以上同理可得， 由①，得 ∴，. 方法二： 设，， 则 设，，则 ∴在上单调递增，又，∴在上恒成立， ∴∴在上单调递增，∵， ∴在上但成立，∴， ∴在上单调递增， 又 ∴，. 类型五、必要性探路与端点效应 例5.已知函数，，曲线与有且仅有一个公共点. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若存在实数，，使得关于的不等式对任意正实数恒成立，求的最小值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4 【详解】（Ⅰ）由题意知，即，令， 则. ∵在上递增，在上增减， ∴， ∴. （Ⅱ）解法一：由题意知必有，即， 当时，，，不符合题意； 当时，有，此时，，不符合题意， 因此有， 因此  ① 令，则， 在递增，在递减， 故  ② 由①②两式知， 构造函数，则， 在递减，在递增， 故，此时. 解法二：由（1）知，，设， 可知，， ∵在恒成立，即，又， ∴，即               ① 由在恒成立，即在恒成立， 设，，则， 由得，在上单调递增， 由得，在上单调递减， 故，得      ② 由①②得                          ③ 存在，使得③成立的充要条件是，即， 记，显然， ， ∴在上单调递增，在上单调递减， ，， 故在存在，使， ∴不等式的解为， ∴的最小值为4，从而由③得. 【变式5-1】已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）函数的定义域为，        又，                    令得，， ①时，所以当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ②时，所以恒成立，所以在上单调递增；                      ③时，所以当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得：当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （2）解法1：由得，                                          下面证明当时，对任意的，都有成立， 当时，，， 在上单调递增，在上单调递减， ，       而，当且仅当，时取等号， 当时，对任意的，都有成立，        解法2：由得，                                        下面证明当时，对任意的，都有成立， ， ，                               令，， 则， 令，， ，在上单调递减，所以，                                        令，解得，令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，对任意的，都有成立. 【变式5-2】已知函数，. (1)若，证明：函数单调递增； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以函数单调递增 （2）令，则由题可得， 因为，恒成立， 所以，恒成立， 则，所以（必要性探路）； 下证当时，，恒成立， 令，所以， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，即， 所以， 构建函数，所以， 所以当时，，函数单调递减，当时，， 函数单调递增，所以当时，函数取得最小值， 所以， 所以的取值范围为. 类型六、导数新定义问题 例6.设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是． (1)若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围； (2)当，时，证明：； (3)在中，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为， 则， 所以对任意的恒成立， 所以， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 因此实数的取值范围是. （2）令，则， 所以，所以函数为上的下凸函数， 则，即， 整理得. （3）令，其中，则， 所以， 所以函数为上的下凸函数， 又由，，有， 即，即， 所以， 又由，所以， 所以 ， 又由，有，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为， 故， 又由，有，有， 故. 因此的最大值为. 【变式6-1】已知函数的定义域为，区间是的子集，若的图象上存在两点，，使直线恰好是曲线的一条切线，且为切点，记直线的方程为，如果都有，则称函数是“桥函数”，称两点为“桥墩”. (1)若，试说明函数能否是以两点为“桥墩”的“桥函数”？ (2)判断函数与是不是“桥函数”？并说明你的理由. 【答案】(1)是 (2)不是“桥函数”，是 “桥函数”，理由见解析 【详解】（1）因为，所以，则，， 所以函数在处的切线均为， 因此经过两点的直线恰好为的一条切线， 又对恒成立， 所以函数是以两点为“桥墩”的“桥函数”. （2）函数不是“桥函数”，是 “桥函数”，理由如下： 对于函数，则，显然在定义域上单调递减， 所以在函数上任意两点的切线的斜率均不相同， 故不满足“直线恰好是曲线的一条切线”，所以不是“桥函数”； 对于，则， 设， 所以点处的切线方程为和， 所以， 所以， 不妨取且， 代入，可得 则，即， 所以，不妨取，则，， 所以， 又在点处的切线的斜率，， 所以函数在，两点的直线恰好是曲线的一条切线， 此时切线的方程为， 再说明当时，函数的图象不在的下方， 即需要说明对恒成立， 因为对任意的实数，横跨， 即恒成立， 所以是 “桥函数”. 【变式6-2】已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 所以是上的凸函数． （2）①因为， 所以． 因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即． 令，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． ，所以，解得， 所以实数的取值范围是． ②由①知，因为在内有两个不同的零点， 所以方程在内有两个根，即． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以． 欲证，即证 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证． 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立． 欲证，即证．因为，所以只需证， 即证即需证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以则原不等式得证． 故． 【变式6-3】已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点，，，则称函数为“切线上界”函数. (1)试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理由； (2)已知为“切线上界”函数，求实数a的取值范围； (3)证明：当时，为“切线上界”函数. 【答案】(1)是“切线上界”函数，（坐标不唯一）； (2) (3)证明过程见解析 【详解】（1）， 当，即时， 取得极大值，也是最大值， 中，不妨令和，得和， 故， 此时满足AB恰为曲线的切线，且直线与曲线相切于A，B两点， ，，则是“切线上界”函数. （2）在上单调递增，在上单调递增， 故不会同在，或，上， 不妨设切点在上，切点在上， 由于，故在处的切线方程为， ，故在处的切线方程为， 两切线为同一切线，故， 由①得③，将③代入②得， 故，， 令，， 则， 故在上单调递减， 故，所以； （3）证明：，， 设切点，， 设直线方程为，满足， 直线的斜率为， ，故在处的切线斜率为， 在处的切线斜率为， 故，所以， 由， 化简得， 令，故， 所以， 因为，所以， 所以， 令， 要证时，为“切线上界”函数， 只需证在R上存在不同两点，其函数值相等， 即证连续函数在R上不单调即可， 令，则， 显然不恒大于等于0或恒小于等于0， 故在R上不单调即可，结论得证. 1．对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． (1)当时，求的值； (2)设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）解法一：根据洛必达法则可知 解法二：根据洛必达法则可知 （2）（i）由题意可知不等式0在上恒成立， 当时，不等式可化为恒成立． 令，则， 令，则， 设，则， 设，则． 因为，所以，则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以． 根据洛必达法则可知 所以， 故的取值范围为． （ii）证明：当时，， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以，即， 当且仅当时取得等号． 令，，则，，， 将上面个式子相加得 故，. 2．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）∵，， ∴． 令，则． 令，得或． 当时，；当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 又，，故对一切恒成立， ∴，于是，故在上单调递增． （2）易知当时，由（1）知，， 所以，当且仅当时取等号，与题意不符， 当，由（1）知，，与题意不符， 所以中一个在内，一个在内，不妨设． 构造函数，其中， 则． 由，得． 令， ∵， ∴在上单调递增，则． ∴在上单调递减，∴， 即对恒成立． ∵，∴， ∴． 由（1）知在上单调递增， ∴，故． 3．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)仅在时存在1个零点，理由见解析 (3) 【详解】（1） （2），， 所以，． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，， 当时，，所以仅在时存在1个零点． （3），所以，，…， 将各式相乘得， 两侧同时运算极限，所以， 即， 令，原式可化为，又， 由（1）得， 故，由题意函数的定义域为， 综上， 4．设函数．若，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】由题意，令，则； 令得，令得， ∴在单调递减，在单调递增， ∵， ∴函数在单调递增，且， 又∵，不妨假设， 要证明，只需证， ∵函数在单调递增， 只需证，∵， 只需证， 令， 令， 则， ∴在单调递增， ∵， ∴，故成立，证毕． 5．已知函数，. (1)当时，求函数的在点处的切线； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围； (3)若函数的图象上存在两点，，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)当时，函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当时，不是“拉格朗日中值函数”；理由见解析. 【详解】（1）由题意可知当时，，，， 所以函数的在点处切线的斜率， 所以函数的在点处的切线为. （2）由题意可得， 若函数在区间上单调递减，则在恒成立， 即在恒成立，只需即可， 又因为当时， 所以. （3）假设函数是“拉格朗日中值函数”， 设，是上不同的两点，且， 由题意可得，， 则， 函数在拉格朗日平均值点处的切线斜率， 由整理可得， 当时，恒成立， 则函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个； 当时，即， 令，上式化为，即， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增，恒成立， 所以在上不存在使得，即不存在这样的两点使得； 综上所述，当时，函数是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当时，不是“拉格朗日中值函数”. 6．若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)证明见详解 【详解】（1）对于函数： 由函数的图象可知：和为函数的“自公切线”， 所以函数的图像存在“自公切线”； 对于函数：则，可知在上单调递增， 可知，可知，即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数的图像不存在“自公切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）假设函数的图像存在“自公切线”，设为， 因为，则， 则，， 可知在处的切线方程为， 整理得， 则，即， 可知方程有两个不相等的根，则， 且也为方程的根， 则， 整理得， 且，即， 可得，即， 可得，整理得， 则，整理得，解得， 即此时方程只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数的图像不存在“自公切线”. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 导数综合问题6类题型归类 目录 典例详解 类型一、极值点偏移问题 类型二、指对同构问题 类型三、切线放缩问题 类型四、洛必达法则 类型五、必要性探路与端点效应 类型六、导数新定义问题 压轴专练 类型一、极值点偏移问题 例1.已知，若，，且，证明：. 【变式1-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【变式1-2】已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 【变式1-3】已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 【变式1-4】已知函数有两个不同的零点.求证：. 【变式1-5】已知函数，其中.当时，设的两个零点为，，求证：. 类型二、指对同构问题 例2.若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【变式2-1】已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为 ． 【变式2-3】已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 类型三、切线放缩问题 例3. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式3-1】利用曲线的切线进行放缩：设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式，其中，等号当且仅当时成立；设上任意一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，等号当且仅当时成立，设是在点处的切线 (1)求的解析式 (2)求证： (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 类型四、洛必达法则 例4.1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【变式4-1】“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，． 已知函数． (1)证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切； (2)若函数有两个零点，函数有两个零点． ①指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； ②试探究与的大小关系． 【变式4-2】洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)对于恒成立，求实数的取值范围； (2)，证明：（附：）. 【变式4-3】①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为，，，，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题； (1)计算：①； ②； (2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，. 类型五、必要性探路与端点效应 例5.已知函数，，曲线与有且仅有一个公共点. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若存在实数，，使得关于的不等式对任意正实数恒成立，求的最小值. 【变式5-1】已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【变式5-2】已知函数，. (1)若，证明：函数单调递增； (2)若，恒成立，求的取值范围. 类型六、导数新定义问题 例6.设函数定义在区间上，若对任意的、，有，则称为上的下凸函数，当且仅当时等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的下凸函数的充要条件是． (1)若函数是上的下凸函数，求实数的取值范围； (2)当，时，证明：； (3)在中，求的最大值． 【变式6-1】已知函数的定义域为，区间是的子集，若的图象上存在两点，，使直线恰好是曲线的一条切线，且为切点，记直线的方程为，如果都有，则称函数是“桥函数”，称两点为“桥墩”. (1)若，试说明函数能否是以两点为“桥墩”的“桥函数”？ (2)判断函数与是不是“桥函数”？并说明你的理由. 【变式6-2】已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【变式6-3】已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点，，，则称函数为“切线上界”函数. (1)试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理由； (2)已知为“切线上界”函数，求实数a的取值范围； (3)证明：当时，为“切线上界”函数. 1．对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． (1)当时，求的值； (2)设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 2．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 3．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 4．设函数．若，求证：． 5．已知函数，. (1)当时，求函数的在点处的切线； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围； (3)若函数的图象上存在两点，，且，使得，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由. 6．若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $