专题09 导数双变量问题（极值点偏移专项）（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题09 导数双变量问题（极值点偏移专项） 常考题型·精准突破 题型1 双变量存在性或任意性问题（高频） 题型2 和型极值偏移（高频） 题型3 积型极值偏移（高频） 题型4 含参数偏移（难） 题型5 中点导数偏移（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1双变量存在性或任意性问题 1．（24-25高二下·天津·阶段检测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在上的最大值小于等于在的最大值，在（1）基础上得到的最大值，并求出，从而得到不等式，得到，令，，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】（1）由，定义域为， 则， 当时，， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令得，令得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最大值小于等于在的最大值， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减； 故. 由，，则， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，即. 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，， 故m的取值范围为. 2．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的单调区间; (2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； （2）根据题意可得，分别求最大值即可得不等式，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）因为对任意，均存在，使得， 所以， 当时，取得最大值，最大值为0. 由（1）得，当时，在]上单调递增， 即当时，取得最大值， 所以，解得，即. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值. 设， 则，单调递增， 所以成立，所以无解. 综上所述，的取值范围为. 3．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点. (1)求的值； (2)设函数，若对，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可得解. （2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，并借助导数讨论值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极小值点，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极大值点，不符合题意， 所以. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此， ①当时，对，，使得， 因此，符合题意，则； ②当时，，取，对，有，不符合题意； ③当时，函数，求导得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，则， 若对，，使得，只需，即，解得， 所以的取值范围为. 4．（23-24高二下·山东菏泽·阶段检测）已知函数，在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的极值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)函数的极小值为，极大值为2. (3) 【分析】（1）根据题意列出方程组，解出后验证即可； （2）根据极值的定义结合函数单调性即可求解； （3）分类讨论求得的最小值及的最小值，结合题意建立不等式，求解即可. 【详解】（1）∵， 则， 由题意可得 ，解得， 则函数的解析式为， 且， 令，解得：， 则当变化时，的变化情况如下表： 减 极小值 增 极大值 减 故符合题意，即. （2）由（1）可得：当时，函数有极小值； 当时，函数有极大值2. （3）∵函数在时，， 在时，且， ∴由（1）知：当时，函数有最小值， 又∵对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 对于开口向上，对称轴为， 当时，则在上单调递增， 故的最小值为，得； 当时，则在上单调递减， 故的最小值为，得； 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为， 得或，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围是. 5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号； （2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围. 【详解】（1）因为函数，所以． 设，则，故在上递减． ，即， 在上单调递减，最小值为． （2）令，则在上恒成立， 即函数在上单调递减，所以， 所以，即在上恒成立； 又，当时， 在区间上单调递增； 在区间上单调递减． 函数在区间上的最大值为． 综上，只需，解得，即实数的取值范围是． ◆题型2和型极值偏移 6．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若（），求证：. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)若，由（1）可知在极值点的两侧，则有， 等价于，考虑， 则， 等号在即时取得，所以单调递增， 因为，则， 即，又因为，即得， 因为且由（1）可知在单调递减， 所以，即，原不等式得证. 【分析】（1）求导判断单调性即可得到极值； （2）首先根据（1）中分析得到的分布，然后将原不等式转为，构造函数得到其最小值，从而得到与也即与的关系，再利用单调性得到. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，，取极小值，无极大值. （2）略 【点睛】本题考查了学生简单的构造函数的思想. 7．（2026·河南周口·三模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 8．（2026·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． (2)证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性； （2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出. 【详解】（1）的定义域为R， 由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）略 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数. 9．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知，其极小值为-4. (1)求的值； (2)若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求证：. 【答案】(1)3 (2) 证明：由（1）知，在区间上，，单调递增， 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以不妨设. 下面先证. 即证，因为，所以， 又因为区间上，单调递减， 只要证，又因为， 只要证，只要证. 设， 则， 所以单调递增， 所以，所以. 下面证. 设，因为， 在区间上，；在区间上，. 设，，因为， 所以，所以. 设，，因为， 所以，所以. 因为，所以， 所以. 【分析】（1）求导，分、和三种情况求的极小值，列方程求解即可； （2）构造函数，根据的单调性和得到，再结合和的单调性即可得到；设，通过比较和的大小关系得到，，再结合即可得到. 【详解】（1）因为，所以. 当时，， 所以单调递增，没有极值，舍去. 当时，在区间上，，单调递增， 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以当时，的极小值为，舍去 当时，在区间上，，单调递增， 在区间上，，单调递减， 在区间上，，单调递增， 所以当时，的极小值为. 所以. （2）略 【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法： ①构造， ②确定的单调性， ③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系， ④利用的单调性即可得到或. 10．（25-26高三上·广东清远·期末）已知函数． (1)讨论的零点个数． (2)若有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1) 当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点． (2) 证明：由（1）知，当时，有两个零点． 设，则， 由得， 所以，即． 令，则， 易得在上单调递减，在上单调递增． 要证，即证． 因为，且在上单调递增，所以只需证． 因为，所以即证． 令， 则， 所以在上单调递减． 因为，所以． 因为，所以，故． 【分析】（1）先通过求导得到函数的单调区间，再运用数形结合思想分类讨论即可求解； （2）将问题转化为研究函数的单调性后再求解即可. 【详解】（1）因为，所以1不是的零点． 当，可变形为， 令，则的零点个数即直线与图象的交点个数． 因为，，得，又， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，且当时，， 所以当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点． （2）略 ◆题型3 积型极值偏移 11．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的值； (3)若，函数有两个零点、，求证：． 【答案】(1)时在单调递增；时在单调递减，在单调递增. (2) (3)当时，有两个零点、， 由可得，即， 零点、满足， 两式相减，两式相加得，即， 要证，即证，即证，即证， 设，由可得， 令，则，可得，则， 所以，，则. 所以即证，即证，其中， 因为，则，即证，其中， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，故原不等式得证. 【分析】（1）求导，分时两种情况进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）先化简不等式得，令，将所求不等式变形为，构造函数，可知对任意的恒成立，则，则函数在处取得极小值，则，求出的值，再结合函数的最值与导数的关系验证即可； （3）化简函数的解析式得，根据零点定义得出，将两式分别相加和相减变形得出，，设，令，将所证不等式变形为，其中，构造函数，其中，结合导数法证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得. 当时，对任意的，，此时函数在上单调递增； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时在单调递增； 当时在单调递减，在单调递增. （2）因为，由得， 整理为，即， 令，则不等式为. 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，故， 设，则对任意的恒成立，所以， 所以函数在处取得极小值， 求导得，则，解得，此时，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，符合题意. 综上所述，. （3）略. 12．已知函数.若有两个极值点，求证：. 【答案】因为有两个极值点， 所以，即有两个不等的实数根，且． 解法一：设，则， 所以，即（*）， 又，所以， 代入（*）式得，所以， 故， 从而． 设，则. 设， 则，所以在上单调递增，又， 所以恒成立，故恒成立，从而在上单调递增， 所以，即， 所以. 解法二：要证，只需，即． 因为，所以， 所以只需证， 又因为，所以， 所以只需证，即， 设，只需证， 设，， 设，所以， 令，则， 所以在是增函数， 所以，所以在是增函数， 所以，所以， 所以是增函数，所以，所以得证． 【分析】将有两个极值点转化为①有两个不等的实数根，且，解法一：综合法.设，代入①式，可得，进而得到，再利用导数，求出的取值范围即可得证；解法二：分析法.要证，只需证，设，利用导数求出的取值范围即可得证. 【详解】略 13．（2026·河北·模拟预测）已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，命题得证. 【分析】(1) 运用导数的几何意义求出切线方程，再通过计算该切线在两坐标轴上的截距来求解三角形面积, (2) 采用分离参数法，将“存在实数使不等式成立”的问题，转化为求解新构造函数最小值的最值问题, (3)使用换元法，将难以处理的双根不等式问题，转化为关于单变量的函数单调性证明问题. 【详解】（1）当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即. （3）略 14．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 【答案】(1) (2)函数的定义域为， ， 当时，，所以，所以单调递增； 当时，，所以，所以单调递减. 因为，所以可设，则. 令， 则， 当，所以，，所以； 当，所以，，所以， 又，所以恒成立， 所以函数是增函数. 所以，所以， 即. 【分析】（1）利用导数分析的单调性，并求得其最小值，由此不等式对恒成立，转化为.构造函数，利用导数分析其单调性，即可解得实数的取值范围； （2） 利用导数分析函数的单调性，得，则，构造函数，利用导数分析函数的单调性，得，从而证得. 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，令，得. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. 因为不等式对恒成立，所以. 设， 则恒成立， 所以在上单调递增. 因为，所以，解得，即. 综上所述：的取值范围是. （2）略 15．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①； ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②略 ◆题型4含参数偏移 16．（25-26高三上·广东东莞·期中）已知函数， (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)上单调递增，上单调递减. (2),, 在上单调递增，上单调递减. ， ， 因为，所以函数在区间上为上凸函数， 函数在区间的图象如图所示. 不妨设，则.      连接和点的直线l2的方程为：, 当时，, 由图可知,所以要证明，只需证明，即只需证明， 连接的直线的方程为,设函数的图象的与平行的切线是直线， ，， 直线的方程为,即， 令,得直线与直线的交点横坐标为, 由图可知，， 故要证不等式成立. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性； （3）利用切割线放缩证明. 【详解】（1）,, ,, 上单调递增，上单调递减. （2）略 17．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)； (2) 结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可； （2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）略 18．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点，求的取值范围； (2)当，，且，求证：. 【答案】(1) (2) 因为，故， 因为，所以得， 故在上是减函数，在上是增函数 因为，， 所以不妨设，， 设（）， 故， 所以在上是增函数， 所以，即， 故，即， 因为，，且， 所以， 因为在上是减函数， 所以，故. 【分析】（1）根据零点利用参变分离整理可得，构建新函数，结合导数求最值；（2）根据极值点偏离，构建新函数（），先利用导数判断其单调性，再结合单调性分析证明. 【详解】（1）令，即，则 函数在上有零点等价于方程在上有解， 设，则， 故函数在上是减函数，在上是增函数，故 所以a的范围是. （2）略 19．（25-26高三上·辽宁丹东·阶段检测）已知，， (1)若恒成立，求的最大值 (2)若，是的两个零点，且求证： 【答案】(1) (2) 由（1）知，，是的两个零点，结合的单调性可知，， 若，则显然成立， 若，设（）， 则，， 所以，在区间上为增函数，因此有， 因此，，， 又，，且在区间上为减函数， 所以，，即. 综上，. 【分析】（1）将问题转化为，再求最小值，然后解不等式即可； （2）通过构造函数，再研究其单调性，通过单调性解不等式即可. 【详解】（1）时，， 设，则恒成立恒成立， 易知符合要求，下面考虑的情形， 由，得时，；时，， 因此，在区间上为减函数，在上为增函数，故的最小值为， 由，得，解得， 所以的最大值为. （2）略 20．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知函数，有2个不同的零点，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (2)（i）； （ii）由是的2个不同的零点，且， 则，， 即，， 所以，即， 要证，只需证， 由（ⅰ）知，，， 所以即证，即证． 设，则，只需证． 设，， 则，则在区间上单调递增， 所以，即，即． 【分析】（1）根据函数解析式得到该函数的定义域，再求，分和两种情况分析的符号，进而即可讨论的单调性； （2）（i）根据函数解析式得到该函数的定义域，再求，分和两种情况分析的符号，从而分析的单调性来判断的零点个数，进而结合的最值即可求解； （ii）根据零点的性质，将需证的结论转化为即证，从而构造函数，求导，结合函数的单调性，最值即可证明． 【详解】（1）由，得的定义域为，， 当时，，则在区间上单调递增； 当时，， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）（ⅰ）由题知，，定义域为，则， 当时，，则在区间上单调递增， 所以在区间上最多有一个零点，不符合题意； 当时，， 当时，；当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又有2个不同的零点，且当时，，当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）略. ◆题型5中点导数偏移 21．（2026·河北·二模）已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明：当时，， 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 (3)证明：由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减，只需证， 又，只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 【分析】（1）构造函数，利用导数求解的单调性和最值，从而证得结论； （2）将问题转化为与位置关系的讨论问题，通过导数可求解出的单调性和最值，结合图象进行分析可得正负，进而得到极值点个数； （3）将所证不等式转化为证明，令，则只需证；根据极值点偏移的证明逻辑，构造函数，利用导数可证得，结合分析法可得到结论. 【详解】（1）略 （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为. （3）略 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 22．（24-25高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数（）． (1)求的单调区间； (2)若函数，是函数的两个零点，证明：． 【答案】(1)当时，单调递增区间为，无递减区间； 当时，单调递增区间为；单调递减区间为. (2)由已知可得，可得， 由可得，要证，即证， 即证，即证， 由题意可知，令，即证， 构造函数，其中，即证， ，所以，函数在上单调递增， 当时，，故原不等式成立. 【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分与两种情况，得到函数单调区间； （2）由已知条件可得，将所证不等式等价于证明不等式，令，构造函数，其中，利用导数证得即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， ①当时，，则在上单调递增； ②当时，若，则，若，则， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，单调递增区间为，无递减区间； 当时，单调递增区间为；单调递减区间为. （2）略 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 23．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若有两个极值点，求证：. 【答案】(1)有极小值1,无极大值； (2)证明：由， 令，即， 由题意可知是方程的两个根， 则， 欲证， 即证， 即证， 令， 若，定义域上单调递增，不存在两个零点，舍去； 则，可知在时，单调递减， 在时，单调递增， 要符合题意则需， 又时，，时，， 此时不妨令， 构造函数 ， 即在定义域内单调递增，即， 所以， 因为，所以， 且在时，单调递增，故，得证. 【分析】（1）利用导函数研究函数的极值即可； （2）根据题意得出是方程的两个根，结合函数表达式将问题转化为证，利用极值点偏移构造函数，判定其单调性计算即可. 【详解】（1）当时，函数， 易知在定义域上单调递增，且， 所以当时，，即此时单调递减， 当时，，即此时单调递增， 故在时取得极小值，，无极大值； （2）略. 【点睛】本题关键在于先转化问题为证，利用极值点偏移构造函数，判定其单调性及最值得出即可. 24．（25-26高二下·浙江杭州·期末）设函数，若曲线在处的切线方程为． (1)求实数的值． (2)证明：函数有两个零点． (3)记是函数的导数，，为的两个零点，证明：． 【答案】(1) (2) 由可得，所以； 函数有两个零点即函数有两个零点． ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 又，，， 所以，， 由零点存在定理可得使得， 使得， 所以函数有两个零点． (3) 由（1）（2）知， 可得且． 要证明，即证明， 即证明． 令，则 ， 因此单调递减，则．因此， 即，又，所以； 即，又，，且在上单调递增， 因此，即．命题得证． 【分析】（1）利用导数的几何意义代入即可得的值； （2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论； （3）利用（1）（2）中的结论，结合单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明. 【详解】（1）由题意可得， 由切线方程可知其斜率为， 所以，解得． （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式转化成求证，然后再利用构造函数利用函数单调性证明. 综合攻坚·知能拔高 1．（2026高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减． (2) 【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性； （2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可. 【详解】（1）∵，∴， 令，可得两根分别为1，， ∵，∴ 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． （2），，由（1）知， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴在上的最小值为． 对，，使，即 在上的最小值不大于在上的最小值，（*） 又， ∴①当时，，此时与（*）矛盾； ②当时，，同样与（*）矛盾； ③当时，，且当时，， 解不等式，可得， ∴实数b的取值范围为． 2．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，其中是自然对数的底数． (1)求函数的极值； (2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得该函数的极大值和极小值； （2）由题意可得，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则 令，得或，列表如下： x 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ，. （2）解：由题意可得， 由（1）可知在单调递减， ∴，∴在有解，， 令，，令， 单调递增 极大值 单调递减 所以，. 3．（25-26高二下·四川绵阳·期中）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数，对，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由单调性知在上恒成立，采用分离变量法知，由此可求得结果； （2）根据二次函数性质可求得，利用导数可求得，由此构造不等式可求得结果. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上恒成立， ， 当时，，， 实数的最小值为. （2），，使成立， 且在上单调递增，， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，解得：，即实数的取值范围为. 4．（25-26高二下·北京西城·期中）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明：不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）略 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2)证明:等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 【分析】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可； （2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可. 【详解】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）略. 6．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 【答案】(1)有且仅有一个零点 (2)，证明： 方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根， 得，令，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 由，得当时，； 当的大致图象如图所示， GGB 所以当，即时，有两个不同实根； 证明：不妨设且 两式相加得，两式相减得， 所以， 要证，只需证， 即证， 设，令， 则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即， 所以，原命题得证. 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解； （2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证， 构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数有且仅有一个零点. （2）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据，两式相加相减，进而可得，进而要证，只需证，即证，从而将双变量转化为单变量，令，讨论该函数的单调性和最值即可证明. 7．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设，是的两个零点，证明：． 【答案】(1) (2) 不妨设，由，则． 构造函数，   ， 因为，，∴，即，所以在是递增，又，所以，∴， ∴． 又，∴． 而，，在上递减，所以，，即，所以，． 【分析】（1）求导确定函数的单调性，即可根据最大值求解， （2）构造函数，利用导数求解单调性，即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，在上递增，至多一个零点，不符合题意，舍去； 当时，令得，所以在上递增， 当，此时在上递减， 所以的极大值也是最大值，∴． 又时，；趋向于时，趋向于． 所以，有两个零点，a的取值范围为． （2）略 8．（25-26高三上·北京房山·期中）已知函数 (1)求函数单调区间； (2)设函数，若是函数的两个零点， ①求的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 (2)①； ②不妨设，由①知：， ，， 在上单调递增，在上单调递减； 设，则， 在上单调递减，，， 又，，又，； ，，在上单调递增， ，则. 【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间； （2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果； ②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论. 【详解】（1）定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点； 由（1）知：，又， 在的图象如下图所示， 由图象可知：，，即的取值范围为. ②略 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 9．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明：不妨设， 由（1）知，则，，， 又在上单调递增， 所以等价于，即． 设， 则． 设，则， 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，又因为，，， 所以存在，使得，当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，， 所以当时，，当时，， 所以当时，，单调递减， 因为，所以， 所以，即原命题得证． 【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解； （2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明. 【详解】（1）解：由，得， 设，则，， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，所以， ， ， 所以a的取值范围是． （2）略 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握. 10．（2025高三上·全国·专题练习）已知. (1)若在定义域内单调递增，求的最小值. (2)当时，若有两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) 方法一：当时，，，， 则，令，， 令，下证恒成立， ，设分子为， ，所以在上单调递增，， 所以在上恒大于，即在上恒大于， 所以，取，则， 所以，即. 方法二：当时，， 因为有两个极值点， 所以，即，从而， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以， 又因当时，，当时，， 所以， 由对数均值不等式得，从而， 所以. 【分析】（1）由在定义域内单调递增，得到在上恒成立，取，可得; （2）当时，由有两个极值点，得到，令，利用导数求出，判断出，利用对数均值不等式即可证明. 【详解】（1）方法一：，取，得， 所以，， 时，， 所以取，时，， ，分子随增大而增大， 而，所以当时，单调递减，当时，单调递增， 而，得，符合单调递增，所以. 方法二：，， 因为在定义域内单调递增， 所以在上恒成立， 故，设， 若，则当时，，故在上恒成立，这不可能. 若，则在上恒成立，取，则有，故. 若，此时， 令，则为上的减函数， 而， 取，则当时， 有，故在上存在唯一零点， 设该零点为，由零点存在定理可得. 故当时，；当时，， 故在为增函数，在上为减函数，故. 所以， 因为，故， 所以，其中. 设，，则， 当时，，当时，， 故在为减函数，在为增函数， 故，故即的最小值为. （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09导数双变量问题（极值点偏移专项） 内容概览 目常考题型精准突破 题型1双变量存在性或任意性问题（高频） 题型2和型极值偏移（高频） 题型3积型极值偏移（高频） 题型4含参数偏移（难) 题型5中点导数偏移（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1双变量存在性或任意性问题 1.(242z5高二下天律阶段检测)已知蹈数f()=lnx-m2-(2m-小x(meR).8)-=氵2-1。 (1)求函数f(x)的单调区间： (2)当m>0时，若对于任意>0，总存在为∈[-2，-刂，使得f(x)≤g(x),求m的取值范围 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2425方三上智建龙岩期中)已如西数)m-(2a++2hx+4aa>0, (1)求f(x)的单调区间 (2)设8(x)=x-2x,若对任意x∈(0,2]，均存在为∈(0,2]，使得f(:)<8(:),求实数a的取值范围. 3.(2425商三上潮北期中)已知x-2为函数)=-3-。的极小值点 (1)求c的值： 2)设函数g(,)= Fe,若对∈(0，+∞)，3西，∈R,使得fx)-g(x)≥0，求k的取值范围. 2118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(2324高=下山东商泽价段检测)已知酸数=平nne风)，在x=1处取得股植2 (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)的极值： (3)设函数g)=x2-2m+a,若对于任意，∈R,总存在为∈-，，使得g:)Sfx),求实数a的取值 范围. 5。(23-24高三上福建莆田期中)已知函数f)=snx 当xc0引时，求西数的最小值： 2法)-三-+3x-a,且对0引，都，02引使得化)5g化)成立，求实数，的取值范 围。 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2和型极值偏移 6.(26-27高三上海南海口阶段检测)己知函数f(x)=e2-2x-1. (1)求函数f(x)的极值： (2)若f(x)=(x3)(x<x2),求证：x+<0. 7.(2026河南周口三模)已知函数f()=x沁-a」 (1)若a=2,求曲线y=fx)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)当x∈(0，J时，f(x)≥-e,求实数a的取值范围： (3)诺a=0,且存在x,(:≠)，使得f(:)=f(),证明：x+2>2. 4118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(2026江西模拟预测)已知函数/(=x+) (1)讨论(x)的单调性： 2)若x≠x,且f()=f()=2,证明：0<m<e,且x+<2. 9.(25-26高三上江苏南通期中)已知f(x)=x-a2(a∈R),其极小值为4. (1)求a的值： (2)若关于x的方程∫()=1在(0,3)上有两个不相等的实数根x,x,求证：3<x+五<4. 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26高三上广东清远期末)已知函数f()=e-a(x-1). (1)讨论f(x)的零点个数. (2)若()有两个不同的零点，x,证明：x+x>4」 ◆题型3积型极值偏移 1。(25:26高三上四川雅安开学考试)已知函数f(=+alnx+1. (1)讨论f(x)的单调性： 包l诺f+ar≤e"-a恒成立，求n的值： 6118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 包创若a>0函数()=f(--a+3ahx-l有两个零点5、与，求证：5>e 12.已知函数f(倒=48()-0-20)2-1若r付=-g句有两个极值点(5<兮西 ,求话：> 9 13.(2026河北模拟预测)已知函数f(x)=e-x,函数8(x)=nr-2x2+(a-3)x,t,a均为实数. ()当a=4时，求曲线y=8(:)在点(，8()处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积： (2)当1=3时，若存在正实数x,使不等式f(x)≤g(x)成立，求a的取值范围： 7118 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若函数f(x)有两个不同的零点，记作x,为，且x<x,求证：x号>. 14.(2026甘肃嘉峪关三模)已知函数f()=am2-lhr+(2a-)x,其中aeR. 设a>0:若不等式f(+≥0对x∈(0，+o)恒成立，求。的取值范围 a8)=,若5<，86)=g5）,求证：5>心 15.(2026山西晋中二模)已知函数f(x)=-(a+2)x+lhx,其中a∈R. 8118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)讨论f()的单调性. (2)若函数8(x)=f()-x有两个不同的零点名. ①求实数a的取值范围； ②证明：xx>e2 ◆题型4含参数偏移 16.(25-26高三上广东东莞期中)已知函数f()=x(t-lnx),t∈R (1)讨论函数f(x)的单调区间： 2当1=1时，设x?名为两个不相等的正数，且f:)=f5)=a,证明：x+,>a2-e)+e- 9118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26高二上江苏镇江阶段检测)已知函数f(x)=nx+20 ,aeR.若函数f(x)有两个不相等的零 点，x2. (1)求a的取值范围： (2)证明：x+x2>4a 18.(25-26高二下-四川泸州期末)已知函数8，=e-2a(x-),e为自然对数的底数. (1)若函数8(x)在（，+0)上有零点，求a的取值范围： (2)当a>0,x≠x2,且8(x)=g(x),求证：x+x3<2ln(2a). 10/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26高三上辽宁丹东阶段检测)已知f()=e-x,x>0,aeR (1)若f(x)≥0恒成立，求a的最大值 2)若x,x2是f()的两个零点，且x>为求证：x+x2>2a 20,已知函数f冈-hr+r(aeR). (1)讨论f(x的单调性： 2已知西数8()-f(-m-m,g)有2个不同的零点5本，且x<5: (i)求实数a的取值范围： (求证：戈+与>2 a 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5中点导数偏移 21.(2026河北二模)已知函数f()=x血x-a(x-(aeR),(x)是f(x)的导函数 (1)当a=0时，证明：f()≥x-1, (2)讨论f(x)的极值点个数： 诺心有两个极值点，：<》小证明：色产 f(x2)-f(x) x,-x 22.(24-25高三上广东佛山阶段检测)己知函数8(x)=nx-m2+(2-a)x(a∈R). (1)求g(x)的单调区间： 2若函数/国=g国+m-+小x,,50<飞<5)是函数问的两个零点，证明：/（任0 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23。(25-26高三上江苏南通阶段检测)已知函数f)=x42a血x, a∈R. (1)当a=2时，求函数f(x)的极值： 2)若f(x)有两个极值点x,飞'求证： fs)+f),4 x+x 24.(25-26高二下浙江杭州期末)设函数f(x)=(c-e-m,若曲线f()在x=0处的切线方程为 y=-2x+b (1)求实数a,b的值. 2)证明：函数f(x)有两个零点. 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B记)是西数f冈的导数，写”无为冈的两个零点，证明：了（色-口 综合攻坚·知能拔高 1.(2026高二下全国专题练习)已知函数f()=nx-c+a-1(aeR)】 ()当0<a<2时，讨论f(x)的单调性： 1 (2)设gx)=x2-2bx+4.当a=4时，若对x∈(0,2)，3x∈[1,2]，使f(x)≥g(x):求实数b的取值范 围 2。(2527商三上江苏苏州阶度检测)已知函数f)-。,g)=n-+e,其中。是自然对数的底 数. 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求函数f(的极值： (2对x∈[-1,0，总存在∈[2，c2]，使f(x)sg(x)成立，求实数a的取值范围. 3.（25-26商二下四川绵阳期中)已知函数f)=了+2+m (1)若函数f()在区间(-2，+o)上单调递增，求实数a的取值范围： a诺函数g=兰，对%e别]，e[2 使得fx)≤g,)成立，求实数。的取值范围. 4.(25-26高二下北京西城期中)已知函数f(x)=x-lnx-a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围： 2)证明：若f(x)有两个零点x,为，则x,<1 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高三上黑龙江哈尔滨期末)己知函数f(x)=2,g(x)=x(1-nx). (1)若对于任意x∈(0，+o),都有f()<g(x),求实数a的取值范围： 1+1>2 (2)若函数y=g(x)-m有两个零点x,5'求证：无玉 6.(2526高三上江苏连云港阶段检测)已知函数f()=lnx+)ar2-(a+)x(aeR). (1)当a=1时，求函数y=∫)的零点个数 2若关于x的方程f()-公有两个不同实根，5，求实数0的取值范围并证明x>。2 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26高二下河南信阳期末)已知函数f()=hx-心有两个零点. (1)求a的取值范围： (2)设x,x2是f(x)的两个零点，证明：a(名+)>2. 8.(25-26高三上北京房山期中)已知函数f(x)=hx-x (1)求函数f(x)单调区间： (2)设函数g(x)=f(x)+a,若，为∈(0，是函数8(x的两个零点， ①求a的取值范围； ②求证：xx2<1 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2026河南平顶山模拟预测)已知函数f()=e-xhx-m-l(a∈R)有两个零点. (1)求a的取值范围： 2)设x,x2是∫(x)的两个零点，证明：x+x>2. 10.(2025高三上全国专题练习)己知f(x)=ax2+bx+5-lh2x. (1)若(x)在定义域内单调递增，求a+b的最小值 (2)当a=0时，若f)有两个极值点x,求证：x+x>2. 18/18