专题08 构造函数法解决不等式问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题08 构造函数法解决不等式问题 常考题型·精准突破 题型1 乘积型（高频） 题型2 商型（高频） 题型3 含指数型 （高频） 题型4 含三角函数型（高频） 题型5 构造函数比较大小（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1乘积型 1．（25-26高二下·河南周口·期末）已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，进而即可得到答案． 【详解】令，， 则， 又， 则，即在上单调递增， 所以，即，即． 2．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知是定义在上的可导函数，且满足．对任意实数，，若，则必有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求导，利用导数研究单调性，进而求解. 【详解】令，所以，所以在上单调递减， 又，所以，所以. 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知定义在上的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导确定单调性，即可求解 【详解】设 ，对求导得：， 因为 ，得 ，因此 是定义在R上的单调递减函数， 又 ，得 ，代入即得 . 4．（25-26高二下·北京·期中）已知函数在其定义域内可导，且满足，则对任意的实数，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接构造函数，再用导数判断函数的单调性，进而可判断AC选项，对BD选项通过举反例可得. 【详解】令，则，所以在上单调递减， 因为，所以，即，故A错误，C正确； 对于BD，举反例，取，则， 若，则，得， 若，则，，得， 所以BD选项无法对任意成立，故BD错误. 5．（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造辅助函数，用导数构造函数判断单调性，比较大小. 【详解】观察已知条件，构造，定义域为， ， 由题知，即，因此在上单调递增， 由单调性得，则， 化简得. 6．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数为定义在上的函数，满足，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再逐项分析判断. 【详解】令函数，求导得，因此函数在上单调递增， 则，即，因此，AC错误，D正确； ，而与的大小不确定，B错误. 7．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，分析该函数的奇偶性和单调性，把原不等式转化为代数不等式求解. 【详解】设， 因为函数 是定义在 上的偶函数，所以也是定义在 上的偶函数. 又当时，， 因为当 时， ，所以，即在上单调递增， 又是定义在 上的偶函数，所以在上单调递减. 由, 即. 所以. 故选：B 8．（多选）（25-26高二上·江西·阶段检测）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ） A．当时， B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，由已知得出为上奇函数，且在和上单调递减，即可判断各选项． 【详解】设，则， 当时，0，所以， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上也单调递减， 因为，所以，， 当时，，即时，， 因为，所以，故A正确； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故B正确； 因为在上单调递减， 所以，即，故C错误； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故D正确， 故选：ABD． ◆题型2商型 9．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用所给不等式判断的单调性，即可得出大小关系. 【详解】构造函数，， 当时，由题中不等式得， 所以，所以，单调递增， ，所以，即， 故. 10．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 11．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断. 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. 12．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用已知条件判断函数的单调性，再根据函数单调性比较函数值的大小. 【详解】设，对求导，可得. 因为对任意的都有，即，且，所以，这表明在上单调递减. 逐一分析选项， 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以A选项错误. 仅根据已知条件无法得出，所以B选项错误. 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以C选项正确. 因为在上单调递减，所以，即，也就是，所以D选项错误. 不等式一定成立的是. 故选：C. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】构造函数，求导，结合已知条件分析函数单调性，进而利用单调性解不等式． 【详解】令，， 故在上单调递增， 已知，则， 不等式等价于，即， 在上单调递增， 故， 解得或，解集为． ◆题型3 含指数型 14．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，结合条件判断函数单调性，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得. 【详解】设，则，故函数在上为增函数， 因，则， 于是等价于，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 15．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用导函数的正负与原函数单调性的关系，得到构造函数的单调性，进而求解不等式即可． 【详解】设，，则 ， 因为，则，故， 则单调递增；因为，则； 则等价于，解得； 故的取值范围为． 16．（25-26高二下·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 17．（25-26高二下·北京房山·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，再结合已知条件得在上单调递增，进而将问题转化为求解即可. 【详解】令， 则， 因为定义在上的函数满足，即， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以， 因为，即， 所以，即不等式的解集为. 18．（多选）（24-25高二下·新疆巴州·期末）已知函数定义域为，其导函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性逐项判断即可. 【详解】设，则. 因为，，所以恒成立. 所以在上单调递减 所以，故A正确； 由，故B正确； 由，故C正确； 由，故D错误. 故选：ABC. ◆题型4 含三角函数型 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数为奇函数，令，得到，则函数在上单调递增，结合奇偶性即可逐项判断． 【详解】的图象关于点对称， 的图象关于点对称，即函数为奇函数， ，， 令，， 则， 即函数在上单调递增， 又函数为奇函数，为偶函数， 所以函数为奇函数， ，即， 整理得，则的大小无法确定，故AB错误； ，即， 整理得，则的大小无法确定，故C错误； ，即， ，即， 整理得，故D正确． 故选：D． 20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 21．（多选）（2026·河北沧州·三模）已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，求导，根据导数判断单调性，根据函数单调性判断即可求解. 【详解】令， ，，则恒成立， 故在，上单调递增， 故，即，故 B正确，D错误． ，即，故 C正确，A错误． 22．（多选）（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】研究题中所给函数的性质，利用导数除法法则求出，由题得推出在单调递减，再根据自变量大小比较、、的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正误. 【详解】已知，根据商的求导法则求导得： . 由题知，因此在上单调递减. 因为，结合单调递减性得： . 由，即， 整理得. 由，即， 整理得. 综上，选项A、B错误，选项C、D正确. 23．（多选）（24-25高二下·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解. 【详解】令，则. 由已知可得，即在上单调递减． 所以， 故，，即C、D选项正确． 选项B，因为，所以， 若为负，则， 所以不等式不成立. 选项A，由， 可得， 无法推出，因此选项A错误. ◆题型5 构造函数比较大小 24．（25-26高二下·全国·课后作业）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，通过求导判断函数的单调性，利用单调性即可比较三个值的大小. 【详解】因，不妨设函数，则， 令，得，令，得， 因此在上单调递增，在上单调递减. 又，则，即． 25．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过导数分析其单调性，结合单调性及对数运算性质比较即可. 【详解】设函数，定义域为， 对求导得： ， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减.故在处取得最大值， 则，，故，； 又因 ，， 因为函数在上单调递增，则，故，即. 综上可得. 26．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过求导，可得在上单调递增，在上单调递减，结合对数运算，可得，，，结合函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】设函数，则， 令，解得， 当时，可得，所以在上单调递增， 当时，可得，所以在上单调递减， 因为，，且，函数在上单调递增， 所以，即， 又，， 且，在上单调递减， 所以，即， 综上所述，可得. 27．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，令，求导得， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因为，所以， 所以，即， 综上，． 28．（25-26高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）设，则a，b，c的大小关系是______.（用“”连接） 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性比较，构造函数，利用导数研究单调性比较c，a，进而得到答案. 【详解】令函数，则， ∵当时，， 在恒成立，所以函数在上单调递增， 所以，即，所以. 令函数，则， ∵当时，， 在恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以 综上，. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 令，则， 因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递减， 所以，即，化简得. 2．（25-26高二下·北京房山·期末）已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】构造辅助函数，根据题设判断其单调性，利用单调性比较不同点的函数值化简后即可得到结论 【详解】因为对任意，均有，所以， 构造函数，则， 因此在上恒成立，即是上的单调递减函数. 因为，由单调性得，即，化简得. 因为，由单调性得，即，化简得. 因此，. 3．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由构造函数，求导可得在上单调递增。利用，通过比较在不同自变量处的函数值，即可判断各选项不等式的正误. 【详解】已知，构造辅助函数，对求导得， 因为恒成立，且，因此，即是上的单调递增函数. 由，得. 选项A： 因为单调递增，故，即，整理得，A错误； 选项B： 因为单调递增，故，即，得，B错误； 选项C： 因为单调递增，故，即，整理得，C错误； 选项D： 因为单调递增，得，即. 因为，所以成立，故 D 正确. 5．（25-26高二下·河北承德·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子的组成构造函数，利用导数研究函数的单调性进而比较大小. 【详解】因为，，， 考虑构造函数，求导得，， 当，当 所以函数在单调递增，在单调递减. 所以，，，而, 显然，, 所以. 6．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 7．（25-26高二下·河北唐山·期中）三个数的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和最大值，从而得出，再利用对数的运算性质计算求出的大小关系，从而判断的大小顺序． 【详解】已知，构造函数， 求导得， 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递减； 在处取得极大值，即为最大值， ，即， ，故， ． 8．（2025高三上·宁夏·专题练习）已知定义在上的函数的导数为，且有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性，再根据结合的单调性可判断出大小关系. 【详解】设，所以， 因为，所以，所以在上单调递增， 因为，，， 且，所以，所以， 故选：A. 9．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，进而比较大小. 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为的偶函数，则， 而，则． 故选：B 10．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，是它的导数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干式子结构构造函数，利用导数法得为增函数，然后结合选项利用单调性逐个判断即可. 【详解】由题意知，即． 设，则， 所以为增函数，所以，则； ，则； ，则；． 故选：D 11．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题干式子结构特征构造函数，利用导函数求得在上为增函数，然后利用函数的单调性逐项判断即可. 【详解】令，，则， 从而在上为增函数． 对于A，，错误． 对于B，，错误． 对于C，，错误． 对于D，，正确． 故选：D 12．（24-25高二下·河南焦作·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求导确定函数的单调性，再根据单调性与对数运算性质转化为函数值大小即可得的大小. 【详解】设， 由，，， 得，，， 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，所以，所以. 故选：D. 13．（多选）（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】观察题给式子构造函数，结合已知条件利用导数得到的单调性，然后利用单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 因为，所以，单调递减， 易知，所以，即，A错误； 因为，所以，而， 所以且有，所以，B错误； 易知，所以即，C正确； 易知，所以即，D正确. 14．（26-27高三·全国·一轮复习）若函数在上可导，且满足，则与的大小关系为___________． 【答案】 【分析】构造函数，可由已知判得，由单调性可比较大小即可. 【详解】令， 因为在上可导，且满足， 所以， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以. 15．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 【答案】 【分析】构造函数，判定其单调性，然后利用单调性比较大小. 【详解】构造函数，其中，则． 因为，所以，则函数在上单调递增． 因为，所以． 因为， 所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 构造函数法解决不等式问题 常考题型·精准突破 题型1 乘积型（高频） 题型2 商型（高频） 题型3 含指数型 （高频） 题型4 含三角函数型（高频） 题型5 构造函数比较大小（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1乘积型 1．（25-26高二下·河南周口·期末）已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知是定义在上的可导函数，且满足．对任意实数，，若，则必有（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知定义在上的函数，，若，则一定有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·北京·期中）已知函数在其定义域内可导，且满足，则对任意的实数，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则必有（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数为定义在上的函数，满足，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西朔州·阶段检测）已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二上·江西·阶段检测）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ） A．当时， B． C． D． ◆题型2商型 9．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·湖北武汉·三模）已知定义在上的函数，其导函数为，对任意的都有成立，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________． ◆题型3 含指数型 14．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·北京房山·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（24-25高二下·新疆巴州·期末）已知函数定义域为，其导函数满足，则（   ） A． B． C． D． ◆题型4 含三角函数型 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 21．（多选）（2026·河北沧州·三模）已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 22．（多选）（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 23．（多选）（24-25高二下·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（   ） A． B． C． D． ◆题型5 构造函数比较大小 24．（25-26高二下·全国·课后作业）已知则（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）设，则a，b，c的大小关系是______.（用“”连接） 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京房山·期末）已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北承德·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北唐山·期中）三个数的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 8．（2025高三上·宁夏·专题练习）已知定义在上的函数的导数为，且有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，是它的导数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（    ）． A． B． C． D． 12．（24-25高二下·河南焦作·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 13．（多选）（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知定义在上的的导函数为，且，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高三·全国·一轮复习）若函数在上可导，且满足，则与的大小关系为___________． 15．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $