高中数学单元测试——第5章导数及其应用（较难版01）

**基本信息** 高中数学第5章导数及其应用单元复习卷（较难版），通过基础计算、图像分析及实际应用问题，分层考查导数核心素养，适配单元综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|导数计算、切线斜率、单调区间|结合图像比较切线与割线斜率（第3题），考查几何直观| |多选题|3题18分|函数单调性、极值、三次函数拐点|以三次函数“拐点”定义（第11题），培养创新意识| |填空题|3题15分|导数应用、函数最值|通过函数单调递减求参数范围（第14题），强化推理能力| |解答题|5题77分|单调区间、切线方程、极值条件、实际优化|火车电力消耗优化（第7题）体现模型意识，函数零点讨论（第18题）注重逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第5章 导数及其应用（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数，结合导数的减法法则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4．（本题5分）已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，求出，从而得到答案. 【详解】，， 令得，解得， 则的单调递减区间为. 故选：A 5．（本题5分）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数符号，单调性即可判断. 【详解】对于 ，当 时， ，故B错误； ，显然在定义域内 ， 即在 和 都是增函数，C正确，AD错误； 故选：C. 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 7．（本题5分）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设速度为，甲、乙两城距离为，比例系数为k，求出总费用，再利用导数求最值可得答案. 【详解】设速度为，甲、乙两城距离为，比例系数为k， 则总费用． 由已知条件，得，，． 令，解得， 当时，；当时，． 当时，最小， 要使总费用最少，速度应为． 故选：A. 8．（本题5分）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，求证，即可赋值判断. 【详解】①令，则， 当时，，所以，当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即，等号成立时， 所以，即； ②令，则， 当时，，当1时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以0，即，等号成立时， 所以，即． 综上，． 故选：C． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用求导来判断在区间上是否恒为正数，若可能不恒为正数，则可以举反例，或证明恒为负数，即可得到判断. 【详解】对于A，当时，，故在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，当时，，故不满足题意，故B错误； 对于C，当时， ，故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，故不满足题意，故D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据函数的图象可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数的单调区间即可得出其导函数的零点及符号分布情况，即可判断CD. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 1是的极大值点，A错误，B正确； 的单调递增区间为，单调递减区间为， 当或时，， 当时，，C正确； 由，得，或， 解得或， 所以等式的解集为，D正确． 故选：BCD. 11．（本题6分）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数拐点处的切线方程为 B．当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】AD 【分析】求出函数的二阶导数，求出拐点处的横坐标，再由导数的几何意义求出切线方程，即可判断A，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极小值点，即可得到不等式组，从而判断B，设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，得到，再转化为交点问题，即可判断C，联立直线与曲线方程，消元，即可判断D. 【详解】对于A：当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：当时，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值，又， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得， 即的取值范围是，故B错误； 对于C：因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C错误； 对于D：由，可得， 即， 显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则_____． 【答案】 【分析】先求出，再代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）函数的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数可得在上恒成立，即在上恒成立，设，再利用导数求的最大值即可. 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)的单调递增区间为，；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）利用导数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为. 综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）因为，且， 所以切线方程为， 即. 所以曲线在点处的切线方程为. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 17．（本题15分）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用在区间上有变号零点，列不等式来求得的取值范围. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1），设， 若在区间上不是单调函数， 则在区间上有变号零点， 在上单调递增， 所以，解得. 所以a的取值范围是. （2）若有两个不等实根，，即不是的根. 所以当时，有两个不等实根， 令，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 当时，，当时，， 所以，是的极小值点，且极小值为， 当时，；当时，， 画出函数的大致图形，则的取值范围是， 所以的取值范围是 18．（本题17分）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 【答案】(1) 证明：令， 则， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减：在上单调递增， 从而在上，， 所以在上单调递增， 因此在上，，即； (2) ，， ，在上，， 所以在上递增，，即函数在上无零点； ，记， 则时，，在上递增， 而， 故存在，使， 当时，递减，时，递增，， 而，， 在上无零点，在,上有唯一零点， 综上，当时，在上没有零点； 当时，在上有且仅有1个零点． 【分析】（1）结合已知不等式构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明； （2）对求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）略. （2）略． 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. (3) 由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值； 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中， 即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 设，即，所以， 上述两个等式相除得， 所以，所以，则， 即，可得， 由基本不等式可得，故原不等式得证. 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最小值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知，结合题意得出，可得出，令，则，且，则，证明对数平均不等式，其中，令，即，变形得出，再利用对数等式以及基本不等式可证得结论成立. 【详解】（1）， 当时，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为. （2）， 当时，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时， 由可得或，由可得， 所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，， 此时在上单调递增； ③当时，即时， 由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 导数及其应用（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 4．（本题5分）已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 7．（本题5分）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 11．（本题6分）对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数拐点处的切线方程为 B．当时，函数在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则_____． 13．（本题5分）函数的最小值为________. 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在点处的切线方程. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 17．（本题15分）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围. 18．（本题17分）已知函数，，（）． (1)证明：当时，； (2)讨论函数在上的零点个数． 19．（本题17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在极小值，且极小值等于，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $