专题07 利用导数研究函数的零点（方程的根）（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题07 利用导数研究函数的零点（方程的根） 常考题型·精准突破 题型1 判断、证明或讨论函数零点的个数（重） 题型2 证明唯一零点问题（重） 题型3 利用最值（极值）研究函数零点问题（高频） 题型4 利用数形结合法研究函数的零点问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判断、证明或讨论函数零点的个数 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； (2)讨论零点的个数. 【答案】(1)（i） （ii）极大值为，无极小值 (2)当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点 【分析】（1）（i）结合题意与导数的几何意义求解切线方程即可，（ii）结合题意求出，再结合导数研究单调性，进而求解极值即可. （2）对进行求导得到的单调性，进而结合零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）（i）由题意得，则切点为， 又，所以， 所以切线方程为，即. （ii）由题意得， 所以，令，解得， 当变化时，的变化情况，如下表所示， 1 0 单调递增 单调递减 当时，有极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意得，令， 则，令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为； ①当，即时，恒成立，所以无零点； ②当，即时，，所以有1个零点； ③当，即时，； 当时，；当时，， 所以在和上各有一个零点，即有2个零点. 综上：当时，无零点； 当时，有1个零点；当时，有2个零点. 2．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1)为偶函数. 证明：的定义域为 ，关于原点对称； ， 所以为偶函数. (2)3个 【分析】（1）利用定义域关于原点对称和进行证明； （2）利用偶函数的特点结合函数的单调性和零点存在定理进行讨论. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 由（1）得：为偶函数，所以只需研究上零点个数，即可得到上的零点个数. 当，，，所以单调递增， 当，，，所以单调递减， 且，， ， 根据零点存在定理，在上存在唯一的零点，在上也存在唯一的零点，又因为，所以0也是一个零点， 综上所述，在区间上的零点个数为3. 3．（25-26高二下·山东东营·期末）函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)判断函数的零点个数． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的符号即可确定函数的单调区间； （2）根据函数的零点定义，将函数的零点个数问题转化为求函数与直线的交点个数，利用求导判断函数的单调性与极值，图象趋势情况，数形结合即可求得参数在不同取值情况下函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 由可得，由可得或， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由可得，依题意，函数的零点个数即函数与直线的交点个数. 因，当时，，当或时，， 则函数在上单调递增；在和上单调递减， 且当时，，当时，，， 故当或时，两函数有1个交点；当时，两函数有2个交点；当时，两函数有3个交点； 即当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 4．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若的极小值为，求的值； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得； （2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值； （3）利用导数分析的单调性及极值，从而得到的零点个数. 【详解】（1）当时，，. ，. 所以在处的切线方程为：， 整理得：. （2）由题得，其中， 当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意. 所以. 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为， 解得. （3）由（2）知当时， 的极小值为， 的极大值为， 当时，；当时，. 所以当即时，有三个零点，如图①曲线； 当，即时，有两个零点，如图②曲线； 当，即时，有一个零点，如图③曲线； 当时，，所以有一个零点. 综上所述， 当时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，有三个零点． 5．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)讨论方程的实数根的个数． 【答案】(1)单调增区间为和,单调减区间为. (2)当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 【分析】（1）利用导数的正负判断的单调区间即可； （2）将讨论方程的实数根的个数转化为讨论的零点个数问题，再利用导数研究的极大值与极小值以及单调性，分类讨论在不同范围时，的零点个数情况即可. 【详解】（1）由题意得，， 令，解得或2. + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为. （2）令，解得或. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极小值为. 当时，，， 所以时，即，此时无实根. 时，即，此时有且仅有一个实根. 时，即，此时有两个实根. 当时，则，为增根，所以此时有一个实根. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极大值为，极小值为. 以下讨论的正负， ，设， 则对恒成立，所以在单调递增. 所以在恒成立， 所以在单调递减，因为，所以. 于是在有一个实根. 当时，在单调递增，此时有一个实根. 当时，在单调递增，在单调递减， 所以极小值为，极大值为. 此时，在有一个实根. 综上所述，当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. ◆题型2证明唯一零点问题 6．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的定义域； (3)证明：方程有唯一解. 【答案】(1) (2) (3) 证明：由（1）知：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，在上恒成立， 在，上单调递减， 当时，，由（2）知：，； 当时，，由（2）知：，， 又，，当从正方向无限趋近于时，； 当时，， 当时，，，， 即当时，；又在上单调递减， 与有唯一交点，即方程有唯一解. 【分析】（1）求导后，根据导数几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程； （2）令，求导后可求得的单调性和零点，由此可确定的定义域； （3）令，求导后可确定的正负，进而得到单调性；通过分析的图象可证得结论. 【详解】（1），， 又，在点处的切线方程为：，即. （2）令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，有唯一零点， 的定义域为. （3）略 【点睛】关键点点睛：本题第三问考查利用导数求解方程根的个数问题，解题关键是能够将问题转化为曲线与平行于轴的直线的交点个数问题，从而利用导数分析函数的单调性和图象，进而确定方程根的个数. 7．（2024·江苏·模拟预测）已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 【答案】(1)在上单调递增 (2)设（）， 则. 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 因为，且当时，单调递减，所以， 所以当时，，所以函数在时没有零点， 所以当时，函数的图象与直线没有交点. 当时，，单调递增， 又因为，且函数的图象是不间断的， 所以当时，函数有且只有一个零点， 函数的图象与直线有且只有一个交点. 综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点. 【分析】（1）先根据题意求出参数的值，然后求导，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）由题意构造函数（），利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理即可得解. 【详解】（1）因为，所以切点为. 因为，所以， 所以切线方程为. 因为切线经过原点，所以，所以. 由定义域为，故， 所以在上单调递增. （2）略 8．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知函数. (1)讨论单调性 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点； 【答案】(1)时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导并因式分解得，以、、、分四类，比较极值点与的大小，逐一确定每种情况下函数的单调增减区间. （2）再分别对、、三种正数情形，代入特殊点函数值、化简极值表达式、分析时函数趋势，结合单调性判断零点数量，最终归纳得到时函数有且仅有一个零点. 【详解】（1）函数的定义域为. 求导得. 令，得或，分情况讨论： 当即时，恒成立. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当且即且时，方程的解为. ①若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. ②若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当即时，，恒成立，在上单调递增. 综上所述：时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. （2）①当时，，由， 及函数单调递增，可得函数有且仅有一个零点. ②当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由，可得.当时，，可得函数有且仅有一个零点. ③当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由 又由，当时，，可得函数有且仅有一个零点， 综上所述，当时，函数有且仅有一个零点. 9．（25-26高二上·上海·期末）已知，其中． (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数a的值； (2)当时，求证：函数存在唯一零点． 【答案】(1) (2) 当时，，， 设， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值， 则有且仅有1个零点0， 而， 当时，，， 所以函数存在唯一零点0. 【分析】（1）求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得的方程，解方程可得的值； （2）已知，，设，求导得单调性，得出有唯一零点0，则可证明存在唯一零点0. 【详解】（1）， ， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以 ，即． （2）略 10．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知函数. (1)判断在区间的单调性； (2)证明：当时，； (3)证明：在上有且只有一个零点. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)令，， 在上单调递增，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即， 因为，所以， 所以. (3)依题得，， ，令， 则，     当时，且，且两项不同时为0， 所以，在上单调递减， 因为，， 由零点存在定理得，存在，使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，所以， 又因为， 由零点存在定理得，存在，使得， 因为在上单调递减，所以零点唯一， 又因为当时，单调递增，所以，在此区间无零点. 综上，在上有且只有一个零点. 【分析】（1）求导数，即可求得函数单调区间； （2）构造函数，求导数，得到函数单调区间，从而求得函数最小值，即证明，再由三角函数有界性得，即可得证； （3）由题意得，求导数，再令，求导数得到函数在区间上单调性，结合端点处函数值，由零点存在性原理得到存在零点，设零点得到函数的单调区间，由零点存在性原理得证. 【详解】（1）由题意可得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以在单调递增，在单调递减. （2）略 （3）略 ◆题型3利用最值（极值）研究函数零点问题 11．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分、与进行讨论，结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得. 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 则曲线在处的切线方程为，即； （2）若，则，， 则在上单调递增，不符合题意； 若，， 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则，解得； 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则， 解得； 综上可得：. 12．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) ：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (3) 【分析】通过求导，根据极值的性质导数等于0来求解参数； 通过求导，根据导数的正负来判断原函数的单调性； 根据零点的数量来判断满足条件的极值的正负情况，从而求解参数的取值范围. 【详解】（1）函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. （2）， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. 13．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，根据图象趋势与零点情况，即得不等式组，求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为， 所以所求切线方程为，即. （2）因，令，得或. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因时，；当时，， 由有三个零点，可得， 故的取值范围是. 14．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. (1)求的值； (2)若在区间上的最大值为20，求的值； (3)若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义和建立关于的方程组，解之即可求解； （2）由（1），令、，解不等式，得出函数的单调性，进而求解； （3）由（2），求出函数的极值，则，解之即可求解. 【详解】（1）由，得， 由题意得，， 得，解得. （2）由（1）知， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 则在区间上的最大值为，解得. （3）由（2）知，在和上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，取得极大值. 要使函数的图象与轴恰有三个交点，则， 解得，即的取值范围是. 15．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数的极大值点是2. (1)求的值； (2)若在上有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对函数求导，求出导数为0的极值点，然后根据已知条件得到的值，最后代入导函数中判断单调性，检验是否满足题意. （2）先判断函数在上的单调性，然后根据零点个数列出不等式方程组，进而求得的范围. 【详解】（1）对函数求导得. 令，则，解得或. 因为该函数的极大值点是2，所以或. ①当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极小值点，不合题意； ②当时，. 当时，或；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时2是该函数的极大值点，合题意； 综上可知，. （2）由（1）可知，，. 在上单调递增，在上单调递减， 所以在内，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， . 若函数在上有3个零点，则，解得. 所以的取值范围是. ◆题型4利用数形结合法研究函数的零点问题 16．（24-25高二下·福建福州·期末）已知． (1)判断的单调性，并求出的极值； (2)画出的大致图象； (3)判断方程的解的个数． 【答案】(1) 单调递减 单调递增 极小值为，无极大值 (2) (3)当或时， 方程的解有1个；当，方程的解有2个． 【分析】（1）将函数求导，利用导函数的符号确定函数的单调区间，即可求得其极值； （2）根据（1）的推理，分析函数的图象趋势，即可作出函数的大致图象； （3）将问题转化成函数的图象与直线的交点个数，数形结合即得. 【详解】（1）的定义域为，求导得 令，解得， 将对应的的情况列表： 单调递减 单调递增 由表可知，当时，有极小值，极小值为； （2）根据（1）的分析，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，当时，，当时，. 故可作出该函数的大致图象如下： （3）方程的解的个数就是函数的图象与直线的交点个数. 由（1），（2）可知，当时，方程的解有0个； 当或时， 方程的解有1个； 当时，方程的解有2个． 17．（25-26高二下·广东广州·期中）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值点； (2)求出方程的解的个数． 【答案】(1)在单调递减，在单调递增；极小值点为，无极大值点. (2)当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系求解即可. （2）将方程有解的问题转化为与的交点个数问题，结合导数与单调性及最值的关系，分析判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得 . 令，解得； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得极小值，即是的极小值点，无极大值点. 综上，在上单调递减，在上单调递增；是的极小值点，无极大值点. （2）方程的解的个数等价于的图像与直线的交点个数. 由（1）知，. 当时，；当时，. 函数的简图如下： 结合图象可知，当时，的图像与直线无交点； 当或时，的图像与直线有1个交点； 当时，的图像与直线有2个交点； 综上，当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 18．（25-26高二下·广东·期中）已知函数. (1)判断的单调性； (2)若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为. (2) 【分析】（1）求得的定义域为，且，结合导数的符号，即可求解的单调区间； （2）根据题意，转化为和的图象只有一个公共点，结合（1）中的单调性和最值，作出函数的大致图象，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其定义域为， 且，     则当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）解：因为方程只有1个实数解，即函数和的图象只有一个公共点， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 当时，；当时，，     又，作出的大致图象，如图所示， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 19．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有且仅有个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单减区间为；单增区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）由得，问题转化为直线与的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 由得，由得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）令得， 令，其中， 则函数有且仅有个零点等价于函数与的图象有个交点， ，由得，由得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极大值为， 当时，，当时，且， 所以的取值范围是. 20．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值点； (2)求出方程的解的个数. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值点为，无极大值点. (2)当时，方程无解；当时，方程有2个不同的解；当或时，方程有且仅有1个解. 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性，进而求函数的极值. （2）数形结合，可根据的取值范围确定方程解的个数. 【详解】（1）因为，所以， 由. 所以变化时，，的变化情况如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 且. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值点为，无极大值点. （2）因为函数的极小值， 当时，；当时，；当时，. 结合函数的单调性，作函数的草图如下： 所以当时，方程无解； 当时，方程有2个不同的解； 当或时，方程有且仅有1个解. 综合攻坚·知能拔高 1．（24-25高二下·青海·阶段检测）已知函数． (1)求函数的极值； (2)讨论方程的实数解的个数． 【答案】(1)函数取极小值. (2)，方程无实数解； ，方程有一个实数解； ，方程有两个实数解. 【分析】（1）对函数求导，找出变号零点即可求解； （2）方程的实数解的个数即函数与的交点个数，结合图象求解. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 由，得， 令，即，解得，则当时，单调递增； 令，即，解得，则当时，单调递减； 令，即，解得； 所以当函数取极小值. （2）方程的实数解的个数，即函数与的交点个数，由（1）可知 当时，单调递减， 当时，单调递增， ，且对恒成立，画出函数的图象如下： 可知，当时，函数与无交点； 当或时，函数与有一个交点； 当时，函数与有两个交点. 故当，方程无实数解； 当，方程有一个实数解； 当，方程有两个实数解. 2．（2026·广西南宁·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求的切线方程； （2）由可得，令，其中，则实数的取值范围为函数在上的值域，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 当时，曲线在点处的切线方程为， 即. （2）当时，由可得， 令，其中，则， 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即， 故函数在上为增函数， 当时，， 故函数在上的值域为， 故实数的取值范围为. 3．（贵州省遵义市第四中学2026届高三下学期入学质量监测数学试题）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若方程在上恰有2个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则进行求解即可； （2）把问题转化为直线与函数图象的交点个数问题，结合导数性质、数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）， 因为， 所以函数在处的切线方程为； （2）方程在上恰有2个实数根， 等价于直线与函数的图像在上有两个不同的交点， 由， 所以直线恒过定点，且斜率为， 由（1）可知， 当时，，单调递增， 所以函数的图象如下图所示： 设函数的切线过点，切点为，斜率为， 所以切线的方程为， 把点的坐标代入，得， 因为，所以解得，即斜率为， 由数形结合思想可知：当时，即时，直线与函数有两个不同的交点， 即方程在上恰有2个实数根，此时m的取值范围为. 4．曲线与在上有两个不同的交点，求的取值范围 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即， 令 则， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点， 所以. 5．（2026·江苏南京·一模）已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）先利用导数，求得，再结合求导判断函数的单调性，求得极值，判断函数图象趋势，利用函数与方程的思想即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）依题意，在处有极值， 因， 由，解得， 则，， 由可得或， 由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在时取得极大值为， 在时，取得极小值为， 当时，，当时，. 由图可知，若关于的方程有3个不同的实根， 则必有，即， 故实数的值为，实数的取值范围为. 6．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)当时，讨论方程的实数解的个数. 【答案】(1)的减区间是，的增区间是 (2)极小值为，无极大值 (3) 当或时，方程无实根； 当时， 方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根. 【分析】（1）根据导数的正负与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可； （3）利用转化法，把方程问题转化为直线与曲线交点个数问题，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）该函数的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的减区间是，的增区间是； （2）由（1）知的减区间是，的增区间是， 所以当时，取得极小值，无极大值； （3）方程的实数解的问题转化为直线和函数的图象交点个数问题， 易知，，， 由（1）作出函数的大致图象，如图所示： 由图象知： 当或时，直线和函数的图象无交点，即方程无实根； 当时，直线和函数的图象有2个交点，即方程有2个实根； 当或时，直线和函数的图象有1个交点，即方程有1个实根； 综上所述： 当或时，方程无实根； 当时， 方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根. 7．（26-27高三上·北京丰台·阶段检测）已知函数． (1)若曲线在点处切线与直线平行，求的值； (2)若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）根据导数的几何意义，切线斜率等于函数在切点处的导数值，结合平行直线列方程求解； （2）将交点问题转化为函数图象交点问题，构造辅助函数，通过导数分析函数单调性与最值，结合函数趋势确定参数范围. 【详解】（1）对求导，得， 曲线在处切线与平行，故切线斜率为1， 即，代入得， 由于，故恒成立，因此； （2）曲线与有两个不同交点， 等价于方程有两个不同实根，整理得， 设，问题转化为的图象与直线有两个不同交点， 对求导得， 因恒成立， 故：当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因此在处取最小值，， 又和时，， 故：当时，有两个不同实根； 当时仅有1个实根； 当时无实根， 综上，的取值范围为. 8．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知三次函数，． (1)若在处取得极小值，求，； (2)若，的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据极小值的性质和定义进行求解即可； （2）利用换元法，结合一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意得，依题意，解得 ， 此时， 当或时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意； （2）若， 依题意，方程有两个根， 令，则方程有两个不同的正根， 则，解得，即的取值范围为. 9．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知曲线在处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合两直线平行斜率相等的性质列方程求解; （2）代入的取值后求导，根据导函数在定义域内的正负即可判断原函数的单调性； （3）结合函数单调性得到最小值，根据函数在定义域两端的趋势，令最小值小于0，即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，对求导得：， 由直线化为斜截式得：，所以该直线的斜率为2， 因为函数的曲线在处的切线与直线平行，故切线斜率等于2， 即，代入得：，解得； （2），得：， 由于，故， 当，则在上单调递增， 当，则在上单调递减, 所以在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，在处取得极小值，也是定义域内的最小值， 计算得：， 当时，，故， 当时，，由于二次函数增长速度大于对数函数增长速度，故， 则有两个零点，需最小值小于0，即，解得， 即b得取值范围为. 10．（25-26高二下·山东聊城·期末）已知函数，且． (1)求值； (2)若曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先求出，求导得到，代入中计算即可求解； （2）求出曲线在点处的切线为，将问题转化为直线与的图像有两个交点，利用导数研究的单调性和极值即可求解. 【详解】（1）令，可得：， 由于， 所以， 则， 所以， 解得： （2）由（1）可得， 由，可得， 所以曲线在点处的切线为，即， 由曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点， 则，即有两个解，令 则将问题转为直线与的图象有两个交点， ， 令，解得或，令，解得， 所以的单调增区间为，减区间为：， 极大值为，极小值为， 当时，，当时， 所以要使直线与的图象有两个交点， 则或 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07利用导数研究函数的零点（方程的根） 内容概览 目常考题型精准突破 题型1判断、证明或讨论函数零点的个数（重） 题型2证明唯一零点问题（重） 题型3利用最值（极值）研究函数零点问题（高频） 题型4利用数形结合法研究函数的零点问题（高频） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1判断、证明或讨论函数零点的个数 1.(2026山东济南模拟预测)已知函数f(x)=(x+)l血r-a(x-),其导函数为f'(x). (1)当a=1时， (①)求曲线f(x)在f()处的切线方程： (i)若函数8()=f()-'(),求8(x)的极值： (2讨论f(x)零点的个数： 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(26-27高三上山东聊城开学考试)己知函数f(x)=cosx+xsinx--1. (1)判断∫(x)的奇偶性并给出证明： (2)讨论f(x)在区间(-元，)上的零点个数. 3.(25-26高二下山东东营期末)函数f(x)=x-3x+a,aeR. (1)若a=1,求函数f(的单调区间： (2)判断函数(x的零点个数. 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4,(25-26高二下辽宁葫芦岛期末)已知函数f(x)=x-3mx2-9mx+2(m≥0) ()当m=3时，求y=f(x)在x=2处的切线方程： (2)若f(x)的极小值为-25，求m的值： (3)讨论(x)的零点个数. 5.(2026广东梅州模拟预测)已知函数f()-号+anx-(a+x,其中aGR (1)若a=2,求函数f(x)的单调区间： (2)讨论方程f(x)=0的实数根的个数. 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2证明唯一零点问题 f(x)=-Inx 6.(24-25高三上·北京阶段检测)已知函数 Inxt!- (1)求曲线y=f()在(e,f(e》处的切线方程： (2)求函数∫(x)的定义域： 3)证明：方程f()=(>)有唯一解。 7.(2024-江苏模拟预测)已知函数f(x)=a血x+x+3在x=1处的切线经过原点. (1)判断函数f(x)的单调性： (2)求证：函数f(x)的图象与直线y=5x有且只有一个交点， 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26高二下河北石家庄期中)己知函数f(x)=(x-2)e-a(x-1)2. (1)讨论f(x)单调性 (2)当a>0时，证明：函数f(x有且仅有一个零点： 9.(25-26高二上上海期末)已知f(x)=am2+m-xe,其中aeR. (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=x,求实数a的值： (2)当a=1时，求证：函数y=f(x)存在唯一零点. 5116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26高三上福建福州阶段检测)已知函数f)=cosx+xsinx. (1)判断f)在区间一22的单调性： (2)证明：当x∈[0，+oo)时，f(x)≤e: π 3i证明：g)=f-c0sx-1在2上有且只有一个零点， ◆题型3利用最值（极值）研究函数零点问题 11.(25-26高二下四川攀枝花期末)已知函数f(x)=x3+a2-a2x+1 ()当a=1时，求曲线y=(x)在(，/()处的切线方程； (2)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26高二下·天津滨海新区期中)己知aeR,函数f(x)=2x-3(a+)x2+6a. (1)若f(x)在x=3处取得极值，求实数a的值： (2)讨论函数f()的单调性： (3)若a>l,f(x)在R上有三个零点，求a的取值范围. 13.(25-26高二下陕西西安阶段检测)已知函数f(x)=2x-3x2-36x+a. (1)若a=60,求曲线y=f(x)在(2，f(2)》处的切线方程： (2)若f()有三个零点，求a的取值范围。 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26高三上安徽期中)己知函数f(x)=-x+ar2+bx+c(a,b,c∈R)的图象在点(-山，f(-)处的切 线与y轴垂直，且f'(2)=9. (1)求a,b的值： (2)若f(x)在区间-2,2]上的最大值为20，求c的值： 3)若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，求c的取值范围 15.(25-26高三上福建龙岩期中)己知函数f(x)=(-1)(x-a°-b的极大值点是2. (1)求a的值： 2)若f(x)在02 上有3个零点，求b的取值范围. 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4利用数形结合法研究函数的零点问题 16,(24-25高二下·福建福州期末)己知f(x)=(x-1)e. (1)判断f(x)的单调性，并求出(x)的极值； (2)画出f(x)的大致图象： 3)判断方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. 17.(25-26高二下广东广州期中)给定函数f(x)=(x+1)e」 (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值点： (2)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. 9116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(25-26高二下广东期中)已知函数x)=父+x+2 (1)判断f()的单调性： (2)若关于x的方程fx)=m只有1个实数解，求实数m的取值范围. 19.(24-25高二下湖北武汉期中)已知函数f(x)=ae-(x+). (1)当a=1时，求函数(x)的单调区间： (2)若函数(x)有且仅有2个零点，求实数a的取值范围. 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(25-26高二下·福建福州期末)己知函数f(x)=(x+1)e. (1)求函数f(x)的单调区间和极值点： (2)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. 综合攻坚知能拔高 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,(24-25高二下·青海阶段检测)已知函数f(x)=(x-2)e. (1)求函数f(x)的极值： (2)讨论方程f(x)=a(a∈R)的实数解的个数. 2,(2025矿百商宁二被)已加商数f)=瓜+元。 (1)若a=1,求曲线y=f()在点f)处的切线方程： a若方程了)-在x[店+树上有解，求。的k微范同。 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(贵州省遵义市第四中学2026届高三下学期入学质量监测数学试题)已知函数f(x,)=(2x-1). (1)求函数y=f()在x=1处的切线方程： (2)若方程f(x)=m(1-x)在(0，+∞)上恰有2个实数根，求m的取值范围. 4.曲线y=x-3x与y=-(x-l+a在(0，+o∞)上有两个不同的交点，求a的取值范围 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026江苏南京·一模)已知f(x)=x2-2ar-a,a∈R (1)若a=1,求函数y=f(x)在x=2处的切线方程； (2)令F(x)=x·f(x),若函数y=F(x)在x=-1处有极值，且关于x的方程F()=m有3个不同的实根， 求实数a的值和实数m的取值范围， 6.(25-26高二上湖南张家界·期末)已知函数f(x)=x2-x-6nx. (1)求函数f()的单调区间： (2)求函数(x)的极值： (3)当x∈L,4]时，讨论方程f四-m=0的实数解的个数 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(26-27高三上北京丰台阶段检测)己知函数f(x)=x2+(1+sinx)x+cosx. (1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a》处切线与直线y=x平行，求a的值： (2)若曲线y=f()与直线y=x+b有两个不同交点，求b的取值范围. 8。(2526商三上旷广东深圳阶段检测)已知三次函数号如+r+,g=了. (1)若f)在x=1处取得极小值6，求a,b: (2)若b=-1,y=g(©)的图象与x轴有两个不同的交点，求a的取值范围. 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26高二下河北唐山期末)已知曲线f()=m2+x-2血x+b(a,b∈R)在x=2处的切线与直线 2x-y-1=0平行. (1)求a的值： (2)讨论函数f(x)的单调性： 3)若函数f(x)有两个零点，求b的取值范围. 10.(25-26高二下山东聊城期末)已知函数f(x)=f()x3-f(0)x2+2x+m,且f0)=3. (1)求m值： (2)若曲线8(x)=x+血x在点(，)处的切线与曲线y=f(x)-a有且只有两个公共点，求实数a的取值范 围 16/16