专题05 利用导数研究不等式恒成立问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5利用导数研究不等式恒成立问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1分离变量法+导数求最值（重）（高频） 题型2分离变量法+隐零点求最值（难） 题型3分离变量法+切线放缩求最值（难） 题型4同构法（难） 题型5分类讨论法（难） 题型6等价转化法（左减右构造函数） (重) (高频) 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1分离变量法+导数求最值 1.(26-27高三上重庆沙坪坝阶段检测)已知函数f(x)=e-x. (1)求f(x)的图象在点(0，)处的切线方程： (2)对任意x≥0均有f(x)≥a+1成立，求实数a的取值范围. 1/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2526商二下陕西椅林期中)已知离数f()=a--(a+,a心0 (1)讨论f(x)的单调性： 包若x0,树，f儿x,求的取值范国 3.(2526高三上山东潍坊阶段检测)已知函数f儿)-，8()=6x+2+ (1)当b=-1时，求8(x)的单调区间： (2)若f(x)<x+l在(，+o)上恒成立，求实数a的取值范围： 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.2526高二下辽宁本溪期未)已知酒数f)=r2+a-r-hx(aeR), 2 (1)讨论函数()的单调性： xe,四，f>m,求。的取值范围 5.(25-26高二下·黑龙江哈尔滨期末)已知函数f(x)=am-2e (1)a=4时，求f()的单调区间： (2)当x∈(0，+o)时，若f(x)≤-2x恒成立，求实数a的取值范围. 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2分离变量法+隐零点求最值 6.(26-27高三上北京期中)己知函数f(x)=(x-k-1)e (1)当k=-1时， ①求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处切线的方程： ②求函数f(x)的单调区间： (2)若关于x的不等式f(x)>3x的解集为R,求整数k的最大值。 7.(2027高二全国专题练习)己知函数f()=lnr-a(x-1),g(x)=e. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若函数h(x)=f(x+)+g(x),当x≥0时，h(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围. 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26高二下广东江门期末)已知函数f()=g()=1+(x>0),直线，是曲线y=f()在点 P(1,0)处的切线，且直线1与曲线y=g(x)相切. (1)求直线的方程： (2)求a: (3)若不等式k~g(x)<nx+l(k∈Z)对任意的x>1恒成立，求k的最大值. 9.(2526商二下山东聊城阶段检测)已知函数f()=(-ahx+分，其中a≥0· (1)当a=1时，求函数f(x)单调区间和极值 2)若f(x)≥0，求a的取值范围. 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26高二下·辽宁沈阳阶段检测)已知函数f(x)=x-nx-2. (1)求曲线y=f(x)在点(()处的切线方程： (2)判断函数f(x)的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的x∈(L,+o),都有xhx+x>k(x-)成立，求整数k的最大值. ◆题型3分离变量法+切线放缩求最值 11.(25-26高三全国一轮复习)已知函数f(x)=e-x+a,x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx. (1)求函数∫(x)的解析式： 儿因>太对任意的xE(0,+o)恒成立，求实数k的取值范围。 (2)若 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(2026:山东青岛一模)已知函数f(x)=e-c (1)讨论(x)的单调性： (2)当x>0时，f)≥x之-x+1恒成立，求a的取值范围. 13.(25-26高二下·广西南宁开学考试)函数f(x)=x+an,a∈R (1)讨论f(x)的单调性： (2)当x≥1时，不等式f()≥0+ln恒成立，求a的取值范围， 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4同构法 14.己知函数f()=hx+(aeR). (1)若a=2,求y=f()在点(1，f()处的切线方程 (2)讨论f(x)的单调性： e诺f()之士+h后在x∈0，树)上恒成立，求n的取值范国， 15.(25-26高二下福建莆田期末)己知函数f(x)=e-n(x+1)-2. 8/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)证明：f()≥-1； 2活f)2m+2h-h(x+1)恒成立，求实数m的取值范国。 16.(26-27高三上安徽阶段检测)己知函数f(x)=2血r-心，aeR. (1)若f(x)的最大值为f(2),求a的值： (2)若存在x使得f(x)>-l,求a的取值范围： (3)若a>0,f()≤e“-x恒成立，求a的取值范围. 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.（2627商三上云南开学考试)已知商数/)-号-2x (1)求曲线y=f(:)在点(f)处的切线方程； 2)证明：f()>0: (3)若f(x)>(a-)x+lna在(0，+o)上恒成立，求实数a的取值范围. ◆题型5分类讨论法 18.(25-26高二下上海闵行期末)己知f(x)=e-ax,aeR. ()当a=1时，求函数y=f(x)的单调区间和极值： (2)若f()≥0恒成立，求a的取值范围. 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19,(256存=下湖有商用阶假妆)已知系数)-8=r-2+aae风). (1)求函数()的最大值； (2)若函数8(：在(0，+o)上单调递减，求实数a的取值范围： (3)若函数g(x)≤0在x∈[山，+o)上恒成立，求实数a的取值范围. 20.(2627高=上重庆期未)已知函数f()=e'r2+a-k(aeR)令g)=倒 (1)当a=1时，求8(x)的单调区间及最值 (2)①讨论8()在[0，+∞)上的单调性： ②当0<as。时，函数代)产6对任意的x之0恒成立，求。的取伯范国： 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6等价转化法（左减右构造函数) 21.已知函数f(x)=x2-mr-1,g(x)=xnr-1 (1)若f:)在区间(-2，)上恰有一个极值点，求实数m的取值范围： (2)求8()的零点个数； (3)若m=1,求证：对于任意x∈(0，+o),恒有f(x)≥g(x). 22.(25-26高二下四川成都-阶段检测)己知函数f(x)=x2-3a,g(x)=anx. (1)若函数h(x)=f()+g(x)在x=1处取得极大值，求实数a的值以及h(x)的极值： (2)已知a>0,且不等式f(x)>2g(:)恒成立，求实数a的取值范围。 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.(2627商三上山西长治开学专试)设链数了似-2a2-2a-1,g)-。. 1)讨论f(x)的单调性： (2)证明：当x>1时，g(x)>0: (3)当xe(1,+oo）,f(x)>g(),求a的取值范围. 综合攻坚：知能拔高 1.(25-26高二下山东淄博阶段检测)已知函数f()=a(-e)+x,aeR. (1)判断(x)的单调性； (2)若f)≤0，求a的值： 尺知8网=地+，x0,o:若。，证明：>在 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2,(25-26高二上湖南岳阳期末)已知函数f(x)=lhx-ax(a∈R)」 (1)求函数才(x)的单调区间： (2)若函数f()在[，e]上有且仅有2个零点，求a的取值范围. (3)对任意x∈(0，+o),f(x)<e-x恒成立，求a的取值范围. 3.(25-26高三下·上海虹口阶段检测)记f)=2hx-ax(aeR). (1)若a=0,解不等式：e/≤4， (2)若f(x)≤e“-x2恒成立，求实数a的取值范围. 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(2026高=全同专腿练习)设延数-mr-0x[0 (1)当a=1时，求证：fw)≥20 (2)如果f(,)≥0恒成立，求实数a的最小值. 5.(25-26高二全国二轮复习)已知函数f(x)=m2-nx,a∈R」 (1)讨论f(x)的单调区间： (2若a>0,且当x∈(0，时，f(x)21恒成立，求a的取值范围. 15/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26高二下山东淄博阶段检测)己知函数f(,=a-e)）+x,aeR (1)判断f(x)的单调性： (2)若f)≤0，求a的值： 3)已知g(x)=xe*+。 +2,xe(0,+w·若a=-1,证明：g)>f): 7.(25-26高二上湖南岳阳期末)已知函数f(x)=lhx-am(a∈R) (1)求函数∫(x)的单调区间： (2)若函数f(x)在l,e]上有且仅有2个零点，求a的取值范围. (3)对任意x∈(0，+o),f(x)<e“-x恒成立，求a的取值范围. 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26高三下·上海虹口阶段检测)记f()=2hx-x(aeR). ()若a=0,解不等式：c≤4： (2)若f(x)≤e-x2恒成立，求实数a的取值范围. 9.(2026高三·全国专题练习)设函数f)=asinx--xcoSx,x (1)当a=1时，求证：f(x)≥0， (2)如果f(x)≥0恒成立，求实数a的最小值. 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26高二全国二轮复习)已知函数f(x)=ar2-lnxa∈R. (1)讨论f(x)的单调区间： (2)若a>0,且当xe(0,]时，f(x)21恒成立，求a的取值范围. 11.(25-26高二下江西抚州期中)己知函数f(x)=e+ac的图象在点(0，f(0)》处的切线与直线 1:2x-4y+1=0垂直. 1)求f(x)的最值： 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若对任意实数x,有f(x)-2b≥-x2-3恒成立，求整数b的最大值. 19/19 专题05 利用导数研究不等式恒成立问题 常考题型·精准突破 题型1 分离变量法+导数求最值（重）（高频） 题型2 分离变量法+隐零点求最值（难） 题型3 分离变量法+切线放缩求最值（难） 题型4 同构法（难） 题型5 分类讨论法（难） 题型6 等价转化法（左减右构造函数）（重）（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1分离变量法+导数求最值 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)对任意均有 成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，利用点斜式求出即可. （2）先讨论当时不等式成立，再讨论当时，将化简为，令，通过导函数的相关知识判断的单调性并求出其最小值，再结合不等式恒成立问题求出的取值范围. 【详解】（1）求导得，所以切线斜率， 由点斜式可知切线方程为，即. （2）由已知在上恒成立， 当时，恒成立； 则当时，不等式可化为， 记，则只需， 求导得. 记在时恒成立，则在单调递增； 所以，即， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，故a的取值范围为. 2．（25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在和上单调递增． (2) 【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合的条件，讨论与的大小关系，根据导函数的正负确定函数的单调区间. （2）化简不等式，构造辅助函数判断的符号，将问题转化为恒成立，通过导数求解的最大值，即可得到的取值范围. 【详解】（1）求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． （2）由，可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 3．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)递减区间为，无递增区间； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再判断其正负求得单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数，并求出其值域即得. 【详解】（1）当时，函数，定义域为， 求导得， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）由题意，对任意，不等式恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 令函数， 求导得， 令函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 当时，， 所以，则函数在上单调递增， 因此，即， 所以实数的取值范围是. 4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导后拆分因式，定义域内恒正，只需根据的正负分类讨论符号，划分单调区间； （2）不等式消去二次项，将参数单独移到一侧，转化为大于右侧函数在区间上的最大值，再通过求导求右侧函数最值. 【详解】（1）因为函数，函数定义域为， 所以（），因为，故， 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）不等式化简得：， ，变形得：． 所以对，不等式恒成立． 令（），求导得， 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 5．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数． (1)时，求的单调区间； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间 (2) 【分析】（1）当时，，求导，令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间； （2）分离参数，构造函数，转化为函数的最值. 【详解】（1）当时，，定义域为， ，令，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，恒成立， 即，整理得，在上恒成立. 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此时，取极小值，也是最小值. ，所以， 即实数的取值范围为. ◆题型2 分离变量法+隐零点求最值 6．（26-27高三上·北京·期中）已知函数． (1)当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； (2)若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 【答案】(1)①；② 单调递减区间是，单调递增区间是； (2). 【分析】（1）把代入求出函数的导数，①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用导数求出单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数 ，利用导数求出最小值范围，进而求出整数的最大值. 【详解】（1）① 当时，函数定义域为，求导得， 则，而， 所以曲线在点处切线的方程为. ② 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）依题意，，不等式 恒成立， 令 ，求导得， 令 ，求导得 ，函数在上单调递增， 而 ，则存在，使得， 即， 当时，，即；当时，，即， 函数在 上单调递减，在上单调递增， ， 因此，而， 令，由，得， 由对勾函数性质得 在单调递减， 则，所以整数的最大值为. 7．（2027高二·全国·专题练习）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间是， 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是 (2) 【分析】(1)与(2)都是函数求导后对a进行分类讨论后来求解函数单调性. 【详解】（1）定义域为，． （ⅰ）当时，对，，函数的单调递增区间是， （ⅱ）当时，时，；当时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）函数，，，， （ⅰ）当时，由重要不等式知，，在上递增，所以恒成立，符合题意． （ⅱ）当时，因为，故 ，所以在上递增． 又，存在，使得，从而函数在上递减，在上递增， 又，不满足题意．综上，实数的取值范围是． 8．（25-26高二下·广东江门·期末）已知函数，直线是曲线在点处的切线，且直线与曲线相切． (1)求直线的方程； (2)求a； (3)若不等式对任意的恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原函数求导得到切点处的斜率，再代入点斜式得出切线方程. （2）利用“切点处的导数值等于切线斜率”以及“切点既在曲线上又在切线上”这两个条件联立方程求解. （3）采用分离参数法构造新函数，通过连续求导与零点存在性定理找到该函数的最小值，进而确定整数的最大值. 【详解】（1），， 则在点处的切线方程为， 整理得. （2），设直线与曲线的切点为， 则， 且，，联立得，解得， 则. （3）由上知， 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，所以，则恒成立，即， 设，则， 设，则， 因为，所以，即在上单调递增， ，， 由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得， 即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 因此， 所以， 因为，且，所以的最大值为. 9．（25-26高二下·山东聊城·阶段检测）已知函数，其中 ． (1)当 时，求函数单调区间和极值； (2)若 ，求a的取值范围． 【答案】(1)单减区间为，单增区间为；极小值，无极大值 (2) 【分析】（1）通过对函数求导，令导数为0找临界点，通过求导判断导函数的单调性，列表判断导数和函数的符号，最后写出单调区间和极值. （2）先对函数求导确定函数唯一最小值点，借助隐零点代换消去参数求解最小值不等式，再由参数与零点的函数单调性推出a的范围. 【详解】（1）当 时，，函数定义域为，， 令，因为 ，所以在单调递增． 又 ，x、、的变化情况如下表： x 1 - 0 + 单调递减 单调递增 所以的单减区间为，单增区间为； 时有极小值，无极大值. （2）①当 时， ，不满足题意； ②所以 ，此时 ，令 ， 因为 ，所以是上的增函数， 当 时， ； 时， ， 所以存在唯一正实数使得 ，即 ， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由题意得 ，由 得， 代入上式得 ，整理得 ， 解得 ，即 . 令 ，其中 ， 则 ，所以是区间上的增函数. 因为， ， 所以 ，所以a的取值范围是. 10．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【答案】(1) (2)函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． (3)3 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程； （2）利用零点存在定理求解函数的零点个数； （3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）略； （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． ◆题型3 分离变量法+切线放缩求最值 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象在点处的切线为． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义列方程组计算求解； （2）令，由题意可知只需，求导，根据导数可得函数的单调性，进而求出的范围． 【详解】（1），，由已知， 得，解得， 所以函数的解析式为． （2）令，则， 因为，设，则， 所以在单调递增，， 所以当时，恒成立， 令，则；，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 若对任意的恒成立，则只需， 所以实数的取值范围为． 12．（2026·山东青岛·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； (2) 【分析】（1）先求得函数的导函数，然后根据，两种情况，讨论的单调性； （2）由题可知，在时恒成立，则令，结合（1）判断函数的单调性求其最小值，求得的取值范围. 【详解】（1）由题知：， 若，，在上单调递增；     若，令解得：， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上， 当，的递增区间是，没有单调递减区间， 若，的递增区间是，递减区间是； （2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立， 令 ，则 = ， 令，由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则有，即， 即当时，则，当时，则， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，于是得， 所以的取值范围为. 13．（25-26高二下·广西南宁·开学考试）函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求出导数，分类讨论的取值，根据导数值的符号，可判断单调性； （2）利用换元法，分离参数，求解新函数的最大值即可. 【详解】（1）由题意，， 当时，，所以在上单调递增. 当时，令可得， 当时，，，单调递增； 时，，，单调递减； 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，显然成立，此时； 当时，令，则，； 原不等式等价于恒成立，即恒成立， 令，， 令，则，为增函数，所以， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以有最大值， 所以的取值范围是. ◆题型4 同构法 14．已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）先求导，再分和两种情况，利用导数分析求解即可； （3）由题意得到在上恒成立，构造函数，并利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而求解不等式即可. 【详解】（1）当时，，， 因为，所以切点为， 又斜率， 故切线方程为：，即； （2）计算得，易知的定义域为， 当时，，，所以在上单调递增， 当时， 时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增； （3）由题可知在上恒成立， 即在上恒成立， 则有在上恒成立， 令，由可得在上单调递增， 故可化为， 所以在上恒成立， 即，解得， 故的取值范围为． 15．（25-26高二下·福建莆田·期末）已知函数． (1)证明：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)因为函数的定义域为， 又，设， 则，所以在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，所以． (2) 【分析】（1）利用导数分析的最值，可得出，即可证得结论成立； （2）分离参数得到，再利用导数分析的最值即可求得的取值范围． 【详解】（1）略 （2）因为对恒成立， 所以对恒成立． 令． 解法三：因为， 令，则， 所以． 由得；由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以的取值范围为． 16．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，． (1)若的最大值为，求的值； (2)若存在使得，求的取值范围； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导后按和分类讨论单调性，由最大值在处取得建立方程求出； （2）将不等式分离参数得，构造函数并求导找最大值，转化为小于该函数的最大值即可； （3）将不等式变形后利用函数的单调性去掉函数符号，转化为恒成立，再求的最大值即可确定的范围． 【详解】（1）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增，无最大值，不合题意； 当时，由，解得，由，解得，故在上单调递增，在上单调递减． 故的最大值为，则，得． （2）由可知，即存在满足， 令，则， 令，解得，即在上单调递增； 令，解得，即在上单调递减； 所以，因此即可满足题意，即的取值范围为． （3）由，可得，即， 令，易知单调递增， 由，可得，则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，得，因此的取值范围为． 17．（26-27高三上·云南·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：等价于． 方法一：令，则． 令，则． 函数在上单调递增，且， 函数在内存在唯一的零点，即． 当时，；当时，， 函数即在上单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为， 函数在上单调递增． 当时，； 当时，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立． 方法二：令． 当时，． 当时，． 令，则在上单调递增． ， 函数即在上单调递增，， 函数在上单调递增，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立 (3)． 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）方法一：不等式等价于证，令，求导得，再令，继续求导得，然后由零点存在定理可得函数在内存在唯一的零点，进而可得函数在上单调递增，再分当及即可证明． 方法二：易知时，，再利用导数可证在上单调递增，则，然后可证． （3）不等式可化为，令，则，结合函数的单调性可得在上恒成立，即在上恒成立，再求函数的最小值即可． 【详解】（1）． 又． 曲线在点处的切线方程为， 即． （2）略 （3）不等式，即， 等价于． 令，则原不等式可转化为． 函数在上单调递增，在上恒成立， 可得在上恒成立，在上恒成立． 设，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为． 又实数的取值范围为． ◆题型5 分类讨论法 18．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知 ， ． (1)当 时，求函数的单调区间和极值； (2)若 恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； (2) 【分析】（1）代入 后对函数求导，根据导数正负判断单调区间，进而求解极值； （2）先对函数求导，再结合导数对的取值分类讨论，求函数最小值，令最小值非负即可求得的取值范围. 【详解】（1）当 时， ，得 . 令 ，解得. 当 时， ，单调递减；当 时， ，单调递增. 故函数在处取极小值， ，无极大值. 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； （2）对，函数定义域为 ，得，分情况讨论： ① 若 ，因为 ，所以 恒成立，函数在R上单调递增， 且当 时 ，不满足 ，舍去； ② 若 ， 恒成立，符合要求； ③ 若 ，令 得 ，且 在 R上单调递增. 当 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增， 所以函数在 处取得极小值也是最小值，最小值为. 令 ，结合 ，解得 ，即 综上所述，的取值范围是. 19．（25-26高二下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用导数分析的单调性，进而求得函数的最大值； （2）根据题意，在上恒成立，参变分离后，通过（1）中所求，即可求得参数的范围； （3）将转化为在上恒成立，构造函数，讨论该函数的单调性，进而根据不同单调性的情况，分析是否在区间上恒成立，从而求得参数的范围. 【详解】（1），定义域为，， 令，得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为. （2）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 由（1）可知，的最大值为1，所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）若函数在上恒成立，即在成立， 所以在上恒成立， 令， 则， 因为，所以当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意； 当时，令， ①当时，即时，则恒成立， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以时符合题意； ②当时，即时，令， 则， 因为，所以， 所以当时，，所以在上恒成立， 即函数在上单调递增，所以当时，， 所以时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 20．（26-27高二上·重庆·期末）已知函数令 (1)当时，求的单调区间及最值 (2)①讨论在上的单调性； ②当时，函数对任意的恒成立，求的取值范围？ 【答案】(1)单调减区间为；单调增区间；最小值为0，无最大值 (2) ①当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. ② 【分析】（1）直接求导得，分析其单调性即可得到最值； （2）①求导得，再对分和讨论即可； ②分析的单调性即可得到其最值，则得到关于的不等式，解出即可. 【详解】（1）当时，，，， 令， 当，，在单调递减； 当，，在单调递增， 所以其单调增区间为，单调减区间为， 所以，无最大值. （2）①， ，， 当，，所以在上单调递增， 当，，当时，； 当，， 故在上单调递减，在上单调递增. ②当时，由①可知在上单调递增，且， 故当，； 当，故在上单调递减，在上单调递增， 故，所以. ◆题型6 等价转化法（左减右构造函数） 21．已知函数，． (1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围； (2)求的零点个数； (3)若，求证：对于任意，恒有． 【答案】(1) (2)1个 (3)若，此时，若对于任意，恒有， 此时在上恒成立，即证， 不妨设，函数定义域为，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值， 则，，故对于任意，恒有． 【分析】（1）二次函数导数为一次函数，极值点即导函数零点. 由，令其在区间内得，解得范围； （2）求导得，确定单调区间与极小值点，利用零点存在定理，结合 及判断唯一零点； （3）代入，欲证即证，构造函数，求导得最小值，从而不等式恒成立. 【详解】（1）已知，函数定义域为，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 若在区间上恰有一个极值点， 此时，解得， 则实数的取值范围为. （2）已知，函数定义域为，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值， 当时，，即， 此时函数在上无零点； 当时，易知，， 所以函数在上存在唯一一个零点， 综上，有1个零点. （3）略. 22．（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知函数，. (1)若函数在处取得极大值，求实数的值以及的极值； (2)已知，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，极大值，极小值 (2). 【分析】（1）由导函数为0，求出的值，再检验，最后根据函数单调性求极值即可. （2）构造，求导分析其单调性，将不等式恒成立问题转化为函数最小值大于零，求解即得. 【详解】（1）根据题意，，定义域为， 则. 因为函数在处取得极大值，所以， 解得或2. 当时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 此时为极小值点，不合要求； 当时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 此时为极大值点，为极小值点，符合要求. 综上，，，. （2）根据题意，，定义域为， 则. 因时，则， 由得，由得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，解得，解得， 故实数的取值范围是. 23．（26-27高三上·山西长治·开学考试）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)当，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)令，则，当时，， 所以在上单调递增.故，即. 因为，所以，即，所以得证. (3) 【分析】（1）对求导，导函数的分子为含参的二次函数，对参数进行讨论确定导函数的正负，进而得到的单调性. （2）要证明，即证明，要证，构造，对求导，判断导函数的正负确定单调性. （3）根据（1）问中的单调性讨论当时，，不符合题意，，不符合题意，当，构造讨论单调性，求出在上的最小值，确定的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，在上单调递减， 当时，，解得， 所以，，单调递减，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）略 （3）由（2）知，当时，. 若，当时 ，，不符合题意. 若，则，由（1）知，，单调递减， 所以，不符合题意. 若，令，. ，因为，所以. 又因为时，，即. 所以. 当时，， 故，所以在上单调递增. 又.所以当时，， 即恒成立，综上所述，的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·山东淄博·阶段检测）已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； (2) (3) 令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； （3）略 2．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． (3)对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. （3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可. 【详解】（1）因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． （3）由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 3．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的单调性转化为求解不等式，再结合对数函数的定义域和单调性求解不等式； （2）先将原不等式整理为，构造函数，分析函数的单调性和极值点，进而根据函数性质建立关于的不等式求解取值范围. 【详解】（1）当时，. 因此， 等价转化为，即，解得. 故原不等式的解集为. （2）将代入得. 故，其中. 令，则在上是严格增函数， 故不等式转化为. 从而，即对于恒成立. 令，故，. + 0 - 严格增 极大值 严格减 所以在上为严格增函数，在上为严格减函数. 因此，在上的极大值也是最大值为. 故的取值范围是. 4．（2026高三·全国·专题练习）设函数． (1)当时，求证：； (2)如果恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，所以 ， 当时，恒成立，所以 在区间上单调递增， 所以； (2)1 【分析】（1）求得 ，利用导数,证明 在区间上单调递增， 从而可得； （2）讨论三种情况：当时，由（1）知符合题意；当时，因为，先证明在区间上单调递增，可得符合题意；当时，存在唯一使得，任意时，，不合题意，综合即可得结果． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以， 当时，由（1）知，对恒成立； 当时，因为，所以， 因此在区间上单调递增， 所以对恒成立； 当时，令，则， 因为，所以恒成立， 因此在区间上单调递增， 且， 所以存在唯一使得，即， 所以任意时，，所以在上单调递减， 所以，不合题意； 综上可知，，故的最小值为1. 5．（25-26高二·全国·二轮复习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）对函数求导后先分析的取值范围，若易得单调递减，若，则令，求得极值点后即可根据导数的正负判断函数的单调性； （2）由题意得，分类讨论与1的位置关系，由此确定，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 6．（25-26高二下·山东淄博·阶段检测）已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； (2) (3) 令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； （3）略 7．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． (3)对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间； （2）由可得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. （3）由不等式整理得到，再通过分析的单调性，得到，再求解即可. 【详解】（1）因为，， 则，当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，由可得， 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点. ，当时，，此时函数单调递增. 当时，，此时函数单调递减． 所以函数的极大值为， 且，，在的图象如图所示． 由图可知，当时， 直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． （3）由，得恒成立，移项， 得恒成立. 构造函数，所以恒成立. 又∵在定义域内单调递增， ∴有在内恒成立， ∴恒成立，即. 由（2）可知最大值为，所以. 8．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）记（）． (1)若，解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的单调性转化为求解不等式，再结合对数函数的定义域和单调性求解不等式； （2）先将原不等式整理为，构造函数，分析函数的单调性和极值点，进而根据函数性质建立关于的不等式求解取值范围. 【详解】（1）当时，. 因此， 等价转化为，即，解得. 故原不等式的解集为. （2）将代入得. 故，其中. 令，则在上是严格增函数， 故不等式转化为. 从而，即对于恒成立. 令，故，. + 0 - 严格增 极大值 严格减 所以在上为严格增函数，在上为严格减函数. 因此，在上的极大值也是最大值为. 故的取值范围是. 9．（2026高三·全国·专题练习）设函数． (1)当时，求证：； (2)如果恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)因为，所以 ， 当时，恒成立，所以 在区间上单调递增， 所以； (2)1 【分析】（1）求得 ，利用导数,证明 在区间上单调递增， 从而可得； （2）讨论三种情况：当时，由（1）知符合题意；当时，因为，先证明在区间上单调递增，可得符合题意；当时，存在唯一使得，任意时，，不合题意，综合即可得结果． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以， 当时，由（1）知，对恒成立； 当时，因为，所以， 因此在区间上单调递增， 所以对恒成立； 当时，令，则， 因为，所以恒成立， 因此在区间上单调递增， 且， 所以存在唯一使得，即， 所以任意时，，所以在上单调递减， 所以，不合题意； 综上可知，，故的最小值为1. 10．（25-26高二·全国·二轮复习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）对函数求导后先分析的取值范围，若易得单调递减，若，则令，求得极值点后即可根据导数的正负判断函数的单调性； （2）由题意得，分类讨论与1的位置关系，由此确定，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 11．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直． (1)求的最值； (2)若对任意实数，有恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)最小值为，无最大值； (2)1. 【分析】（1）对求导得到，代入得到切线的斜率，根据两直线垂直斜率乘积为，求出，从而得到，的表达式.；根据导函数的正负性来判断函数的单调性，根据函数单调性确定函数的最值； （2）将不等式转化为，构造新函数，通过新函数的单调性来确定新函数的最值，进而确定的取值范围，求出整数的最大值. 【详解】（1）由，得函数的定义域为，且，. 在点处的切线与直线垂直． ，即； ，. 令，即．得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 当时，取得极小值，也是最小值，即. 的最小值为，无最大值． （2）由（1）得，定义域为. 由，得. 令，. 即对任意实数，有恒成立，等价于. . 令，则，在上单调递增，即在上单调递增. 时，；，； 又，； ，使得，即，得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 当时，取得最小值， 即 . ，，即. . 由，得且； ，即整数的最大值为1． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $