专题04 函数的极值与最大（小）值（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题04 函数的极值与最大（小）值 常考题型·精准突破 考点一 函数（导函数）图象与极值、最值 题型1 函数（导函数）图象与极值、最值（重） 考点二 函数极值（点） 题型2 求已知函数的极值（极值点）（重）（高频） 题型3 根据函数的极值（极值点）求参数（重）（高频） 考点三 函数最值 题型4 由导数求函数最值（不含参数）（重）（高频） 题型5 由导数求函数最值（含参数）（重）（高频） 题型6根据函数最值求参数（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数（导函数）图象与极值、最值 ◆题型1函数（导函数）图象与极值、最值 1．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知是的导函数，如图是函数在上的图象，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取极值 D．在处取极值 2．（25-26高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 3．（25-26高二下·广东肇庆·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（   ）    A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．函数有最小值 B．函数有最大值 C．函数有且仅有三个零点 D．函数有且仅有两个极值点 考点二 函数极值（点） ◆题型2 求已知函数的极值（极值点） 6．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数   在 处取得极值. (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的单调区间及极值. 7．（25-26高二下·宁夏固原·阶段检测）已知函数，求的极值． 8．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 9．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 10．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求的极值． ◆题型3 根据函数的极值（极值点）求参数 11．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数在时取得极小值4. (1)求实数，的值； 12．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数在时取得极大值． (1)求实数，的值； 13．（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知函数，在处取得极值. (1)求实数，的值； 14．（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数的极值点分别为1和2． (1)求实数，的值； 15．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求的单调区间； 考点三 函数最值 ◆题型4 由导数求函数最值（不含参数） 16．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在区间内的最大值和最小值． 17．（26-27高三上·江西九江·开学考试）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 18．（26-27高三上·海南儋州·阶段检测）设函数，，记 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最值． 19．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的值域． 20．（25-26高二下·北京·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线； (2)求在上的最值． ◆题型5 由导数求函数最值（含参数） 21．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 22．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 23．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 24．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 25．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． ◆题型6 根据函数最值求参数 26．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为6，求的值. 27．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 28．（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的最小值为0，求的值． 29．（25-26高二下·四川广安·期末）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 30．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在区间的最小值为7，求实数的值． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）当，函数取得最小值2，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·安徽·开学考试）若函数在区间上有最小值，则正整数的值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知函数在上的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知函数在处取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）函数在上存在极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在上的极小值点 8．（25-26高二下·北京延庆·期末）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若函数的极大值点为负数，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．2 D．－1 10．（多选）（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，为的导数，则（    ） A．任意实数，一定存在极大值 B．任意实数，一定存在极小值 C．存在实数，使得在区间上单调递增 D．任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 11．（25-26高二下·全国·课后作业）函数的最大值为________，最小值为________． 12．（26-27高三上·云南·阶段检测）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围为___________． 13．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域上存在极值点，求的取值范围. 14．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数的两个极值点互为相反数，且极小值为． (1)求，的值； (2)求曲线经过原点的切线方程； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 15．（25-26高一下·北京延庆·期末）设函数，其中. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求； (2)若在处取得极小值，求的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的极值与最大（小）值 常考题型·精准突破 考点一 函数（导函数）图象与极值、最值 题型1 函数（导函数）图象与极值、最值（重） 考点二 函数极值（点） 题型2 求已知函数的极值（极值点）（重）（高频） 题型3 根据函数的极值（极值点）求参数（重）（高频） 考点三 函数最值 题型4 由导数求函数最值（不含参数）（重）（高频） 题型5 由导数求函数最值（含参数）（重）（高频） 题型6根据函数最值求参数（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数（导函数）图象与极值、最值 ◆题型1函数（导函数）图象与极值、最值 1．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知是的导函数，如图是函数在上的图象，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取极值 D．在处取极值 【答案】D 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 所以在和取极值， 故ABC错误，D正确. 2．（25-26高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（    ）    A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 【答案】D 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 3．（25-26高二下·广东肇庆·期中）已知函数，其导函数的图像如图所示，则对于的描述正确的是（   ）    A．在区间上单调递减 B．当时取得最大值 C．在区间上单调递增 D．当时取得极小值 【答案】D 【分析】分析出的正负，进而得出的单调区间和极值即可求解． 【详解】当时，，所以在和上单调递增，故A错误； 当时，，所以在和上单调递减，故C错误； 所以当和3时，取得极大值，又与的大小未知，故无法判断最大值， 当时，取得极小值，故B错误，D正确． 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 【答案】D 【分析】求导，，再根据导数的图象逐项判断. 【详解】，由图象可知，，且当时，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 对于A：如图是函数的大致图象，易得无最值，故A错： 对于B，当时，，由，得，故B错误； 对于C、D：有两个极值点1和2，且当时函数取得极小值，当时函数取得极大值，故C错误，D正确． 故选：D. 5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．函数有最小值 B．函数有最大值 C．函数有且仅有三个零点 D．函数有且仅有两个极值点 【答案】A 【分析】根据的图象判断出的单调性、极值点、最值、零点，逐一分析每一选项即可. 【详解】由函数图象可知、的变化情况如下表所示： 由上表可知在和上分别单调递减，在和上分别单调递增， 函数的极小值分别为、，其极大值为. 对于A选项：由以上分析可知，即函数有最小值，故A选项正确； 对于B选项：由图可知当，有，即增加得越来越快， 因此当，有，所以函数没有最大值，故B选项错误； 对于C选项：若有，则由零点存在定理可知函数有四个零点，故C选项错误； 对于D选项：由上表及以上分析可知函数共有3个极值点，故D选项错误. 故选：A. 考点二 函数极值（点） ◆题型2 求已知函数的极值（极值点） 6．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数   在 处取得极值. (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的单调区间及极值. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为. 【分析】（1）由题设可得，据此可得答案； （2）由（1）中验证过程可得的单调区间与极值. 【详解】（1）. 由在处取极值可得， 则此时. ，， 得在上单调递增，在上单调递减，即符合题意； （2）由（1）分析可得：在上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为. 7．（25-26高二下·宁夏固原·阶段检测）已知函数，求的极值． 【答案】极大值为1；极小值为 【分析】求导，利用导数分析函数单调性，进而求出函数极值． 【详解】由题意得的定义域为R，则， 令，解得，， 则变化情况如下表： 极大值 极小值 的极大值为；极小值为． 8．（25-26高二下·四川南充·期末）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2) 极小值，无极大值 【详解】（1），求导可得， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由小问1可知，， 令，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极小值为，无极大值. 9．（25-26高二下·天津武清·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2) 极小值为，无极大值 【分析】（1）先计算切点坐标，利用导数的几何意义求切线斜率，代入点斜式得到切线方程. （2）通过导数分析函数单调性，根据单调性确定极值. 【详解】（1）当时，，故切点为. ，因此切线斜率为. 因此切线方程为，整理得. （2）函数的定义域为，. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取得极小值，极小值为，无极大值. 10．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2) 极小值为，无极大值 【分析】（1）对求导，代入得斜率和切点，代入点斜式得切线方程； （2）对求二阶导，根据的单调性判断和计算的极值. 【详解】（1）函数的定义域为， ，代入得， 即切点为，切线斜率， 由点斜式得切线方程为. （2）对求导得， 定义域，，，故恒成立， 因此在上单调递增. 又，因此 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 因此只有极小值，无极大值，极小值为， 即的极小值为，无极大值. ◆题型3 根据函数的极值（极值点）求参数 11．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数在时取得极小值4. (1)求实数，的值； 【答案】(1)， 【详解】（1）由得，， 因为函数在时取得极小值4，所以，即，解得. 12．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数在时取得极大值． (1)求实数，的值； 【答案】(1)， 【详解】（1）因为， 所以， 又因为函数在时取得极大值． 所以，解得， 当时， ，， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在时取得极大值，为，满足题意， 所以； 13．（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知函数，在处取得极值. (1)求实数，的值； 【答案】(1) 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 由在处取得极值， 得，解得， 此时， 当时，；当时，， 因此函数在处取得极值，所以. 14．（25-26高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数的极值点分别为1和2． (1)求实数，的值； 【答案】(1)， 【详解】（1）求导， 由题意知，1和2是方程的两个根， 则，解得， 检验，当，时，， 当或时，，当时，， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处有极大值，在处有极小值，符合题意. 15．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1)． (2)单调递增区间为、，单调递减区间为． 【详解】（1）．因在处取得极值，故，解得． 此时，在两侧由正变负，确实取得极值． （2）由小问1知，当或时，； 当时，．故的单调递增区间为、，单调递减区间为． 考点三 函数最值 ◆题型4 由导数求函数最值（不含参数） 16．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在区间内的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值，极小值． (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 则， 因为函数在处的切线与轴平行， 所以， 解得． （2）函数的定义域为 且， 当时，； 当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 所以当时，函数取到极大值， 当时，函数取到极小值． （3）由（2）得，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 又，，，， 故在区间上的最大值为， 最小值为. 17．（26-27高三上·江西九江·开学考试）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值． (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求导，结合导函数判断即可； （2）结合函数的单调性判断最值即可. 【详解】（1）对函数求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 由单调性可知，当时，函数取得极小值，将代入函数可得： ，函数无极大值. （2）由可知函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以函数在上的最小值为，最大值为 18．（26-27高三上·海南儋州·阶段检测）设函数，，记 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）确定，再利用导函数确定单调性，然后可得最值. 【详解】（1），，， 在处的切线方程为：，即； （2）， 所以在区间是单调递增． 所以，． 19．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求处的切线斜率，结合两直线垂直的斜率关系求解； （2）通过导数判断函数在上的单调性，比较极小值和端点值的大小得到值域. 【详解】（1）函数的定义域为，对求导得， 则在处的切线斜率， 直线变形为，斜率为， 由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得. （2）由（1）得，求导并整理得， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 因此在处取得区间内的最小值， 计算端点值，， 比较和的大小：， 由于，故，即区间内最大值为， 综上所述，在上的值域为. 20．（25-26高二下·北京·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线； (2)求在上的最值． 【答案】(1). (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导，求出和，通过点斜式可得切线方程； （2）求导，确定函数单调性，通过确定极值和端点值的大小来确定最值. 【详解】（1）， 故，， 曲线在处的切线方程为，即； （2），， 令，得，令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， ，， ， ， . ◆题型5 由导数求函数最值（含参数） 21．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减 (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【分析】（1）先对函数求导，再讨论、及即可； （2）结合函数单调性，讨论及即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，解得或， 当时，恒成立， 所以函数在上单调递增； 当时，解得或， 解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，解得或， 解得 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减， 在上单调递增，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 当时，， 函数在区间上的最大值为； 当时， 函数在区间上的最大值为； 综上所述，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 22．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) ，切线方程为； (2) 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【详解】（1） 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 （2）令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在处取得 综上， 23．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 24．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解； （2）求导，结合导数的性质及得出，分情况讨论求出各区间内的，进而求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 已知在处取极值，则，解得． 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. （2）函数的导数为， 已知，，则， 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 综上可得： ． 25．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果； （2）求导，分、和三类情况进行讨论，对于的情况，再细分和两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）因为时，， 所以， 令，解得， 所以时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），令，解得， ①当，即时， 在上单调递增；所以； ②当，即时， 对于，，故在上单调递增， 所以； ③当，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， 若，即，则在上单调递减，所以； 若，即，则在上单调递减，上单调递增， 所以； 综上：当时，； 当时，； 当时，． ◆题型6 根据函数最值求参数 26．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求函数在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为6，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1，先利用单调函数定义证明在上单调递增，再由单调性可得最值； 法2，利用导数研究函数单调性，据此可得最值； （2）法1，利用单调函数性质可得单调性，据此可得函数在区间上的最大值为，据此可得答案； 法2，讨论函数在上的单调性和最值，结合题设可得答案. 【详解】（1）法1，当时，，，任取， 则， ，，， ，，即. 在上单调递增，的最小值为. 法2，，， 进而在上单调递增，的最小值为. （2）法1：当时，，均在单调递增，所以在单调递增， 当时，在单调递增， 当时，，，，单调递减； ，，单调递增. 综上，函数在区间上的最大值为 当时，，，不符合题意. 当时，，，符合题意 所以. 法2，，，. 若时，在恒成立，在上递增. 则，得符合，； 若时，在恒成立，在上递减. 则，得，不符合； 若时，令，得， 列表如下： - 0 + 最小值 则. 有以下两种情况： ，无解；，无解； 综上，的值为. 27．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)，对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． (3) 【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用处导数值等于0列方程求，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得无极值点； （2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断单调性； （3）结合第二问的单调性结论，分类讨论在上的最大值，令最大值为1，求解得到符合条件的. 【详解】（1）略 （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． （3）①当时，在单调递减，最大值为，由最大值为1得，符合条件； ②时，函数在处取得极大值，显然， 则最大值可能在或处取得． 若，则，不符合． 下面证明同样不可能成立． 令，则，代入得． 此时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，同样不可能有． 综上所述，实数的值为1． 28．（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，两种情况求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，由，可得切点为， 所以所求切线方程为，即． （2）因为， ①当时，，所以在上单调递减， 因此无最小值，不符合题意； ②当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此的最小值为， 解得， 综上可知，． 29．（25-26高二下·四川广安·期末）已知函数，． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值是，求a的值． 【答案】(1)的单调递减区间为,单调递增区间为. (2)． 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性， （2）求定义域，求导，分，和三种情况，得到函数单调性和最小值，从而得到方程，求出答案 【详解】（1）的定义域为，. 当时，， 所以当时，；当时，， 故的单调递减区间为,单调递增区间为； （2）的定义域为，. 当时，在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，故，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去. 综上，的值为． 30．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在区间的最小值为7，求实数的值． 【答案】(1) 极小值为，无极大值. (2) . 【分析】（1）代入的值后求导，判断单调性确定极小值点； （2）求导后分类讨论导函数零点与区间端点的位置关系，第一种情况下直接解出参数，第二种情况下构造新函数证明无解. 【详解】（1）当时，，定义域. ，令得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）求导得. 因，导数符号由决定，分类讨论： ① 若，即，此时在恒成立，单调递增， 最小值为，令，解得，符合条件； ② 若，即，令，得 . 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，即， 令 ，则， 故在上单调递增，又，故，无解. 综上，实数的值为. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）当，函数取得最小值2，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和列出方程组解出和的值，再代入即可得出的值. 【详解】由题可得，，， 联立可得，解得， 此时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得最小值，符合题意， 所以. 2．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当时，恒成立，即在定义域内单调递增，不合题意； 当时，或， 所以或时，单调递增， 时，单调递减， 所以在处取得极小值，所以，解得 . 3．（26-27高三上·安徽·开学考试）若函数在区间上有最小值，则正整数的值有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的极小值点为，分析可知，据此可求出符合条件的正整数的值，即可得解. 【详解】因为，则， 因为，则， 由可得，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数在处取得极小值， 因为函数在区间上有最小值，则， 易知，所以且，解得， 还需，即， 整理可得，即， 由题意可知，所以， 所以， 整理可得，解得或， 因为，故，解得， 结合，可得，又因为，所以. 综上所述，符合条件的正整数的取值有且只有个. 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知函数在上的最小值为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，分为和两种情况利用导数与单调性的关系求出函数的单调性，进而求出的最小值，再利用导数求出的最大值即可求出答案. 【详解】因为函数，所以， 令，由，则，所以解得：， ①当，即时，此时， 又，函数在上单调递增，所以，所以， 所以当时，，即此时函数在上单调递增， 所以，即， 又，所以； ②当，即时，由， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以， 即时，， 则， 令，解得：， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调减， 所以； 因为，所以， 综上所述，的最大值为. 5．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知函数在处取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，再检验，即可求出的值. 【详解】因为的定义域为，又， 依题意可得，即，解得， 此时，则， 所以当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减， 则在处取得极大值，也是最大值，符合题意； 所以. 6．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）函数在上存在极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数与函数极值点的关系求出函数的极值点，结合题意列出不等式，即可求解. 【详解】的定义域为，求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故是的唯一极小值点， 由题意极值点，则，解得． 故的取值范围是． 7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在上的极小值点 【答案】A 【分析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）. 【详解】由图象可知在区间单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增，所以A选项正确，B选项错误. 在区间上，先单调递减，再单调递增，有极小值为，C选项错误. 在区间上，是的极小值点，D选项错误. 8．（25-26高二下·北京延庆·期末）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，. 所以. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数唯一的极小值点为. 由且为函数定义域的子集. 9．（多选）（26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若函数的极大值点为负数，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．2 D．－1 【答案】AC 【分析】利用导数法求出单调性，利用单调性求出极大值点，利用极大值点为负数求出的值. 【详解】因为， 所以， 当时，，无极值，不符合题意． 当，即时，的解为或， 的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数， 则在处取极大值， 则的极大值点为1，不符合题意． 当，即时，的解为或， 的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数， 则在处取极大值， 则的极大值点为， 因为函数的极大值点为负数， 所以，解得． 10．（多选）（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）已知函数，为的导数，则（    ） A．任意实数，一定存在极大值 B．任意实数，一定存在极小值 C．存在实数，使得在区间上单调递增 D．任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 【答案】AB 【分析】AB选项基于极值的判断，需要对原函数求导，分析导数符号变化判断单调性即可；C项利用转化思想，根据单调性，以及函数零点存在定理进行判断；D项考查切线问题，核心在于构造函数进行零点的研究. 【详解】对求导得： 设,其判别式, 因此恒有两个不同的实数根,的符号由决定. 选项AB:因为恒成立,总有两个不同的零点,,不妨设, 当时,,,递增； 当时,,,递减； 当时,,,递增, 因此一定存在极大值和极小值. 选项C：,故,即且函数连续, 故存在使得,即不可能在区间上单调递增. 选项D：设切点为, 当曲线切线与重合时，可得是一组解， 当时,, 设,, 所以当时，,单调递增, 当时，,单调递减, 又,且,所以只有唯一解0, 所以当时,曲线仅在处的切线斜率为1,且与直线重合. 11．（25-26高二下·全国·课后作业）函数的最大值为________，最小值为________． 【答案】 【详解】由，所以． 当时，，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值． 当时，函数取得最小值． 12．（26-27高三上·云南·阶段检测）若函数既有极大值也有极小值，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先求得，根据极值点的个数列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】的定义域是， ， 要使函数既有极大值也有极小值， 则需函数有两个正根， 所以，解得， 所以的取值范围是. 13．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域上存在极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）切线方程问题：先求切点函数值，再求导代入横坐标得到切线斜率，用点斜式写出切线； （2）存在极值点等价于导数在定义域存在变号零点；对导函数分类讨论与两种情况，分析单调性，利用最大值大于0求出参数范围. 【详解】（1）当时，，， ，，所以切线方程为，即. （2）已知函数（），定义域为，且， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 设 ，则， ① 当时，恒成立，在上单调递增； 且时，时，故有唯一零点且为变号零点，有极值点； ② 当时，令，解得. 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. ，而时，, 要使有变号零点，需，即（时仅有一个零点但不变号）. 综上所述，的取值范围为. 14．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数的两个极值点互为相反数，且极小值为． (1)求，的值； (2)求曲线经过原点的切线方程； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理求得，再讨论函数单调性即可得，解方程即可求得； （2）分为切点和不是切点两种情况讨论求解即可； （3）结合函数的单调性，极值讨论求解即可. 【详解】（1）由得， 因为函数的两个极值点互为相反数， 所以有两个不相等的实数根，且互为相反数，不妨设为， 所以，由韦达定理得，解得， 所以，解得， 所以，当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，当时，函数取得极小值， 因为极小值为， 所以，即，解得， 所以， （2）结合（1）知，， 当为切点时，，此时切线方程为，即； 当不是切点时，设切点为，则切线斜率为， 此时切线方程为：， 因为切线过点， 所以，即，解得，与矛盾， 所以，不存在切点不是原点，且过原点的切线. 综上，过原点切线只有. （3）由（1）知，， 所以，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因为，，，， 所以，当函数在区间上的值域为，需满足， 所以实数的取值范围为. 15．（25-26高一下·北京延庆·期末）设函数，其中. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求； (2)若在处取得极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘积求导法则求出函数的导函数，将切点横坐标代入导函数，结合切线斜率为0的条件建立关于的方程，求解方程并结合的限制得到的值； （2）对整理后的导函数因式分解，根据导函数的两个零点和的大小关系分类讨论，分析不同区间内导函数的正负性以判断的单调性，结合极小值的定义反推为极小值点时满足的条件，进而得到的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）得，其中恒成立， 因此的符号完全由二次函数决定， 已知，对因式分解得，两个零点为和， ①当时，，时，，所以，单调递增； 时，，所以，单调递减； 时，，所以，单调递增； 所以当时，取得极大值，不合题意； ②当时，，，恒成立（当且仅当时取等号），所以恒成立， 所以在上单调递增，无极值； ③当时，，时，，所以，单调递增； 时，，所以，单调递减； 时，，所以，单调递增； 所以当时，取得极小值，符合题意； 综上，的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $