专题03 函数的单调性（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题03 函数的单调性 常考题型·精准突破 题型1 利用导数求函数的单调区间（重） 题型2 函数与导函数图象之间的关系（高频） 题型3 已知函数 在区间上单调，求参数（重） 题型4 已知函数 在区间上不单调，求参数（重） 题型5 已知函数 在区间上存在单调区间，求参数（重） 题型6 已知函数 的单调区间是，求参数（重） 题型7 讨论函数的单调性（导函数有效部分为一次型）（重）（高频） 题型8 讨论函数的单调性（导函数有效部分为可因式分解的二次型）（重）（高频） 题型9 讨论函数的单调性（导函数有效部分为不可因式分解的二次型）（难） 题型10 构造函数并利用函数单调性研究函数值大小（或不等式）（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用导数求函数的单调区间 1．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间是. 2．（25-26高二下·河南濮阳·期末）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数定义域，再求导并解导数大于零的不等式，得到单调递增区间. 【详解】函数的定义域为， . 令，由，，得，即. 故函数的单调递增区间为. 3．（25-26高二下·上海·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， ， 由，解得， 函数的单调递增区间为． 4．（26-27高三上·河南·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【分析】函数的单调递增区间即为的解集，求解不等式即可. 【详解】由已知， 该不等式等价于， 解得. 5．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是_______________． 【答案】 【详解】由已知，， 由，可得，解得， 即函数的递增区间为． ◆题型2 函数与导函数图象之间的关系 6．（2026高三·全国·专题练习）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过函数图象的单调性判断导数的符号，得到答案 【详解】因为所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减， 所以相应的导数值应为正负正负，故A选项满足要求. 7．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为导函数 的图象全部在轴下方， 所以在区间内，恒成立， 所以原函数在上是单调递减的， 而选项A，B在上是单调递增的，直接排除. 在上，的图象是下降的，说明的值越来越小， 对应原函数的切线斜率越来越小，即递减速度越来越快， 在上，的图象是上升的，说明的值越来越大， 对应原函数的切线斜率越来越大，即递减速度越来越慢， 选项C，在上递减速度越来越慢，在上递减速度越来越快， 与导函数的变化规律相反，错误. 选项D，在上递减速度越来越快，在上递减速度越来越慢， 与导函数的变化规律一致，正确. 8．（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数单调性与导函数间的关系判断即可. 【详解】由图象可得，在上单调递减，故在恒成立，在上是先增后减再增， 故其导函数在上的函数值是先正后负再正，只有D选项符合题意. 9．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】由导函数的图像可知，当时，，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以B正确，A，C，D错误. 10．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A． B．     C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与导数符号之间的关系判断即可. 【详解】由导函数的图象可知，当时，且在单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上的图象增长速度越来越快，排除AD选项， 当时，，则函数在上单调递增，排除C选项. ◆题型3 已知函数 在区间上单调，求参数 11．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）若函数在上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上大于等于零恒成立，（不恒为零），等价于恒成立， 令，则， 易得当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 当时，，当时，， 所以. 12．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得， 在区间上单调递增，故对任意，都有， 即，解得，对任意恒成立， 当时，，故时恒成立， 故正数的取值范围为． 13．（25-26高二下·海南·期末）已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数单调递减转化为导函数恒小于等于，分离参数构造新函数，利用导数求新函数最大值，再解出参数的取值范围． 【详解】的定义域为， ， 由在定义域上单调递减， 得，恒成立， 由，得， 令，， 由，得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以时，取最大值， 所以，解得， 即实数的取值范围为． 14．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为________________． 【答案】 【分析】由导数与函数单调性的关系可知，，参变分离得，利用导数求出在上的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】由题意得函数在区间上单调递增，则，， 可得，可得， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 故当时，，故，即的最小值为. 15．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递减，求的取值范围. 【答案】 【分析】求出函数的导数，由题意可得到在上恒成立，求解相应不等式即可. 【详解】由题意得， 在上单调递减 ⇔在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，故等价于，即在上恒成立； 此时，故. 经验证时在上恒成立，故. ◆题型4已知函数 在区间上不单调，求参数 16．（25-26高二下·重庆·期中）若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在上有变号零点，结合二次函数的图象与性质分析即可求解. 【详解】函数的定义域为, , 令，解得：，且恒成立， 因为函数 不单调，则在上有变号零点， 则两个根和至少有一个在， 由于，则必在区间内，故，解得： 17．（25-26高二下·河南商丘·期中）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数求导得，因为函数在定义域上不是单调函数， 所以导函数的函数值既有正值又有负值，故，即，所以. 18．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，转化为在上有变号零点，设，求得在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 要使得函数在上不单调，即在上有变号零点， 设，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 19．（2026高三下·全国·专题练习）若函数在上不单调，求满足的条件为_____. 【答案】 【分析】结合导数以及二次函数的性质求解即可. 【详解】已知函数在上不单调， 则  有两不等实根 ， 即. 20．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由于函数在区间上不单调， 故，或，解得或， 故的一个取值可为0. ◆题型5已知函数 在区间上存在单调区间，求参数 21．（25-26高二下·陕西西安·期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化问题为在上有解，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】根据题意可得在上有解， 即在上有解，所以， 由，得，则 ，所以， 则的取值范围为. 22．（25-26高二下·重庆·期中）已知，函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对求导，将函数在上存在递减区间转化为导数小于0有解，分离参数得，构造函数并求导判断其在区间内单调递增，进而得到的取值范围. 【详解】由题意，，定义域为. 求导得. 函数在上存在单调递减区间，即存在，使得成立. 即在上有解，整理得. 令，， 求导得. 当时，，故，在上单调递增. 当时，，所以. 因此，结合条件，得实数的取值范围是. 23．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立， 即在上有解. 当时，， 故，即实数的取值范围是. 24．（25-26高二下·四川成都·期末）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 函数在上存在单调递增区间， 在上有解，即在上有解； 在上有解，即. 令，； 在上单调递减， 时，取得最大值； ，即实数的取值范围为. 25．（25-26高二下·河南周口·期末）已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． ◆题型6 已知函数 的单调区间是，求参数 26．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. ∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为， 即和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得. ∴ . 27．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】先对函数求导，再根据单调递减区间与导数不等式解集的关系，利用韦达定理求参数． 【详解】解：易知，由题意知的解集为， 则与4是方程的两个根，故． 故选：A． 28．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合分类讨论求得，经验证符合题意. 【详解】由求导可得， 当时，，单调递减，无单调递增区间，不符合题意； 当时，因为函数的单调递增区间为，则有，解得. 当时，， 则时，，单调递减；时，；时，，单调递增. 故函数的单调递增区间为，符合题意. 所以. 故选：C. 29．（2026·海南三亚·一模）若函数的减区间为，则函数的值域为______． 【答案】 【分析】先根据函数的单调性确定的值，再分析函数的单调性求函数值域. 【详解】因为，， 由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，由. 此时，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，故满足题意. 此时， 所以函数的值域为. 30．（25-26高二下·天津津南·期中）若函数的单调递减区间为，则________． 【答案】 【详解】由，得， 因为函数的单调递减区间为， 所以不等式的解集为， 因此一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理，可得方程组：，解得， 则. ◆题型7 讨论函数的单调性（导函数有效部分为一次型） 31．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）设函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； 【答案】(1). (2)函数 的单调增区间为 ， 单调减区间为 【详解】（1）因为，所以， ，， 曲线在点处的切线方程为. （2），， 令得， 当时，，当时，， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. 32．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性，并求出单调区间； 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 【详解】（1）时，，，，， 故曲线在处的切线方程为； （2），当时恒成立，在上单调递增； 当时，由得， 时，， 时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； 33．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【详解】（1），，， 所以函数在处的切线方程为：. （2）， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增. 34．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间. 【答案】(1) (2) 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【详解】（1）当时，， 计算得，故切点坐标为， 对求导得， 则切线斜率， 由点斜式得切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得. ①当时，对任意，都有，故， 因此恒成立，故在上单调递减； ②当时，令，即，变形得， 两边取自然对数得，解得. 当时，，函数在单调递减； 当时，，函数在单调递增. 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 35．（26-27高三上·广东梅州·开学考试）已知函数． (1)求的单调区间； 【答案】(1)若，则无单调区间；若，则单调递增区间为，单调递减区间为；若，则单调递增区间为，单调递减区间为. 【详解】（1）的定义域为， ， 若，则，此时无单调区间； 若，令得，令得， 此时单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得，令得， 此时单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，若，则无单调区间； 若，则单调递增区间为，单调递减区间为； 若，则单调递增区间为，单调递减区间为. ◆题型8 讨论函数的单调性（导函数有效部分为可因式分解的二次型） 36．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，其中．当时，求函数的单调区间． 【答案】当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【分析】求导，分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】由，，定义域是， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 37．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增. 【分析】先对函数求导，再由求出方程的两个根，然后根据两根的大小关系对参数进行分类讨论． 【详解】的定义域是， ， 由，得或， 当，即时，时，，时，， 在单调递减，在单调递增； 当，即时，时，，或时，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当，即时，，在单调递增； 当，即时，时，，或时，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当，即时，时，，时，， 在单调递减，在单调递增； 综上，时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增. 38．已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）先利用导数写出切线斜率，再利用斜率坐标公式建立方程，求出切点，最后代入点斜式即可写出方程； （2）先求导分解因式，再根据的正负，比较两根2和的大小，分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，所以. 设切点为，则， 即，解得， 所以，又， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 且 当时，由，得，在上单调递增， 由，得，在上单调递减； 当时，由， 若，则，在上单调递减； ，因为，由，得或，则在上单调递减； 由，得，则在上单调递增； 若，因为，由，得或，则在 上单调递减； 由，得，则在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 39．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求解； （2）求出函数的导数，讨论参数a的取值范围，确定导数的正负，即可确定函数的单调性. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）由得， 当时，，令，则， 当时，，则；当时，，则； 故在单调递增，在单调递减； 当时，令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增； 综合上述可知： 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增, 40．（25-26高二下·天津·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. 【分析】（1）代入，求出与，再写切线方程. （2）先求并因式分解，再结合对导数符号分类讨论，确定单调区间. 【详解】（1）当时，，. ，所以. 所以切线方程为. （2）定义域为. . 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，由可知与同号. 因此在与上，在上， 所以在与上单调递增，在上单调递减. 综上可知：当时，在上单调递减，在与上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在与上单调递增. ◆题型9 讨论函数的单调性（导函数有效部分为不可因式分解的二次型） 41．已知函数，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)①当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；②当或时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 【详解】（1）因为，所以， 则二次方程的判别式， ①当，即时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间． ②当，即或时，的两个实根为，， 由得， 由得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 当或时，单调递增区间为和，单调递减区间为. 42．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)，证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． 【详解】（1）对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． 43．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 44．（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）已知函数． (1)若． （ⅰ）证明：曲线过定点； （ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程． (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2)当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）（ⅰ）当时，，令，即可求得定点坐标； （ⅱ）利用切线斜率等于切点处的导数求解即可； （2）先对求导，再分、、三种情况进行讨论即可. 【详解】（1）（ⅰ）由题得， 因为，所以曲线过定点． （ⅱ）由题得，则， 所以． 又，所以曲线在点处的切线方程为．即． （2）由题得，．则， 对于，， 当，即时，，在上单调递增． 当，即时，由，得， 当时，，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当时，， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 45．（2026·贵州黔西南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1) 当时，函数在单调递增； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是 【详解】（1）， 当，即时，恒成立，此时在单调递增， 当，即时，，得或， ，解得或， ，解得， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数在单调递增， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. ◆题型10 构造函数并利用函数单调性研究函数值大小（或不等式） 46．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）设，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出判断. 【详解】构造函数，求导得，令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以，即 ，故. 47．（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导后可知在上单调递减，由得，不等式等价于，从而得解． 【详解】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集是． 48．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，并结合函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】令，则. 因为对任意，都有恒成立， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为为偶函数，所以为偶函数， 由，得， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以其解集为． 49．（多选）（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，根据题意，求得在单调递增，结合选项，利用函数的单调性和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得， 又因为，所以，在单调递增， 对于A，由，可得，即， 可得，所以，所以A不正确； 对于B，由，可得，即， 可得，所以，所以B不正确； 对于C，由，可得，所以， 可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以， 可得，所以D不正确. 50．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】构造函数，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式. 【详解】设，则. 因为， 所以，即在上单调递减. 又， 则， 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）已知，且，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求解函数单调性，即可求解. 【详解】设，则， 令，则，则当时，，故在单调递增， 当时，，故，故在单调递增， 由于，则，即. 2．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，转化单调条件为导数恒成立条件，求解恒非负和恒非正情况，合并取值范围. 【详解】对函数求导得. 函数在 区间上单调，说明导函数在上恒非负或恒非正， 由于对任意实数恒成立，因此的符号由因式决定， 即在上恒非负或恒非正. 若在上恒成立，即在上恒成立， 函数在上单调递增，最小值为，因此. 若在上恒成立，即在上恒成立， 函数在上单调递增，最大值为，因此. 综合两种情况，的取值范围是. 3．（2026·江苏淮安·一模）已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的对称性得到在上的单调性及，再分和讨论与的符号，求解乘积小于的区间. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，故，且图象关于轴对称， 已知在上单调递减，由对称性可得在上单调递增， 当时，单调递减，故，此时不等式等价于， 由于时单调递减，且，因此的解集为， 当时，单调递增，故，此时不等式等价于， 由于时单调递增，且，因此的解集为， 综上，不等式的解集为. 4．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，结合条件判断函数单调性，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得. 【详解】设，则，故函数在上为增函数， 因，则， 于是等价于，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 5．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知，若，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性变形得，，利用单调性法比较、、的大小，再利用函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数为偶函数，且在上单调递减， ，所以，， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减，所以， 即， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，所以， 所以，即，即. 6．（25-26高二下·全国·课后作业）已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设函数，通过求导判断函数的单调性，利用单调性即可比较三个值的大小. 【详解】因，不妨设函数，则， 令，得，令，得， 因此在上单调递增，在上单调递减. 又，则，即． 7．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】， 令，解得或， 所以在上单调递增， 又函数 在区间上单调递增， 所以或，解得或， 所以的取值范围是或. 8．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数，结合恒成立问题求出最大值即可. 【详解】显然定义域,因为, 因为函数在区间上单调递减，即内恒有, 即变形可得,， 设,求导 , 所以在上单调递增，因此,要使在内恒成立， 只需,即. 9．（多选）（2026·河北沧州·三模）已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，求导，根据导数判断单调性，根据函数单调性判断即可求解. 【详解】令， ，，则恒成立， 故在，上单调递增， 故，即，故 B正确，D错误． ，即，故 C正确，A错误． 10．（25-26高二下·上海·期末）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】由题意，，， 故在恒成立， 即在恒成立，所以. 11．（25-26高二下·江苏扬州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的最大值为_____． 【答案】 【分析】根据函数单调性与导函数的关系，求出导函数，条件可转化为导函数大于等于在区间上恒成立，根据恒成立的解法，求出参数范围. 【详解】由题意得， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 当时，，变形得， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得最小值，， 当在上恒成立，可得， 所以实数a的最大值为. 12．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）定义域为，且 . 时,,,,. 切线斜率为,故切线方程为. （2）分母恒正,的符号由决定,按与,的大小分四类： ①，在上,,;在上. 故在上单调递减,在上单调递增. ②，在,；在上;在上. 故在,上单调递增,在上单调递减. ③,（仅处取等）,故在单调递增. ④，在,;在上;在上. 在,上单调递增,在单调递减. 综上所述：时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 13．（26-27高三上·河北雄安·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在，上单调递减，在上单调递增． 【详解】（1）， 令，得或． 当，即时， 若，则， 若，则， 故在上单调递增；在上单调递减. 当，即时，（不恒为零）， 则在上单调递减，无增区间. 当，即时， 若，则， 若，则， 故在上单调递增；在上单调递减. 综上，当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在，上单调递减，在上单调递增． 14．（26-27高三上·上海·期中）已知 ． (1)若，求函数的单调区间； 【答案】(1)增区间为，减区间为 【详解】（1）的定义域为， ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当 时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的单调性 常考题型·精准突破 题型1 利用导数求函数的单调区间（重） 题型2 函数与导函数图象之间的关系（高频） 题型3 已知函数 在区间上单调，求参数（重） 题型4 已知函数 在区间上不单调，求参数（重） 题型5 已知函数 在区间上存在单调区间，求参数（重） 题型6 已知函数 的单调区间是，求参数（重） 题型7 讨论函数的单调性（导函数有效部分为一次型）（重）（高频） 题型8 讨论函数的单调性（导函数有效部分为可因式分解的二次型）（重）（高频） 题型9 讨论函数的单调性（导函数有效部分为不可因式分解的二次型）（难） 题型10 构造函数并利用函数单调性研究函数值大小（或不等式）（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用导数求函数的单调区间 1．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南濮阳·期末）函数的单调递增区间为(    ) A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 4．（26-27高三上·河南·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 5．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是_______________． ◆题型2 函数与导函数图象之间的关系 6．（2026高三·全国·专题练习）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河北唐山·期中）设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（   ） A．B． C． D． 10．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A． B．     C． D． ◆题型3 已知函数 在区间上单调，求参数 11．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）若函数在上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·海南·期末）已知函数在定义域上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为________________． 15．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递减，求的取值范围. ◆题型4已知函数 在区间上不单调，求参数 16．（25-26高二下·重庆·期中）若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·河南商丘·期中）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（2026高三下·全国·专题练习）若函数在上不单调，求满足的条件为_____. 20．（25-26高二下·北京丰台·期中）已知函数在区间上不单调，则的一个取值为___． ◆题型5已知函数 在区间上存在单调区间，求参数 21．（25-26高二下·陕西西安·期中）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·重庆·期中）已知，函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 24．（25-26高二下·四川成都·期末）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·河南周口·期末）已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． ◆题型6 已知函数 的单调区间是，求参数 26．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C．1 D．4 28．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 29．（2026·海南三亚·一模）若函数的减区间为，则函数的值域为______． 30．（25-26高二下·天津津南·期中）若函数的单调递减区间为，则________． ◆题型7 讨论函数的单调性（导函数有效部分为一次型） 31．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）设函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； 32．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性，并求出单调区间； 33．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 34．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间. 35．（26-27高三上·广东梅州·开学考试）已知函数． (1)求的单调区间； ◆题型8 讨论函数的单调性（导函数有效部分为可因式分解的二次型） 36．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，其中．当时，求函数的单调区间． 37．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．讨论的单调性． 38．已知函数. (1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程； (2)讨论的单调性. 39．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 40．（25-26高二下·天津·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． ◆题型9 讨论函数的单调性（导函数有效部分为不可因式分解的二次型） 41．已知函数，. (1)讨论的单调性； 42．（25-26高二下·广东佛山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； 43．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 44．（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）已知函数． (1)若． （ⅰ）证明：曲线过定点； （ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程． (2)当时，讨论的单调性． 45．（2026·贵州黔西南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； ◆题型10 构造函数并利用函数单调性研究函数值大小（或不等式） 46．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）设，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 47．（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 49．（多选）（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）已知，且，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数在上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏淮安·一模）已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 4．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知，若，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·全国·课后作业）已知则（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 8．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（多选）（2026·河北沧州·三模）已知定义在上的函数满足，则（      ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·上海·期末）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为___________. 11．（25-26高二下·江苏扬州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的最大值为_____． 12．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 13．（26-27高三上·河北雄安·阶段检测）已知函数． (1)讨论的单调性； 14．（26-27高三上·上海·期中）已知 ． (1)若，求函数的单调区间； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $