专题07 导数中的零点问题（6题型专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦导数零点问题，以6大题型构建“基础证明-参数范围-双零点代换-同构转化-虚设零点-三角函数综合”的递进式方法体系，强化逻辑推理与模型构建 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明/讨论零点个数|6题|导数判单调→极值分析→零点存在定理|从导数应用基础出发，构建“单调性-极值-零点”逻辑链| |根据零点个数求参数范围|6题|分类讨论+端点效应+分离参数|衔接基础题型，强化参数问题的转化与求解| |比值代换解决双零点|5题|双零点设元→比值代换→函数构造|深化多零点问题的变量统一与转化思想| |同构解决零点问题|5题|结构分析→函数同构→单调性应用|培养数学语言表达能力，简化复杂方程| |虚设零点|5题|隐零点设而不求→等量代换|突破导数无法求解零点的思维障碍| |与三角函数有关的零点|5题|导数结合周期性+有界性分析|拓展跨知识模块综合应用，提升数学思维|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07导数中的零点问题(6题型专项训练) 目录 A题型建模·专项突破 题型、证明/讨论零点的个数…1 题型二、根据零点个数求参数范围…9 题型三、利用比值代换解决双零点问题.15 题型四、利用同构解决零点问题.20 题型五、虚设零点… …26 题型六、与三角函数有关的零点问题 .31 B综合攻坚·能力跃升 .39 A 题型建模·专项突破 题型一、证明/讨论零点的个数 1.己知函数f(x=e2ar-(x+1er」 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论函数f(x的零点个数； 2.已知函数fx=lnax-a+1x,其中aeR且a≠0 (①)当a=1时，求曲线y=f(x在点1，f(1月处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)当a∈[-1,0)时，证明函数f(x)在定义域内有且只有一个零点 3.己知函数f(x=ax2-x-ln(ax),a<0 (1)讨论fx的单调性； 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：f(x)只有一个零点 4.己知函数f(x=ar2-lnx(aeR). (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在1，∫(1)处的切线方程； (2)若函数∫(x)在(1，+0)）存在单调递减区间，求实数a的取值范围； (⊙)当a=时，证明：函数H川=八-2x+有且仅有两个零点 5.已知函数f(x)=aer+a-2)e-x. (I)证明不等式：e*>x; (2)讨论∫(x)的单调性； (3)设a∈(0,1，证明：f(x)在定义域上有两个零点. 6.已知函数f(x)=ae-x2(aeR) (I)当a=1时，求函数f(x)在点1，f(1)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)零点个数： 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二、根据零点个数求参数范围 7。已如函数f到=写+方r2+b,=-1是的一个极值点，且到-22上有且仅有1个零点， 则实数b的取值范围是() [ .[ 8.已知f(x)=ema-+(Ina-1)x-lnx-1只有1个零点，则a的取值范围是 9.(1)求f(x)=x-sinx(x≥0)的最小值. (2)已知函数g(x)=sinx-x+mxsin x,x∈[0，，meR,g(x)为g(x)的导函数. ①当后>0时，证明：8)在区同0引上存布唯一的提大值点： ②若g(x)有且仅有两个零点，求m的取值范围. 10.已知函数到--nx+到=到-ax-,a6R (I)讨论∫(x)的单调性； (2)若h(x)在(0，+o)上恰有三个零点，求实数a的取值范围； 11.已知函数fx)=x2-mln0x,h(x=x2-x+a. (1)当a=0时，若f(x≥h(x)在1，+o)上恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m=2时，若函数k(x=∫(x-h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围. 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.已知函数f八=lxar(aeR. (I)若函数gx)=f(x)-x在区间1，+o)上为增函数，求实数a的取值范围： (2)若f(x)在定义域内有两个零点，求实数a的取值范围. 题型三、利用比值代换解决双零点问题 13.已知函数f国=r-号r(aeR), (I)若x>0,恒有∫x≤x成立，求实数a的取值范围； 1 +1>2ae. ()若函数g(x)=fx-x有两个相异极值点X,名，求证：n+ 14.已知函数fx=lnx-ax(a∈R). (1)若曲线y=f(x)与直线x-y-1=0相切，求实数a的值； 172 (2)若函数y=f)有两个零点X,名，证明：n+n 1 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.己知函数F(x)=(1+m)x-lhx(m∈R),,0<<,分别是函数F(x)的两个零点，求证：F(Nx2)<0. l6.己知函数f(x=axInx(aeR (I)当a=1时，若对任意的x≥e,都有xf(x)≥me(m>0,求m的最大值 (2)若函数gx)=f(x+x2有且只有两个不同的零点x,x,求证：xx,>e 17.若函数到=alnx-2x+a+片x>0有两个零点，且< (1)求a的取值范围； (2)若f(x)在(x,0)和x2,0)处的切线交于点(x3,y3),求证：2x<x+x2<2(a+1) 题型四、利用同构解决零点问题 l8.已知f(x=ea-+(lna-1x-lnx-1只有2个零点，则a的取值范围为() A.(1,e B.1,e C.(0,1 D.(0,川 19.若函数fx)=xe--ax-lnx在(0，+o)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为() A.（m司)B（aoc（de n（a 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20.已知函数f(x=。-血x-20-e0+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是() A.（-0,0 B. 02 D.( 21.已知函数f(x)=ae-lnx-1,其中a>0 (1)证明：f(x)在区间 上存在唯一的极小值点x; a (2)若极小值f(xo>0,证明：0<x。<1; (3)当f(x)有两个不同的零点x,x2时，证明：xx2>1. 22.若f(x)=e-a-lnx-a有两个零点x和x2 (I)求a的取值范围； 题型五、虚设零点 23.函数f(x)=e+(x+1)(x-a在(-l,a)上有且只有一个零点，则a=() A.1 B月 c D月 24.己知函数fx=a-x,g(x)=a-l0gax,其中a>0且a≠1. (I)当a=e时，讨论函数f(x)的单调性和极值： (②)证明：函数∫(x)存在零点的充要条件是函数g(x)存在零点： (3)当ae(0,1)时，讨论函数gx)的零点个数， 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 25.已知函数f(x)=血x++1. (I)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈(0，+o)都有ae≥f(x),求实数a的取值范围. 26.已知函数f)=ae+a+1-2a+1)≥0对任意的x∈(0，+∞)恒成立，其中实数a>0,求a的取值范围 27.已知函数fx)=(x-a)lnx(a>0) (I)当a=1时，判断函数∫(x的单调性； (2)证明函数f(x)存在最小值ga),并求出函数ga的最大值 题型六、与三角函数有关的零点问题 28.已暖气到=r-+引ox-,[引 (1)当m<0时，证明∫'(x)有唯一极值点； (2)讨论f(x)的零点个数： 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 29.己知函数f(x)=e+a-sinx,gx=ae-ln(x+1. (①)当a=1时，求f(x)在(0，f(0)处的切线方程 (2)若Vx∈(0，+o),fx)≥0都成立，求a的取值范围； (3)若函数F(x)=gx)-f(x),证明F(x)有且仅有两个零点. 30.已知函数八y=。 (1)求曲线y=f(x)在0，f(0)处的切线方程； (2)若x=0是函数gx)=f(a)f(x)+sinx的极值点， (i)证明：a的取值范围是-1,0)的子集； (i)求g(x在区间(-π，π内的零点个数. 31.已知函数f(x)=sinx-xcosx+ax,xe(0,).若a=-l,证明：f(x)在(0，π)上有且只有一个零点. 32.已知函数F(x)=sinx,F(x)为函数F(x)的导函数. 8/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)令gx)=V3F(x)+F'(x)+c,若gx在[0，]上存在单调递增区间，求实数k的取值范围； (2)讨论函数y=[F(x]·F(2x)在[0，上的单调性； ③)令f)=aF()-F)+x,若f)在0，)上有零点，求实数a的取值范围。 B 综合攻坚·能力跃升 1.已知函数到-写式-x+e,g国到=h+-e与（到=e+-e的零点分别为：名，名，则（） A.X<x2<x3 B.<x<x2 C.X2<X3<X1 D.X:<x,<X 2.若函数fx)=x-lnx+m在定义域内有两个不同的零点，则实数m的取值范围() A.-0,-1 B.-0,-1 C.[-1,+o】 D.（-1,+0 3.方程xe=a(hx+x)有两实数根x(x≠x2),则实数a的取值范围是() A.（0,+0） B.e,+o】 c.(0,e D.(-o,e) 4.已知函数f(x=e-ax-1,aeR,g（x=xlnx (I)当a=2时，求曲线y=f(x)在点1，f(1月处的切线方程； (2)令F(x)=f(x-g(x),若函数F(x)在(0，+o）上存在两个零点，求实数a的取值范围 5.己知函数f(x)=x+lnx-x2. (I)求函数f(x)的零点和极值： (2)设直线1为曲线y=f(x)+x2在点(1，)处的切线，若1与曲线y=ax2+(2a+3)x+1只有一个公共点，求a 的值. 9/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx,其中xeR. (1)当a=-1时，求f(x)在1，f1)处的切线： (2)讨论函数y=f(x)的单调性； (3)若函数gx)=∫(x-ax2有两个不同的零点x、x2,求实数a的取值范围. 7.己知函数gx=xe-ax2(aeR). (I)求gx)在x=0处的切线方程； (2)讨论gx)在(0，+0)上的零点个数 8.已知函数()=-nx+x (I)求h(x)的最小值： (2)若h(x)=a有两个零点x1,x2,证明：xx2<1. 10/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.已知函数fx)=(mx+me+mr2+2m+nx在x=-1处取得极小值-1-1. (1)求实数m,n的值： 2②当xe(0+m时，证明：x>mr+x+16 11/11 专题07 导数中的零点问题（6题型专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、证明/讨论零点的个数 1 题型二、根据零点个数求参数范围 9 题型三、利用比值代换解决双零点问题 15 题型四、利用同构解决零点问题 20 题型五、虚设零点 26 题型六、与三角函数有关的零点问题 31 B 综合攻坚·能力跃升 39 题型一、证明/讨论零点的个数 1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)当时，函数与的导函数存在不为零的相等零点，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 所以，则， 故所求切线方程为. （2）依题意，令，则，即， 当时，，方程无解，无零点. 当时，由，得， 设，， 则讨论函数的零点可以转化为讨论函数的零点. ，设，， 注意到，， ①当时，恒成立，即， 所以在上单调递减，此时存在唯一的零点； ②当时，在上单调递增，且， 则，使得，故在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，由于时，，故有两个零点； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时存在唯一的零点； ④当时，在上单调递增，且，， 则，使得，故在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，由于时，， 所以在上存在一个零点，故在有两个零点. 综上所述，当时，有一个零点； 当时，有两个零点. （3）由（1）知，当时，，， 设为函数与的相等零点，， 则，即，即， 所以. 再分析方程的解，设，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当时，因为，， 所以在上存在唯一的零点； 当时，因为，所以在上有唯一的零点，且，不满足题意. 综上可知，，则. 2．已知函数，其中且. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明函数在定义域内有且只有一个零点. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，， ， 所以切线方程为，即. （2）， 当时，需， 令， 所以在上单调递增，在单调递减； 当时，需， 若，则，在上单调递减； 若，则令， 此时当时，，单调递增；当时，，单调递减， 综上， 当时，在上单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在单调递减. （3）由（2）可得当时，在上单调递减， 若函数在定义域内有零点，则必唯一，因此只需证明存在零点即可. 取，则， 因为，，所以， 取，则， 因为，，，所以， 由零点存在定理可知在上有且只有一个零点.得证. 3．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：只有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以的定义域为. . 令.令，得. 若，即，则，，所以在上单调递增. 若，即，则方程的解为，，且. 当时，，； 当时，，. 故在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）证明：当时，在上单调递增.因为，所以只有一个零点. 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 因为，，所以在上有一个零点. . 因为，所以，即，所以. 令，则. 当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以在上没有零点，即在上只有一个零点. 综上，只有一个零点. 4．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； (3)当时，证明：函数有且仅有两个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 所以，所以切线方程为，即． （2）由题意得， 若函数存在单调递减区间，则在上有解， 所以在上有解， 因为函数在上单调递减， 所以，故． （3）由题意得，则， 令，则， 令可得，（舍）或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 因为时，，， 所以存在，使得， 又， 所以存在，使得， 所以函数有且仅有两个零点． 5．已知函数． (1)证明不等式：； (2)讨论的单调性； (3)设，证明：在定义域上有两个零点． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在单调递减，无增区间；当时，在单调递减，在单调递增． (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故恒成立即. （2）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可得，当时，， 因为均在上为增函数，故在上为增函数， 故，故. 当时，即， 结合（1）中不等式可得，故， 当时，，且， 而，，故， 由零点存在定理可得在上有两个零点． 6．已知函数（）. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数零点个数； (3)若，（）是函数的两个零点，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，则， ，，， 在点处的切线方程为， 即，即. （2）令，因为，所以，， 令，，则， 令，则；令，则或； 的递增区间为，递减区间为和； 是的极小值，是的极大值， 当时，；当时，且， 则的零点个数即为与的交点个数， 当时，与无交点，即函数无零点； 当或时，与有且仅有个交点，即函数有1个零点； 当时，与有个交点，即函数有2个零点； 当时，与有个交点，即函数有3个零点. 综上可得，当时，函数无零点； 当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. （3）由题意得，， ，，是方程的两个正实数根， 由（2）可知，在上单调递增， 在单调递减，且，要证， 需证，只需证， ，只需证，即需证， 两边取对数，整理得， 令，，则， 在上单调递增，， 成立， 题型二、根据零点个数求参数范围 7．已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有1个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 是的一个极值点，， ，，， 的解为或，在和上为增函数， 的解为，在上为减函数， 是的一个极大值点，是的一个极小值点， 在上有且仅有1个零点， 或或或， 或或或， 解得或，实数的取值范围是. 故选：C. 8．已知只有1个零点，则a的取值范围是________. 【答案】 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图象，如图所示： 由题意可知：与只有1个交点， 则或，解得或， 所以a的取值范围是. 9．（1）求的最小值． （2）已知函数，，，为的导函数． ①当时，证明：在区间上存在唯一的极大值点； ②若有且仅有两个零点，求m的取值范围． 【答案】（1）0；（2）①证明见解析；② 【分析】 【详解】（1）由，得恒成立． 所以在上单调递增，所以， 所以的最小值为0． （2）（i）当时，，． 令，则． 当时，单调递增， 令，则．所以， 所以也单调递增． 所以当时，，，单调递减， 所以单调递减， 又，， 所以存在，使得． 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在区间上存在唯一的极大值点． （ii）当时，因为，所以由（1）知，． 所以，当且仅当时，等号成立． 所以只有一个零点0，不符合题意． 当时，且时，，，． 所以，所以在上单调递减． 结合（i）可知，在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 当时，，即，则单调递增． 当时，，即，则单调递减， 所以，．所以存在，使得． 所以在上有且仅有两个零点，即与，满足题意． 综上所述，m的取值范围是． 10．已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若在上恰有三个零点，求实数a的取值范围； (3)若，是在上不为1的两个零点，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题知，的定义域为， ， 若，当时，，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增； 若，则，当或时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 若，则，∴在区间上单调递增； 若，则，当或时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）由（1）知， 显然是的一个零点． 设，则． 若，则， ∴在区间上单调递增， ∴最多有1个零点，即最多有2个零点，不满足题意． 若，当时，，当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，当时，， ∴要使在上恰有3个零点，则需有2个不为1的零点， 则解得． ∵，， 设，则， 设，则，∴在区间上单调递增， ∴， ∴在区间上单调递增， ∴， 令，，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增； ，即， ∴存在，，使得，即 ， ∴实数a的取值范围为． （3）由（2）知，，是的不为1的零点，也是的零点， 要证，只需证， 而，且在上单调递减， 故只需证， 又，∴只需证， 即证． 令， 即， 则（因,故等号不可取）， ∴在上单调递增． 由，可得，即， ∴， 又在上单调递减， ∴，即，得证． 11．已知函数，． (1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，若函数在区间上恰有两个不同零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得在上恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，因此， 即的取值范围为； （2）由题意得，，令， 函数在上恰有两个不同的零点等价于与的图象在上有两个不同交点， ， 当时，单调递减，当时，单调递增； 又，，， 故的取值范围为. 12．已知函数． (1)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），则，在上单调递增， 所以在上恒成立，即， 令，则，当时取得最小值，，所以， 即的取值范围是 （2）当时，，则单调递增，不可能有两个零点； 当时，时，；时，， 则在上单调递增，上单调递减， ，解得， 因此可得，此时， 又， 令，则，， 因为时，所以，此时单调递减，， 所以当时，，即， 由零点存在性定理可知在区间和区间内各有一个零点， 所以有两个零点，故． 题型三、利用比值代换解决双零点问题 13．已知函数（）． （Ⅰ）若，恒有成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数有两个相异极值点，，求证：． 【答案】（1）;（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可， （2）函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x1、x2，即导函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2，对a进行分类讨论，令，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式． 试题解析： （Ⅰ）由，恒有，即，对任意成立， 记，， 当，，单调递增； 当，，单调递减， 最大值为， ∴，． （Ⅱ）函数有两个相异的极值点，， 即有两个不同的实数根． ①当时，单调递增，不可能有两个不同的实根； ②当时，设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴，∴， 不妨设，∵， ∴，，， 先证，即证， 即证， 令，即证，设， 则，函数在单调递减， ∴，∴，又，∴， ∴． 14．已知函数. （1）若曲线与直线相切，求实数的值； （2）若函数有两个零点，，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由，得，设切点横坐标为，依题意得， 解得， （2）不妨设，由，得，即，所以 ， 设，则，， 设，则，即函数在上递减， 所以，从而，即. 【点睛】本题考查导数的综合题型，涉及函数的切线和函数的零点问题，考查了逻辑思维能力和计算能力，属于较难题. 15．已知函数分别是函数的两个零点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】因为， 分别是函数的两个零点， 所以 两式相减，得， 所以. 因为， 所以. 要证，即证. 因，故又只要证. 令，则即证明. 令，，则. 这说明函数在区间上单调递减，所以， 即成立. 由上述分析可知成立. 16．已知函数 (1)当时，若对任意的都有求m的最大值 (2)若函数有且只有两个不同的零点求证 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）时，，则， 令，解得：，令，解得：， ∴在递减，在,递增，对任意都有，即恒成立，由，有，故， 因为在,单调递增，故，可得，即， 当时，的最小值是，故的最大值是； （2）证明：要证，只需证明即可， 由题意，、是方程的两个不相等的实数根，又， ∴，消去，整理得：， 不妨设，令，则，故只需证明当时，，即证明， 设，则， ∴在单调递增，从而， 故，即得证． 17．若函数有两个零点，且. (1)求a的取值范围； (2)若在和处的切线交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 当，，在上单调递减，不可能两个零点； 当时，令得 ，，单调递增，，，单调递减， ∵，；；， ∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意， 综上：； （2）先证右边：令则， ∴，，单调递增，，，单调递减， ∴的最大值为，∴，即， ∴且， ∴， 又∵，∴， ∴； 再证左边：曲线在和处的切线分别是          联立两条切线得，∴， 由题意得， 要证，即证，即证，即证， 令，即证， 令， ，∴在单调递减，∴， ∴得证. 综上：. 【点睛】关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题. 题型四、利用同构解决零点问题 18．已知只有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图象，如图所示： 由题意可知：与只有个交点， 则，解得， 所以a的取值范围是. 19．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得到， 即，令，则， 设，则， 令，得到， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得最小值，故方程仅有唯一解， 因此，原函数等价于， 变形得到，设，则 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此，在处取得极小值（也是最小值），， 因为时，，当时，， 函数在上有两个不同的零点， 转化为直线与的图像有两个不同交点，则. 故实数的取值范围为. 20．已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数定义域为，令， 两边乘整理得： ， 设，求导得 ，故在R上单调递增， 由， 可得：， 故原函数恰有两个零点，等价于方程在上恰有两个不同实根， 令，求导： ​ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此的最小值为， 且，；时，， 故方程有两个不同实根，需满足，即​， 故的取值范围是. 21．已知函数，其中 (1)证明：在区间上存在唯一的极小值点； (2)若极小值，证明：； (3)当有两个不同的零点时，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）的定义域为，求导得， 因为，，均是上的增函数，所以在上单调递增． 又，当时，， 根据零点存在定理，存在唯一的，使得． 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在区间上存在唯一的极小值点； （2）由，且， 所以， 构造函数，则， 因为，所以， 即在上单调递减， 又因为，所以的解为； （3）由，可得，等价于． 由两边取对数得， 令，则，代入化简得， 设，则， 由在上都是减函数， 在上单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的实数根，， 其中，． 不妨令，则由的单调性可知， 要证明，即，，即． 因为，所以，而，又在上单调递减， 只需证明，即证明对任意成立． 设，， 则． 由， 构造函数， 求导得：， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，则有， 即可证得：，当且仅当时，等号成立， 所以当时，有，，所以， 因此，当时，恒成立，在上单调递减， 所以当时，有 ， 即， 也即．故原不等式成立． 22．若有两个零点和. (1)求a的取值范围； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）若，则有，即， 令，显然单调递增， 又，，故. 则的零点个数等价于的解的个数. 令，，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. 由，此时 ， 设（），所以，因为，所以, 所以在上单调递增. 所以. 即，. 取，， 所以有两个零点. 所以存在两个零点和，使得. 所以当时，函数有两个零点. （2），两式相加相减得：， 由对数均值不等式得：，则有， 要证明目标式，需要和积的变量统一， 根据两式相加可知，则目标式调整为证明：， 故只需， 设函数，，则. 所以在区间递减. 故时，仅需， 显然在等式当中，，命题得证. 题型五、虚设零点 23．函数在上有且只有一个零点，则（   ） A．1 B．- C． D．- 【答案】A 【详解】函数在上有且只有一个零点等价于方程在上有且只有一个实数根， 即在上有且只有一个实数根. 令，则， 函数单调递增，当时，，当时，， 所以存在，使得，则=， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 由，解得， 所以， 令，其中， 则==. 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递减，且，所以， 所以，解得. 故选：A. 24．已知函数， ，其中且． (1)当时，讨论函数的单调性和极值； (2)证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； (3)当时，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)在 单调递减，在 单调递增；极小值为 1 ，无极大值； (2)证明见解析 (3)零点个数为1 【分析】 【详解】（1）当 时， ，定义域为， ，令 ，解得 ， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递减， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递增； 所以 在 处取得极小值，极小值为：，无极大值. （2）必要性：若存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取以为底的对数，得 ，又，故，整理得： 0 ， 即 ，因此 存在零点 . 充分性：若 存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取为底的指数，得 ，令 ，则 ， 即： 因此 ，即 存在零点. 综上，函数 存在零点的充要条件是函数 存在零点，得证. （3） ，其定义域为 ，其中且，， 因为 ，所以 ，则 在 上单调递增， 当 时，， ，所以 ；当 时，0 ，所以 ； 因此，存在 ，使得 ，即 ，整理得 ； 当 时，单调递减；当 时， 单调递增， 所以在 处取得最小值 ，， 因为 ，且当 0 时， ， 所以 ；当 时， ，所以 ； 根据零点存在定理，因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 在 0 和 时分别趋近于和， 所以有且仅有一个零点. 25．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对任意都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间单调递减区间 (2) 【分析】 【详解】（1）函数定义域是， 由已知， 时，，时，， 所以单调递增区间，单调递减区间； （2）因为对任意都有，即恒成立. 令，则. 令，则在上单调递增，因为， 所以存在使得， 当时单调递增， 当时单调递减. 所以 ， 由于，可得.则， 所以， 又恒成立，所以. 综上所述实数a的取值范围为. 26．已知函数对任意的恒成立，其中实数，求的取值范围. 【答案】. 【详解】由已知得，， 令， 由得在上递增， 又，而，所以， 存在唯一，使得得. 当时，递减；当时，递增： 故， 整理可得，等价于，解得， 又因为在上递增，且， ，由得. 27．已知函数. (1)当时，判断函数的单调性； (2)证明函数存在最小值，并求出函数的最大值. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析， 【分析】 【详解】（1）由题意知， ，，. 所以函数单调递增. 又，所以当时，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意知，，. 所以函数单调递增. 令，则. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以，即. 所以，即. 另一方面，， 所以存在，使得，① 即当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以函数存在最小值. 由①式，得.所以（当且仅当，即，时，等号成立）. 所以，即为所求. 【点睛】导数问题中，求导后发现导数无法因式分解，或者无法直接求出零点时的一个常用方法就是隐零点，利用设而不求思想得到最值，然后利用该隐零点所满足的等式关系进代换，从而能够方便的解题，例如本题中：即为可代换的式子. 题型六、与三角函数有关的零点问题 28．已知函数，． (1)当时，证明有唯一极值点； (2)讨论的零点个数； (3)若存在，当时，总有，求符合条件的的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)分类讨论，答案见解析 (3) 【详解】（1）， 令， 则， 当时， ①当时，，，，故； ②当时，令， ， 因为，，，故， 单调递减，因为，， 所以，使得， 当时，当时， 综合①②，得， 当时，当时， 所以有唯一极值点，即有唯一极值点． （2）①当时，在上单调递增，在上单调递减， ，， 又，，使得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，当时，， ，又， 存在唯一，使得， 因此有2个零点和； ②当时，，，有唯一零点； ③当时，当时，，，， 又，，有唯一零点． 综上所述：当时，有2个零点；当时，有1个零点． （3）原问题等价于存在，当时，总有． 设，则， 设，则， 若，，单调递增， 当时，，即， ，单调递减， 当时，，即，命题成立． 下面仅需考虑的情况： 在上单调递减，其中， 故，在上均单调递减， ，， ①如果，即， 则，单调递增， ，即， 又，在上单调递减， 故，所以在上单调递减， 所以，即， 当时，总有，命题成立． ②如果，即，故由零点存在定理知，使得， 当时，，单调递减，， 即（不合题意，舍去）． 综上：的最小值为． 29．已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若，都成立，求的取值范围； (3)若函数，证明有且仅有两个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 所以，． 故切线方程为，即． （2）因为在上恒成立，且， 所以在上恒成立，令，则， 因为， ①当时，由，解得， ，单调递增，，单调递减， 所以当时，； ②当时，因为，，所以， 所以时，，所以， 综上，的取值范围为． （3）因为， 所以，，设， ①当时，，单调递增， 所以，所以在上单调递减． 又，所以为在上的唯一零点； ②当时，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减． 又，， 所以，使得，所以当时，；时， ， 即在上单调递增；在上单调递减， 又，所以， 所以在上单调递增，此时，不存在零点． 又，所以，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又， 所以在上恒成立，此时不存在零点； ③当时，单调递减，单调递减， 所以在上单调递减． 又， 即，又在上单调递减， 所以在上存在唯一零点； ④当时，，， 所以，即在上不存在零点． 综上所述：有且仅有个零点． 30．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：的取值范围是的子集； （ii）求在区间内的零点个数. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2个. 【分析】 【详解】（1）由题意可知：，所以，， 所以曲线在处的切线方程为； （2）（i）易知， 则，由题意， 得，设，则有， 又，且在上单调递增， 根据零点存在定理得，即的取值范围是的子集； （ii）由（i）知，所以，得， 即是一个零点； 易知，设，则， 当时，，故，单调递增， 所以，故函数单调递减，， 故函数在上无零点； 当时，， 设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且，，， 故存在，使， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 故，， 故函数在上有1个零点. 综上所述，在区间内的零点个数为2. 31．已知函数，．若，证明：在上有且只有一个零点． 【答案】证明见解析 【详解】证明：当时，， 令，易知恒成立，所以在时单调递减， 即，因为时恒成立，所以， 所以在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，，， 单调递减，，， 所以存在，使得， 在上，在上，； 在上递增，在递减， ，； 存在，使得， 在上，，单调递增，在上，； 且，， 所以在区间，存在唯一的，使得， 综上所述，时，函数在上有且只有一个零点． 32．已知函数，为函数的导函数． (1)令，若在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； (2)讨论函数在上的单调性； (3)令，若在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 (3) 【分析】 【详解】（1），由已知，在上有解， 则只需，， 当时，最小值为，所以；． （2）由题意知， 求导得， 当时，，， 当，则， 解得，即时，， 当，则，解得，即时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；． （3），则， ①当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增．所以在区间上恒成立，即在区间上无零点． ②当时，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，即． （ⅰ）时，，在区间上单调递增， 即在区间上恒成立，所以在区间上无零点． （ⅱ）当时，，又，所以存在，使得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，即当时，取得最小值，因为，所以．因为，所以当时，，此时，在区间上恒成立，在区间上无零点． 当时，，故存在，使得． 综上所述，实数的取值范围是 1．已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 2．若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在内有两个不同的零点， 即在内有两个不等实根. 设，，则， 由解得， 所以为上的减函数，为上的增函数. 则， 而当且时，；当时，. 如下图： 由题可知和有两个不同交点，所以有. 3．方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：， 原方程可化为： 令，，故在单调递增， 即每个不同对应唯一不同的，易得的值域为R， 原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：， 令， 当且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值，作出的图象如下： 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则，因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根， 因此的取值范围是. 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意，，则， . ∴曲线在点处的切线方程为， 即； （2）解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图象有两个交点. ， 由，得. 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则. ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点， ∴实数的取值范围是． 5．已知函数． (1)求函数的零点和极值； (2)设直线l为曲线在点处的切线，若l与曲线只有一个公共点，求a的值． 【答案】(1)极大值为0，无极小值，只有一个零点． (2)或． 【分析】 【详解】（1）的定义域为， 令=0，解得． 令，解得，函数在上单调递增， 令，解得，函数在上单调递减， 当时，的极大值为，无极小值，所以函数只有一个零点． （2）的导数为， 曲线在处的切线l的斜率为， 则曲线在处的切线l的方程为，即． 由于切线l与曲线只有一个公共点， 将与联立， 得①有且只有一解， 当时，①式变为，则，方程①有且只有一解，符合题意； 当时，则，即，解得， 综上，或． 6．已知函数，其中. (1)当时，求在处的切线； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； (3) 【分析】 【详解】（1）当时，，则， 又，则， 切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ∴， 若，则，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， 所以，则 ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， 所以a的取值范围是. 7．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点. 【分析】 【详解】（1），所以在处的切点坐标为， ，则， 故在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点，无零点； 当时，与有一个交点，一个零点； 当 时，与有两个交点，两个零点. 综上：当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点. 8．已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意知函数的定义域为 则令得；令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 （2）证明：不妨设，则由(1)知， 设，由 得 即 因为函数在R上单调递增， 所以                                         构造函数 则 令，得，令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 构造函数 则 所以在区间上单调递增， 所以当时，，即当时， 所以 又在区间上单调递减， 所以，即. 9．已知函数在处取得极小值． (1)求实数的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），由题意知，则，即， 由，知，即． （2）由（1）得，设， 则． 设，则在上单调递增， 且，所以存在唯一，使得，即． 当时，单调递减；当时，单调递增． ． 设，则， 当时，单调递减，所以，所以， 故当时，． 【点睛】方法点睛：证明函数不等式的常用的方法： （1）构造差函数法：构造差函数，求导，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与比较大小即可得答案； （2）分离函数法：确定中间函数，利用导数分别证明，，即可证明结论； （3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $