专题02 导数的运算（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题02 导数的运算 常考题型·精准突破 题型1 导数的运算（重） 题型2 求某点处的导数值（高频） 题型3 导数计算中的新定义题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1导数的运算 1．（多选）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）下列求导运算正确的是（       ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·江苏·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·广东深圳·期中）下列导数运算正确的有（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测）以下求导运算正确的是（） A． B． C． D． ◆题型2 求某点处的导数值 6．（25-26高二下·青海西宁·期末）已知为函数的导函数，若，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广东广州·期末）已知函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 8．（25-26高二下·全国·课后作业）已知，则________． 9．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知的导函数为，且，则________． 10．（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数的导函数为，且，则_______． ◆题型3 导数计算中的新定义题 11．（25-26高二下·山东东营·期末）若存在使得，则称是函数的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 13．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 14．（多选）（25-26高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 15．（多选）（24-25高二下·云南楚雄·阶段检测）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·安徽·阶段检测）对于三次函数，定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数图象的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则函数图象的对称中心的坐标为____，____． 17．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）记分别为函数的导函数.若存在，满足，且，则称为函数的一个“S点”.若函数存在“S点”，实数的值为_____. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南郑州·期末）设，则（     ） A．4 B．5 C．8 D．9 2．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知函数则（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2027高二·全国·专题练习）下列计算错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，则在的导数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知，其中为函数的导数，则 （ ） A．2 B．0 C．2026 D．2027 8．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数都有对称中心，其对称中心为（其中）.已知函数.若关于点对称，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 9．（多选）（25-26高二下·陕西榆林·期中）下列关于导数的运算不正确的有（   ） A． B．（且） C． D． 10．（多选）（25-26高二下·广东东莞·期中）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．若，则______. 13．（25-26高二下·安徽·阶段检测）对于三次函数，定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数图象的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则函数图象的对称中心的坐标为____，____． 14．（2026·山东菏泽·二模）已知函数满足，则________. 15．（25-26高二下·吉林·期中）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数，n!表示n的阶乘，即．该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为______．（精确到小数点后两位） 16．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数的运算 常考题型·精准突破 题型1 导数的运算（重） 题型2 求某点处的导数值（高频） 题型3 导数计算中的新定义题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1导数的运算 1．（多选）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）下列求导运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D， ，D错误． 2．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据导数的四则运算和复合函数运算进行判断． 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C错误； D选项，根据复合函数求导法则可得，故D正确． 3．（多选）（25-26高二下·江苏·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D正确. 4．（多选）（23-24高二下·广东深圳·期中）下列导数运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 5．（多选）（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测）以下求导运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A：是常数，可知，故A错误. 选项B：根据幂函数求导公式，可得，故B正确. 选项C：根据指数函数求导公式，可得，故C正确. 选项D：根据对数函数求导公式，可得，故D正确. ◆题型2 求某点处的导数值 6．（25-26高二下·青海西宁·期末）已知为函数的导函数，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 可得，解得，故. 7．（25-26高二下·广东广州·期末）已知函数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先将视为常数，对求导后将代入导函数，解方程即可求得结果； 【详解】对求导可得 将代入上述导函数表达式：， 即. 8．（25-26高二下·全国·课后作业）已知，则________． 【答案】 【分析】对函数求导后令，求得，从而得，再代入即可得答案. 【详解】由题可得， 令，则， 解得，所以， 则． 9．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知的导函数为，且，则________． 【答案】3 【分析】对原函数求导后，将代入导函数，得到关于常数的方程并求解即可. 【详解】由题意得， 则，解得. 10．（25-26高二下·山东东营·期末）已知函数的导函数为，且，则_______． 【答案】 【详解】由求导得， 令，则得，解得， 所以，. ◆题型3 导数计算中的新定义题 11．（25-26高二下·山东东营·期末）若存在使得，则称是函数的一个“好点”，则下列函数中，不存在“好点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A，由， 因为，，所以方程有解， 即函数存在“好点”； 对B，由， 因为，所以方程有两个不相等的实根， 即函数有两个“好点”； 对C，由， 因为，，所以方程无解， 即函数无“好点”； 对D，由， 设，，因为在上连续，且， 所以在上单调递增，又，， 所以只在内有一个零点. 即函数只有1个“好点”，位于区间内. 12．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】C 【分析】求出函数的对称中心后利用倒序相加法可求诸函数值的和. 【详解】因为，故，， 令，故，故 故曲线的对称中心为，故， 设， 则， 故即， 故选：C 13．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间上的“中值点”.给出下列函数：①；②；③；④，在区间上至少存在两个“中值点”的函数是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】A 【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于两点所在直线的斜率，然后每个序号求导，分别代入求中值点即可判断． 【详解】由题意知，即存在一点， 使得此点处的切线斜率等于点与点连线的斜率，即方程解的个数就是中值点个数. ①由得，而，显然成立，故有无数个“中值点”，符合题意． ②由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ③由得，而， 故有且仅有一个“中值点”，不符合题意． ④由得，而， 故有两个“中值点”，符合题意． 故选：A. 14．（多选）（25-26高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各个函数的导函数，根据题意结合零点存在定理，分析求解，即可得答案. 【详解】选项A：，令，解得或，符合题意，故A正确； 选项B：，令，解得，符合题意，故B正确； 选项C：，令， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得，即，即成立，故C正确； 选项D：，令，解得， 因为指数函数恒大于0，所以不成立，则不符合题意，故D错误. 15．（多选）（24-25高二下·云南楚雄·阶段检测）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据简单复合函数导数的求法，求出函数导数，根据函数导数值域，判断是否存在使导函数值乘积为的两个值，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】由可知，，则存在，，使成立，A正确； 由可知，，不存在，，使成立，B错误； 由可知，，则存在，使得成立，C正确； 由可知，，则存在，，使成立，D正确. 故选：ACD. 16．（25-26高二下·安徽·阶段检测）对于三次函数，定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数图象的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则函数图象的对称中心的坐标为____，____． 【答案】 【分析】由函数的新定义进行求解即可． 【详解】，，所以． 令，得， ， 所以函数图象的对称中心坐标为， 所以． 设①， 　②， 由①+②得， ， 所以， 即． 17．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）记分别为函数的导函数.若存在，满足，且，则称为函数的一个“S点”.若函数存在“S点”，实数的值为_____. 【答案】 【详解】令，则. 根据点的定义，则存在，使得， 解得，则. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南郑州·期末）设，则（     ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】方法一：依据导数定义，该极限等于函数在处的导数值，先对求导得，再代入算出结果． 方法二：先计算，再令趋近于取极限得到数值． 【详解】方法一： 由，得， 所以． 方法二： 因为， 所以． 2．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义和简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】已知函数，则， 根据导数的定义可知，，故D正确. 3．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知函数则（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出导函数，再赋值代入求解. 【详解】函数 所以， 令，则，所以. 4．（2027高二·全国·专题练习）下列计算错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，则在的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导，再求即可. 【详解】因为，所以， 所以， 即， 解得． 6．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本函数的求导公式以及复合函数的求导法则即可结合选项求解. 【详解】，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项错误； 7．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知，其中为函数的导数，则 （ ） A．2 B．0 C．2026 D．2027 【答案】B 【详解】设，定义域为，得，则是奇函数. 所以，，因为，所以. 所以，， 所以，. 因为，，所以，. 因为是奇函数，则是偶函数，所以，，. 所以，. 所以. 综上，. 8．（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数都有对称中心，其对称中心为（其中）.已知函数.若关于点对称，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】先对求二阶导数，令其为求出对称中心横坐标，确定对称中心为，利用三次函数中心对称性质，结合与的数值和等于两倍中心纵坐标，推出,关于对称，进而算出. 【详解】已知，导函数， 再求出二阶导函数，令，解得， 代入得，对称中心为， 由函数图像中心对称性质可知， 由题意可知关于点对称， 可知的中点为，故. 9．（多选）（25-26高二下·陕西榆林·期中）下列关于导数的运算不正确的有（   ） A． B．（且） C． D． 【答案】BCD 【详解】，所以A正确； （且），所以B不正确； 因为是常数，所以，所以C不正确； ，所以D不正确. 10．（多选）（25-26高二下·广东东莞·期中）下列求导正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 11．（多选）（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）下列计算正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据求导运算规则逐项计算即可判断各选项. 【详解】选项A， ，正确. 选项B，是常数，常数的导数为，不是，错误. 选项C，根据商的求导法则：，这里；，分子计算得： 因此，正确. 选项D，根据复合函数求导法则：，，， 因此：，D中遗漏了内层导数，错误 12．若，则______. 【答案】6 【详解】根据题意，； 13．（25-26高二下·安徽·阶段检测）对于三次函数，定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数图象的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则函数图象的对称中心的坐标为____，____． 【答案】 【分析】由函数的新定义进行求解即可． 【详解】，，所以． 令，得， ， 所以函数图象的对称中心坐标为， 所以． 设①， 　②， 由①+②得， ， 所以， 即． 14．（2026·山东菏泽·二模）已知函数满足，则________. 【答案】 【详解】先对求导：. 令，得. 移项得，即. 所以，代入， . 15．（25-26高二下·吉林·期中）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数，n!表示n的阶乘，即．该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为______．（精确到小数点后两位） 【答案】0.84 【分析】根据麦克劳林公式求出的表达式，再赋值计算即得. 【详解】令，则， 于是， 由麦克劳林公式得，， 所以. 16．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则______. 【答案】/ 【分析】由题意，则有，所以函数为常函数，则，设，结合，解得，即，倒序相加的关系式，即可求得的通项公式. 【详解】因为，即， 令，则， 所以函数为常函数，则，即（为常数）， 因为，令，得，所以， 即， 所以①， ②， 得： ， 即，所以， 故答案为：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $