专题01 导数的概念及其几何意义（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题01 导数的概念及其几何意义 常考题型·精准突破 考点一 变化率问题 题型1平均变化率 （重） 题型2 瞬时变化率 （高频） 题型3 导数的概念 题型4 导数定义中极限的简单计算（高频） 考点二 切线问题 题型5 求曲线切线的斜率（重） 题型6 “在”型切线（重） 题型7 “过”型切线（重） 题型8 公切线问题（难） 题型9切线条数问题（难） 题型10 切线中的距离问题 （难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 变化率问题 ◆题型1平均变化率 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）函数在区间上的平均变化率为（     ） A．3 B．15 C．10 D．30 2．（25-26高二下·重庆璧山·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·四川绵阳·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C．3 D．4 4．（25-26高二下·江西吉安·期末）某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． ◆题型2 瞬时变化率 6．（25-26高二下·吉林·期末）一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（     ） A．米/秒 B．6米/秒 C．9米/秒 D．12米/秒 7．（25-26高二下·广东梅州·期末）“兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（    ） A．16g/天 B．18g/天 C．20g/天 D．22g/天 8．（25-26高二下·广西钦州·期末）某飞行器的飞行高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该飞行器在s时的瞬时速度为（    ） A．9m/s B．18m/s C．19.8m/s D．16.2m/s 9．（25-26高二下·河北·期末）某物体做直线运动，其位移s（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（    ） A．4米/秒 B．12米/秒 C．16米/秒 D．20米/秒 10．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则在点处的瞬时变化率为__________． ◆题型3 导数的概念 11．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·四川眉山·期中）已知函数在处可导，且，则（） A． B． C． D． 13．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 14．（25-26高三上·上海·期中）若，则__________． 15．（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知函数的导函数为，且，则______. ◆题型4 导数定义中极限的简单计算 16．（25-26高二下·安徽滁州·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）设为可导函数，，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 18．（25-26高二下·江西上饶·期中）定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 19．（25-26高二下·江苏镇江·期中）定义在R上的函数，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 20．（25-26高二下·重庆·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 考点二 切线问题 ◆题型5 求曲线切线的斜率 21．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）曲线在点处的切线斜率是（   ） A． B． C．3 D． 22．（25-26高二下·四川遂宁·期末）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·山东济南·期末）曲线在点的切线斜率为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（25-26高二下·上海·期末）函数在处的切线斜率为________. 25．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. ◆题型6 “在”型切线 26．（2026·广东深圳·模拟预测）曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 27．（2026·湖南永州·一模）曲线在点处的切线方程为__________． 28．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知函数，则曲线在点处的切线方程是______． 29．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）曲线在处的切线方程为_________． 30．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）曲线在点处的切线方程为_____________． ◆题型7 “过”型切线 31．（25-26高二下·四川成都·期中）过点与曲线相切的直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 34．（25-26高三上·河南·期末）过点作曲线的切线，则切线方程为______． 35．（25-26高二下·全国·课堂例题）求过点与曲线相切的直线方程． ◆题型8 公切线问题 36．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二下·广东深圳·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，（     ） A． B．1 C．e D． 38．（25-26高二下·全国·课后作业）（1）若曲线与曲线有公共点，且在公共点处有公切线，则实数________． （2）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为________． 39．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于______. 40．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. ◆题型9 切线条数问题 41．（25-26高二下·河南南阳·期末）过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 43．（24-25高二下·河北唐山·期末）若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数的取值范围是____________． 44．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 45．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． ◆题型10 切线中的距离问题 46．（26-27高三上·全国·一轮复习）最小值为（    ） A． B． C． D． 47．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 48．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 49．若x、a、b为任意实数，若，则最小值为(    ) A． B．9 C． D．   综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B．4 C． D．2 3．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知点 P在曲线 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·四川成都·开学考试）如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·广东肇庆·开学考试）已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·福建三明·开学考试）已知函数且，则（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 8．（多选）（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 9．（多选）（25-26高二下·江西宜春·期中）下列说法正确的是（ ） A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B．函数在时瞬时变化率为7 C．定义在上的可导函数，已知，若，则 D．定义在上的可导函数，已知，若，，则 10．（25-26高二下·四川泸州·期末）直线与曲线相切，则_____． 11．（25-26高二下·重庆·期末）已知点在函数的图象上，则点到直线的距离的最小值为________． 12．（25-26高二下·湖北武汉·期末）若曲线存在斜率为3的切线，则实数的取值范围是___________． 13．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为____________ 14．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，其中 ，则直线的斜率的取值范围是_____. 15．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的概念及其几何意义 常考题型·精准突破 考点一 变化率问题 题型1平均变化率 （重） 题型2 瞬时变化率 （高频） 题型3 导数的概念 题型4 导数定义中极限的简单计算（高频） 考点二 切线问题 题型5 求曲线切线的斜率（重） 题型6 “在”型切线（重） 题型7 “过”型切线（重） 题型8 公切线问题（难） 题型9切线条数问题（难） 题型10 切线中的距离问题 （难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 变化率问题 ◆题型1平均变化率 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）函数在区间上的平均变化率为（     ） A．3 B．15 C．10 D．30 【答案】B 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 2．（25-26高二下·重庆璧山·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为， 所以函数在区间上的平均变化率为. 3．（25-26高二下·四川绵阳·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义，计算区间端点处的函数值差值与区间长度的比值即可得到结果 【详解】， ， ，， 因此平均变化率为. 4．（25-26高二下·江西吉安·期末）某质点沿直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该质点在内的平均速度是. 5．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】. ◆题型2 瞬时变化率 6．（25-26高二下·吉林·期末）一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（     ） A．米/秒 B．6米/秒 C．9米/秒 D．12米/秒 【答案】D 【详解】∵∴ ∴ 即当时，该质点的瞬时速度为12米/秒. 7．（25-26高二下·广东梅州·期末）“兴宁鸽”是兴宁市标志性特色农产品，有近400年养殖史，获“全国名特优新农产品”“国家地理标志”等认证，亮相广州塔、大湾区推广，是兴宁乡村振兴支柱产业．肉鸽在0～25日龄快速生长期内，体重W（单位：g）与日龄t（单位：天）的函数关系为，则鸽子在日龄时的瞬时生长率为（    ） A．16g/天 B．18g/天 C．20g/天 D．22g/天 【答案】B 【详解】瞬时生长率为，代入得（g/天）． 8．（25-26高二下·广西钦州·期末）某飞行器的飞行高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该飞行器在s时的瞬时速度为（    ） A．9m/s B．18m/s C．19.8m/s D．16.2m/s 【答案】B 【分析】先对高度函数求导得到导函数，再将代入导函数计算，得到的导数值即为所求. 【详解】函数求导得， 则（m/s）. 该飞行器在s时的瞬时速度为18m/s. 9．（25-26高二下·河北·期末）某物体做直线运动，其位移s（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（    ） A．4米/秒 B．12米/秒 C．16米/秒 D．20米/秒 【答案】D 【分析】由导数的定义求瞬时速度. 【详解】因为，所以所求瞬时速度为米/秒. 10．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则在点处的瞬时变化率为__________． 【答案】 【详解】函数，求导得， 所以在点处的瞬时变化率为. ◆题型3 导数的概念 11．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 12．（25-26高二下·四川眉山·期中）已知函数在处可导，且，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据导数定义，， 已知，所以， 令，当时，，则， 因此，解得. 13．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）定义在上的函数，若，则（    ） A．-1 B．1 C．2026 D．-2026 【答案】C 【详解】 14．（25-26高三上·上海·期中）若，则__________． 【答案】3 【详解】因为，所以，根据导数的定义. 15．（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知函数的导函数为，且，则______. 【答案】 【详解】由导数的定义知，. ◆题型4 导数定义中极限的简单计算 16．（25-26高二下·安徽滁州·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在处可导， 所以. . 17．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）设为可导函数，，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由导数的概念，得， 又，即 所以. 18．（25-26高二下·江西上饶·期中）定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】 19．（25-26高二下·江苏镇江·期中）定义在R上的函数，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解即可 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，，且， 所以 20．（25-26高二下·重庆·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数在某点的导数意义计算极限值可得. 【详解】因为，所以，. 又因为. 考点二 切线问题 ◆题型5 求曲线切线的斜率 21．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）曲线在点处的切线斜率是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】对函数求导，然后在导数中令可求出所求切线的斜率. 【详解】对函数求导得，当时，， 因此，所求切线的斜率为. 22．（25-26高二下·四川遂宁·期末）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以切线的倾斜角为. 23．（25-26高二下·山东济南·期末）曲线在点的切线斜率为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】对函数求导可得， 将代入导函数，得， 即曲线在点处的切线斜率为4，对应选项D. 24．（25-26高二下·上海·期末）函数在处的切线斜率为________. 【答案】/ 【详解】，当时，， 所以函数在处的切线斜率为. 25．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 【答案】/ 【详解】因为，则，所以， 解得，所以曲线在处的切线斜率为. ◆题型6 “在”型切线 26．（2026·广东深圳·模拟预测）曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程求解即可. 【详解】当时，， ，所以切线的斜率， 所以切线方程为，即. 27．（2026·湖南永州·一模）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】先对曲线对应的函数求导得到切线斜率，再结合切点坐标用点斜式写出切线方程并化简. 【详解】对函数 求导可得， 将 代入导函数，得到切线的斜率 ； 已知切线过切点 ，由直线的点斜式方程得， 整理后即得切线方程为 . 28．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知函数，则曲线在点处的切线方程是______． 【答案】 【分析】直接由导数的几何意义求切线方程可得. 【详解】由函数，得， 所以，， 因此切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 29．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）曲线在处的切线方程为_________． 【答案】 【详解】设， 对求导得， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 30．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）曲线在点处的切线方程为_____________． 【答案】 【详解】由题可得，所以曲线在点处的切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. ◆题型7 “过”型切线 31．（25-26高二下·四川成都·期中）过点与曲线相切的直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为， ，切线斜率，解得：，. 32．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 33．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 34．（25-26高三上·河南·期末）过点作曲线的切线，则切线方程为______． 【答案】 【分析】设切点，根据导数的几何意义得切线方程为，将点代入求出即可得答案. 【详解】设切点，， 则切线斜率为，则切线方程为， 将代入得， 解得， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 35．（25-26高二下·全国·课堂例题）求过点与曲线相切的直线方程． 【答案】，． 【分析】设为切点，根据题意求出切线方程，再代入点和点求解和即可. 【详解】设为切点，则切线斜率为， 故切线方程为．① 在曲线上，．② 又在切线上， 将②式和代入①式得， 解得或， 或． 故所求的切线方程为和， 即和． ◆题型8 公切线问题 36．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，分别设直线与两条曲线的切点，结合切点同时在直线和对应曲线上列方程，求解、的值即可得到结果. 【详解】设直线与的切点为，与的切点为. 对求导得，可知，且切点在切线上，因此， 对求导得，同理得，且切点在切线上，因此， 由得，代入化简得. 由得，代入得. 将代入上式，整理得，解得，代入得，故. 37．（25-26高二下·广东深圳·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，（     ） A． B．1 C．e D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求曲线上任意一点的切线方程，再结合公切线列方程求参数值，从而得到公切线为，同理求曲线的切线方程，结合公切线求参数即可. 【详解】设， 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即， 由题意，即，解得， 所以两曲线的公切线为， 设，切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意，即，解得. 38．（25-26高二下·全国·课后作业）（1）若曲线与曲线有公共点，且在公共点处有公切线，则实数________． （2）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为________． 【答案】 2 【详解】（1）的定义域为，，． 设曲线与曲线的公共点坐标为， 则，即， 消去得，解得， 代入可得. （2）设是曲线上的一点，， 所以曲线在点处的切线方程为，即①． 令，解得，， 所以，即，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为，所以． 39．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于______. 【答案】3 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为， 即，令， 解得，， 所以，， 所以或，当时，，不符合题意，舍去， 所以，此时， 所以. 40．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 【答案】 【分析】设出公共切点坐标，利用在该点处两函数值相等且导数值相等列出方程组，通过代入消元并构造辅助函数利用其单调性求出唯一的切点横坐标，最终代回解出参数的值. 【详解】设公共切点的坐标为，其中， 求导得， 由在公共点处切线相同，得 由第二式得， 代入第一式得， 化简得，设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 且，所以方程有唯一实根， 将代入的表达式中，得. ◆题型9 切线条数问题 41．（25-26高二下·河南南阳·期末）过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设及导数的几何意义，将问题化为有3个不同实根，即与有3个交点求参数范围. 【详解】由，则， 设切点为，切线斜率， 切线过点，则，整理得， 问题转化为有3个不同实根， 令，求导得，令，得， 当，，在上单调递增，， 当，，在上单调递减，， 当，，在上单调递增，， 所以极大值，极小值，且时， 所以与有3个交点，即恰有3条切线，此时. 42．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标将切线条数转化为方程实根个数，构造函数求值域即可得到的取值范围. 【详解】设过原点的切线与曲线相切于点，， 对求导得，因此切线斜率， 切线方程为： ， 将原点代入切线方程，得： 整理得， 由于过原点可作两条切线，故关于的方程有两个不同的实根。 构造函数，，求导得： ，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此的最小值为， 又当时，；当时，，且， 因此当且仅当时，直线与的图象有两个不同交点，对应存在两条切线， 故的取值范围是. 43．（24-25高二下·河北唐山·期末）若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别在两函数上取点，求出其切线方程，由两切线是同一切线，可得，且此方程有两个大于0的解，设，将问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数确定的单调性及最值，作出图象，利用图象求解即可. 【详解】因为，所以， 设上的点为， 则过此点的切线方程为， 即； 因为， 所以， 设上的点， 则过此点的切线方程为， 即， 由题意可得， 整理得， 即， 由题意可得此方程有2个大于0的解， 设， 则， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以， 又当时，；当时，，且， 又因为直线与的图象有两个交点， 所以， 所以实数的取值范围为.    44．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】设出曲线的切点坐标，写出切线方程后代入点A坐标，将切线条数转化为关于切点横坐标的一元二次方程的实根个数，利用判别式求解参数的取值范围. 【详解】由，得： ， 即切点处切线斜率为， 切线方程为：， 将代入切线方程， 整理得： ， 过点有两条切线，等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 计算判别式：， 解得或，即或 因此的取值范围是. 45．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． ◆题型10 切线中的距离问题 46．（26-27高三上·全国·一轮复习）最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将表达式翻译为对应的几何意义，然后识别两个函数之间是反函数的关系，根据反函数的性质可得两曲线点的最短距离等于其中一条曲线上的点到直线最短距离的2倍，最后利用导数的几何意义计算上一点到的最短距离即可求解. 【详解】的几何意义是： 曲线上的任意一点， 与曲线上的任意一点之间的距离的最小值. 与互为反函数，图像关于直线对称， 因此两条曲线上点的最短距离，等于其中一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 对求导，令导数等于直线的斜率1： ， 代入得对应点为，该点到直线的距离为： . 故两条曲线的最短距离为. 47．（2026·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线，圆，平面内一点满足，设圆上一点到直线的距离为，为实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析的几何意义，根据圆上的点到直线的距离的最小值求得的最小值，结合导数的几何意义、两点间的距离公式及点到直线的距离公式，求得的最小值，即可得的最小值. 【详解】由题已知圆，圆心，半径． 则直线到圆心的距离， 故圆上点到直线的最小值为圆心到直线的距离减去半径，故， 点满足，即， 因此点在函数的图象上， 表达式表示点到点的距离的平方， 又因为点在直线上，所以表达式的最小值为函数上的点到直线的最小距离的平方. 设函数上与直线平行的切线与其相切于点， 由题易得， 令，即，解得. 即切点为，由点到直线的距离有， 故的最小值为． 48．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据距离新定义，将问题化为求上的点到曲线上点的距离最小时对应参数值，即可得. 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 49．若x、a、b为任意实数，若，则最小值为(    ) A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，问题可转化为圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的最小值，即求函数y＝lnx上动点到圆心距离的最小值，数形结合可知当y＝lnx在处的切线与和连线垂直时为最小值，据此求出m的值，即可得到答案． 【详解】由可得在以为圆心，1为半径的圆上， 表示点与点的距离的平方， 即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方． 设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得， 即有， 由在时递增，且，可得m＝1，即切点为， 圆心与切点的距离为， 由此可得的最小值为． 故选：C．    综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）设函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，再求，进而得，利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 所以，， 所以， 所以. 2．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】根据切点坐标满足原函数和切线方程可得出，对原函数求导，根据切线斜率等于导数在该点的值可得出，从而可以求解. 【详解】，则，， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以有，，即，， 所以. 3．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知点 P在曲线 上，α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，结合基本不等式可得，得到答案 【详解】由题． 设，则， ，当且仅当即时等号成立，， ∵，∴． 4．（26-27高三上·四川成都·开学考试）如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，求出切线方程，再将点代入，转化为和的图象有三个交点，利用导函数可求. 【详解】设切点为，因为，所以， 则切线方程为，即， 将代入得， 因为切线恰有三条，所以方程有三个根， 则和的图象有三个交点， 因为，所以当或时，单调递减； 当时，单调递增； 则，即， 则实数的取值范围为 5．（26-27高三上·广东肇庆·开学考试）已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，又，所以，则切线方程为， 设，则，令，解得，所以. 6．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 7．（26-27高三上·福建三明·开学考试）已知函数且，则（     ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则，求得，结合极限的运算法则，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 又由， 即，解得. 8．（多选）（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】AD 【分析】设切点为，求导，由得，再根据,求出即可求解. 【详解】设切点为，求导，由得， ， 所以或．当时，，得； 当时，，得，所以或． 9．（多选）（25-26高二下·江西宜春·期中）下列说法正确的是（ ） A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30 B．函数在时瞬时变化率为7 C．定义在上的可导函数，已知，若，则 D．定义在上的可导函数，已知，若，，则 【答案】CD 【分析】根据平均变化与瞬时变化率定义计算可判断A、B，根据导数的定义计算可判断C、D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，可知当时，瞬时变化率为，故B错误 对于C： ，故C正确； 对于D： ，解得，故D正确； 10．（25-26高二下·四川泸州·期末）直线与曲线相切，则_____． 【答案】 【详解】直线的斜率为， 因为，则， 令，解得， 当时，则，即切点坐标为， 把代入可得，解得. 11．（25-26高二下·重庆·期末）已知点在函数的图象上，则点到直线的距离的最小值为________． 【答案】/ 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0，趋近于；当趋近于，趋近于0； 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， 令，可得， 令，可知在定义域内单调递增，且， 则有且仅有1个零点为1，即方程的根为，即切点， 可得点到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 12．（25-26高二下·湖北武汉·期末）若曲线存在斜率为3的切线，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】将问题转换成，时有解，进而可求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 曲线存在斜率为的切线，等价于方程在上有解，整理得， 因为，所以，因此，即， 故实数的取值范围是. 13．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为____________ 【答案】/ 【分析】根据距离新定义，将问题化为求上的点到曲线上点的距离最小时对应参数值，即可得． 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 14．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，其中 ，则直线的斜率的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用导数分别求出两条曲线的切线斜率，再利用切线过两点表示斜率，联立三个斜率表达式，构建关于的函数关系，求导判断函数单调性即可求值域. 【详解】由题意得，则，设曲线的切点为， 则直线的斜率，而，则， 设曲线的切点为，则直线的斜率， 联立，得,又因为直线过两点， 所以直线的斜率也可以表示为， 由两边同时取对数，得，把， 将代入，得， 又因为恒成立，所以， 令，则，令， 即时单调递减，时，单调递增， 所以在时，取最小值，即. 15．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 【答案】/ 【分析】设出公切线在两函数图象上的切点，用两种方式表示出公切线，得到对应等量关系，据此可得答案. 【详解】设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程为：； 设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程还可表示为：. 依题意可得，由②得，即， 代入①，得， 又，，从而. 令，则. 令，则， 则在上单调递减，注意到， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即实数m的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $