专题01 导数的概念及其意义、运算（专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01导数的概念及其意义、运算（解析版） 目录 A题型建模·专项突破 题型一、导数的概念…1 题型二、导数的运算.2 题型三、切线的倾斜角范围.3 题型四、曲线上点P的切线5 题型五、曲线外点P的切线.6 题型六、公切线问题 .8 题型七、根据切线求参 9 题型八、根据切线条数求参. .11 题型九、相切解决距离最值问题.12 题型、相切解决根（零点）个数问题.14 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、导数的概念 1.(多选)(25-26高二下·全国单元测试)已知：函数y=f(x)的自变量x,处的改变量△x,函数值的改 变量为△y,f(x)在x处的导数值∫'(x,),下列等式中正确的是() A.) .△y B.f(x)=limf(x)-f(xo) →x-X0 C.(xo)=imf(x+Ax)f(x)] D.f'(xo）=lim f(x+△x-f(xd △x 2.(2025高三·全国.专题练习)已知函数f(x)在x=处可导，则1i [fx+A-[f(_（) A￥0 △x A.fxo) B.f(xo) C.[f'(x)] D.2f'(x)f (xo) 3.(25-26高二上·贵州黔南月考)已知函数∫(x)在R上可导，则f'(2)=() A.lim f(2-Ax)-f(2) B.lim f(2+△x)-f(2) Ax-0 △x △x0 △r C.lim f(2+Ax)-f(2-△r) D.lim(2)-f(2-Ax) △r0 -2△x △x0 2△x 题型二、导数的运算 1.（25-26商二下全国课后作业)已知函数f)-。+,其导函数为f,则 f(2022)+f(-2022)+f'(2023)-f'(-2023)的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 1/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2. (2526高二上浙江宁波期末)已知函数fx)的导函数为f"(x),且满足∫(x)=2灯1-，则 '(1= ,(其中e是自然对数的底数) 3.25-26商二上江苏南京期末)已知)=f2026nx-号r+,则f2020)=() A.0 B.-2026 C.1 D.2026 题型三、切线的倾斜角范围 1.(25-26高二下全国课后作业)已知点P在曲线y=2sinc0s上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角， 则a的取值范围是() 3π 44 e[居 [ 2.(25-26高二上山西朔州期末)己知点P在曲线y=x3-x+2上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为 a,则a的取值范围是() A引] B.4'2 3π .器 3. (25-26高二上·湖北武汉·期末)点P在曲线y=二x2+。lr上移动，设点P处切线的倾斜角为a,则角 a的范围是() A[别 c(别 D [d 题型四、曲线上点P的切线 1.(25-26高二上安徽六安期末)已知函数f(x)=f'(0)e3+sinx,则函数f(x)在x=0处的切线方程是 2.(2526高二上安微芜湖期末)已知到=了}snr-cos,则f)在x=处的切线方程为 3.(25-26高二上陕西榆林期末)设函数f(x)=x·2-x2-11n2-2,则曲线y=f(x)在x=1,处的切线 方程为 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型五、曲线外点P的切线 1.（25-26高三上江苏苏州期中)过点P(x,)作曲线y=x的两条切线，记两切点分别为Axy), B(x,,若两条切线斜率之积为1，则凸+的取值范围是《) A.(0,1 B.0,1 C.[l,+oj】 D.(1,+0 2.(2025高三·全国专题练习)过坐标原点作曲线f(x)=x(x-c(c≠0)的两条切线，记其斜率分别为k, k2,则k-k=() A.c B.c2 C. D.c 3.(2025高三·全国，专题练习)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线 y=f(x)的公共点的坐标 题型六、公切线问题 1.(2026浙江模拟预测)已知倾斜角为严的直线1与曲线f(x=nx和g)=号-b都相切，则实数 2 b= 2.(25-26高三上·河南南阳·期末)已知a,b∈R,若直线y=3x+a是曲线f(x)=e+2x-b与曲线 gx=x+2lnx的公切线，则a+b= 3.(25-26高三上河南商丘·期末)已知直线y=x+b是曲线y=e与曲线y=a+enx的公切线，则实数a 的最大值是 题型七、根据切线求参 1.(25-26高二上·云南曲靖期末)已知直线ax-y+1=0与曲线y=e-+x在x=1处的切线垂直，则a= 2.(26-27商二上云南期未)若直线7=+1是曲线y=a+行《a>0且01)的一条切线，则a= 3.(25-26高三上·湖南长沙期末)若曲线y=e+2x在点(0,1)处的切线也是曲线y1=lnx+1+m的切线， 则m=一 题型八、根据切线条数求参 1.(25-26高三上山西长治·开学考试)过坐标原点作曲线y=（x-a)e(a≠0)的切线，若切线有且只有一 条，那么a=() 3/6 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-2 B.-4 C.2 D.4 2.(25-26高二上山东泰安期末)函数f(x=(x-Ie,过点A(a,0),a∈R,可以作函数f(x)的两条切 线，求实数a的取值范围 3。(多迹)(206陕西检林二楼)已知两曲线)=hr与y=m+m>0)存在两条公切线，则实数m的 取值可能是() A.2定 1 B. c.! D.1 e 题型九、相切解决距离最值问题 1.(2025高三上福建厦门专题练习)已知实数a,b满足a2-4Ina-b=0,ceR,则(a-c)+b+2c 的最小值为 2.(25-26高二上江苏南京期末)函数f(x)=的图象上的点到直线x-y+2=0的距离的最小值为() A.② 2 B.1 C.5 D.22 3.(25-26高三上·黑龙江月考)曲线y=x2-31nx上的点到直线x+y=0距离的最小值为 题型十、相切解决根（零点）个数问题 Inx,x>1 1.(2025高三上河南鹤壁·专题练习)己知定义在R上的函数f(x)= 小x2-,xs1'若函数 k(x)=f(x)+ax恰有2个零点，则实数a的取值范围为() A.（-m3uoU1,+al B.（l-ouL+a c.（1-uou(*） D.(-u 2. (2025高三·全国.专题练习)已知关于x的方程(x-1)(x-3)=mx有四个不同的实根，则m的取值范围 是 -x,x<0, 3.(25-26高三上·北京月考)已知函数f(x)= ,x≥0. 若关于x的方程∫(x)=ax+1的实数根恰有一 个，则实数Q的取值范围是 B 综合攻坚·能力跃升 1.(25-26高二上·黑龙江牡丹江期末)如果函数y=f(x)在x=1处的导数为1，则i f1+2△-f四 Ar- △x 4/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 () A.1 B.号 C.2 2.(多选)（25-26高二上·河北石家庄·期末)下列导数计算正确的有() A. B.(xsinx+cosx)xcosx+2sinx x-1 3-2x 2 c. （e2r*1 D.(1og2（2x+1月）= 2x+1)ln2 3. (25-2ǒ高三上河育期中)曲线)式-的切线斜率的最小值为 4.(25-26高二上浙江衢州期末)函数f(x)=e在点1，e)处的切线方程为() A.y=e B.y=x-l+e C.y=ex-2e D.y=ex 1+x+,>0,若在点p可以作曲线y=fx到的两条 e", x≤0 5.(25-26高三上江苏·月考)已知函数f(x)= 切线，则点P的坐标可以为() A.(1,1 B.(1,2 C.（-1,1 D.（2,2 6.(2025高三·全国专题练习)已知函数f(x)=lnr-a(x-1(a>0),gx=e,过原点分别作曲线 y=f(x),y=gx)的切线4,42，且两切线的斜率互为倒数，则实数a的取值范围是() A〔-e8 c-+ D. 7.(25-26高三上江西吉安期末)己知曲线y=me(m≥e)与曲线y=lnx+n(n∈R)有两条公切线，且它 们的斜率之积为1，则实数n的取值范围为， 4 8.(24-25高二下·江西·月考)若过点(1，)可以作曲线y=x--(x>0)的两条切线，则t的取值范围是() A.t>-3 B.t<1 C.-3<t<2 D.-3<t<1 ⑨.2425高二下江镇江期中)若点M是曲线-2n意一点，则M到直线x--20的 距离的最小值为() A.5v2 B.32 c.5v2 D.32 2 4 4 2 e*+1,x20 10.(2025高二全国.专题练习)设函数f(x)= x2+2x,x<0'若函数g=f)-ax-1有三个零点，则 5/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a的取值范围为() A. B.(e,+0) c.（ofee) D.（ue+ 6/6 专题01 导数的概念及其意义、运算（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、导数的概念 1 题型二、导数的运算 2 题型三、切线的倾斜角范围 3 题型四、曲线上点P的切线 5 题型五、曲线外点P的切线 6 题型六、公切线问题 8 题型七、根据切线求参 9 题型八、根据切线条数求参 11 题型九、相切解决距离最值问题 12 题型十、相切解决根（零点）个数问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、导数的概念 1．（多选）（25-26高二下·全国·单元测试）已知：函数的自变量处的改变量，函数值的改变量为在处的导数值，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可判断. 【详解】根据导数的定义可知，A正确； 若令，当，则， 则，B正确； 根据导数的定义，C错误； 根据导数的定义可知，D正确． 故选：ABD. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质求解. 【详解】 当时，， 所以， 故选：D． 3．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的定义进行求解． 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误． 故选：B 题型二、导数的运算 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，其导函数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别计算与的值，代入可得结果. 【详解】， 所以为偶函数，所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C. 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数的导函数为，且满足，则__________.（其中是自然对数的底数） 【答案】 【分析】根据导数的运算性质求导，令运算求解即可. 【详解】因为，则， 令，则，解得. 故答案为：. 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2026 【答案】B 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】由题设，则， 所以，可得. 故选：B 题型三、切线的倾斜角范围 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，从而求出导函数函数值的范围，即切线的斜率的范围，即可得出答案. 【详解】因为，所以．设， 由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率． 所以．因为，所以． 故选：D 2．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D 3．（25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】， 由于，则，故， 故，由于，故， 故选：A 题型四、曲线上点P的切线 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【答案】 【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知，则在处的切线方程为_____. 【答案】 【分析】求出，将代入，解出，利用导数的几何意义求出即为切线的斜率，将代入，求出即为切点的纵坐标，利用点斜式得到切线方程. 【详解】由，得，令，则，解得，所以， 所以在处的切线方程的斜率为， 又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 3．（25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 题型五、曲线外点P的切线 1．（25-26高三上·江苏苏州·期中）过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以，则 由，， 可得 所以， 当且仅当，即时取得最小值，由因为，所以， 则， 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（    ） A．c B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数展开，求出导数，设切点为，根据点斜式写出切线方程，代入原点坐标求出,代入导数可求出切线斜率，即可得到结论. 【详解】由题知，则，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过原点，则，解得或c，当时，，当时，，故． 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 【答案】和 【分析】首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：， 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：， 与联立得， 化简得，由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得，， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 题型六、公切线问题 1．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 【答案】/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： 2．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________ 【答案】1 【分析】首先根据导数的几何意义求出直线与曲线的交点（切点），然后根据切点在直线上求出，最后求出直线与的交点（切点）即可求出. 【详解】设直线在处的切点坐标为， 在处的切点坐标为，，， 因为直线是曲线和的公切线，所以， 解得，则， 把代入直线中可得，又，解得， 把代入直线中可得， 再把代入中可得，即，所以. 故答案为：1 3．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是__________. 【答案】e 【分析】紧抓切点既在曲线上，也在切线上，建立等量关系，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的最大值即可. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. 令，则，所以，所以， 令，则，所以，解得， 所以，消去后得. 令，则， 令，则在上恒成立，所以单调递减， 又，所以当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 所以，即实数的最大值是e． 故答案为：e. 题型七、根据切线求参 1．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： 2．（26-27高二上·云南·期末）若直线是曲线（且）的一条切线，则_________． 【答案】 【分析】设曲线，求导得，由切线方程得出，设，验证解的唯一性. 【详解】设切点坐标为，曲线， 求导得， 由题知， 显然，即， ，得， 即，则， 即，代入， 化简得，即，即 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，故， 故． 故答案为：． 3．（25-26高三上·湖南长沙·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在点的切线方程，再设曲线的切点，利用公切线斜率相等求出，得到切点代入即可求解. 【详解】对求导得：，当时， ， 在点处的切线方程为：, 设曲线的切点为， ，又切点在切线上， ，代入曲线方程得. 故答案为：. 题型八、根据切线条数求参 1．（25-26高三上·山西长治·开学考试）过坐标原点作曲线的切线，若切线有且只有一条，那么（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，用点斜式写出切线方程，代入原点即可求出. 【详解】设切点为， 所以切线的斜率， 切线方程为． 将坐标原点代入可得， 因为切线有且只有一条，所以， 解得或，又，所以， 故选：D． 2．（25-26高二上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 【答案】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 3．（多选）（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】设公切线与两曲线相切于点，进而得切线方程，即得，设，利用导数研究的单调性和极值，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】设公切线与两曲线与分别相切于， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 由题意可得，，即， 设，则， 令得．当时，； 当时，在（0，e）单调递增，在单调递减，时， 的图象如图所示： 由题意可知函数的图象与直线有两个交点，因此，解得， 故选：BCD． 题型九、相切解决距离最值问题 1．（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知实数，满足，，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】将问题转化为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方，利用导数求切点，由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：所求表达式的几何意义为点与点之间距离的平方. 由可知点在曲线上；点的坐标满足，故该点在直线上 因此求的最小值， 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方. 设直线与曲线相切于点， ，则，解得（负根已舍去）， 切点为，点到直线的距离， 则的最小值为. 故答案为： 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 3．（25-26高三上·黑龙江·月考）曲线上的点到直线距离的最小值为___________． 【答案】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得，即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为， 故答案为： 题型十、相切解决根（零点）个数问题 1．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知定义在上的函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为图象与直线有两个交点，通过导数研究过原点的切线斜率，数形结合即可求得答案. 【详解】作出函数的图象，如图示： 当时，，， 设直线与的图象相切，切点为， 则，解得， 所以为的一条切线方程， 当时，， 设直线与的图象相切， 联立可得，即，令，解得， 所以为的一条切线方程， 当时，， 设直线与的图象相切， 联立可得，即，令，解得， 所以为的一条切线方程， 考虑直线，，与曲线相切， 由直线与曲线的位置关系可得： 当时函数图象与直线有两个交点， 即时函数恰有两个零点． 故选：B． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】设的切线为，根据导数的几何意义，求出及k值，结合图象分析，即可得答案. 【详解】如图，设的切线为，设切点， 则，所以在A处切线的斜率， 则切线方程为， 所以，解得或（舍）， 则， 结合图形知的取值范围是. 故答案为： 3．（25-26高三上·北京·月考）已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，对函数求导，求出过的切线的斜率，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点， 又因为直线过定点， 作出函数的图象，如图所示： 过点作曲线的切线，设切点为， 因为， 所以切线方程为， 代入，得， 解得， 所以切线的斜率， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 又因为当时，也满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 2．（多选）（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列导数计算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 3．（25-26高三上·河南·期中）曲线的切线斜率的最小值为__________． 【答案】 【分析】先求导，再利用导数的几何意义结合函数性质求解． 【详解】，求导得， 当时，取得最小值， 曲线的切线斜率的最小值为． 故答案为：． 4．（25-26高二上·浙江衢州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式可得结果． 【详解】，所以， 则切线方程为，整理得． 故选：D． 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解. 【详解】作出函数的图象， 求导得：， 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选：B 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． 7．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知曲线与曲线有两条公切线，且它们的斜率之积为1，则实数的取值范围为_____， 【答案】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求出切线方程表达式，令，可知有两个不相等的实数根，且互为倒数，即可得，由可求出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意得存在实数，使得在处的切线和在处的切线重合， 所以，即， 由，即， 又由，即， 令，则题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数， 设两根分别为，， 则由得， 化简得， 所以，即， 因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为： 8．（24-25高二下·江西·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 9．（24-25高二下·江苏镇江·期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小， 由，可得， 令，解得或（舍去），则， 所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 10．（2025高二·全国·专题练习）设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用数形结合，对进行分类讨论求解即可． 【详解】函数有三个零点，等价于函数与图象有3个交点， 且图象恒过点，作出函数的图象如图： 如图，当时，与的图象有且只有一个交点， 当时，与的图象有2个交点， 当直线过时，，此时与的图象有2个交点， 当时，与的图象有3个交点， 当时，与的图象有1个交点， 当时，， 对求导得，令，解得， 所以在处的切线方程为， 故是的切线， 此时与的图象有2个交点， 由图，当时，与的图象有3个交点， 综上，， 故选：D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $