专题01 导数的概念与计算（压轴题专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题01 导数的概念与计算 目录 典例详解 类型一、导数的概念 类型二、导数的运算 类型三、导数的几何意义 类型四、导数的几何意义的综合应用 压轴专练 类型一、导数的概念 1.导数的概念： 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 注意： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即. 例1．已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 变式1-1．（多选）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），为r（V）的导函数．已知r（V）在上的图象如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得 变式1-3．已知，则 . 类型二、导数的运算 1.导数运算： （1）求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） （2）导数的四则运算法则 ①函数和差求导法则：； ②函数积的求导法则：； ③函数商的求导法则：，则． （3）复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为. 2.导数的计算方法 (1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 3.常用结论：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 例2．已知函数的导函数为，且，则 . 变式2-1．已知函数，则（   ） A．0 B．12 C．24 D． 变式2-2．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 变式2-3．函数，其导函数为，则 . 类型三、导数的几何意义 1.导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率，切线方程为． 2.导数几何意义的应用 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数图象升降的快慢，因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其图象的切线来了解函数的性质. 3.求切线方程 （1）在点的切线方程： 函数在点处的切线方程为，抓住关键 （2）过点的切线方程： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3.公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡．主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起．处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程． 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝． 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 例3．已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 变式3-1．（多选）关于切线，下列结论正确的是（    ） A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为 B．已知直线与抛物线相切，则a等于 C．过点且与曲线相切的直线l的方程为 D．曲线在点处的切线方程为． 变式3-2．已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 变式3-3．已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若点，则始终为钝角 D． 类型四、导数的几何意义的综合应用 求解过已知点所引得函数对应的曲线的切线的条数问题时，应先设出切点的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，将已知点的坐标代入切线方程后，将切线的条数转化为关于切点坐标中的参数方程根的个数问题． 例4．函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 变式4-1．已知l是函数的切线且斜率为2，则与圆有公共点的切线l的条数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式4-2．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 一、单选题 1．下列函数中，在处的导数值为1的是（   ） A． B． C． D． 2．在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是（    ）．    A． B． C． D．的解析式可能是 3．若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．1 4．已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 5．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，函数的阶导数记为.若，则（   ） A．55 B．410 C．465 D．682 二、多选题 7．设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为 8．已知函数.若曲线存在两条过点的切线，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 三、填空题 9．已知，则 ． 10．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 . 四、解答题 11．已知函数和，其中为常数且. (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 12．函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的概念与计算 目录 典例详解 类型一、导数的概念 类型二、导数的运算 类型三、导数的几何意义 类型四、导数的几何意义的综合应用 压轴专练 类型一、导数的概念 1.导数的概念： 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 注意： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即. 例1．已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 变式1-1．（多选）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用导数的定义逐个求解. 【详解】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD 变式1-2．（多选）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），为r（V）的导函数．已知r（V）在上的图象如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得 【答案】BD 【详解】A：设，由图得，所以所以，所以该选项错误； B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得，所以该选项正确； C:设，因为所以，所以该选项错误； D:表示两点之间的斜率，表示处切线的斜率，由于，所以可以平移直线使之和曲线相切，切点就是点,所以该选项正确. 故选：BD 变式1-3．已知，则 . 【答案】 【分析】由解析式求出，代入即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 类型二、导数的运算 1.导数运算： （1）求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） （2）导数的四则运算法则 ①函数和差求导法则：； ②函数积的求导法则：； ③函数商的求导法则：，则． （3）复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为. 2.导数的计算方法 (1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 3.常用结论：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 例2．已知函数的导函数为，且，则 . 【答案】 【分析】利用导数思想，进行代入求值即可. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以，所以， 故答案为：. 变式2-1．已知函数，则（   ） A．0 B．12 C．24 D． 【答案】D 【分析】将拆分为与其余因子的乘积，利用乘积求导法则，代入时，含的项会消去，只需计算剩余因子在处的取值，即可得到. 【详解】令，其中； 求导：； 代入：可得. 故选：D. 变式2-2．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 变式2-3．函数，其导函数为，则 . 【答案】 【分析】，令，证明函数为奇函数，为偶函数，利用函数奇偶性的性质，代入即可求解. 【详解】，函数的定义域为， 令，定义域为， ，， 所以函数为奇函数， ， ， ， 所以为偶函数， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 类型三、导数的几何意义 1.导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率，切线方程为． 2.导数几何意义的应用 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数图象升降的快慢，因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其图象的切线来了解函数的性质. 3.求切线方程 （1）在点的切线方程： 函数在点处的切线方程为，抓住关键 （2）过点的切线方程： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 3.公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡．主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起．处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 考法1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程． 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝． 考法2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 例3．已知函数，曲线经过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】求导，设切点，求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，又切线过，将 代入切线方程得到的方程，解出的值，代入切线方程得解. 【详解】，则设切点为， 可得过点的切线方程为， 代入点的坐标有， 整理为因式分解为， 即，解得或. ①当时，所求切线方程为，整理为； ②当时，所求切线方程为，整理为， 故曲线经过点的切线方程为或. 故答案为：或. 变式3-1．（多选）关于切线，下列结论正确的是（    ） A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为 B．已知直线与抛物线相切，则a等于 C．过点且与曲线相切的直线l的方程为 D．曲线在点处的切线方程为． 【答案】ABD 【分析】对A，由导数法求出曲线在切点处的切线方程，再由直线与圆相切与圆心到直线距离的关系列式即可求； 对B，直线与抛物线相切，即两方程联立有唯一解； 对C，点不在曲线上，设切点坐标为，结合导数法建立方程组求出切点坐标，即可进一步求出切线方程； 对D，由导数法直接求切线方程即可. 【详解】对A，设直线l与曲线相切于点，则由知曲线在点P处的切线方程为，即直线l的方程为． 由直线l与圆相切得，解得. 故直线l的方程为．A正确； 对B，由消去y得，所以解得．B正确； 对C，因为点不在曲线上，所以设切点坐标为. 又因为，所以解得， 所以切点坐标为，所以，所以直线l的方程为，即．C错误； D中，，所以，则切线方程为，即．D正确． 故选：ABD. 变式3-2．已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案； （2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可. 【详解】（1）因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. （2）解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 变式3-3．已知和有公共切线，切点分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若点，则始终为钝角 D． 【答案】D 【分析】通过对和求导，根据导数几何意义，可求得切线方程，通过斜率和截距相等建立方程，可求得的关系，逐项代入化简，即可求得正确答案. 【详解】设公切线的斜率为， 由得，又切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又得，切点为，则，， 所以切线方程为，即， 又直线是和的公切线， 所以，整理得，， 当时，经验证，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，， 则， 当时，；当时，， 又，所以，所以始终为钝角，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D. 类型四、导数的几何意义的综合应用 求解过已知点所引得函数对应的曲线的切线的条数问题时，应先设出切点的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，将已知点的坐标代入切线方程后，将切线的条数转化为关于切点坐标中的参数方程根的个数问题． 例4．函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率，所以切线方程是， 因为切线过点，所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以，解得或. 故答案为：. 变式4-1．已知l是函数的切线且斜率为2，则与圆有公共点的切线l的条数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用导数求得切线方程，利用直线与圆的位置关系列出切线与圆有公共点的条件，进行求解分析，得到答案. 【详解】,解得,或, 切线方程为或， 与圆有公共点的条件是或， 即或， 即即（1）或（2），其中, 由（1）得,由（2）得，共有10条切线满足题意， 故选：C. 变式4-2．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用转化思想，将代换，代换，则，满足：，即，再以代换，可得点，满足．因此求的最小值，即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方．利用导数的几何意义，研究曲线和直线平行的切线性质即可得出答案． 【详解】解：代换代换，则满足：，即，以代换，可得点，满足. 因此求的最小值， 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方. 设直线与曲线相切于点， ，则， 解得，切点为. 点到直线的距离， 则的最小值为. 故选B. 变式4-3．已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)2 【分析】（1）根据点坐标求得，利用导数求得切线方程. （2）设切点为，求得切线方程并代入点的坐标，利用等差数列的性质以及方程的思想列方程，化简求得的值. 【详解】（1）函数对应图象为曲线，因为点在曲线上， 所以，所以， ， 设切点为， 切线方程为:，即， 因为切线过点，所以，即， ， ，所以或， 所以切点为或， 将或代入， 可得切线方程为：或． （2）函数，求导得， 设切点为， 切线方程为，即， 切线过点，则， 依题意方程有三个不同解，且成等差数列， 设三个不同解为，且， ， 则，结合，得，， ，所以， 所以． 一、单选题 1．下列函数中，在处的导数值为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单复合函数求导方法，对各选项求导，计算导函数值，判断正误. 【详解】函数，，则，所以A错误. 函数在不可导，所以B错误. 函数，，则，所以C错误. 函数，，则， 故选：D. 2．在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间t的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是（    ）．    A． B． C． D．的解析式可能是 【答案】C 【分析】根据函数的图象，结合导数的几何意义、指数型函数的特征逐一判断即可. 【详解】由图可知是减函数，故A正确； 的下降幅度随t增大而逐渐平缓，区间内温度下降的量比内温度下降的量更大， 即，所以，故B正确； 由曲线的切线斜率可知，故C错误； 曲线的变化趋势符合指数型函数，故D正确． 故选：C 3．若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】设出切点，由题得曲线在处切线的斜率等于圆在处切线的斜率，求得与的关系，再将之代入到圆的方程，最终可解的值. 【详解】由题意，设切点为，圆的标准方程为，即圆心为，半径，， 且有曲线与圆有公切线，即两方程在切点处切线的斜率相同， 易得，则曲线在切点处的斜率为， 易得，则圆在的切线的斜率为， 则有，即， 同时切点在圆上，则有， 联立，得，解得， 因为，所以有，此时有， 故选：D. 4．已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】首先对两函数求导，然后确定取最小值的条件，进而求出两点的坐标，从而求出的最小值. 【详解】因为，所以. 设， 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 当两切线平行且斜率相等时，最小，即两切线与直线垂直时，最小. 所以令，则；令，则. 此时. 所以. 故选：A. 5．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以，则 由，， 可得 所以， 当且仅当，即时取得最小值，由因为，所以， 则， 故选：D 6．若函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，函数的阶导数记为.若，则（   ） A．55 B．410 C．465 D．682 【答案】C 【分析】令，，利用阶导数的定义，分别求出，再求出当时的导数值即得答案. 【详解】已知，令，， 则，故 则，故 ， 故， ，故， 由此规律可得，，故， 故； 同理：由得，，故 ，故， ，故， ，故， ，故， ，故， ，故， ，故， ，故， ，故， 故， 故， 故选：C. 二、多选题 7．设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为 【答案】BCD 【分析】由为奇函数可得对恒成立，故对恒成立，即可判断选项A，B；结合，可得，推导可得，即可判断选项C，选项D. 【详解】∵为奇函数，对恒成立， ∴对恒成立，∴函数为奇函数， 且函数的图象关于对称，故选项A错误，选项B正确； ∵，∴， 故，而的图象关于对称，即有， 故，则， ∴， ∴函数是周期为8的周期函数， 对于。令，可得， ∴，故选项C正确； 又，∴，∴的周期为8，故选项D正确. 故选：BCD. 8．已知函数.若曲线存在两条过点的切线，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】BCD 【分析】分析可得，过点的两条切线与曲线的切点横坐标分别在区间和内，表示切线方程，结合切线过点可得的范围，即可确定选项. 【详解】当时，，，， 当时，，，， 由题意得，过点的两条切线与曲线的切点横坐标分别在区间和内， 当切点横坐标在区间内时，设切点为，则切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过点，∴， ∴， ∵，∴，故. 当切点横坐标在区间内时，设切点为，则切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过点，∴， ∴， ∵，∴，故， 综上得，. ∵，∴符合题意的选项为B、C、D. 故选：BCD. 三、填空题 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】直接对二项式两边求导，再给x赋值可得结果. 【详解】对两边求导得, ， 再令，得. 故答案为： 10．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 . 【答案】 【分析】通过偶函数、奇函数的条件推导函数等式，求导后得到导数的对称与周期性质，利用周期性化简目标值并求和. 【详解】由为偶函数，得， 整理得，两边求导得①. 由为奇函数，得，令， 则， 两边求导得，即，故. 将代入①，得， 由此得，即周期为4. ，， 由，得. 故答案为：2 四、解答题 11．已知函数和，其中为常数且. (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）设切点坐标为，得到切线方程，根据切线过点，得到，转化为只有一个实数解，根据，求得或，进而得到切线方程； （2）根据题意，求得，设曲线和在点处的切线的斜率为，得到和，根据直线的斜率为，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）由函数，可得， 设切点坐标为，可得， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则关于的方程只有一个实数解， 即只有一个实数解， 由，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为. （2）由，且定义域为， 函数的定义域为，且， 设曲线在点处的切线的斜率为， 则，所以，则点， 设曲线在店处的切线的斜率为， 可得，解得，则点， 因为直线的斜率为，所以， 又因为，所以，即的取值范围为. 12．函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”. (1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由； (2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：； (3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且. 【答案】(1)当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”；理由见解析 (2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据复合函数求导后利用函数新定义分析即可； （2）利用自导函数的定义构造函数，再求导即可推理得证. （3）由共轭互导函数的定义对进行求导运算可证明，并确定的一个解，再证明唯一性即可. 【详解】（1）对求导，根据复合函数求导公式， 令，则. 若是“自导函数”，则，即，因为，所以. 故当时，是“自导函数”；当时，不是“自导函数”. （2）因为函数是“自导函数”，所以，同时， 记，求导得， 由题干条件可知（实数为常数），又， 所以，故，于是. （3）设， 由复合函数求导公式可得， 因为函数与是“共轭互导函数”，所以且， 于是，故（实数为常数）， 而，所以. 下证且： 首先容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”， 接着证明满足条件的函数只有和，采用反证法， 假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”和， 即且，同时满足， 令， 则， 于是（实数为常数），又，所以，即①， 同理可令，则， 于是于是（实数为常数），又，所以，即②， 由①②可得，由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对， 所以且. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $