第五章 一元函数的导数及其应用（单元分层自测·能力提升卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第五章 一元函数的导数及其应用·能力提升卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则f 10．设函数，则（    ） A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在区间上单调递减 11．已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则的单调增区间为___________ 13．若有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 14．设为实数，函数，其中为自然对数的底数．若在和处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 16.（本小题满分15分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，在上既有最小值也有最大值，求实数m的取值范围． 17．（本小题满分15分） 函数. (1)当时，求函数极值和极值点； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 18．（本小题满分17分） 已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上有零点，求的取值范围； (3)若在内有极值点，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第五章 一元函数的导数及其应用·能力提升卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D A B B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)函数在区间上的最大值为7，最小值为 【详解】（1）函数定义域为，求导得．.............2分 令得或；令得．.............5分 故函数的单调递增区间为、，单调递减区间为．.............6分 （2）由（1）知函数极值点为、，.............7分 ，，.............10分 ，．.............12分 故函数在上的最大值为7，最小值为．.............13分 16．（本小题满分15分） 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； (2) 【详解】（1）由，.............1分 得，.............2分 若，则，则在上单调递增；.............3分 若，令得或，令得， 则在，上单调递增，在上单调递减；.............4分 当时，令得或，令得， 则在，上单调递增，在上单调递减；.............5分 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减；.............7分 （2）当时，，.............8分 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，.............9分 而，，，，.............11分 因为在上既有最小值也有最大值，则，且，.............14分 故，实数m的取值范围是..............15分 17．（本小题满分15分） 【答案】(1)是极小值点，极小值，无极大值点和极大值. (2). 【详解】（1）先求导：，代入：.............1分，由于恒成立，所以的符号由决定。.............2分 令，.............3分 单调递减；.............4分 单调递增。.............5分 所以是极小值点，极小值，无极大值点和极大值..............7分 （2），则函数单调性由决定，.............8分 当时，，要使在上恒成立，.............10分 则函数在一小段范围内单增，即，而为单调函数，.............11分 ，.............12分 当时存在，当时，，函数单调递减，，不满足不等式，.............14分 综上..............15分 18．（本小题满分17分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，，.............1分 ，则，.............3分 所以曲线在点处的切线方程为，即..............4分 （2）令，得，即，， 当时，，无零点； 当时，，上式变形为， 令，则， 因为，，，所以， 所以，.............5分 所以在和上单调递减，.............6分 当时，，时，，；.............7分 当时，时，，，；.............8分 所以方程有解，则或，.............9分 所以的取值范围为..............10分 （3）， 在内有极值点在有解，且该点左右导数变号..............11分 当时，，则，可变形为，.............12分 令，，则， 令，则，.............13分 所以在上单调递减，故，即，.............14分 所以函数在上单调递减， 又时，，时，，.............15分 所以，故满足题意，.............16分 所以的取值范围为..............17分 19．（本小题满分17分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，于是..............1分 ，于是，.............2分 所以函数在处的切线方程为，.............3分 即..............4分 （2）存在，使得成立，即存在，使得，.............5分 也即存在，使得成立. 令，则..............6分 令，则， 令，即，解得..............7分 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故..............8分 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以..............9分 故实数的取值范围为..............10分 （3）由，得，.............11分 而. 令，则，.............12分 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则..............13分 当时，，单调递增，而， 故，则..............14分 令，则，于是，，且. 故..............15分 令，则. 令，则，故单调递增，.............16分 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，..............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第五章 一元函数的导数及其应用·能力提升卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上可导，所以 . 2．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，. 当时，， 所以当时，“高原版”复兴号动车的加速度为. 3．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得. 当时，则. 4．已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的部分图象可知处于函数单调减区间上，故； 处于函数单调增区间上，故， 又当函数递增时，随着x的增大，函数值的增加速度越来越大，即曲线切线的斜率越来越大， 结合，可得，故. 5．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过求导判断函数的单调性，利用单调性求解抽象不等式即得. 【详解】由题意得， 所以在上单调递增． 由，得，解得． 6．已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，将问题转化为对任意恒成立，令，求出的最小值，从而可求得的取值范围. 【详解】根据题意，在恒成立，即对任意恒成立， 设函数（），求导得， 可得当时，，单调递减，且， 所以. 7．已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造辅助函数判断单调性，结合，将不等式等价转化后利用单调性求解. 【详解】设，，对其求导可得： . 由题设，且对任意恒成立，因此， 即在上为单调递增函数. 因为，因此. 不等式等价变形为，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 8．已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数，将有且只有3个整数解，转化为有且只有3个整数解.构造函数，利用导数分析其单调性，即可求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为. 若有且只有3个整数解，则有且只有3个整数解. 因为， 所以有且只有3个整数解. 令，则. 令，则. 令， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为， 所以恒成立，是减函数. 又， 所以，使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又， 若有且只有3个整数解，则的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则f 【答案】BC 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误． 10．设函数，则（    ） A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在区间上单调递减 【答案】BD 【分析】由及其定义域可直接求零点；利用可判断单调性，从而得到极值点；利用及单调性即可判断不恒成立；利用可判断单调性. 【详解】对于选项A，函数的定义域为.由，得，故，解得，所以有且仅有1个零点，故A错误； 对于选项B，，令，得，当时，，当时，，所以在处取得极小值，故有且仅有1个极值点，故B正确； 对于选项C，因为，且，而在上单调递减，所以当时，，故不等式不恒成立，故C错误； 对于选项D，由B知，在区间上单调递减，故D正确. 11．已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】引入中间变量将原等式转化为、和，随后通过对赋不同的正数值来验证选项即可. 【详解】令，因为恒成立，所以， 则有， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即恒成立， 即，即， 令，则有，进而有， 令，因为.所以，即，即，进而， 因此，即恒成立，排除D选项， 取，， 此时，即，B选项正确， 取，， ，，，所以，进而有，A选项正确， 取，， 由上知，所以，即，进而，故C正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则的单调增区间为___________ 【答案】 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 13．若有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】将函数零点问题转化为两个函数图像交点问题，构造，求导研究单调性、最值与趋势，结合图像得到直线与两图象仅有一个交点时的取值范围. 【详解】的定义域是， 有唯一零点 方程 只有一个正实数解， 令 ，则问题等价于与两图象只有一个交点， ， 令 ，得，得， 当 时，，单调递减；当 时，，单调递增， 所以的最小值为， ，；，；， 画出函数与的图象，由图可得，当或时，与两图象只有一个交点， 所以实数的取值范围是. 14．设为实数，函数，其中为自然对数的底数．若在和处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据条件，利用极值的定义得，构造函数，求出的单调性，利用单调性求出的范围，即可求解. 【详解】因为，又在和处取得极值，则是方程的两个不同的根， 所以，又，所以且， 设，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，若有两个解，则， 又，所以， 又由，可得， 所以，得到，所以， 又，则，又，且在区间上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)函数在区间上的最大值为7，最小值为 【详解】（1）函数定义域为，求导得． 令得或；令得． 故函数的单调递增区间为、，单调递减区间为． （2）由（1）知函数极值点为、， ，， ，． 故函数在上的最大值为7，最小值为． 16.（本小题满分15分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，在上既有最小值也有最大值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； (2) 【详解】（1）由， 得， 若，则，则在上单调递增； 若，令得或，令得， 则在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令得或，令得， 则在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （2）当时，， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 而，，，， 因为在上既有最小值也有最大值，则，且， 故，实数m的取值范围是. 17．（本小题满分15分） 函数. (1)当时，求函数极值和极值点； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)是极小值点，极小值，无极大值点和极大值. (2). 【详解】（1）先求导：，代入：，由于恒成立，所以的符号由决定。 令， 单调递减； 单调递增。 所以是极小值点，极小值，无极大值点和极大值. （2），则函数单调性由决定， 当时，，要使在上恒成立， 则函数在一小段范围内单增，即，而为单调函数， ， 当时存在，当时，，函数单调递减，，不满足不等式， 综上. 18．（本小题满分17分） 已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上有零点，求的取值范围； (3)若在内有极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，， ，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，得，即，， 当时，，无零点； 当时，，上式变形为， 令，则， 因为，，，所以， 所以， 所以在和上单调递减， 当时，，时，，； 当时，时，，，； 所以方程有解，则或， 所以的取值范围为. （3）， 在内有极值点在有解，且该点左右导数变号. 当时，，则，可变形为， 令，，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，即， 所以函数在上单调递减， 又时，，时，， 所以，故满足题意， 所以的取值范围为. 19．（本小题满分17分） 已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. （3）由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修二数学单元自测 第五章 一元函数的导数及其应用·能力提升卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数在上可导，且，则等于（    ） A． B． C． D． 2．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上可导，导函数为，满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若有且只有3个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则f 10．设函数，则（    ） A．有且仅有2个零点 B．有且仅有1个极值点 C．不等式恒成立 D．在区间上单调递减 11．已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则的单调增区间为___________ 13．若有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 14．设为实数，函数，其中为自然对数的底数．若在和处取得极值，且，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 16.（本小题满分15分） 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，在上既有最小值也有最大值，求实数m的取值范围． 17．（本小题满分15分） 函数. (1)当时，求函数极值和极值点； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 18．（本小题满分17分） 已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上有零点，求的取值范围； (3)若在内有极值点，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $