第五章 一元函数的导数及其应用（复习讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 复习要点 1.导数的概念、几何意义、运算体系，能熟练进行基本初等函数、四则运算、复合函数求导 2.掌握导数研究函数单调性、极值、最值的方法，能解决函数单调性、极值最值、零点、不等式证明等综合问题 复习重难点 重点：导数运算；导数几何意义（切线）；单调性、极值、最值；含参函数讨论. 难点：复合函数求导；切线问题；含参分类；构造函数证明不等式；零点存在性分析 知识点 函数的平均变化率和瞬时变化率 1、平均变化率定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 3、瞬时变化率定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记. 要点速测 1．（25-26高二下·青海西宁·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】由题意可知函数在区间上的平均变化率为． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）如果函数在区间上的平均变化率为5，则________． 【答案】5 【详解】根据平均变化率的定义，可知，所以． 3．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）竖直高为的楼上有一盏聚光灯，且该聚光灯为唯一光源，高为的人在零时刻从楼底以的速度水平直线远离楼底，则该人影子长度的变化率为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到影长与人在某时刻与楼底的水平距离的关系式即可求解. 【详解】设人在某时刻与楼底的水平距离为，影长为， 由相似三角形得，整理得， 因为人每秒远离楼底，所以影长每秒增加， 故影长的变化率为. 知识点曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 要点速测 1．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【详解】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 2．（25-26高二下·广东广州·期末）曲线在点处的切线方程是______ 【答案】（或） 【详解】， ， ， 在点处的切线方程是：， 即． 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）求函数的图象在点处的切线的方程______． 【答案】 【详解】求导得， 则切线斜率， 切线方程为，即． 知识点导数运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 2、导数的四则运算法则 （1）两个函数和的和（或差）的导数法则： . （2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . （3）由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 3、复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 要点速测 1．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数求导公式、复合函数求导法则及常数的导数性质逐一判断各选项正误. 【详解】对选项A：根据余弦函数的求导公式，，故A错误； 对选项B：将变形为，由幂函数求导公式（为常数）， 可得，故B正确； 对选项C：令，可得，故C错误； 对选项D： 是常数，可得 ，故D错误. 2．（多选）（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为是一个具体的值，故，则A选项错误； 对于B选项，故B选项正确； 对于C选项，， ，故C选项正确； 对于D选项，，故D选项正确. 3．（多选）（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数四则运算法则、复合函数求导法则，逐一验证各选项的求导结果即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 知识点函数的单调性 1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 2、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 要点速测 1．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域是， 而. 令，则. 由于，故. 故单调递增区间为. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．［1，2） D． 【答案】B 【分析】求得函数的单调区间，通过区间之间的关系，即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为 令，解得（舍去）或， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 因为，且在上不单调， 所以解得， 故实数的取值范围是． 3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】求导：， ， ，则， ， 解不等式得： ， ， 所以. 知识点函数的极值与最值 1、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 2、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 要点速测 1．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数，则的极值点为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先求确定，再令得可能极值点，最后由单调性确定极值点. 【详解】 对函数求导得：， 则，化简可得：， 求解得：，所以， 因为定义域为，所以令，解得， 当 ，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以是函数的极值点. 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，则在内的极大值点为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得：， 则， 故， 当时，由，可得， 且时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增，所以在内的极大值点是. 3．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设函数，，则的最大值为______，最小值为______． 【答案】 【分析】求导研究函数单调性，再根据极值点的函数值与端点函数值的大小求解即可. 【详解】求导得，令，即，解得， 所以，当时，，单调递减； 当时，， 单调递增. 因为， 所以，当时，的最大值为；最小值为. 题型1导数定义中的极限运算 ▌例1 （25-26高二下·安徽黄山·期中）已知函数满足，则（    ） A．1 B．2 C．9 D．3 【答案】A 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】根据导数的定义得到. ▌例2 （25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）已知，的值是______． 【答案】2 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】 解题要点 瞬时变化率的变形形式 ． ▌迁移练1-1（25-26高二下·河北廊坊·期中）设函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】函数满足，则，故A正确. ▌迁移练1-2（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】. ▌迁移练1-3（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）若，则（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】. 题型2 导数公式和四则运算 ▌例1 （多选）（26-27高三上·山西·开学考试）下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由常见函数的导数和求导法则计算可得. 【详解】选项A：这是复合函数求导，令，，代入， 所以，运算正确. 选项B：因为是常数，常数的导数为，因此，并非，运算错误. 选项C：根据商的求导法则， 所以，运算正确. 选项D：根据基本求导公式，，， 因此，并非 ​，运算错误. ▌例2 （多选）（26-27高三上·河北衡水·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据基本初等函数，复合函数的导数公式及导数的四则运算法则分别对各选项求导即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故错误； 因为，故D正确． 解题要点 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导 2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元 ▌迁移练2-1（多选）（25-26高二下·山东枣庄·期末）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本初等函数的导数及导数的四则运算、复合函数的求导法则逐一分析选项即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确. ▌迁移练2-2（多选）（25-26高二下·河南郑州·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本初等函数的导数、函数积商的求导及复合函数的求导求解即可. 【详解】对于A，，A错误. 对于B，，B正确. 对于C，，C错误. 对于D，，D正确. ▌迁移练2-3（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 题型3 利用导数求切线（“在”型） ▌例1 （25-26高二下·云南德宏·期中）曲线 在点 处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导得到，再利用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 则在点 处切线的斜率为， 故切线方程为，即. ▌例2 （2026·湖南·三模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，再利用点斜式方程求出切线方程即可. 【详解】由，则，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 解题要点 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程 1.第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点 2.第二步：计算切线斜率 3.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率 4.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. ▌迁移练3-1（25-26高二下·广东江门·期中）函数在点处的切线方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数求导得， 在处斜率为， 点处的切线方程是：，即． ▌迁移练3-2（25-26高三上·广西·期末）曲线在点处的切线斜率为______． 【答案】2 【分析】由导数的几何意义求解. 【详解】因为， 所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线斜率为2. 故答案为：2. ▌迁移练3-3（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【答案】 【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 题型4 利用导数求切线（“过”型） ▌例1 （2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： ▌例2 （24-25高二下·江西南昌·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 【答案】和 【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 故答案为：和 解题要点 函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程 1.第一步：设切点 2.第二步：计算切线斜率；计算切线斜率 3.第三步：令：，解出，代入求斜率 4.第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： ▌迁移练4-1（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D ▌迁移练4-2过点作曲线的切线方程为___________． 【答案】或 【分析】由题意可知点不在曲线上，设出切点，由两点求斜率和导数求斜率联立可求出切点，由此即可进一步求解. 【详解】， ∵点不在曲线上， ∴点P不是切点．设切点为，则. ∴切线的斜率为. 又∵切线过和两点， 所以. 解得或. ∴过的切线的斜率为或， 切线方程为或， 即或. 故答案为：或. ▌迁移练4-3（23-24高二下·新疆伊犁·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为__________. 【答案】或 【分析】由题意首先根据定义得导函数，进一步求出切点即可得解. 【详解】点不在曲线上． 设所求切线的切点为， 则切线的斜率， 故所求的切线方程为， 将及代入上式，得， 解得或，所以切点为或． 从而所求切线方程为或. 故答案为：或. 题型5 函数的单调性（不含参数） ▌例1 （25-26高二下·新疆喀什·期末）函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，令，解不等式，即可得到函数的单调递增区间. 【详解】由题意，求导得， 令，因为，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. ▌例2 （25-26高二下·河南南阳·阶段检测）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】求函数的导函数，解不等式的解集区间即为所求的单调增区间. 【详解】函数的定义域为，， 所以即为解得或. 结合定义域可知解集为， 所以单调增区间为和. 解题要点 求已知函数（不含参）的单调区间 1.求的定义域 2.求 3.令，解不等式，求单调增区间 4.令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号 ▌迁移练5-1（25-26高二下·上海·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数的定义域为，则， 当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． ▌迁移练5-2（25-26高二下·河北廊坊·期中）已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 【答案】A 【详解】，， ，令，解得， 所以的单调递增区间为. ▌迁移练5-3（25-26高一下·上海·期末）函数的严格减区间为______． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再通过求导，解导数小于0的不等式得到该函数的严格减区间. 【详解】∵函数的定义域为, ∴，. 令，解得. ∴的严格减区间为. 题型6 函数的单调性（含参数） ▌例1 （2027高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）通过求导确定切线斜率，即可求解； （2）通过和讨论导数符号，即可求解. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）． 若，令，即， 因为，所以，解得． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 若，令，解得． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增． ▌例2 （26-27高三·全国·一轮复习）已知函数.讨论的单调性. 【答案】当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】先求导分解因式，再根据的正负，比较两根和的大小，分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间. 【详解】由题可知函数的定义域为， 求导得： 因故的符号由分子决定， （1）当时，由，得，在上单调递增， ，得，在上单调递减； （2）当时，因为， 当时，，在上单调递减； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 解题要点 含参问题讨论单调性 1.第一步：求的定义域 2.第二步：求（导函数中有分母通分） 3.第三步：确定导函数有效部分，记为 4.对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负 5.第四步：确定导函数有效部分的类型 6.①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 7.第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 ▌迁移练6-1（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)． (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【分析】（1）由导数的意义可得； （2）分和两种情况，利用导数讨论即可. 【详解】（1）当时，，定义域为． ，即切点为． 对求导得：． 则切线斜率． 所以切线方程为，即． （2）由可知： 当时，定义域为； 当时，定义域为． 对求导得：． 当时，． 因为，所以恒成立，所以在上单调递减． 当时，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 即在上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． ▌迁移练6-2（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知，函数． (1)若时，函数的图象上存在斜率为的切线，求的取值范围； (2)当时，求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是 【分析】（1）对求导后，令换元，把方程有解问题转化为对勾函数求值域，从而求出参数的取值范围； （2）将导函数因式分解，比较两个零点与的大小，分、两类讨论，解不等式得到对应单调递减区间. 【详解】（1）因为 若时，有解， 即 令，则，即实数a的取值范围是． （2）因为 当，即时，由，可得， 即 当，即时，由，可得， 即 所以当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是． ▌迁移练6-3（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合一元二次方程根的大小关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）函数的定义域为，． ①当时，由，得或，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，恒成立，所以在上单调递增； ③当时，由，得或，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 题型7 已知函数 在区间单调 ▌例1 （26-27高三上·安徽·阶段检测）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，， 若函数在上是单调函数，则， 解得，故实数的取值范围是. ▌例2 （26-27高三·全国·一轮复习）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用导数求出的单调递增区间，要使在区间内单调递增，即区间是函数单调递增区间的子集，由此列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】函数定义域， 对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 解题要点 1.已知在区间上单调递增，恒成立 2.已知在区间上单调递减，恒成立 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号 ▌迁移练7-1（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，利用恒正的性质，将区间上单调递减转化为二次因式恒小于等于0，结合二次函数解集与给定区间的包含关系求解参数范围. 【详解】 ， 因为，因此在上单调递减等价于对任意，恒成立， 二次函数图像开口向上， 零点为，，，所以不等式的解集是, 则 ，需满足 ， 解得，即. ▌迁移练7-2（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）若在上是减函数，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，从而得在上恒成立，构造函数，求出其值域，即可求解. 【详解】因为在上是减函数，所以在上恒成立（不恒等于0）， 即在上恒成立， 设，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，，所以， 因为在上恒成立，所以， 即的取值范围是. ▌迁移练7-3（25-26高二下·安徽亳州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【分析】将函数在区间上单调递增转化为其导函数在区间上恒成立，分离参数，并构造函数，分析其最值即可得到的取值范围. 【详解】由函数在区间上单调递增， 得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为在区间上单调递减，所以的最大值为. 所以. 即实数m的取值范围为. 题型8 已知函数 在区间上存在单调区间 ▌例1 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的性质，结合二次函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由题意得该函数的定义域为全体正实数， 可得， 令， 因为函数在定义域内存在单调递减区间， 所以， 而二次函数开口向下，对称轴为， 所以当时，该二次函数的最大值为， 所以的取值范围是. ▌例2 （25-26高二下·河南郑州·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定定义域与导数，转化条件利用换元法求解. 【详解】函数的定义域为， 求导得： ， 函数存在单调递减区间，等价于在上有解，因为，分母， 因此等价于： ， 即问题转化为：大于的最小值， 令，换元得： ， 这是开口向上的二次函数，最小值为（当即时取得）， 要使在有解，只需，即， 所以实数的取值范围是. 解题要点 1.已知在区间上存在单调增区间使得有解 2.已知在区间上存在单调减区间使得有解 ▌迁移练8-1（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解． 当时， ， 故，即实数的取值范围是． ▌迁移练8-2（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，将区间存在递减区间转化为在有解，构造函数求其区间最大值，再验证临界值得到的取值范围. 【详解】由，得 ， 因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使得，即在上有解， 所以， 设，则，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，，，因此在上的最大值为， 当时，在上恒成立（仅端点处导数为0，区间内导数恒正）， 函数单调递增，不存在递减区间，因此， 即的取值范围是. ▌迁移练8-3（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【答案】 【分析】先对函数求导，根据函数在区间上存在单调递减区间得到关于的不等式，再通过对函数的最值来确定取值范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在区间上存在使得， 即在有解，即， 令，即， 因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 题型9 已知函数 在区间上不单调 ▌例1 （25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． ▌例2 （25-26高二下·湖北黄冈·期中）若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在上有变号零点，分和两种情况讨论的单调性，结合零点存在定理即可求解. 【详解】， 当时，，则函数在内单调递减，不满足条件， 当时，令,则． 所以在内单调递增， 要使函数在内不单调， ∴在上有变号零点， 又，故只需． ∴. 解题要点 1.已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 ▌迁移练9-1（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：，令， 所以，所以在单调递增，且，， 又因为在上不单调，所以，解得. ▌迁移练9-2（2025·陕西西安·一模）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在上不单调，意味着其导数在该区间内有正有负，即在内有零点，将分离参数为，通过构造函数，求与0的大小，得到的单调性，从而求出的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】，，在上不单调， 在上有变号零点， 即存在， 使得， 在上有解，在上有解， ，，， ，即，解得，在上是增函数； ，即，解得，在上是减函数. 又，，，， 在上有解，， 当时，，设，， 当，解得，得在上是增函数； 当，解得，得在上是减函数. 则在处取最小值为，在上恒成立，即在上恒成立，得到在是增函数，不满足题意，说明不满足题意，同理也不满足题意，综上可得. 故选：B ▌迁移练9-3（25-26高二下·陕西榆林·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】求导：， ， ，则， ， 解不等式得： ， ， 所以. 题型10 构造函数解不等式 ▌例1 （26-27高三上·湖北·开学考试）已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解答本题的关键是构造辅助函数，先根据图象对称平移关系推出是奇函数，再构造，结合已知导数不等式得到的导数符号，判断的单调性；利用为偶函数转化自变量，结合单调性比较函数值大小，最后化简变形得到选项中的不等关系. 【详解】因为的图象关于点对称，所以为奇函数， 令，则为偶函数，且， 由题意知当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，即， 所以，即． ▌例2 （26-27高三·全国·一轮复习）若函数在上可导，且满足，则与的大小关系为___________． 【答案】 【分析】构造函数，可由已知判得，由单调性可比较大小即可. 【详解】令， 因为在上可导，且满足， 所以， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以. 解题要点 1.两个基本还原 ① ② 2.类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 3.类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ ▌迁移练10-1（2026高二·全国·专题练习）定义域为的函数的导函数记作，满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，利用导数及已知研究函数的单调性，且将问题化为求解集. 【详解】由题设，令，则，则函数在上单调递减， 由不等式，得，又，等价于，所以. ▌迁移练10-2（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知函数是偶函数，若对于恒成立，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造合适的函数，通过对已知不等式的变形，结合导数判断函数单调性、再利用偶函数性质比较函数值大小. 【详解】由题意可知：对任意，有， 通分可得：，令， 因为是偶函数，是偶函数， 又函数的定义域关于原点对称， 所以，故是偶函数， ， 当时，，， ，可得，即， 所以在上单调递减， 对于A，因为，所以 ，即； 对于B，因为，所以 ，即； 对于CD，因为，所以， 即，所以C选项一定正确. ▌迁移练10-3（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 令，则， 因为，所以在上恒成立，即函数在上单调递减， 所以，即，化简得. 题型11 与极值有关的图象问题 ▌例1 （25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 【答案】D 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出函数的单调性，从而判断选项即可. 【详解】由的图象可知：当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故A，B错误； 所以在处取得极小值，D选项正确； 当时，，单调递增，在处不是极小值，C选项错误. ▌例2 （多选）（2026·江西南昌·模拟预测）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负得出函数单调性，即可确定函数的极值点的情况. 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，，     当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 解题要点 解决与极值有关的函数图象问题，需紧扣“导数→单调性→极值点→图像特征”的逻辑链． 极值点对应图象的“转折点”：在该点左侧图象上升（）、右侧下降（）→极大值点；左侧下降、右侧上升→极小值点 ▌迁移练11-1（25-26高二下·广东深圳·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是的极小值点 C．的单调递减区间是 D． 【答案】C 【详解】由图可知，当或时，， 当时，， 对于A，不是变号零点，所以不是的极值点，A错误； 对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，B错误； 对于C，由B选项可知的单调递减区间是，C正确； 对于D，因为在上单调递增，所以，D错误. ▌迁移练11-2（25-26高二下·浙江温州·期末）如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】由图象可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 对于A，在开区间先减后增，无最大值，A错误. 对于B，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点函数值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，B错误. 对于C，在开区间先增后减，一定有最大值，C正确. 对于D，结合在开区间上的单调性，知为极大值点，开区间内，无法确定端点值与极大值的大小关系，故不一定存在最大值，D错误. ▌迁移练11-3（多选）（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断． 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 题型12 利用导数求函数的极值 ▌例1 （26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）若是函数的极小值点，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据极值点列方程，求得，进而求得的极大值. 【详解】函数的定义域是， ， ， 所以在区间上单调递增， 在区间上，单调递减， 所以的极大值为. ▌例2 （25-26高二下·安徽滁州·期中）已知函数的导函数为，若，则的极小值点为（    ） A．-4 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】解题的关键是先对函数求导，再通过令求出的值，进而得到的表达式，最后根据导数与函数单调性的关系求出函数的极小值点. 【详解】由题知，， 令 ，所以，所以， 将 代入得， 令 ，则，解得：， 由得或，由得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为. 解题要点 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 1.列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 2.验证：求解后验证根的合理性 ▌迁移练12-1（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知是函数的一个极值点，则的极大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用极值点处的导数是0求出,再根据单调性求出极大值. 【详解】根据题意求出， 因为是极值点,所以,求出, 所以， 令，得， 所以,,函数在上递增； ,,函数在上递减； ,,函数在递增, 所以在处取得极大值. ▌迁移练12-2（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）函数的极小值是______． 【答案】 【分析】根据导数求函数的极小值即可. 【详解】由，则， 令，解得或， 则当，时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 因此当时，函数取得极小值. ▌迁移练12-3（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知函数，则函数的极大值点为__________，极大值为__________． 【答案】 【详解】函数，定义域，， 令，解得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故在处取得极大值， ． 题型13 利用导数求函数的最值 ▌例1 （2026·江苏淮安·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 【答案】(1) 增区间为，减区间为、. (2) 【分析】（1）将代入函数后求导，根据导数正负判断函数单调区间； （2）先利用极值点处导数为求出的值，再计算区间内的极值和端点函数值，比较大小得到最小值. 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得. 令，即，整理得， 解得或. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 故的增区间为，减区间为和. （2）对求导得， 因为是的极值点， 故， 代入得，解得. 此时，， 令，解得或，两点均属于区间. 单调性分析： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 由单调性可知，最值出现在端点和极值点处，计算如下： ， ， ， ， 比较得最小值为. ▌例2 （25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 解题要点 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值 ▌迁移练13-1（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数， (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数，求函数在区间上的最值． 【答案】(1) 函数的单调递增区间为，单调递减区间为； (2) 函数的最小值为，最大值为； 【详解】（1），定义域， 求导：， 令：，单调递增区间：， 令，，单调递减区间：. （2）化简：，， 求导：，，，导数符号由决定， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时，是极小值点，也是区间最小值点， ， 计算区间端点：，， 比较大小：，即. ▌迁移练13-2（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）设函数，且在处的切线为． (1)求实数，的值； (2)求函数在上的最大值． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合切点坐标和切线斜率列方程组求解参数，； （2）通过导数判断函数在给定区间的单调性，比较区间端点函数值得到最大值. 【详解】（1）由，得函数的定义域为. . 在处的切线为，切点为，切线斜率. . ，解得，. 实数的值为，的值为1. （2）由（1）得，则. ，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 在区间端点处取得最大值. ，，且； ，则. 函数在上的最大值为. ▌迁移练13-3（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 【答案】(1)时，的增区间为，无减区间；时，的增区间为，减区间为. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，就分类讨论可得函数的单调性； （2）由（1）结果可得及，再根据题设条件构建新函数，利用导数判断其单调性后可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 若，则恒成立，故的增区间为，无减区间； 若，令，则， 当时，，当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上，时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. （2）因为有最大值，结合（1）的讨论可得， 且， 由题设有即， 设，则，故为上的增函数， 而，故的解为. 题型14 根据函数的极值（点）求参数 ▌例1 （25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. ▌例2 （26-27高三上·天津武清·阶段检测）若函数有两个极值点，则实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】先确定的定义域，再求出，从而将有两个极值点转化为在上有两个不同正根，进而结合二次方程根的判别式及韦达定理即可求． 【详解】由，，则， 又有两个极值点，等价于在上有两个不同的变号零点， 即在上有两个不同的正根，不妨设为，， 则由判别式得，解得， 由韦达定理得，得， 所以实数的取值范围． ▌迁移练14-1（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若函数的极大值点为负数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，应用导数研究函数的极值点，结合极大值点为负数求参数范围. 【详解】对函数求导 令，得，且是开口向上的二次函数， 当，即时， 在附近的左侧为正，右侧为负，是极大值点， 在附近的左侧为负，右侧为正，是极小值点， 由极大值点为负数，即，得，故此时； 当，即 时， 在附近的左侧为正，右侧为负，是极大值点， 在附近的左侧为负，右侧为正，是极小值点， 显然不满足题意，舍去； 当，即时，， 函数在定义域上单调递增，没有极大值点，舍去； 综上，的取值范围为. ▌迁移练14-2（26-27高三上·江西宜春·开学考试）若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导确定函数的唯一极值点，问题转化为区间必须包含，同时区间需在定义域内，由此解出的范围． 【详解】函数的定义域为， 求导得：， 当时，，，，故的符号由决定， 即时，；时，． 因此在上单调递减，在上单调递增，故 是的唯一极值点（极小值点）， 函数在区间上存在极值点，等价于该区间包含， 即，解得， 又因为函数定义域为 ，区间必须在定义域内， 故， 综上，的取值范围为，即实数的取值范围是． ▌迁移练14-3（2025·湖南张家界·模拟预测）若函数的极大值为4，则________. 【答案】 / 【分析】由题可得，然后由的符号与单调性及正负性可得答案. 【详解】，由题易得. 当时，，， 则此时在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，注意到，则不能取到正的极大值. 综上可得，. 题型15 根据函数的最值求参数 ▌例1 （25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式方程写出切线方程，整理即可； （2）利用导数研究函数最值，得到有最小值，依题意，，即，构造函数，通过求导分析即可确定的取值范围． 【详解】（1）当时，，， ∴，故， ∴曲线在处的切线方程为，即． （2）， 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，则， 由基本初等函数的单调性知，在上单调递增， 又，故由可得， 故的取值范围是． ▌例2 （26-27高三上·北京房山·开学考试）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）依题意可得在上恒成立，结合二次不等式的解法即可得解； （3）对进行分类讨论，结合在上的最大值为列式求得. 【详解】（1）因为当时，，所以， 所以，， 所以切线方程为，整理得； （2）因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又的解为或， 所以当在上恒成立时， ， 即实数的取值范围； （3）由（2）可知，， 当和时，单调递增； 当时，单调递减. 当即时，在上单调递增， 则，解得或（舍去）； 当时，在上单调递增，则， 解得或（舍去）. 当时， 若，则，则在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，无解； 若，则，则在上单调递减，故，无解； 若，则，则在上单调递增，在上单调递减， 故，解得，无解. 综上可得，实数的值为或. ▌迁移练15-1（25-26高二下·广西百色·期末）设函数，已知曲线在点处的切线斜率为12． (1)求实数m的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间上的最大值为20，求n的值． 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为，单调递减区间为和 (3) 【分析】（1）由题意可得，求导可得，求解即可； （2）令和，解不等式可求得函数的单调区间； （3）根据（2）中函数的单调性求出最值，结合已知最值列式可求出结果. 【详解】（1）因为曲线在点处的切线斜率为12，所以， 又，所以， 所以， 所以， 解得； （2）由（1）知，所以， 由，得，由，得或， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）由（1）知， 因为函数在上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 又， 所以函数在区间上的最大值为， 解得． ▌迁移练15-2（25-26高二下·福建宁德·期末）设函数，． (1)求的单调区间； (2)若在上的最大值为5，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间； （2）根据函数的单调性分析求得的极大值，并与区间端点函数值比较，进而确定的取值范围． 【详解】（1）由得， 解得，． ∵当或时，； 当时，；    的单调递增区间为和， ∴单调递减区间为． （2）∵由（1）知在和单调递增，在单调递减， ∴当时，有极大值， 又， 由得，当且仅当时取得最大值5符合题意， 的取值范围为． ▌迁移练15-3（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； 极大值为，极小值为； (2)或 (3) 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值即可； （2）根据单调性和极值作出函数图像，结合图像确定参数范围即可； （3）根据题意可知最大值在处取得，则，再解不等式组即可． 【详解】（1）， 则的解为，的解为或， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为； 在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为 （2）由（1）可得，函数的简要图像如下： 方程恰有一个实数解， 则或； （3）令，即， 解得或， 又函数在区间存在最大值，则最大值要在处取得， ，解得． 难点一 利用导数研究不等式恒成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 难点精练 1．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求导判断的单调性，求出的最大值，令，求出答案. 【详解】（1）由题意得，则． 由， 得所求切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，且最大值为， 因为恒成立，所以恒成立． 因为，所以恒成立，则，即. 故的取值范围为. 2．（2027高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求，再求，即得的值，再求，从而得到切线的点斜式方程，进而得到的一般方程； （2）结合（1）及分离参数得到，再构造函数，求导，分析函数的单调性，从而得到最小值，进而即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得， 则切线的斜率为，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2） 结合（1）得，又， 则，整理得， 令，则， 由于为上的单调递增函数，且当时，， 故当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为． 3．（26-27高三上·广东佛山·开学考试）已知函数，. (1)求的最值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)有最小值，无最大值 (2) 【分析】（1）利用导数求出单调性，即可得出有最小值, 无最大值； （2）首先分为和，当时，先进行分离参数，设新函数为，求导可得出的单调性，即可得出有最小值为，即可得出的取值范围. 【详解】（1）由题， 则时，时， 所以在上单调递减，在单调递增， 又时， 所以函数有最小值，无最大值； （2）当时恒成立，即恒成立， 显然时上述不等式恒成立， 当时，， ， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上的最小值为0，求a的值； (3)若对于任意，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为． (2) (3)． 【分析】（1）对函数求导，求出导数零点，依据导数正负划分区间，判断函数单调性；（2）导数单调递增，分类讨论导数零点与区间的位置，比较区间内极小值与端点值得到最小值求解参数，结果要检验是否符合分类前提；（3）移项构造新函数，分析导数单调性，依据导数在端点处的函数值分类，结合判断恒成立条件. 【详解】（1）当时，；定义域为R， 由，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为在上单调递增，所以 ①当，即时，，在上单调递增， ，所以，符合题意； ②当，即时，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． ，解得，与矛盾，不符合题意； 综上可知． （3）依题意， ，令，则对于任意，恒成立， ． ①当，即时，因为，所以． 所以在上单调递增．又，所以，当时，对于任意都有; ②当时，，， 故存在，当，，单调递减，此时，与恒成立矛盾，不符合题意． 综上，的取值范围为． 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）由函数可得函数的定义域及导数，再分类讨论导数的正负可得函数的单调性； （2）将不等式变形为，再构造函数，利用导数求函数的最小值，从而可得所求值的范围. 【详解】（1）由题意可知函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由解得；由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以不等式化为，即. 所以在上恒成立，只需即可， 令，则， 因为，所以，函数在上单调递增， 所以，所以，即． 因此实数的取值范围为 难点二 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 4、最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 5、值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 难点精练 1．（26-27高三上·上海·期中）已知函数，，． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单调性可确定最小值点，由此可得最小值； （2）将转化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可求得，进而得到结果； （3）将转化为，根据单调性可求得，分离变量可得，令，利用导数可求得单调性，进而求得最小值，由此可得取值范围． 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， ． （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增， ， ，即实数的取值范围为． （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增， ，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为． 2．（26-27高三上·河南·开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，； (2)若当时，，求的最小值； (3)若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，结合题意可得在区间上单调递减．求导后可得在和上单调递减，即可得解； （3）令，由题意知，使得，求导后分及讨论即可得. 【详解】（1）由题意得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 又切线过点，所以． 综上所述，，； （2）由（1）知． 当时，，则． 设，则原条件等价于当时，， 即函数在区间上单调递减． 由，得， 令，得，解得或． 所以在和上单调递减． 因为在区间上单调递减，所以a的最小值为． （3）令，由题意知，使得． ， ①若，则对任意，， 所以，在上单调递增， 又，故，不满足条件； ②若，则当时，，此时， 所以在上单调递减， 即存在，使得，满足条件； 综上，k的取值范围是． 3．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）满足等价于，根据导数与单调性及最值的关系求出，待求问题化为当时，；结合（1）中导数与单调性及最值的关系列不等式分类讨论计算即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，单调递减. 当时，令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）满足等价于. 对于，. 当时，，单调递增，所以. 故原问题可转化为，当时，. 由（1）知，的极值点为. ①当时，，在上单调递增，. 由，得. ②当时，，在上单调递减，. 由，得. 因为，此时无解. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增. 则. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故无解. 综上，实数的取值范围为. 4．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数(且). (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若有解，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)，切点坐标为 (3) 【分析】（1）求导判断单调性，再计算极值即可； （2）根据切线性质列出方程组，化简消去a，再构造新函数求解即可； （3）通过分析对不等式进行转化；或者直接构造含参函数，分类讨论函数单调性. 【详解】（1）当时，，的定义域为， ，令，得. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以在处取极小值为，无极大值. （2）， 设切点为，切线的斜率为1， 所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①②得，， 设，， 由，当时，，单调递增， 时，，单调递减， 又，所以是的唯一零点， 所以，代入①得，切点坐标为. （3）法1：令，，令，得， 令，得，所以t在单调递减，在单调递增 因为时，所以 ①时，有解，，； ②时，，舍去； ③时，有解，，. 综上：. 法2：因为有解，所以有解. 记， ①时，恒成立，所以在单调递增， 当，， 所以恒有解，所以； ②时，，无解，舍去； ③时， x + 0 - 极大值 所以，，， 所以. 综上：. 5．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1） 先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值. （2） 将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. （2）存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 难点三 利用导数研究函数的零点（方程的根） 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 难点精练 1．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若有且只有一个零点，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据点斜式即可求解， （2）分离参数，构造函数，求导，求解的单调性，进而根据最值即可求解. 【详解】（1）当时，，故， ，故， 故切线方程为，即 （2）由于的定义域为， 令，则，即， 令，则， 当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增，故在取到最大值， 由于，且， 因此只有一个交点时，， 故的取值集合为. 2．（26-27高三上·江西·开学考试）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； (4)若存在零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 (3) (4) 【分析】（1）由导数得出斜率，进而由切点写出切线方程； （2）由导数得出单调性，进而得出极值； （3）将问题转化为，构造函数，利用导数得出最大值，进而得出的取值范围； （4）存在零点等价于与轴有交点，结合（3）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【详解】（1）若，则， 所以，， 所以，故曲线在点处的切线方程为， 即． （2）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． （3）若对任意的恒成立，即， 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即的取值范围是． （4）令，得，令， 令，，所以， 所以当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（3）知，，即，所以， 当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，，， 所以存在，使得，符合题意． 综上，的取值范围为． 3．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）已知函数，曲线：在点处的切线为：，记． (1)当时，求切线的方程； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，又因为， 所以， 定义域为，，设， 则，设， ，当时，，所以在单调递减， 又因为，当时，， 即，所以在上单调递增， 当时，，即， 所以在上单调递减，因为在单调递增， 在上单调递减，所以在处取得最大值， 即，所以， 当且仅当时取等号，则在上单调递减， 因为， 当时，，所以，当时，， 当时，，所以，综上，. (3) 【分析】（1）先求与，再用点斜式求切线方程. （2）先求与，分析单调性确定单调性，进而证明. （3）根据函数性质和导数知识判断零点个数. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，， 所以，根据点斜式切线方程可得： ，化简可得切线的方程为：. （2）略. （3）根据题意可得：，令， 则，令， ， 当时，，，，所以恒成立， 即在上严格递减，又因为，所以， 时，，则，递增， 时，，则，递减， 则在处取全局最大值，即， 等号仅，又因为， 满足，，当，， 在递增且值域为，所以存在唯一的，使得， 所以当时，，则，所以在递减， 当时，，则，所以在递增， 当时，，则，所以在递减， 即在处取极大值，当，，所以， 当时，，所以，因此在上， 从递减到，存在唯一零点， 在上，从递减到，无新零点，加上本身，共有个零点， 同理，当时，共有个零点，综上所述，当时，恰有个零点. 4．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)讨论方程的实数根的个数． 【答案】(1)单调增区间为和,单调减区间为. (2)当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 【分析】（1）利用导数的正负判断的单调区间即可； （2）将讨论方程的实数根的个数转化为讨论的零点个数问题，再利用导数研究的极大值与极小值以及单调性，分类讨论在不同范围时，的零点个数情况即可. 【详解】（1）由题意得，， 令，解得或2. + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为. （2）令，解得或. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极小值为. 当时，，， 所以时，即，此时无实根. 时，即，此时有且仅有一个实根. 时，即，此时有两个实根. 当时，则，为增根，所以此时有一个实根. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极大值为，极小值为. 以下讨论的正负， ，设， 则对恒成立，所以在单调递增. 所以在恒成立， 所以在单调递减，因为，所以. 于是在有一个实根. 当时，在单调递增，此时有一个实根. 当时，在单调递增，在单调递减， 所以极小值为，极大值为. 此时，在有一个实根. 综上所述，当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 5．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数 (1)判断函数的单调性； (2)求函数在区间的最值； (3)方程有三个实数解，求的取值范围. 【答案】(1)在递增，在递减，在递增. (2)最大值为，最小值为0. (3). 【分析】（1）先求导，分解导数因式；根据导数正负划分区间，判断增减. （2）算出区间内极值点函数值，再算区间端点函数值，对比大小得到最大、最小值. （3）将方程实数解问题转化为两个函数图像的交点问题，利用极大值、极小值，确定参数的取值范围. 【详解】（1）原式整理得， 对其求导 ， 或. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述在递增，在递减，在递增. （2），， 在上，单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，. ， 所以最大值为，最小值为. （3）的极大值，极小值， 当时，趋向于正无穷，趋向0，整体； 当时，. 要使有三个实数根，直线介于极小值0和极大值之间， 即当时，有三个实数解，所以. 【点睛】导数是研究函数单调性、最值、方程解个数的核心工具，极值是划分图像形态、确定参数范围的关键. 基础达标 1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由导数的定义可得，. 2．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 3．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用导数的几何意义求解切线方程. 【详解】当时，，切点坐标为， ，令，， 所以切线方程为：，即. 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数的最小值为，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导后分析单调性，结合的取值范围求出函数最小值，结合已知最小值为，即可求出的值. 【详解】由题可知函数定义域为，对求导得， 若，恒成立，在上单调递减，无最小值，不符合题意，因此， 令，解得： 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增， 故为函数极小值点，即最小值点， 代入得： 由题知最小值为，即，解得，故. 5．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）若直线与曲线相切，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，结合题意求出切点坐标，进而求解值. 【详解】对，求导得. 由题意知，解得，即切点的横坐标为，故切点坐标为. 代入曲线方程得，所以. 6．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）当时函数取到最大值-3，则（    ） A．-2 B．1 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据函数值及极值点应用导数列式计算求解. 【详解】由题意得，解得， 对求导得， 因是极值点，故，代入解得， 因此，D选项正确. 7．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，，若，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数值域可求得的值域，进而将问题转化为恒成立；构造函数，利用导数可求得的单调性和最大值，由可求得结果. 【详解】当时，， ，恒成立， 恒成立，即恒成立； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，解得：，即实数的取值范围为. 8．（26-27高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用函数性质转化不等式求解的取值范围即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数， 对求导得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 又， 因此，故在上为单调递增函数， 因为等价于， 由奇函数性质得， 因为在上为单调递增函数，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 9．（多选）（25-26高二下·青海西宁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列区间中，单调递减的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由函数的图象，可得当时，，所以在，上单调递减. 10．（多选）（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．，函数为增函数 B．，函数为奇函数 C．若，则 D．若为极大值点，则 【答案】BCD 【分析】先求导分析函数的单调性、极值，再结合奇偶性、对称性的定义逐一验证选项. 【详解】对于A：对求导得， 当时，导函数存在两个不同零点，故原函数存在单调递减区间，不是上的增函数，A错误； 对于B：当时，，满足，是奇函数，故B正确； 对于C：当时，，则， ， 则，故C正确； 对于D：令得，即或， 当时，，由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，故为极小值点，舍去； 而当时，，由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，此时为极大值点，，故D正确. 11．（2027高三·全国·专题练习）若函数有两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】将函数零点问题转化为方程解的个数，再转化为两个函数图像的交点问题，借助导数研究切线，利用数形结合确定参数范围. 【详解】函数的定义域为， 函数有两个零点等价于关于的方程有两个正实数根， 将方程，化为. 令，，则两图象在上有两个交点. 对函数求导得，设两函数的切点为，则直线的斜率， 所以，即切点为，代入直线方程得， 所以直线与曲线相切时有， 由图知，当时，直线向下平移，则与曲线有两个交点； 当时，直线向上平移，则与曲线无交点 综上，可知实数的取值范围是． 12．（25-26高二下·陕西榆林·期末）若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】对函数求导，求得单调区间，通过函数图象走势来判断实数a的取值范围 【详解】对函数求导，得 ， 令，得 ，或； 令，得 ，. 所以，， ， 令，得 ，或 令，得 ， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 又，故的根为， 所以的根为或， 如图所示， 所以若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为. 13．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知函数的极小值点为. (1)求实数的值； (2)求函数的图象在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出函数的导数，然后根据极值点求出的值. （2）根据导数的定义计算即可. 【详解】（1）由. 又由函数的极小值点为，有，可得. 有，令，可得或，令，得， 可得函数的增区间为，，减区间为， 可得函数的极小值点为，故有. （2）由，有，又由. 可得函数的图象在点处的切线方程为，整理为. 故函数的图象在点处的切线方程为. 14．（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知函数 ． (1)求； (2)求函数 的单调区间； (3)求函数 在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为 和，单调递减区间为 (3)最大值为2，最小值为 【分析】（1） 直接根据求导公式求导； （2）利用导数求函数单调区间； （3）根据函数单调性求极值，即可得解. 【详解】（1）． （2）令，得或， 当或 时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 故函数的单调递增区间为 和，单调递减区间为； （3）根据（2），函数在区间上单调递增，在上单调递减， ，，． 故函数的最大值为2，最小值为． 15．（江苏泰州市2025届高三下学期4月调研测试数学试题）已知函数． (1)当时，过作曲线的切线，求切线的斜率； (2)若是函数的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义及斜率两点式列方程求参数值，进而求出对应切线斜率； （2）对函数求导，应用分类讨论研究导数的区间符号，结合极小值点求参数范围. 【详解】（1）时，，则， 设切点为，且，则， 所以，则， 整理得，解得或， 当时，切线斜率， 当时，切线斜率； （2）由题设， ①当，即时， 由，得， 由，得， 由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 则为极小值点，符合题意， ②当，即时， 由，得或， 由，得或， 由，得， 所以在和上为增函数，在上为减函数， 所以为极小值点，符合题意， ③当，即时， 由，得或， 由，得或， 由，得， 所以在和上为增函数，在上为减函数， 所以为极大值点，不符合题意， ④当，即时，恒成立，则在上为增函数， 所以无极值，不符合题意， 综上，是函数的极小值点，a的取值范围是. 16．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）由题得出定义域，代入后求导得，由判断导数符号，确定为极大值点，计算，无极大值以外的极值； （2）求导得：，因，按与分类讨论的符号，求出单调区间即可. 【详解】（1）当时：， 求导得： 因为，所以，故的符号由决定： 当时，，函数递增； 当时，，函数递减， 故为极大值点，极大值为，无极小值. （2）对求导得：， 因为，所以的符号由决定， 若，则，而时，故恒成立， 所以在上单调递增， 若，则， 因此：当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 17．设函数，，其中为自然对数的底数． (1)若，求的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导数的运算法则得到，再求出即可； （2）由于，令，通过对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出． 【详解】（1）时，， ． 令，得或， 所以的单调递增区间为，． （2），令，则． 若，则当时，，为增函数， 而，从而当时，，即． 若，则当时，，为减函数， 而，从而当时，，即． 所以不合题意，舍去． 综合得a的取值范围为． 能力进阶 1．（26-27高一上·全国·期中）已知函数，则使成立的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，再由奇偶性和单调性将不等式化为，两边平方并整理求解即可． 【详解】由的定义域为且， 所以是偶函数，则等价于， 由于在上单调递增，而在上单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递增， 可得，两边平方并整理得 ，解得, 故使成立的取值范围为. 2．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设函数，曲线在点处的切线方程为．则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，进而待定系数求解即可. 【详解】设函数 ，求导得 因为曲线在 处切线为 ， 所以 即，整理得，解得， 所以 3．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，不存在“类点”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题属于新定义题型，以 “ 类点” 为载体，考查基本初等函数求导、方程有解的判断，解题核心是读懂定义：判断方程是否存在实数解，转化为函数零点存在性问题，考查导数运算与函数零点的分析能力. 【详解】根据题意，函数存在类点等价于方程有实数根. 对于 A：，，方程为， 变形得，即，存在实数解，故 A 存在 类点. 对于 B：，，方程为， 即，，方程有实根，故 B 存在类点. 对于 C：，，方程为，整理得， 由于，因此，又，故左边，右边， 等式不可能成立，方程无实数解，故 C 不存在类点 对于 D：，定义域，，方程为， 令，在上单调递增，，， 由零点存在定理可知存在零点，方程有解，故 D 存在类点. 4．（多选）（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（   ） A． B．在区间上单调递减 C．在上的最小值为 D．当时，关于x的方程有3个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】求导，利用赋值法求出，判断选项A；分解导函数，根据导函数在区间内正负，判断单调性，确定选项B；找出区间内极值点，计算极值和区间端点函数值，比较大小得到最小值，判断选项C；根据导函数得到完整单调区间，求出极大、极小值；利用图像，观察水平线和函数曲线交点数量，判断选项D． 【详解】已知，求导得， 把代入导函数得，解得，故A错误； 当时，，所以， 在上单调递减，故B正确； 令，得， ，，， 故在上的最小值为，故C正确； 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增，极大值，极小值， 当时，直线穿过极大值和极小值之间，与图象有3个交点， 方程有3个不同实根，故D正确． 5．（26-27高三上·北京·开学考试）如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】，， 令，解得，所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即可. 6．（25-26高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）设，则a，b，c的大小关系是______.（用“”连接） 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性比较，构造函数，利用导数研究单调性比较c，a，进而得到答案. 【详解】令函数，则， ∵当时，， 在恒成立，所以函数在上单调递增， 所以，即，所以. 令函数，则， ∵当时，， 在恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以 综上，. 7．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)令（），若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为，极大值为，极小值为0 (2) 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，再根据极值定义求解极值即可； （2），当时，，不符合题意；当时，令，则存在唯一使，利用导数分析函数的单调性，求出的最小值，对方程两边取对数可得，可得，令，即可求解. 【详解】（1）， 令，解得或， 当时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 所以的极大值为，极小值为. （2）， ， 当时，，所以， 所以函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，由（1）知在上单调递增，且， 令，则存在唯一使， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 因为，所以， 两边取对数得，可得， 所以， 有两个零点，则， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 8．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减；在单调递增. (2) 【分析】(1)先化简求导分解，分母恒正，符号由分子二次型决定，对参数分类讨论. (2)先把代入不等式，剥离参数得到，由于，构造函数，换元将不等式进一步简化，再分离参数，利用导数求出结果. 【详解】（1），. . ①当时，当，，所以函数在单调递减； ②当时，令，则,，. 当，，所以函数在单调递减； 当，，所以函数在单调递增. 所以当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减；在单调递增. （2）当时，恒成立,即. ,变形得：. 令，.. 函数在单调递减，在单调递增. . 即，,令，，. 函数在单调递增，, . 实数的取值范围为：. 9．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)的极小值为，无极大值； (2)时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在R上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. (3)或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数的极值点情况，进而得到极值情况； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，分类讨论，求出函数单调性； （3）先得到2为的一个零点，在（2）的基础上进行分类讨论，得到函数的零点个数. 【详解】（1）时，，定义域为， ， 令得， 令得，则在上单调递增， 令得，则在上单调递减 所以为函数的极小值点，且， 所以的极小值为，无极大值； （2），定义域为， ， 当时，恒成立，令得，令得， 此时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，， 故的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，令得或，令得， 此时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）， 显然，故2为的一个零点， 由（2）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 恒成立，当趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理可得上，存在一个零点， 故有2个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，， 故2为的唯一零点； 时，在上单调递增，，故有1个零点； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， ，当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 若，即时，共有2个零点，分别为1和2； 若，即时，共有1个零点，即2； 若，即时，若，即时，共有2个零点， 其中一个零点为2，另一个零点位于上， 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 若，即时，在和上分别有1个零点， 又2也是零点，故共有3个零点； 综上，或或时，有2个零点； 时，有1个零点； 或时，有3个零点； 10．（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）已知集合D为函数，的定义域的一个子集，若，存在常数k，b，使得不等式，则称直线为函数，在D上的隔离直线． (1)求函数的图象在点处的切线方程，并判断该切线是否是与在上的隔离直线； (2)若直线为函数，在上的隔离直线，求b的取值范围； (3)函数，在上是否存在隔离直线？若存在，求出隔离直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，是，在上的隔离直线 (2) (3)存在， 【分析】（1）求导得出切线方程，分别计算得出，结合定义得出该切线是隔离直线； （2）利用隔离直线的定义，构造不等式，构造函数求最大值和最小值，进而取交集得出b的取值范围； （3）观察公共点，尝试把公共点处切线作为候选隔离线，再通过放缩双向证明得出结论，求出隔离直线方程． 【详解】（1）由题意得，，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即． 又， ， 所以在上恒成立， 所以切线是，在上的隔离直线． （2）因为是，在上的隔离直线， 所以，使得，， 对，则，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以． 对，则，令，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 故实数b的取值范围为． （3）因为，，所以，， 所以点为函数的图象与的图象的公共点， 又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即切线方程为． 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以，即在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，所以在上， 在上，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 又因为，所以， 所以和在上存在隔离直线，其方程为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 复习要点 1.导数的概念、几何意义、运算体系，能熟练进行基本初等函数、四则运算、复合函数求导 2.掌握导数研究函数单调性、极值、最值的方法，能解决函数单调性、极值最值、零点、不等式证明等综合问题 复习重难点 重点：导数运算；导数几何意义（切线）；单调性、极值、最值；含参函数讨论. 难点：复合函数求导；切线问题；含参分类；构造函数证明不等式；零点存在性分析 知识点 函数的平均变化率和瞬时变化率 1、平均变化率定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 3、瞬时变化率定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记. 要点速测 1．（25-26高二下·青海西宁·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 2．（25-26高二下·全国·课后作业）如果函数在区间上的平均变化率为5，则________． 3．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）竖直高为的楼上有一盏聚光灯，且该聚光灯为唯一光源，高为的人在零时刻从楼底以的速度水平直线远离楼底，则该人影子长度的变化率为______． 知识点曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 要点速测 1．（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东广州·期末）曲线在点处的切线方程是______ 3．（25-26高二下·广东梅州·期末）求函数的图象在点处的切线的方程______． 知识点导数运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 2、导数的四则运算法则 （1）两个函数和的和（或差）的导数法则： . （2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . （3）由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 3、复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 要点速测 1．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点函数的单调性 1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 2、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 要点速测 1．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．［1，2） D． 3．（25-26高二下·陕西榆林·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 知识点函数的极值与最值 1、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 2、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 要点速测 1．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数，则的极值点为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，则在内的极大值点为（    ）． A． B． C． D． 3．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设函数，，则的最大值为______，最小值为______． 题型1导数定义中的极限运算 ▌例1 （25-26高二下·安徽黄山·期中）已知函数满足，则（    ） A．1 B．2 C．9 D．3 ▌例2 （25-26高二下·安徽滁州·阶段检测）已知，的值是______． 解题要点 瞬时变化率的变形形式 ． ▌迁移练1-1（25-26高二下·河北廊坊·期中）设函数满足，则（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26高二下·辽宁鞍山·期中）若，则（   ） A．3 B． C．6 D． 题型2 导数公式和四则运算 ▌例1 （多选）（26-27高三上·山西·开学考试）下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． ▌例2 （多选）（26-27高三上·河北衡水·开学考试）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 解题要点 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导 2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元 ▌迁移练2-1（多选）（25-26高二下·山东枣庄·期末）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2（多选）（25-26高二下·河南郑州·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-3（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型3 利用导数求切线（“在”型） ▌例1 （25-26高二下·云南德宏·期中）曲线 在点 处的切线方程为（   ） A． B． C． D． ▌例2 （2026·湖南·三模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 解题要点 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程 1.第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点 2.第二步：计算切线斜率 3.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率 4.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. ▌迁移练3-1（25-26高二下·广东江门·期中）函数在点处的切线方程是（    ）． A． B． C． D． ▌迁移练3-2（25-26高三上·广西·期末）曲线在点处的切线斜率为______． ▌迁移练3-3（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 题型4 利用导数求切线（“过”型） ▌例1 （2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 ▌例2 （24-25高二下·江西南昌·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 解题要点 函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程 1.第一步：设切点 2.第二步：计算切线斜率；计算切线斜率 3.第三步：令：，解出，代入求斜率 4.第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： ▌迁移练4-1（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 ▌迁移练4-2过点作曲线的切线方程为___________． ▌迁移练4-3（23-24高二下·新疆伊犁·阶段检测）已知曲线，则曲线过点的切线方程为__________. 题型5 函数的单调性（不含参数） ▌例1 （25-26高二下·新疆喀什·期末）函数的单调递增区间是（     ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高二下·河南南阳·阶段检测）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D．和 解题要点 求已知函数（不含参）的单调区间 1.求的定义域 2.求 3.令，解不等式，求单调增区间 4.令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号 ▌迁移练5-1（25-26高二下·上海·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2（25-26高二下·河北廊坊·期中）已知函数，则的单调递增区间为（     ） A． B． C． D．和 ▌迁移练5-3（25-26高一下·上海·期末）函数的严格减区间为______． 题型6 函数的单调性（含参数） ▌例1 （2027高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． ▌例2 （26-27高三·全国·一轮复习）已知函数.讨论的单调性. 解题要点 含参问题讨论单调性 1.第一步：求的定义域 2.第二步：求（导函数中有分母通分） 3.第三步：确定导函数有效部分，记为 4.对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负 5.第四步：确定导函数有效部分的类型 6.①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 7.第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 ▌迁移练6-1（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． ▌迁移练6-2（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知，函数． (1)若时，函数的图象上存在斜率为的切线，求的取值范围； (2)当时，求函数的单调递减区间． ▌迁移练6-3（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 题型7 已知函数 在区间单调 ▌例1 （26-27高三上·安徽·阶段检测）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2 （26-27高三·全国·一轮复习）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 解题要点 1.已知在区间上单调递增，恒成立 2.已知在区间上单调递减，恒成立 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号 ▌迁移练7-1（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）若在上是减函数，则的取值范围是______. ▌迁移练7-3（25-26高二下·安徽亳州·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________. 题型8 已知函数 在区间上存在单调区间 ▌例1 （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高二下·河南郑州·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解题要点 1.已知在区间上存在单调增区间使得有解 2.已知在区间上存在单调减区间使得有解 ▌迁移练8-1（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练8-2（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练8-3（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 题型9 已知函数 在区间上不单调 ▌例1 （25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌例2 （25-26高二下·湖北黄冈·期中）若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 解题要点 1.已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 ▌迁移练9-1（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练9-2（2025·陕西西安·一模）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练9-3（25-26高二下·陕西榆林·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为__________. 题型10 构造函数解不等式 ▌例1 （26-27高三上·湖北·开学考试）已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（    ） A． B． C． D． ▌例2 （26-27高三·全国·一轮复习）若函数在上可导，且满足，则与的大小关系为___________． 解题要点 1.两个基本还原 ① ② 2.类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 3.类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ ▌迁移练10-1（2026高二·全国·专题练习）定义域为的函数的导函数记作，满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练10-2（26-27高三上·甘肃酒泉·开学考试）已知函数是偶函数，若对于恒成立，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练10-3（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（     ） A． B． C． D． 题型11 与极值有关的图象问题 ▌例1 （25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极小值 ▌例2 （多选）（2026·江西南昌·模拟预测）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 解题要点 解决与极值有关的函数图象问题，需紧扣“导数→单调性→极值点→图像特征”的逻辑链． 极值点对应图象的“转折点”：在该点左侧图象上升（）、右侧下降（）→极大值点；左侧下降、右侧上升→极小值点 ▌迁移练11-1（25-26高二下·广东深圳·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是的极小值点 C．的单调递减区间是 D． ▌迁移练11-2（25-26高二下·浙江温州·期末）如图是函数的导函数的图象，则在下列区间内，一定存在最大值的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练11-3（多选）（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 题型12 利用导数求函数的极值 ▌例1 （26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）若是函数的极小值点，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D．1 ▌例2 （25-26高二下·安徽滁州·期中）已知函数的导函数为，若，则的极小值点为（    ） A．-4 B．0 C． D．4 解题要点 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 1.列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 2.验证：求解后验证根的合理性 ▌迁移练12-1（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）已知是函数的一个极值点，则的极大值为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练12-2（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）函数的极小值是______． ▌迁移练12-3（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知函数，则函数的极大值点为__________，极大值为__________． 题型13 利用导数求函数的最值 ▌例1 （2026·江苏淮安·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. ▌例2 （25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 解题要点 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值 ▌迁移练13-1（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数， (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数，求函数在区间上的最值． ▌迁移练13-2（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）设函数，且在处的切线为． (1)求实数，的值； (2)求函数在上的最大值． ▌迁移练13-3（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）设函数，． (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求实数的取值范围． 题型14 根据函数的极值（点）求参数 ▌例1 （25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． ▌例2 （26-27高三上·天津武清·阶段检测）若函数有两个极值点，则实数的取值范围_______． ▌迁移练14-1（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）若函数的极大值点为负数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练14-2（26-27高三上·江西宜春·开学考试）若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练14-3（2025·湖南张家界·模拟预测）若函数的极大值为4，则________. 题型15 根据函数的最值求参数 ▌例1 （25-26高二下·陕西榆林·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求的取值范围. ▌例2 （26-27高三上·北京房山·开学考试）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，求实数的值． ▌迁移练15-1（25-26高二下·广西百色·期末）设函数，已知曲线在点处的切线斜率为12． (1)求实数m的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间上的最大值为20，求n的值． ▌迁移练15-2（25-26高二下·福建宁德·期末）设函数，． (1)求的单调区间； (2)若在上的最大值为5，求实数的取值范围． ▌迁移练15-3（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 难点一 利用导数研究不等式恒成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 难点精练 1．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围． 2．（2027高三·全国·专题练习）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 3．（26-27高三上·广东佛山·开学考试）已知函数，. (1)求的最值； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上的最小值为0，求a的值； (3)若对于任意，恒成立，求a的取值范围. 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 难点二 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：，使得能成立； ，使得能成立． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 4、最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 5、值域法解决双参等式问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 难点精练 1．（26-27高三上·上海·期中）已知函数，，． (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 2．（26-27高三上·河南·开学考试）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，； (2)若当时，，求的最小值； (3)若，使得，求的取值范围． 3．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 4．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数(且). (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若有解，求的取值范围. 5．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 难点三 利用导数研究函数的零点（方程的根） 1、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 难点精练 1．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若有且只有一个零点，求的取值集合. 2．（26-27高三上·江西·开学考试）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； (4)若存在零点，求的取值范围． 3．（26-27高三上·北京平谷·开学考试）已知函数，曲线：在点处的切线为：，记． (1)当时，求切线的方程； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明） 4．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)讨论方程的实数根的个数． 5．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数 (1)判断函数的单调性； (2)求函数在区间的最值； (3)方程有三个实数解，求的取值范围. 基础达标 1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）设是可导函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数的最小值为，则的值为（） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）若直线与曲线相切，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 6．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）当时函数取到最大值-3，则（    ） A．-2 B．1 C．3 D．5 7．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数，，若，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高二下·青海西宁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列区间中，单调递减的有（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，则（    ） A．，函数为增函数 B．，函数为奇函数 C．若，则 D．若为极大值点，则 11．（2027高三·全国·专题练习）若函数有两个零点，则的取值范围是______． 12．（25-26高二下·陕西榆林·期末）若函数在上存在最大值，则实数a的取值范围为______． 13．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知函数的极小值点为. (1)求实数的值； (2)求函数的图象在点处的切线方程. 14．（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知函数 ． (1)求； (2)求函数 的单调区间； (3)求函数 在区间上的最大值和最小值． 15．（江苏泰州市2025届高三下学期4月调研测试数学试题）已知函数． (1)当时，过作曲线的切线，求切线的斜率； (2)若是函数的极小值点，求实数a的取值范围． 16．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 17．设函数，，其中为自然对数的底数． (1)若，求的单调递增区间； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 能力进阶 1．（26-27高一上·全国·期中）已知函数，则使成立的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设函数，曲线在点处的切线方程为．则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，不存在“类点”的是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（   ） A． B．在区间上单调递减 C．在上的最小值为 D．当时，关于x的方程有3个不同的实数根 5．（26-27高三上·北京·开学考试）如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 6．（25-26高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）设，则a，b，c的大小关系是______.（用“”连接） 7．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数． (1)求的单调区间和极值； (2)令（），若有两个零点，求的取值范围． 8．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 9．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)讨论函数的零点个数． 10．（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）已知集合D为函数，的定义域的一个子集，若，存在常数k，b，使得不等式，则称直线为函数，在D上的隔离直线． (1)求函数的图象在点处的切线方程，并判断该切线是否是与在上的隔离直线； (2)若直线为函数，在上的隔离直线，求b的取值范围； (3)函数，在上是否存在隔离直线？若存在，求出隔离直线的方程；若不存在，说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $