高中数学单元测试——第5章导数及其应用（较易版02）

**基本信息** 高中数学第5章导数及其应用单元复习卷（较易版02），覆盖导数计算、单调性等核心知识，通过基础题与现实应用情境结合，适配单元巩固与数学思维培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|导数计算（第1题）、切线斜率（第3题）|注重基础概念辨析，落实数学运算能力| |多选题|3题18分|单调性判断（第9题）、极值点分析（第10题）|强化知识关联，培养逻辑推理意识| |填空题|3题15分|函数最值（第13题）、单调区间参数（第14题）|巩固基础技能，体现数学抽象能力| |解答题|5题77分|切线方程（15题）、利润最值（17题）、凸函数应用（17题）|综合应用导数工具，结合现实情境，发展数学建模与问题解决能力|

高中数学单元测试 —— 第5章 导数及其应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（本题5分）已知函数，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 3．（本题5分）曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 4．（本题5分）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若函数的极小值为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 8．（本题5分）设，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则的值为__________  . 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的递增区间. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 18．（本题17分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 19．（本题17分）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 导数及其应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则函数在处的导数为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】根据题意，设函数在处的导数为. 因为，则， 即，所以. 故选：D 2．（本题5分）已知函数，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】求导，再令即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：A. 3．（本题5分）曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 4．（本题5分）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，令求解可得. 【详解】由题知，， 令，解得， 所以，函数的单调减区间为. 故选：C 5．（本题5分）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数符号，单调性即可判断. 【详解】对于 ，当 时， ，故B错误； ，显然在定义域内 ， 即在 和 都是增函数，C正确，AD错误； 故选：C. 6．（本题5分）若函数的极小值为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据导数确定导函数的单调性，即可结合极值的定义求解. 【详解】由可得， 当时，，此时在单调递增，无极值， 当时，由于函数均在单调递增，则在单调递增， 结合有极值，故必然有零点，且有唯一的零点，设为， 则，即，有， 当在单调递减，当在单调递增， 故是的极小值点，故，则，解得， 综上可得， 故选：C 7．（本题5分）某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（    ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出利润的函数关系，再利用导数求出函数最大值作答. 【详解】设每个月该工厂的利润为， 则（）， 求导得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得最大值， 所以该工厂每个月的利润的最大值为元． 故选：C 8．（本题5分）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算及性质求出，再由不等式判断的范围，利用对数函数的单调性判断的范围即可得解. 【详解】由可得，所以， 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 当时等号成立，所以， 又， 所以， 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用求导来判断在区间上是否恒为正数，若可能不恒为正数，则可以举反例，或证明恒为负数，即可得到判断. 【详解】对于A，当时，，故在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，当时，，故不满足题意，故B错误； 对于C，当时， ，故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，故不满足题意，故D错误； 故选：AC. 10．（本题6分）已知函数的图象如图所示，且定义在上的函数的导函数为的导函数为，则（    ）    A．在上单调递减 B．1是的极大值点 C．的零点是0和2 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据函数的图象可求出函数的单调区间及极值点，即可判断AB；根据函数的单调区间即可得出其导函数的零点及符号分布情况，即可判断CD. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 1是的极大值点，A错误，B正确； 的单调递增区间为，单调递减区间为， 当或时，， 当时，，C正确； 由，得，或， 解得或， 所以等式的解集为，D正确． 故选：BCD. 11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】利用导数研究的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据拐点的定义即可判断C；根据数形结合的思想即可判断D. 【详解】由得， 令或， 所以在单调递减，在、单调递增. A：因为， 所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； B：的极大值点为，极小值点为， 所以有2个极值点，故B正确； C：令，得，， 所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确； D：因为的极大值为，极小值为， 作出直线与函数的图象，如图， 由图可知，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实根，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则的值为__________  . 【答案】 【分析】求导可得，令即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，解得. 故答案为： 13．（本题5分）函数，的最小值是________. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 14．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数可得在上恒成立，即在上恒成立，设，再利用导数求的最大值即可. 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的递增区间. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出导函数，得出切线斜率，由点斜式写出切线方程，整理即得； （2）利用求得函数的递增区间. 【详解】（1）由求导可得，则， 所以切线的斜率，且过点， 则切线方程为，整理可得， 所以，所求切线方程为. （2）因为恒成立，所以函数在定义域上单调递增. 故函数的递增区间为. 16．（本题15分）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 17．（本题15分）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 【答案】(1) (2)1个 【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式在恒成立即可求得的取值范围； （2）易知，由导函数求得其在上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个. 【详解】（1）由可得其定义域为，且， 所以， 若在上为“凸函数”可得在恒成立， 当时，显然符合题意； 当时，需满足，可得； 综上可得的取值范围为； （2）若，可得，所以， 令，则； 易知在区间上恒成立， 因此可得在上单调递减； 显然，； 根据零点存在定理可得存在使得， 因此可知当时，，即在上为单调递增； 当时，，即在上为单调递减； 又，显然在上不存在零点； 而，结合单调性可得在上存在一个零点； 综上可知，在区间上仅有1个零点. 18．（本题17分）已知函数． (1)当时，求在区间上的零点个数； (2)当，时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明：当，时，，求导得， 令，则， 由（1）知在上单调递增，从而在上单调递减， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 注意到， 从而存在唯一的，使得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 而， 所以当时，， 从而存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减， ， 所以当，时，. 【分析】（1）直接求导得函数在上单调递增，结合零点存在定理即可求解； （2）求导后令，继续求导得的单调性，进一步结合零点存在定理得它的符号变化，从而可得的单调性，由此即可得解. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，且这三者不同时为0，从而在上恒成立， 从而在上严格单调递增， 注意到， 从而在区间上的零点个数为1； （2）略 19．（本题17分）已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 (2)①；②或4 【分析】（1）对求导，令，分和，判断与0的正负即可得出的单调性； （2）①由（1）可求出实数的取值范围；②方程的两根就是两极值点，由韦达定理求出，代入可得，令，求出的单调性，即可求出的值． 【详解】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； （2）①由（1）知：当时，在上递增，在上递减， 则函数在定义域内有两个极值点， 所以实数的取值范围应为. ②满足，方程的两根就是两极值点， 由韦达定理有：， , 将韦达定理代入可得：，又因为， 得：， 设， 令， 在递增，在递减，因为， 由，可得或，满足. 故或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $