高中数学单元测试——第五章一元函数的导数及其应用（较易版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第五章一元函数的导数及其应用单元复习卷（较易版），覆盖导数概念、运算及应用，题型多样，注重基础巩固与实际应用，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算（2）、切线斜率（3）、单调区间（4）、极值（6）、实际应用（7）|结合3D打印情境（7）考查最值，体现数学眼光的创新意识| |多选题|3/18|函数奇偶性与单调性（9）、导函数图像分析（10）、三次函数拐点（11）|通过导函数图像（10）考查极值点判断，发展数学思维的推理能力| |填空题|3/15|导数定义（12）、函数最值（13）、恒成立问题（14）|基础与综合结合，如（14）考查不等式恒成立，培养数学语言的模型观念| |解答题|5/77|切线方程（15）、单调区间（15）、极值与最值（16）、零点个数（18）、不等式证明（19）|分层设计，从基础运算到综合论证，适配单元复习的能力梯度要求|

高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的加法公式和指数函数的导数公式求解即可. 【详解】因为，所以，故A正确. 故选：A 3．（本题5分）曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 4．（本题5分）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，令求解可得. 【详解】由题知，， 令，解得， 所以，函数的单调减区间为. 故选：C 5．（本题5分）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数讨论函数的单调性即可得出结果. 【详解】当时，， 函数的定义域为，则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 故选：D. 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 7．（本题5分）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值. 【详解】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 8．（本题5分）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义，可判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，可判断A、B、D的正误；代入特殊值，计算分析，可判断C的正误，即可得答案. 【详解】选项A：设，定义域为R，则，所以为奇函数， 又，所以在R上单调递增，故A正确； 选项B：设，定义域为R， 则，所以为奇函数， 又，所以在R上单调递增，故B正确； 选项C：当时，，当时，， 所以在上不是单调递增函数，故C错误； 选项D：设，定义域为R， 则， 所以，则为奇函数， 当时，令，，所以单调递增， 根据复合函数“同增异减”可得：在上单调递增， 即在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 10．（本题6分）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（    ）    A．是的极小值点 B．有2个极大值点 C．在区间单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据的图象判断的单调性及其极值情况，再结合各选项描述判断正误. 【详解】A：由题意知，当时，， 所以不是的极小值点，故A错误； 由图知， 当时，函数，递增， 当时，函数，递减， 当时，函数，递增， 当时，函数，递减， 所以当或时，取得极大值，故B正确； 且在区间单调递增，故C正确； D：由题意知，由图，得，， 所以区间内单位增长率大于1，且，可得，故D正确； 故选：BCD 11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】利用导数研究的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据拐点的定义即可判断C；根据数形结合的思想即可判断D. 【详解】由得， 令或， 所以在单调递减，在、单调递增. A：因为， 所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； B：的极大值点为，极小值点为， 所以有2个极值点，故B正确； C：令，得，， 所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确； D：因为的极大值为，极小值为， 作出直线与函数的图象，如图， 由图可知，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实根，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）设函数的导数为，且，则__________. 【答案】 【分析】求导后，代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13．（本题5分）函数的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将已知等式变形为，可得出，令，，，分析可知，可得出，即可得出，利用导数和基本不等式求解即可. 【详解】对，有，所以， 所以不等式左右两侧同时除以， 所以， 转化为关于的一元二次不等式，所以， 令，，， ，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为，故对任意的，则， 故当时，，， 由可得， 故，故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）由先求出，再求导数，进而求出，即可根据直线方程的点斜式求出切线方程； （2）先求函数的定义域，再解不等式和，即可求出的单调区间. 【详解】（1）因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 16．（本题15分）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值是，最大值是. 【分析】（1）根据极值的定义得到关于，的方程组，即可求出，. （2）判断函数在上的单调性，结合函数的极值和端点函数值求解. 【详解】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4， 故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由条件可知在（0，+∞）上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求实数a的取值范围； （2），参变分离后，，利用导数判断函数的性质和图象，转化为和的交点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义城为． 在上单调递减，在上恒成立， 即当恒成立，． 当，当且仅当时取等号， 当时，． 的取值范围为． （2）显然不是的零点，． 令且，则， 由， 在上单调递减，在上单调递增， 在上时，有极小值；在上时，． 的图象如图： 时，零点个数为0； 时，零点个数为1； 时，零点个数为2． 18．（本题17分）函数． (1)当时，证明：； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)当时，，所以，令得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 从而，不等式得证． (2)当时，无零点；当或时，有一个零点； 当时，有两个零点． 【分析】（1）求导可得，当时，，当时，，可证结论； （2）由已知可得，求导可得的单调性，进而可求函数的零点个数． 【详解】（1）略 （2）令，则，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 又，当时，；当时，． 从而当时，无零点；当或时，有一个零点； 当时，有两个零点． 19．（本题17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3)当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，. 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间. （3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第五章一元函数的导数及其应用（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．（本题5分）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）曲线在处的切线的斜率为（   ） A．4 B．3 C． D． 4．（本题5分）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当时，函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 7．（本题5分）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（本题5分）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（    ）    A．是的极小值点 B．有2个极大值点 C．在区间单调递增 D． 11．（本题6分）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 三、填空题 12．（本题5分）设函数的导数为，且，则__________. 13．（本题5分）函数的最小值为________. 14．（本题5分）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．（本题15分）已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 17．（本题15分）设函数，． (1)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (2)当时，讨论函数零点的个数． 18．（本题17分）函数． (1)当时，证明：； (2)讨论函数的零点个数． 19．（本题17分）已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $