专题01 数的整除（必备知识+11题型+分层检测）（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材沪教版

专题01 数的整除（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 整除 能准确区分“整除”和“除尽”，能正确陈述“被整除”与“能整除”. 结合2024年期中卷，共考查7次，多以填选考查为主，如“…表示整除”、“…能被…整除”、“…能整除…”等.特别注意易错点“…能整除…”问题，如：12÷4＝3，可以说“12能被4整除”或“3能整除12”，整数前后逻辑顺序要厘清. 素数与合数、互素 能牢记素数与合数的概念，能熟知几种互素情况. 结合2024年期中卷，共考查8次，高频考点如合数、互素、偶数与合数关系等，易错考点如确定最小素数或合数、因数与公有素因数区别等. 分解素因数 能准确写出一个合数分解素因数形式 结合2024年期中卷，重点必考，基本以填空定向考查为主. 短除法、最大公因数与最小公倍数 能准确写出短除法，能够通过短除法求最大公因数或最小公倍数，能逆推原数或填充短除法中的数字. 最大公因数与最小公倍数为高频考点，多以计算题和解答题为主；少数小题考查，如短除法求最大公因数或最小公倍数 知识点01 整除 主要考査整除的条件,即被除数、除数、商都是整数,且余数为零,以填空题、判断题为主,属基础题 1.概念：整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除. “除”和“除以”、“能”和“能被”的意义是相反的. 2.整除的条件： (1)除数、被除数都是整数； (2)被除数除以除数，商是整数且余数为零. （简记：“三整一零”，即被除数、除数和商为整数，余数为零） 3.除尽 数除以数时，所得的商是整数或有限小数，我们就说能被除尽，或者说能除尽. （2024•宝山区期中）在下列式子中，表示整除的是　　 A． B． C． D． 解：．，商不是整数，故不属于整数整除，故本选项不符合题意； ．，除数和被除数不是整数，故不属于整除，故本选项不符合题意； ．，除数不是整数，故不属于整数整除，故本选项不符合题意； ．，属于整数整除，故本选项符合题意． 故选：． 整除与除尽的区别 整除中的被除数、除数都为整数，商是整数，余数为零. 除尽中的被除数和除数不一定是整数，商是整数或有限小数. 整除一定是除尽，但除尽不一定是整除. 知识点02 因数与倍数 求一个数的因数或倍数,在考试中属基础题.多以选择题或填空题形式出现,较为简单. 1.因数和倍数 整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）.我们仅在整除的前提下学 习因数和倍数的概念. (1)倍数和因数是相互依存的，不能单独存在.这里包含两层意思： 其一，在讲倍数和因数时，只能说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数，不能说谁是倍数，谁是因数.说是倍数，是因数都是错误的. 其二，两个整数存在倍数和因数关系是相互的，如果是的倍数，那么一定是的因数； 反之，如果是的因数，那么一定是的倍数. (2)在自然数中，是一个特殊的数，乘任何一个数都等于，所以说是任何一个非零自然数倍数，任何非零自然数都是的因数.在研究因数和倍数的问题中，如果不排除，有时无法讨论，因此在研究因数和倍数时，所指的数一般是不包括的自然数（即正整数）. 2.求一个数的因数 （1）求因数的方法： ①列乘法算式法： 一般要从自然数开始，依次寻找，这样不容易遗漏. ②列除法算式法 用此数除以任意整数，所得的商是整数而余数为零，这些除数和商都是该数的因数. （2）因数的表示法 ①列举法 把一个数的因数从小到大排列，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完用句点表示结束. ②集合法 画一个椭圆，在上面写上“的因数”，把这个数的因数按从小到大的顺序写在椭圆内，每两个因数用逗 号隔开，全部写完，不用加句点.例如：24的因数. （3）一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是，最大的因数是它本身.目前我们只限制在正整数范围内 学习因数的概念. 3.求一个数的倍数 即按照这个数的1倍、2倍、3倍、…依次找下去，一个整数的倍数有无数个. （1）求倍数的方法 ①列乘法算式法 求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得的数就是这个数的倍数. ②列除法算式法 根据倍数的意义，看哪个数除以这个数，商是整数且余数为零，则被除数就是这个数的倍数. （2）倍数的表示法 ①列举法 一个数的倍数有无数个，列举时从这个数的本身开始，依次写出后面几个，其余的用省略号表示，书写时 每两个数之间用逗号隔开，省略号后用一个句点表示结束. 例如：列举2的倍数：2,4,6,8，… ②集合法 画一个椭圆，在椭圆的上面写上“××的倍数”，表示××的倍数的集合.把××的倍数按从小到大的顺序 写在集合里，每两个倍数之间用逗号隔开，不再书写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，不用加句 点. 例如：2的倍数：{2,4,6,…} 3. 一个数的倍数的特点 一个数的倍数的个数是无限的，它的最小倍数是它本身，没有最大倍数. 1.我们也可以借助字母表示倍数，如2的倍数可以表示为2n（n为正整数）. 2.几倍是两个同类数量相除的结果，可以是整数倍，也可以不是整数倍，如20是4的5倍，22是4的5.5 倍. 目前我们限制在正整数范围内学习倍数的概念. 一个数的倍数有无限多个，所以无论用列举法还是集合法，最后都要加上省略号. 列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，不用加句点. 知识点03 能被2和5整除的数 能被2或5整除的数的特征,在期中、期末考试中经常考查,属基础题以选择题、填空题为主,也会出现简单 的解答题 1.能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的整数能被2整除。 2.能被3整除的数的特征：一个数的各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。 示例：12，各位数字之和为1 + 2=3，3能被3整除，所以12能被3整除；再如369，各位数字之和为3+6 +9 =18，18能被3整除，所以369能被3整除。 3.能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数能被5整除。 4.能同时被2和5整除的数的特征：个位数字只能是0。 5.能同时被2、3和5整除的数的特征：个位数字是0，且各位数字之和能被3整除。 能被7整除的数的两种方法 ①割尾法：去掉这个数的末位数字，用剩下的数字减去末位数字的2倍，若结果能被7整除（包括结果为0或负数），则原数能被7整除。 示例：判断147是否能被7整除。 第一步：去掉末位“7”，剩下“14”； 第二步：计算“14-7×2=0”，0能被7整除，所以147能被7整除。 ②倍数差法：找到与原数末几位接近的7的倍数，用原数减去这个倍数，若差能被7整除，则原数能被7整除。 示例：判断252是否能被7整除。 已知7×36=252，252-252=0，0能被7整除，所以252能被7整除。 能被9整除的数的特征 核心特征：一个数的各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。 示例1：判断324是否能被9整除。 计算各位和：3+2+4=9，9能被9整除，所以324能被9整除（324÷9=36）。 示例2：判断1890是否能被9整除。 计算各位和：1+8+9+0=18，18能被9整除，所以1890能被9整除（1890÷9=210）。 若各位和大于9，可继续相加直到得到个位数，若结果是9，则原数能被9整除（如198：1+9+8=18→1+8=9，故198能被9整除）。 11-20中的质数倍数判断方法表 质数 倍数核心特征 速判步骤 举例验证 11 奇位数字和与偶位数字和的差是11的倍数（包括0） 1. 分奇位、偶位，分别计算数字和； 2. 求两者差值； 3. 若差值是11的倍数，则原数是11的倍数。 判断132：奇位1 + 2 = 3，偶位3，3 - 3 = 0（是11的倍数），132 = 11×12。 13 末位×4 + 剩余数，结果是13的倍数（包括0） 1. 取末位数字，乘4； 2. 与去掉末位的剩余数相加； 3. 若结果是13的倍数，重复操作直至可判断。 判断273：末位3×4 = 12，27 + 12 = 39（13×3），273 = 13×21。 17 末位×5－剩余数（大减小），结果是17的倍数（包括0） 1. 取末位数字，乘5； 2. 与去掉末位的剩余数相减（大减小）； 3. 若结果是17的倍数，重复操作直至可判断。 判断476：末位6×5 = 30，47 - 30 = 17（17×1），476 = 17×28。 19 末位×2 + 剩余数，结果是19的倍数（包括0） 1. 取末位数字，乘2； 2. 与去掉末位的剩余数相加； 3. 若结果是19的倍数，重复操作直至可判断。 判断361：末位1×2 = 2，36 + 2 = 38（19×2），361 = 19×19。 两者特征对比表 整除对象 核心判断方法 优点 缺点 能被7整除 割尾法、倍数差法 适用于任意位数 无直观规律，需分步计算 能被9整除 各位数字之和能被9整除 计算简单，一步到位 仅适用于9的整除判断 8.奇数和偶数 （1）偶数的意义 能被2整除的整数叫做偶数。 如果a是整数，偶数可以用2a来表示。0是2的倍数，0也是偶数。整数的个数是无限的，偶数的个数也是 无限的，没有最大的偶数。 （2）奇数的意义 不能被2整除的整数叫做奇数。 如果a是整数，奇数可以用（2a + 1）来表示。奇数的个数是无限的，没有最大的奇数。 （3）整数按奇数、偶数分类 整数分为奇数和偶数。 奇数±奇数=偶数 奇数×偶数=偶数 奇数±偶数=奇数 奇数×奇数=奇数 知识点04 分解素因数 分解素因数是学习最小公倍数、最大公约数的基础,单独命题比较简单，以选择题、填空题为主。 1.素数与合数 （1）一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（也叫做质数）。 （2）一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。 最小的素数是2，没有最大的素数。最小的合数是4，没有最大的合数 素数只有2个因数，1和它本身；合数至少要有3个因数。 1只有一个因数，因此它既不是素数，也不是合数。 把正整数按照因数个数的多少分类，可以分为1、素数和合数三类。 判断合数的方法 若一个数能被大于1且小于它本身的数整除，则这个数为合数。 2.素因数与分解素因数 （1）素因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合 数的素因数。 ，，，…。 其中2和3是6的素因数，2和7是28的素因数， 2，3和5是30的素因数。 ①素因数是相对于某个合数而言的，不能单独存在，如不能说2是素因数。 ②因数与素因数的关系： 一个数的素因数一定是这个数的因数，但因数不一定是素因数。如 中，1，2，3，5，6，10，15，30是30的因数，但只有2，3，5是30的素因数。 （2）分解素因数 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 分解素因数与素因数的区别 素因数是一个具体的素数，而分解素因数是把一个合数写成几个素数相乘的过程。 （3）分解素因数的方法 方法一：树枝分解法 把30分解素因数。 可分解为和，又可分解为和；或分解为和，分解为和；或分解为和， 分解为和。即或或。 若一个合数能直接看出是两个数的积，可用树枝分解法分解素因数。 方法二：短除法 把96分解素因数。 用短除法分解素因数的步骤 ①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。 ②得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。 ③然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。 短除法是除法的简化，“ ”相当于除法中的除号，左侧写除数，下方写商。 方法三：口算法 把63分解素因数。 。 注意：别忘了检验一下每个因数是否为素数！ ①分解素因数，通常写成“合数=素因数相乘”的形式。 ②一个整数分解素因数的形式是唯一的。 ③判断分解素因数是否正确的关键是看每个因数是否为素数。 ④分解素因数一般采用短除法。 ⑤分解素因数时灵活运用数的整除特征来判断被哪些数整除，分解的结果一般按素数从小到大的顺序排列 起来。 1.为什么说1既不是素数也不是合数？ 1既不是素数也不是合数，这是人为规定的，因为大于1的自然数或者是素数，或者是合数。如果是合数， 那么就可以分解素因数，例如，且形式唯一，若规定1是素数，则， 形式就不唯一了；若规定1是合数，可1无法分解素因数。这对研究与应用带来了很多不便，因此只有规 定1既不是素数也不是合数才是合理的。 2.为什么分解素因数时一般从最小的素数作为除数开始去试除？ 因为2是最小的素数，并且2是唯一的一个既是偶数，也是素数的数。分解素因数，一般从最小的素数作 为除数开始去试除，直到找到第一个能整除这个合数的素数为止。 3.素数、合数、奇数、偶数之间有什么区别？ 根据素数、合数、奇数和偶数的定义可知，是2的倍数的整数是偶数，不是2的倍数的整数是奇数，只有1 和它本身两个因数的正整数是素数，除了1和它本身以外还有其他因数的正整数是合数。20以内的正整数 中，既不是素数，也不是合数的数是1；最小的素数是2，它还是偶数；最小的合数是4；一个数既是合数， 又是奇数，这个数最小是9。 知识点05 公因数与最大公因数 求两个数的最大公因数,在中考中很少单独出题,但在期中、期末考试中题型多样化,属基础题 1.公因数与最大公因数的概念 （1）公因数 几个整数公有的因数叫做这几个整数的公因数。 （2）最大公因数 几个整数的公因数中最大的一个叫做这几个整数的最大公因数。 （3）公因数的表示法 方法一：列举法 如12和8的公因数：1，2，4。 方法二：集合法 （此处有12的因数、8的因数及它们公因数的集合图，12的因数有3，6，12；8的因数有8；12和8的公因数有1，2，4） 每个数因数的个数是有限的，因此两个数或多个数的公因数个数也是有限的，并且最大公因数只有一个。 2.互素 （1）互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。 5和7，7和9，15和16都是互素的，也叫互质，两个互素的数未必都是素数，如8和9都是合数。 （2）互素的判定方法 判断两个整数是不是互素，要看它们是不是只有公因数1。 互素与素数的区别 素数是一类数，是只有1和它本身两个因数的数；互素是对两个数的关系而言的，公因数只有1的两个数是互素的。 一般判断两个数是否互素可用直接观察的方法，得出是否属于几种特定情况，也可用数的整除特征来判断。 3.求最大公因数的方法 （1）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数。 （2）分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们公有素因数的乘积。 （3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数。书写格式更简便。 （4）特征法：如果两个数互素，那么它们的最大公因数是1；如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。 求72和54的最大公因数 解法一：列举法 72的因数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72； 54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54。 所以72和54的公因数有1，2，3，6，9，18，最大公因数是18。 解法二：分解素因数法 ， 。 可以看出72和54全部公有素因数是2,3,3,因此是72和54的最大公因数,即最大公因数是18。 解法三：短除法 因此72和54的最大公因数是 求两个整数最大公因数的方法——筛选法 筛选法：先找出两个数中较小数的因数，再看这些因数哪些是较大数的因数，找出其中最大的一个即为这两个数的最大公因数。如求72和54的最大公因数。 54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54，从大到小看54，27不是72的因数，18是72的因数，所以18是72和54的最大公因数。 求两个数的最大公因数速解大招 (1)当两个数成倍数关系时,较小数就是它们的最大公因数； (2)当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1； (3)当两个数既不是倍数关系，公因数也不只是1时，可用一般方法求最大公因数. 知识点06 公倍数与最小公倍数 求两个数的最小公倍数的应用,在考试中单独命题较为简单,选择题、填空题、解答题均有考 查. 1.公倍数与最小公倍数 （1）定义 几个整数公有的倍数叫做这几个整数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数。 几个整数的公倍数的素因数一定含有这几个整数的所有的素因数，而最小公倍数的素因数只包含它们 公有的素因数和各自剩余的素因数。 两个数的公倍数的个数是无限的，但最小公倍数只有一个，没有最大公倍数。 （2）公倍数的表示法 ①列举法 如2和3的公倍数：6，12，18，24，…。 公倍数的书写格式：书写公倍数时，各倍数之间用逗号隔开，末尾加省略号。 ②集合法3，9，15，21，… 2，4，8，10，14，16，… 6，12， 18，… 2和3的公倍数 公倍数和最小公倍数的关系 公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数，如2和3的最小公倍数是6，2和3的公倍数有 6，12，18，24，…，其中6是6，12，18，24，…的因数，而6，12，18，24，…都是6的倍数。 若，，求，两数的最小公倍数。 分析：两个数的最小公倍数必须包含这两个数全部公有的素因数和各自剩余的素因数。 解：因为公有的素因数是2和3，剩余的素因数是3和5，剩余的素因数是2和7，所求，的最小 公倍数为。 最大公因数与最小公倍数的区别 类别 最大公因数 最小公倍数 两数互素 最大公因数是1 最小公倍数是两数的乘积 两数成倍数 最大公因数是较小数 最小公倍数是较大数 既不互素也不成倍数 两个数公有素因数的积 两个数公有素因数及各自剩余因数的积 在求两个数的最小公倍数时，不能把两个数所有的素因数相乘。 2.求两个数最小公倍数的方法 （1）列举法 分别列出两个数的倍数，找出它们的公有倍数，其中最小的数就是这两个数的最小公倍数。 （2）分解素因数法 两个数分解素因数，把它们公有素因数和它们各自剩余的素因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数。 （3）短除法 用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数和商的乘积就是这两个数的最小公倍数。 （4）特征法 如果两个数互素，它们的最小公倍数是它们的乘积。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 求24和42的最小公倍数。 解法一：列举法 24的倍数有24，48，72，96，120，144，168，…， 42的倍数有42，84，126，168，210，…， 所以24和42的最小公倍数是168。 解法二：分解素因数法 所以24和42的最小公倍数是。 用短除法求72和54的最小公倍数. 因此72和54的最小公倍数是 （1）列举法求最小公倍数适合求较小两数的最小公倍数； （2）分解素因数法必须把公有的素因数只计算一次，不能重复计算. 求三个数的最小公倍数 （1）分解素因数法 三个数分解素因数，把这三个数公有的素因数，每两个数公有的素因数，以及各自剩余的素因数相乘，所 得的积是这三个数的最小公倍数。 （2）短除法 用短除法求三个数的最小公倍数的步骤： 先用三个数的公因数去除，除到三个数的商互素为止； 再用每两个数的公因数去除，除到三个数的商成为两两互素（任意的两个商都互素）为止； 把这些除数和商相乘，所得的积就是所求的最小公倍数。 求两个整数的最小公倍数，每次都用公有的素因数去除，除到两个商互素为止。 求三个整数的最小公倍数，先用三个数的公有素因数去除，然后每两个数如果有公有素因数，再用每两个 数公有的素因数去除，一直除到每两个商都互素为止。 (1)如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数，如8和9，8和15互素，所以它们各组的乘 积即是它们各组的最小公倍数。 (2)当两个整数中，一个是另一个的倍数时，较大数是它们的最小公倍数，如15是3的倍数，36是18的倍 数，所以它们的最小公倍数分别为15和36。 题型1 整除问题（易错） 易｜错｜点｜拨 1....能被...整除，大数在前，小数在后，如：12÷3＝4，则有12能被3整除 2....能整除...，小数在前，大数在后，如上，3能整除12. 3.除尽可以是小数，整除必须是整数. 【典例1】[被...整除（不换位置），易]（2024•青浦区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．91和13 【答案】 【分析】根据题意，整除是指整数除以自然数除得的商正好是整数而余数是零．第一个数能被第二个数整除，就是指第一个数是第二个数的倍数，据此解答． 【解答】解：对于，，商不是整数，故不符合题意； 对于，，不是整除，故不符合题意； 对于，，商不是整数，故不符合题意； 对于，，商是整数，故符合题意． 故选：． 【变式1】[被...整除（不换位置）]（2024•浦东新区校级期中）下列各选项中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．3和6 B．2和 C．1.4和0.7 D．42和3 【答案】 【分析】利用整除的定义判断即可． 【解答】解：、3不能被6整除，选项不符合题意； 、2不能被整除，选项不符合题意； 、1.4不能被0.7整除，选项不符合题意； 、42能被3整除，选项符合题意． 故选：． 【变式2】[能...整除（换位置），中，易错]（2024•虹口区期中）如果能整除18，那么一定是　　 A．18 B．1 C．18的倍数 D．18的因数 【答案】 【分析】整除是指整数除以自然数，除得的商正好是整数而余数是零．我们就说能被整除（或说能整除，据此解答即可． 【解答】解：能整除18，那么是18的因数． 故选：． 题型2 2、3和5的倍数（易错） 易｜错｜点｜拨 ①2和5的倍数易忽略＂0＂的特殊性，要记住个位是0的数（如10、20）既是2的倍数也是5的倍数；②3的倍数最容易和2、5的倍数特征混淆，3的倍数要看＂所有数位数字之和＂是否为3的倍数，计算数字和时还要避免漏加或错加数位； ③2、3和5的倍数时，容易只看个位是0而忽略数字和，正确的做法是分两步，先确认个位是0（满足2和5的倍数特征），再检查所有数位数字之和是否为3的倍数，比如20个位是0但2+0=2不是3的倍数，所以不是三者的公倍数，而30、60这类个位是0且数字和是3的倍数的数，才符合要求。 【典例2】[2,3,5的倍数，中]（2024•普陀区校级期中）一个两位数既是奇数又是合数，如果它能同时被3和5整除，那么这个数最大的是　　． 【答案】75． 【分析】根据能被3、被5整除的数的特点，按照“两位数、奇数、合数”的条件对3和5的公倍数进行筛选，找出最大的数即可． 【解答】解：能被5整除的数末尾一定是5或0，因为是奇数，所以末尾只能是5； 能被3整除的数所有数位上的数加起来一定是3的倍数； 能够同时被3和5整除的数一定是合数； 满足上述条件的两位数只有15，45，75，最大的是75． 故答案为：75． 【变式1】（浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是　　． 【答案】10． 【分析】掌握能被2和5整除的数的特征，再结合满足题意条件，解答即可． 【解答】解：能被2整除的整数的尾数可为0，2，4，6，8； 能被5整除的整数的尾数可为0，5； 能同时被2和5整除的最小的两位数是10． 故答案为：10． 【变式2】[2,3,5的倍数，中]（2024•闵行区校级期中）将217至少加上　　，才能同时被2，5整除． 【答案】3． 【分析】根据题意，能同时被2，5整除的数个位上是0或5，最接近217且能被2、5整除的数是220，所以217至少加上，才能被2，5整除． 【解答】解：能同时被2，5整除的数个位上是0或5， 所以最接近217且能被2、5整除的数是220， 所以217至少加上，才能同时被2，5整除． 故答案为：3． 题型3 因数、素因数的区别（易错） 易｜错｜点｜拨 说一个数的因数时，不能重复；说一个数的素因数时，可以重复. 【典例3】[因数与倍数，易]（2024•奉贤区期中）3是15的　　 A．素数 B．因数 C．合数 D．倍数 【答案】 【分析】根据合数、因数、倍数和质数的定义解答即可． 【解答】解：3是15的因数． 故选：． 【变式1】（2024秋•浦东新区校级期中），有 　 　个因数． 【答案】9． 【分析】求出再根据因数的定义求解即可． 【解答】解：， 它的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共有9个因数． 故答案为：9． 【变式2】[因数与倍数、素数与合数，易]（2024•宝山区校级期末）在等式中，3和5都是15的　　 A．素数 B．素因数 C．公因数 D．倍数 【答案】 【分析】因此此题可根据题意直接进行求解． 【解答】解：等式中，3和5都是15的素因数； 故选：． 【变式3】[素因数，易]（2024•普陀区校级期中）一个数的最小倍数是18，这个数的素因数有　　． 【答案】2，3，3． 【分析】利用分解质因数的方法解答即可． 【解答】解：把18分解质因数为：， 故这个数的素因数有：2，3，3． 故答案为：2，3，3． 题型4 互素（易错） 互素的6种常见情况 ①1和任意正整数互素； ②2和任意奇数互素； ③相邻正整数互素； ④相邻两个奇数互素； ⑤任意两个素数互素； ⑥合数与素数（合数不是素数的倍数）互素。 【典例4】[互素，易]（2024•上海期中）下列各组数中，不是互素的有　　 A．13和15 B．27和28 C．1和20 D．21和49 【答案】 【分析】根据素数的定义进行判断即可． 【解答】解：、13和15的公因数有：1， 、27和28的公因数有：1， 、1和20的公因数有：1， 、21和49的公因数有：1，7， 根据互素的定义可知，只有21和49不是互素， 故选：． 【变式1】[互素，易]（2024•普陀区期中）在2、4、5、8中，与2互素的数是　　． 【答案】5． 【分析】根据互质数的概念判断即可（只有公因数1的两个数为互质数）． 【解答】解：5和2的公因数只有1， 和2为互质数， 故答案为：5． 题型5 分解素因数的应用（易错） 答｜题｜模｜板 一、求最大公因数(含字母) 核心思路:最大公因数是几个数都有的素因数(包括字母)，并且每个素因数(包括字母)取在各个数里出现次数最少的那个，然后把这些取出来的素因数(包括字母)相乘。 二、求最小公倍数(含字母) 核心思路:最小公倍数是把几个数所有的素因数(包括字母)都包含进来，并且每个素因数(包括字母)取在各个数里出现次数最多的那个，然后把这些取出来的素因数(包括字母)相乘。 【典例5】（2024•上海期中），是自然数且，如和的最大公因数是21，则和的最小公倍数是　 　． 【答案】210． 【分析】根据求最大公约数也就是这几个数的共有质因数的连乘积，把21分解质因数，说明和的公因数中除了3之外，还有7，所以得出，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此得出答案． 【解答】解：，， 和的最大公约数是， ， 和的最小公倍数是． 故答案为：210． 【变式1】（2024•金山区期中），，如果、的最大公因数是14，那么　　． 【答案】42． 【分析】因为最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，所以和的最大公因数是，即，进而可求得． 【解答】解：，，和的最大公因数是14， 即， ， 则 故答案为：42． 【变式2】（2024•普陀区期中）如果和的最小公倍数是150，且，是自然数且，那么 　 　． 【答案】5． 【分析】根据最小公倍数的意义，最小公倍数就是和公倍数中最小的一个，即最小公倍数是和都含有的质因数的乘积，再乘上和独自含有的质因数，所得的积就是它们的最小公倍数．所以和的最小公倍数是；据此求出． 【解答】解：由，是自然数且， 所以和的最小公倍数是：； 而和的最小公倍数是150，即， 所以． 故答案为：5． 题型6 奇数、偶数、素数与合数综合（拉分） 易｜错｜点｜拨 2是一个特殊的存在，它是唯一的偶素数，因为它的因数只有1和2本身，如果多个素数相加结果为奇数时，要注意其中可能有偶素数2（偶数±奇数＝奇数，奇数±奇数＝偶数） 【典例6】[素数]（2024•浦东新区期中）将36写成两个素数相加的形式：　　．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】素数是只能被1或者自己整除的自然数，然后求解即可． 【解答】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】[素数的性质]（2024•浦东新区校级期中）两个素数相乘的积是　　 A．合数 B．偶数 C．奇数 D．仍是素数 【答案】 【分析】根据质数和合数的定义解答即可． 【解答】解：两个素数相乘的积是合数． 故选：． 【变式2】[素数与合数最值问题，中]（2023秋•闵行区期中）最小的素数与最小的合数的和是　　． 【分析】根据素数、合数的含义，可得：最小的素数是2，最小的合数是4，用2加上4，求出它们的和是多少即可． 【解答】解：最小的素数是2，最小的合数是4， 它们的和是：． 故答案为：6． 【变式3】（2024•浦东新区校级期中）有一个素数，它既是两个素数的和，又是两个素数的差，这个素数是 　 　 ． 【分析】根据除质数2是偶数外，其它质数都是奇数，而两个奇数的和或差必为偶数，所以质数中必有质数2，进而可求解． 【解答】解：由题意，，，且2、3、5、7都是质数，符合题意， 这个质数是5， 故答案为：5． 题型7 三个数的最大公因数和最小公倍数问题（拉分） 解｜题｜锦｜囊 1.求三个数的最大公因数 方法：先分别找出这三个数的因数，再找出它们共有的因数，其中最大的那个就是最大公因数。也可以用分解质因数法，把三个数分解质因数后，取它们公有的质因数的最低次幂相乘，结果就是最大公因数。 2.求三个数的最小公倍数 方法：用分解质因数法，把三个数分解质因数后，取公有的质因数的最低次幂以及各自独有的质因数的最高次幂相乘，结果就是最小公倍数。 【典例7】（2024·上海·期中）求34，68，136三个数的最大公因数和最小公倍数． 【答案】最大公因数是：，最小公倍数是： 【分析】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解． 【详解】解：，，， 最大公因数是：， 最小公倍数是： 【变式1】（2023·上海杨浦·期中）计算以下两数的最大公因数和最小公倍数 (1)10001和20075 (2)144、360和540 【答案】(1)73，2750275 (2)36，2160 【分析】本题考查最大公因数和最小公倍数，根据求最大公因数方法，即求这几个数的共有质因数的积，最小公倍数即求共有质因数和独有质因数的积． 【详解】（1）由于，， 则10001和20075的最大公约数是73， 最小公倍数是∶； （2）由于，，， 则144、360和540的最大公因数是∶， 144、360和540的最小公倍数是∶． 题型8 利用推理解决素数积问题（拉分） 答｜题｜模｜板 审题干：关键词“几个数”、“连续”、“乘积”等。 思考向：分解素因数（本单元只有分解素因数才能将数字串联起来相乘） 定个数：根据题目要求的个数，将分解的素因数重新组合相乘变成规定的个数 【典例8】（2024•黄浦区校级期中）三个素数的积是110，这三个素数中，最大的是　　 A．2 B．3 C．5 D．11 【答案】 【分析】把110分解质因数，即可得出答案． 【解答】解：， 即三个素数的积是110，这三个素数中，最大的是11． 故选：． 【变式1】（2024•黄浦区校级期中）三个素数的积是110，这三个素数中，最大的是　　 A．2 B．3 C．5 D．11 【答案】 【分析】把110分解质因数，即可得出答案． 【解答】解：， 即三个素数的积是110，这三个素数中，最大的是11． 故选：． 【变式2】（2024·上海·期中）有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们三个年龄数的乘积是，这三个小朋友的年龄分别是多少？ 【答案】岁、岁、岁 【分析】本题考查分解质因数的应用，由题意知三个小朋友的年龄数是三个连续自然数，解题的关键是把分解质因数后，把它写成个连续自然数的乘积的形式即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴三个人的年龄分别是岁、岁、岁． 答：这三个小朋友的年龄分别是岁、岁、岁． 题型9 逆推法在大公因和小公倍中的运用（拉分） 易｜错｜点｜拨 常用二级结论 1.两数的乘积=最大公因数×最小公倍数 2.最小公倍数÷最大公因数＝两数对应的互素的因数（如短除法中最后互素的一组数） 3.若两数分别为A和B，两数对应的互素的因数（如短除法中最后互素的一组数）为a和b，则有： A=最大公因数×a，B＝最大公因数×b 【典例9】（两数的乘积=最大公因数×最小公倍数，中）（2024•黄浦区校级期中）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，如果甲数为6，则乙数是多少？ 【答案】乙数是45． 【分析】运用最大公因数和最小公倍数知识进行求解． 【解答】解：由题意得，乙数为： ， 答：乙数是45． 【变式1】（最小公倍数÷最大公因数＝两数对应的互素的因数）（2024•杨浦区期中）如果两个正整数的最大公因数是18，最小公倍数是108，请问这两个正整数是　　． 【答案】18和108或36和54． 【分析】用最小公倍数108除以两个数的最大公因数18，得到两个独有因数的积6，由，再根据有理数的乘法运算法则计算①，，②，即可得出答案． 【解答】解：，则6是两个数独有质因数的积， ， ①，， ②，． 答：这两个正整数为18和108或36和54． 【变式2】[利用最大公因数求原数，易错]（2024•浦东新区期中）两数最大公因数为6，这两数之积为216，则这两个数为　　． 【答案】6，36或12，18． 【分析】用216除以6可得答案． 【解答】解：两数最大公因数为6，这两数之积为216， ，，且1、6互素、2，3互素， 或， 则这两个数为6，36或12，18． 故答案为：6，36或12，18． 【变式3】（2023·上海·期中）已知； (1)如果两数的最大公因数是30，求的值和的最小公倍数； (2)如果两数的最小公倍数是630，求的值和的最大公因数． 【答案】(1)最小公倍数1050 (2)，最大公因数18 【分析】根据最大公因数和最小公倍数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵两数的最大公因数是30， ∴， 得， 则，， ∴的最小公倍数为． （2）∵两数的最小公倍数是630， ∴， 得， 则的最大公因数为． 【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的概念，准确理解概念是解题的关键． 题型10 最大公因数和最小公倍数的应用（综合） 【典例10】[最大公因数的应用]（2024·上海松江·期中）有一张长方形纸片，长为60厘米，宽为48厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余．裁出的正方形纸片最少是多少张？ 【答案】裁出的正方形纸片最少是20张． 【分析】本题考查了最大公因数的应用，求出60和48的最大公因数，再以这个数为正方形的边长即可解答． 【详解】解：60和48的最大公因数：12， （张）， （张）， （张）， 答：裁出的正方形纸片最少是20张． 【变式1】（2023·上海静安·期中）绿化工人在长为1200米的公路两旁等距离种树（两端都种），开始每隔6米种一棵树，现要改为每隔4米种一棵树，那么将可以有多少棵树不用移植？ 【答案】202棵 【分析】此题考查了最小公倍数，根据题意找出4和6的最小公倍数，即可确定出所求． 【详解】解：4和6的最小公倍数为12， ，， 则不用移植的树有202棵． 【变式2】（2023·上海青浦·期中）一个长方形操场，长90米，宽70米，在四角和四周种上树苗，使得相邻的两棵树苗间的距离都相等，问最远应每隔多少米种一棵？一共需要多少棵树苗． 【答案】最远应每隔10米种一棵，一共需要32棵树苗 【分析】本题主要考查了最大公因数的应用，每相邻两颗树之间的最大距离为90和70的最大公因数，求出90和70的最大公因数，然后列式即可求出需要的树苗数． 【详解】解：，， ∴90和70的最大公因数为：， ∴最远应每隔10米种一棵， 一共需要树苗棵树为： （棵）， 答：最远应每隔10米种一棵，一共需要32棵树苗． 【变式3】[最小公倍数的应用]（2024·上海崇明·期中）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组．那么至少要选拔多少名学生参加跳舞？ 【答案】13名 【分析】本题考查了最小公倍数，公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数． 【详解】 解：， ， 答：至少要选拔13名学生参加跳舞． 【变式4】[最小公倍数的应用]（2024·上海杨浦·期中）为了迎接国庆节的到来，需要在笔直的公路一侧插上彩旗，原来每米插一面彩旗，现在改成每米插一面彩旗．在施工过程中发现，包括两端的彩旗在内，一共有面彩旗不需要移动，这条路长多少米？ 【答案】米 【分析】本题主要考查最小公倍数的应用，有理数的混合运算，正确求出不需要移动的彩旗之间的距离是米是解题的关键． 根据题意，可得不需要移动的彩旗数，就是间隔距离是之间的距离是米和米的最小公倍数的米数的旗数不需要移动，根据总路程=间隔距离（不需要移动的彩旗数），计算即可得出答案． 【详解】解：∵和的最小公倍数为， ∴不需要移动的彩旗之间的距离是米， 根据题意可得（米）， 故这条路长米， 【变式5】（2024秋•松江区期中）有一张长方形纸片，长为60厘米，宽为48厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余．裁出的正方形纸片最少是多少张？ 【答案】裁出的正方形纸片最少是20张． 【分析】求出60和48的最大公因数，再以这个数为正方形的边长即可解答． 【解答】解：60和48的最大公因数：12， （张， （张， （张， 答：裁出的正方形纸片最少是20张． 题型11 新定义（综合） 易｜错｜点｜拨 新定义的题目解题步骤 第一步：要先读懂题意，明确解题法则； 第二步：代入数字，按照新定义运算； 第三步：比对结果是否符合题意。 【典例11】（2024•普陀区校级期中）著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和．下列4个算式中，符合这个猜想的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据质数的概念和任何大于2的偶数的概念得出答案即可． 【解答】解：在4个算式中，符合这个猜想的是， 故选：． 【变式1】（2024•浦东新区校级期中）著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于4的偶数都可以表示成两个 质数的和”．如：，等．那么，偶数100可以写成_____种两个不同质数和的形式 和算作同一种形式）． 【答案】6． 【分析】根据质数的意义和100以内的质数表，100以内一共有25个质数，由此列举解答即可． 【解答】解：， 即偶数100可以写成6种两个不同质数的和的形式． 故答案为：6． 【变式2】[最大公因数与最小公倍数新定义，中]（2024•浦东新区校级期中）设⊕，，其中表示与的最大公因数，，表示与的最小公倍数，若18⊕，则 　 　 ． 【分析】根据定义的新的运算方法，把18⊕，写成：，，再把78裂项即可． 【解答】解：因为，，设18和的最大公因数是，最小公倍数是， 只有，，时方程成立， 即24和18的最小公倍数是72，24和18的最大公约数是6，所以． 故答案为：24． 【变式3】[数的整除与分数综合、新定义，难]（2024•松江区期中）对于最简真分数，规定（A）表示分子与分母的最大公因数，表示分子与分母的最小公倍数．若最简真分数满足，那么　 　． 【答案】13． 【分析】根据真分数的定义以及（A），的定义进行计算即可． 【解答】解：由题意可知， 最简真分数，规定（A）表示分子与分母的最大公因数， （A）， 同理， 又， ， 即9与的最小公倍数是117，而， 是真分数， ， 故答案为：13． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．[整除的概念，易]（2024•宝山区期中）在下列式子中，表示整除的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】若整数除以非零整数，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除整除，根据整除的概念解答即可． 【解答】解：．，商不是整数，故不属于整数整除，故本选项不符合题意； ．，除数和被除数不是整数，故不属于整除，故本选项不符合题意； ．，除数不是整数，故不属于整数整除，故本选项不符合题意； ．，属于整数整除，故本选项符合题意． 故选：． 2．[被...整除（不换位置），易]（2024•闵行区校级期中）下列各数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．17和3 B．4和16 C．5和2.5 D．10和5 【答案】 【分析】根据题意，第一个数能被第二个数整除指第二个数能整除第一个数，就是指第一个数是第二个数的整数倍．据此解答． 【解答】解：，不能整除； ，不能整除； ，不能整除， ，能整除． 故选：． 3.[分解素因数的写法，易]（2024•上海期中）下列各式中，表示分解素因数的式子是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】任何一个合数都可以写成几个素数相乘的形式．其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解素因数，据此解答即可． 【解答】解：根据分解素因数的定义可得， 、因为1既不是质数也不是合数，所以不是分解素因数，故此选项错误，不符合题意； 、是计算得数，不是分解素因数，故此选项错误，不符合题意； 、素因数分解错误，故此选项错误，不符合题意； 、是分解素因数，故此选项正确，符合题意； 故选：． 3.（1）（2024•杨浦区期中）7和8的最大公因数是 　 　． 【答案】1． 【分析】7和8互质，也就是说它们没有公有质因数，所以它们的最大公因数是1． 【解答】解：7和8的最大公因数是1， 故答案为：1． （2）（最大公因数，易）（2024•宝山区期中）6和9的最大公因数是 　 　． 【答案】3． 【分析】将6写成，将9写成，据此即可求得答案． 【解答】解：由题意得，， 则6和9的最大公因数是3， 故答案为：3． 4.（最小公倍数，易）（2024•浦东新区期中）12和16的最小公倍数是 　 　． 【答案】48． 【分析】先把12和16分解质因数，再找出12和16公有的质因数与各自独有的质因数，公有质因数与独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数． 【解答】解：，， 根据最小公倍数的定义，可得12和16的最小公倍数是：． 故答案为：48． 5.（利用分解素因数求最大公因数，易）（2023秋•宝山区期末）如果数，，那么和的最大公因数是 　 　． 【答案】2． 【分析】根据最大公因数的定义（最大公因数是指两个或多个整数中能够同时整除的最大正整数）即可得． 【解答】解：因为数，， 所以和的最大公因数是2． 故答案为：2． 6．[分解素因数求最小公倍数]（闵行区期末）若数，，则和的最小公倍数是　　． 【答案】210． 【分析】两个数的最小公倍数是它们的公有质因数与独有质因数的连乘积，因此得解． 【解答】解：，， 根据最小公倍数的定义，可得和的最小公倍数是． 故答案为：210． 7．[分解素因数，易]（2024•杨浦区期中）分解素因数：　 　． 【答案】． 【分析】根据将一个合数分解质因数的方法作答，即把一个合数写成几个质数相乘的形式． 【解答】解：， 故答案为：． 8.（短除法，易）（2024•虹口区期中）用短除法求24和30的最大公因数和最小公倍数． 【答案】24和30的最大公因数是6，最小公倍数是120． 【分析】根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法解答即可． 【解答】解：用短除式求24和30的最大公因数和最小公倍数为： 和30的最大公因数为，最小公倍数是． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2024秋•青浦区校级期中）有一个长12米、宽8.4米的长方形儿童活动区域，为加强安全保护，准备在 地面不重叠、不留缝地铺满一种正方形的泡沫地垫．市场上有、、、（单位： 厘米厘米）四种尺寸，如果想选尺寸较大的地垫，应该选择　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】小明家想选尺寸较大的地砖，并且没有废料，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且在这些公因数中要选最大的，在四种尺寸中，边长30、40、60、80都是客厅的地面的长和宽的公因数，其中最大的是60，所以该选的正方形地砖，据此解答． 【解答】解：为了节省材料，应尽量选用在四种尺寸中，正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且是最大的，符合要求的是的正方形地砖； 故选：． 2.（2024•普陀区期中）一个两位数是素数，如果交换它的个位数字和十位数字后得到的新的两位数还是素 数，那么称这个两位数为“绝对素数”．请写出一个“绝对素数”　 　． 【答案】13（答案不唯一）． 【分析】根据素数的定义求解． 【解答】解：“绝对素数”有：13， 故答案为：13（答案不唯一）． 3．（2024秋•黄浦区校级期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 　 　． 【答案】1． 【分析】根据“完美指标”的定义进行计算即可． 【解答】解：28的真因数有1，2，4，7，14， 28的完美指标是 ． 故答案为：1． 4.（2023·上海浦东新区·期中）在长2千米的道路一边种树，每间距10米种一棵树（道路两端也种），由于树太密集遮挡了部分光线，所以需要移走一些树木，现计划改为每间距25米种一棵树，请问： (1)有多少棵树可保留不动？ (2)在整个植树过程中一共挖了多少个坑来种树？ 【答案】(1)有棵树可保留不动 (2)在整个植树过程中一共挖了个坑来种树 【分析】本题考查植树问题与最小公倍数的应用； （1）先求出最小公倍数，则最小公倍数的倍数的位置保留不动； （2）分别求出两次的坑数，相加后减去保留不动的数量即可． 【详解】（1）10和25的最小公倍数是50， ， 所以共有棵树可保留不动， 答：有棵树可保留不动； （2）第一次挖坑数量个， 第二次应挖坑数量个， 一共挖坑个， 答：在整个植树过程中一共挖了个坑来种树． 5.（2024·上海杨浦·期中）在一根木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成十五等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 【答案】28段 【分析】本题主要考查了最小公倍数与公倍数的应用，因为10，12，15的最小公倍数为60，所以不妨设木棒的长度为60，那么第一种刻度线可以被锯成段，每段的长为6，第二种刻度线可以被锯成段，每段的长为5，第三种刻度线可以被锯成段，每段的长度为4，再找到4、5的公倍数，4、6的公倍数，4、5、6的公倍数，则用三种刻度线可以锯成的段数和减去三种刻度线重复的刻度（即三种刻度线的位置有至少有两者相同，但不能重复减）即可得到答案． 【详解】解：因为10，12，15的最小公倍数为60， 所以不妨设木棒的长度为60， 所以第一种刻度线可以被锯成段，每段的长为6，第二种刻度线可以被锯成段，每段的长为5，第三种刻度线可以被锯成段，每段的长度为4， 因为4和5的公倍数为20，40，60，4和6的公倍数有12，24，36，48，60，5和6的公倍数有30，60，4，5，6的公倍数有60， 所以木棍总共被锯成段， 答：木棍总共被锯成28段． 6.（2023·上海崇明·期中）已知某校六年级学生人数超过人， 而不足人，将他们按照每组人分组，多人，将他们按照每组人分组，也多人，问：该校六年级学生有多少人？ 【答案】该校六年级有人 【分析】本题考查最小公倍数的应用，根据题意求出和的公倍数，选出符合的公倍数，再加上即可求解．掌握最小公倍数的求法是解题的关键． 【详解】解：∵和的最小公倍数是， ∴和的公倍数是，，，，，，， ∵六年级学生人数超过人， 而不足人， ∴六年级学生有：（人）   答：该校六年级有人． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2024•浦东新区校级期中）在2018后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被13、17 整除，则这个七位数最小是　　． 【答案】2018172． 【分析】先求出13和17的最小公倍数为221，用2018000除以221，得到商是9131，余数为49，从而得到符合条件的最小的七位数为的结果． 【解答】解：和17都是质数， 它们的最小公倍数为， 用2018000除以221求余数， ， 这个七位数最小是2018172． 故答案为：2018172． 2.（2024•杨浦区期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是　　． 【答案】6432． 【分析】考虑若选了每个数字，为了满足整除，所组成的数字应满足的特征．同时考虑这些特征，选出最大的值． 【解答】解：可选数字没有0， 和5不能同时出现． 若选了3，则所选数字的和必须为3的倍数， 若选了4，则所组成的数字最后两位是4的倍数， 若同时选择了2和3，则同时被2、3整除的数必为6的倍数， 为了使得所排的数尽可能大，应让6在第一位，同时考虑以上因素，最大值为6432． 故答案为：6432． 3.在学习数的整除这一章节后，对于找一个整数的因数进行了研究： 分解素因数 所有的因数 素因数 素因数个数 因数个数 4 1，2， 2×2=4 2 2 3 6 1，2，3， 2×3 2 1 4 3 1 12 1，2，3 2×2， 2×3， 2×2×3 2 2 6 3 1 27 1，3， 3×3， 3×3×3 3 1 4 50 1，2，5， 2×5， 5×5 2×5×5 2 1 6 5 2 210 210=2×3×5×7 1，2，3，5，7 2×3，2×5， 2×7，3×5，3×7， 5×7 2×3×5， 2×3×7，3×5×7， 2×3×5， 2×3×5×7 2 1 16 3 1 5 1 7 1 (1)观察表格中的第二列和第三列，小明发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解素因数，例如： ，它有 个因数，分别是 ; （且是素数），它有 个因数，分别是 ; (2)进一步观察因数的个数和素因数个数间的关系，填空： 若（其中为素数），则的因数个数为 ; 若（其中为素数，为正整数），则的因数个数为 ; 若（其中、为不同大小的素数，、正整数），则的因数个数为 ． 【答案】(1)6；1，3，5，10，25，75；4； 1，3，， (2)3；； 【分析】根据题目的表格找到规律即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以的因数为，，，，，，故因数个数为个； 因为， 所以的因数为，，， ，故因数个数为个； （2）解：因为， 所以的因数为，， ，故因数个数为个； 因为， 所以的因数为，， ，，，故因数个数为个； 令其中，， 因为， 所以的因数为，， ，，，故因数个数为个； 因为， 所以的因数为，， ，，，故因数个数为个； 所以的因数个数为． 【点睛】本题主要考查约数与倍数，数字型规律，将数分解成素数的乘积是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的整除（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 整除 能准确区分“整除”和“除尽”，能正确陈述“被整除”与“能整除”. 结合2024年期中卷，共考查7次，多以填选考查为主，如“…表示整除”、“…能被…整除”、“…能整除…”等.特别注意易错点“…能整除…”问题，如：12÷4＝3，可以说“12能被4整除”或“3能整除12”，整数前后逻辑顺序要厘清. 素数与合数、互素 能牢记素数与合数的概念，能熟知几种互素情况. 结合2024年期中卷，共考查8次，高频考点如合数、互素、偶数与合数关系等，易错考点如确定最小素数或合数、因数与公有素因数区别等. 分解素因数 能准确写出一个合数分解素因数形式 结合2024年期中卷，重点必考，基本以填空定向考查为主. 短除法、最大公因数与最小公倍数 能准确写出短除法，能够通过短除法求最大公因数或最小公倍数，能逆推原数或填充短除法中的数字. 最大公因数与最小公倍数为高频考点，多以计算题和解答题为主；少数小题考查，如短除法求最大公因数或最小公倍数 知识点01 整除 主要考査整除的条件,即被除数、除数、商都是整数,且余数为零,以填空题、判断题为主,属基础题 1.概念：整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除. “除”和“除以”、“能”和“能被”的意义是相反的. 2.整除的条件： (1)除数、被除数都是整数； (2)被除数除以除数，商是整数且余数为零. （简记：“三整一零”，即被除数、除数和商为整数，余数为零） 3.除尽 数除以数时，所得的商是整数或有限小数，我们就说能被除尽，或者说能除尽. （2024•宝山区期中）在下列式子中，表示整除的是　　 A． B． C． D． 解：．，商不是整数，故不属于整数整除，故本选项不符合题意； ．，除数和被除数不是整数，故不属于整除，故本选项不符合题意； ．，除数不是整数，故不属于整数整除，故本选项不符合题意； ．，属于整数整除，故本选项符合题意． 故选：． 整除与除尽的区别 整除中的被除数、除数都为整数，商是整数，余数为零. 除尽中的被除数和除数不一定是整数，商是整数或有限小数. 整除一定是除尽，但除尽不一定是整除. 知识点02 因数与倍数 求一个数的因数或倍数,在考试中属基础题.多以选择题或填空题形式出现,较为简单. 1.因数和倍数 整数能被整数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数（也称为约数）.我们仅在整除的前提下学 习因数和倍数的概念. (1)倍数和因数是相互依存的，不能单独存在.这里包含两层意思： 其一，在讲倍数和因数时，只能说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数，不能说谁是倍数，谁是因数.说是倍数，是因数都是错误的. 其二，两个整数存在倍数和因数关系是相互的，如果是的倍数，那么一定是的因数； 反之，如果是的因数，那么一定是的倍数. (2)在自然数中，是一个特殊的数，乘任何一个数都等于，所以说是任何一个非零自然数倍数，任何非零自然数都是的因数.在研究因数和倍数的问题中，如果不排除，有时无法讨论，因此在研究因数和倍数时，所指的数一般是不包括的自然数（即正整数）. 2.求一个数的因数 （1）求因数的方法： ①列乘法算式法： 一般要从自然数开始，依次寻找，这样不容易遗漏. ②列除法算式法 用此数除以任意整数，所得的商是整数而余数为零，这些除数和商都是该数的因数. （2）因数的表示法 ①列举法 把一个数的因数从小到大排列，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完用句点表示结束. ②集合法 画一个椭圆，在上面写上“的因数”，把这个数的因数按从小到大的顺序写在椭圆内，每两个因数用逗 号隔开，全部写完，不用加句点.例如：24的因数. （3）一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是，最大的因数是它本身.目前我们只限制在正整数范围内 学习因数的概念. 3.求一个数的倍数 即按照这个数的1倍、2倍、3倍、…依次找下去，一个整数的倍数有无数个. （1）求倍数的方法 ①列乘法算式法 求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得的数就是这个数的倍数. ②列除法算式法 根据倍数的意义，看哪个数除以这个数，商是整数且余数为零，则被除数就是这个数的倍数. （2）倍数的表示法 ①列举法 一个数的倍数有无数个，列举时从这个数的本身开始，依次写出后面几个，其余的用省略号表示，书写时 每两个数之间用逗号隔开，省略号后用一个句点表示结束. 例如：列举2的倍数：2,4,6,8，… ②集合法 画一个椭圆，在椭圆的上面写上“××的倍数”，表示××的倍数的集合.把××的倍数按从小到大的顺序 写在集合里，每两个倍数之间用逗号隔开，不再书写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，不用加句 点. 例如：2的倍数：{2,4,6,…} 3. 一个数的倍数的特点 一个数的倍数的个数是无限的，它的最小倍数是它本身，没有最大倍数. 1.我们也可以借助字母表示倍数，如2的倍数可以表示为2n（n为正整数）. 2.几倍是两个同类数量相除的结果，可以是整数倍，也可以不是整数倍，如20是4的5倍，22是4的5.5 倍. 目前我们限制在正整数范围内学习倍数的概念. 一个数的倍数有无限多个，所以无论用列举法还是集合法，最后都要加上省略号. 列举时，也写一个逗号，然后加三个圆点形式的省略号，不用加句点. 知识点03 能被2和5整除的数 能被2或5整除的数的特征,在期中、期末考试中经常考查,属基础题以选择题、填空题为主,也会出现简单 的解答题 1.能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的整数能被2整除。 2.能被3整除的数的特征：一个数的各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。 示例：12，各位数字之和为1 + 2=3，3能被3整除，所以12能被3整除；再如369，各位数字之和为3+6 +9 =18，18能被3整除，所以369能被3整除。 3.能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数能被5整除。 4.能同时被2和5整除的数的特征：个位数字只能是0。 5.能同时被2、3和5整除的数的特征：个位数字是0，且各位数字之和能被3整除。 能被7整除的数的两种方法 ①割尾法：去掉这个数的末位数字，用剩下的数字减去末位数字的2倍，若结果能被7整除（包括结果为0或负数），则原数能被7整除。 示例：判断147是否能被7整除。 第一步：去掉末位“7”，剩下“14”； 第二步：计算“14-7×2=0”，0能被7整除，所以147能被7整除。 ②倍数差法：找到与原数末几位接近的7的倍数，用原数减去这个倍数，若差能被7整除，则原数能被7整除。 示例：判断252是否能被7整除。 已知7×36=252，252-252=0，0能被7整除，所以252能被7整除。 能被9整除的数的特征 核心特征：一个数的各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。 示例1：判断324是否能被9整除。 计算各位和：3+2+4=9，9能被9整除，所以324能被9整除（324÷9=36）。 示例2：判断1890是否能被9整除。 计算各位和：1+8+9+0=18，18能被9整除，所以1890能被9整除（1890÷9=210）。 若各位和大于9，可继续相加直到得到个位数，若结果是9，则原数能被9整除（如198：1+9+8=18→1+8=9，故198能被9整除）。 11-20中的质数倍数判断方法表 质数 倍数核心特征 速判步骤 举例验证 11 奇位数字和与偶位数字和的差是11的倍数（包括0） 1. 分奇位、偶位，分别计算数字和； 2. 求两者差值； 3. 若差值是11的倍数，则原数是11的倍数。 判断132：奇位1 + 2 = 3，偶位3，3 - 3 = 0（是11的倍数），132 = 11×12。 13 末位×4 + 剩余数，结果是13的倍数（包括0） 1. 取末位数字，乘4； 2. 与去掉末位的剩余数相加； 3. 若结果是13的倍数，重复操作直至可判断。 判断273：末位3×4 = 12，27 + 12 = 39（13×3），273 = 13×21。 17 末位×5－剩余数（大减小），结果是17的倍数（包括0） 1. 取末位数字，乘5； 2. 与去掉末位的剩余数相减（大减小）； 3. 若结果是17的倍数，重复操作直至可判断。 判断476：末位6×5 = 30，47 - 30 = 17（17×1），476 = 17×28。 19 末位×2 + 剩余数，结果是19的倍数（包括0） 1. 取末位数字，乘2； 2. 与去掉末位的剩余数相加； 3. 若结果是19的倍数，重复操作直至可判断。 判断361：末位1×2 = 2，36 + 2 = 38（19×2），361 = 19×19。 两者特征对比表 整除对象 核心判断方法 优点 缺点 能被7整除 割尾法、倍数差法 适用于任意位数 无直观规律，需分步计算 能被9整除 各位数字之和能被9整除 计算简单，一步到位 仅适用于9的整除判断 8.奇数和偶数 （1）偶数的意义 能被2整除的整数叫做偶数。 如果a是整数，偶数可以用2a来表示。0是2的倍数，0也是偶数。整数的个数是无限的，偶数的个数也是 无限的，没有最大的偶数。 （2）奇数的意义 不能被2整除的整数叫做奇数。 如果a是整数，奇数可以用（2a + 1）来表示。奇数的个数是无限的，没有最大的奇数。 （3）整数按奇数、偶数分类 整数分为奇数和偶数。 奇数±奇数=偶数 奇数×偶数=偶数 奇数±偶数=奇数 奇数×奇数=奇数 知识点04 分解素因数 分解素因数是学习最小公倍数、最大公约数的基础,单独命题比较简单，以选择题、填空题为主。 1.素数与合数 （1）一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（也叫做质数）。 （2）一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。 最小的素数是2，没有最大的素数。最小的合数是4，没有最大的合数 素数只有2个因数，1和它本身；合数至少要有3个因数。 1只有一个因数，因此它既不是素数，也不是合数。 把正整数按照因数个数的多少分类，可以分为1、素数和合数三类。 判断合数的方法 若一个数能被大于1且小于它本身的数整除，则这个数为合数。 2.素因数与分解素因数 （1）素因数 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合 数的素因数。 ，，，…。 其中2和3是6的素因数，2和7是28的素因数， 2，3和5是30的素因数。 ①素因数是相对于某个合数而言的，不能单独存在，如不能说2是素因数。 ②因数与素因数的关系： 一个数的素因数一定是这个数的因数，但因数不一定是素因数。如 中，1，2，3，5，6，10，15，30是30的因数，但只有2，3，5是30的素因数。 （2）分解素因数 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 分解素因数与素因数的区别 素因数是一个具体的素数，而分解素因数是把一个合数写成几个素数相乘的过程。 （3）分解素因数的方法 方法一：树枝分解法 把30分解素因数。 可分解为和，又可分解为和；或分解为和，分解为和；或分解为和， 分解为和。即或或。 若一个合数能直接看出是两个数的积，可用树枝分解法分解素因数。 方法二：短除法 把96分解素因数。 用短除法分解素因数的步骤 ①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。 ②得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。 ③然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。 短除法是除法的简化，“ ”相当于除法中的除号，左侧写除数，下方写商。 方法三：口算法 把63分解素因数。 。 注意：别忘了检验一下每个因数是否为素数！ ①分解素因数，通常写成“合数=素因数相乘”的形式。 ②一个整数分解素因数的形式是唯一的。 ③判断分解素因数是否正确的关键是看每个因数是否为素数。 ④分解素因数一般采用短除法。 ⑤分解素因数时灵活运用数的整除特征来判断被哪些数整除，分解的结果一般按素数从小到大的顺序排列 起来。 1.为什么说1既不是素数也不是合数？ 1既不是素数也不是合数，这是人为规定的，因为大于1的自然数或者是素数，或者是合数。如果是合数， 那么就可以分解素因数，例如，且形式唯一，若规定1是素数，则， 形式就不唯一了；若规定1是合数，可1无法分解素因数。这对研究与应用带来了很多不便，因此只有规 定1既不是素数也不是合数才是合理的。 2.为什么分解素因数时一般从最小的素数作为除数开始去试除？ 因为2是最小的素数，并且2是唯一的一个既是偶数，也是素数的数。分解素因数，一般从最小的素数作 为除数开始去试除，直到找到第一个能整除这个合数的素数为止。 3.素数、合数、奇数、偶数之间有什么区别？ 根据素数、合数、奇数和偶数的定义可知，是2的倍数的整数是偶数，不是2的倍数的整数是奇数，只有1 和它本身两个因数的正整数是素数，除了1和它本身以外还有其他因数的正整数是合数。20以内的正整数 中，既不是素数，也不是合数的数是1；最小的素数是2，它还是偶数；最小的合数是4；一个数既是合数， 又是奇数，这个数最小是9。 知识点05 公因数与最大公因数 求两个数的最大公因数,在中考中很少单独出题,但在期中、期末考试中题型多样化,属基础题 1.公因数与最大公因数的概念 （1）公因数 几个整数公有的因数叫做这几个整数的公因数。 （2）最大公因数 几个整数的公因数中最大的一个叫做这几个整数的最大公因数。 （3）公因数的表示法 方法一：列举法 如12和8的公因数：1，2，4。 方法二：集合法 （此处有12的因数、8的因数及它们公因数的集合图，12的因数有3，6，12；8的因数有8；12和8的公因数有1，2，4） 每个数因数的个数是有限的，因此两个数或多个数的公因数个数也是有限的，并且最大公因数只有一个。 2.互素 （1）互素 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。 5和7，7和9，15和16都是互素的，也叫互质，两个互素的数未必都是素数，如8和9都是合数。 （2）互素的判定方法 判断两个整数是不是互素，要看它们是不是只有公因数1。 互素与素数的区别 素数是一类数，是只有1和它本身两个因数的数；互素是对两个数的关系而言的，公因数只有1的两个数是互素的。 一般判断两个数是否互素可用直接观察的方法，得出是否属于几种特定情况，也可用数的整除特征来判断。 3.求最大公因数的方法 （1）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数。 （2）分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们公有素因数的乘积。 （3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数。书写格式更简便。 （4）特征法：如果两个数互素，那么它们的最大公因数是1；如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。 求72和54的最大公因数 解法一：列举法 72的因数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72； 54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54。 所以72和54的公因数有1，2，3，6，9，18，最大公因数是18。 解法二：分解素因数法 ， 。 可以看出72和54全部公有素因数是2,3,3,因此是72和54的最大公因数,即最大公因数是18。 解法三：短除法 因此72和54的最大公因数是 求两个整数最大公因数的方法——筛选法 筛选法：先找出两个数中较小数的因数，再看这些因数哪些是较大数的因数，找出其中最大的一个即为这两个数的最大公因数。如求72和54的最大公因数。 54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54，从大到小看54，27不是72的因数，18是72的因数，所以18是72和54的最大公因数。 求两个数的最大公因数速解大招 (1)当两个数成倍数关系时,较小数就是它们的最大公因数； (2)当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1； (3)当两个数既不是倍数关系，公因数也不只是1时，可用一般方法求最大公因数. 知识点06 公倍数与最小公倍数 求两个数的最小公倍数的应用,在考试中单独命题较为简单,选择题、填空题、解答题均有考 查. 1.公倍数与最小公倍数 （1）定义 几个整数公有的倍数叫做这几个整数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个整数的最小公倍数。 几个整数的公倍数的素因数一定含有这几个整数的所有的素因数，而最小公倍数的素因数只包含它们 公有的素因数和各自剩余的素因数。 两个数的公倍数的个数是无限的，但最小公倍数只有一个，没有最大公倍数。 （2）公倍数的表示法 ①列举法 如2和3的公倍数：6，12，18，24，…。 公倍数的书写格式：书写公倍数时，各倍数之间用逗号隔开，末尾加省略号。 ②集合法3，9，15，21，… 2，4，8，10，14，16，… 6，12， 18，… 2和3的公倍数 公倍数和最小公倍数的关系 公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数，如2和3的最小公倍数是6，2和3的公倍数有 6，12，18，24，…，其中6是6，12，18，24，…的因数，而6，12，18，24，…都是6的倍数。 若，，求，两数的最小公倍数。 分析：两个数的最小公倍数必须包含这两个数全部公有的素因数和各自剩余的素因数。 解：因为公有的素因数是2和3，剩余的素因数是3和5，剩余的素因数是2和7，所求，的最小 公倍数为。 最大公因数与最小公倍数的区别 类别 最大公因数 最小公倍数 两数互素 最大公因数是1 最小公倍数是两数的乘积 两数成倍数 最大公因数是较小数 最小公倍数是较大数 既不互素也不成倍数 两个数公有素因数的积 两个数公有素因数及各自剩余因数的积 在求两个数的最小公倍数时，不能把两个数所有的素因数相乘。 2.求两个数最小公倍数的方法 （1）列举法 分别列出两个数的倍数，找出它们的公有倍数，其中最小的数就是这两个数的最小公倍数。 （2）分解素因数法 两个数分解素因数，把它们公有素因数和它们各自剩余的素因数连乘，所得的积就是它们的最小公倍数。 （3）短除法 用两个数的公因数去除，除到商互素为止，所有除数和商的乘积就是这两个数的最小公倍数。 （4）特征法 如果两个数互素，它们的最小公倍数是它们的乘积。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 求24和42的最小公倍数。 解法一：列举法 24的倍数有24，48，72，96，120，144，168，…， 42的倍数有42，84，126，168，210，…， 所以24和42的最小公倍数是168。 解法二：分解素因数法 所以24和42的最小公倍数是。 用短除法求72和54的最小公倍数. 因此72和54的最小公倍数是 （1）列举法求最小公倍数适合求较小两数的最小公倍数； （2）分解素因数法必须把公有的素因数只计算一次，不能重复计算. 求三个数的最小公倍数 （1）分解素因数法 三个数分解素因数，把这三个数公有的素因数，每两个数公有的素因数，以及各自剩余的素因数相乘，所 得的积是这三个数的最小公倍数。 （2）短除法 用短除法求三个数的最小公倍数的步骤： 先用三个数的公因数去除，除到三个数的商互素为止； 再用每两个数的公因数去除，除到三个数的商成为两两互素（任意的两个商都互素）为止； 把这些除数和商相乘，所得的积就是所求的最小公倍数。 求两个整数的最小公倍数，每次都用公有的素因数去除，除到两个商互素为止。 求三个整数的最小公倍数，先用三个数的公有素因数去除，然后每两个数如果有公有素因数，再用每两个 数公有的素因数去除，一直除到每两个商都互素为止。 (1)如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数，如8和9，8和15互素，所以它们各组的乘 积即是它们各组的最小公倍数。 (2)当两个整数中，一个是另一个的倍数时，较大数是它们的最小公倍数，如15是3的倍数，36是18的倍 数，所以它们的最小公倍数分别为15和36。 题型1 整除问题（易错） 易｜错｜点｜拨 1....能被...整除，大数在前，小数在后，如：12÷3＝4，则有12能被3整除 2....能整除...，小数在前，大数在后，如上，3能整除12. 3.除尽可以是小数，整除必须是整数. 【典例1】[被...整除（不换位置），易]（2024•青浦区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．10和7 B．5和2.5 C．21和6 D．91和13 【变式1】[被...整除（不换位置）]（2024•浦东新区校级期中）下列各选项中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．3和6 B．2和 C．1.4和0.7 D．42和3 【变式2】[能...整除（换位置），中，易错]（2024•虹口区期中）如果能整除18，那么一定是　　 A．18 B．1 C．18的倍数 D．18的因数 题型2 2、3和5的倍数（易错） 易｜错｜点｜拨 ①2和5的倍数易忽略＂0＂的特殊性，要记住个位是0的数（如10、20）既是2的倍数也是5的倍数；②3的倍数最容易和2、5的倍数特征混淆，3的倍数要看＂所有数位数字之和＂是否为3的倍数，计算数字和时还要避免漏加或错加数位； ③2、3和5的倍数时，容易只看个位是0而忽略数字和，正确的做法是分两步，先确认个位是0（满足2和5的倍数特征），再检查所有数位数字之和是否为3的倍数，比如20个位是0但2+0=2不是3的倍数，所以不是三者的公倍数，而30、60这类个位是0且数字和是3的倍数的数，才符合要求。 【典例2】[2,3,5的倍数，中]（2024•普陀区校级期中）一个两位数既是奇数又是合数，如果它能同时被3和5整除，那么这个数最大的是　　． 【变式1】（浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是　　． 【变式2】[2,3,5的倍数，中]（2024•闵行区校级期中）将217至少加上　　，才能同时被2，5整除． 题型3 因数、素因数的区别（易错） 易｜错｜点｜拨 说一个数的因数时，不能重复；说一个数的素因数时，可以重复. 【典例3】[因数与倍数，易]（2024•奉贤区期中）3是15的　　 A．素数 B．因数 C．合数 D．倍数 【变式1】（2024秋•浦东新区校级期中），有 　 　个因数． 【变式2】[因数与倍数、素数与合数，易]（2024•宝山区校级期末）在等式中，3和5都是15的　　 A．素数 B．素因数 C．公因数 D．倍数 【变式3】[素因数，易]（2024•普陀区校级期中）一个数的最小倍数是18，这个数的素因数有　　． 题型4 互素（易错） 互素的6种常见情况 ①1和任意正整数互素； ②2和任意奇数互素； ③相邻正整数互素； ④相邻两个奇数互素； ⑤任意两个素数互素； ⑥合数与素数（合数不是素数的倍数）互素。 【典例4】[互素，易]（2024•上海期中）下列各组数中，不是互素的有　　 A．13和15 B．27和28 C．1和20 D．21和49 【变式1】[互素，易]（2024•普陀区期中）在2、4、5、8中，与2互素的数是　　． 题型5 分解素因数的应用（易错） 答｜题｜模｜板 一、求最大公因数(含字母) 核心思路:最大公因数是几个数都有的素因数(包括字母)，并且每个素因数(包括字母)取在各个数里出现次数最少的那个，然后把这些取出来的素因数(包括字母)相乘。 二、求最小公倍数(含字母) 核心思路:最小公倍数是把几个数所有的素因数(包括字母)都包含进来，并且每个素因数(包括字母)取在各个数里出现次数最多的那个，然后把这些取出来的素因数(包括字母)相乘。 【典例5】（2024•上海期中），是自然数且，如和的最大公因数是21，则和的最小公倍数是　 　． 【变式1】（2024•金山区期中），，如果、的最大公因数是14，那么　　． 【变式2】（2024•普陀区期中）如果和的最小公倍数是150，且，是自然数且，那么 　 　． 题型6 奇数、偶数、素数与合数综合（拉分） 易｜错｜点｜拨 2是一个特殊的存在，它是唯一的偶素数，因为它的因数只有1和2本身，如果多个素数相加结果为奇数时，要注意其中可能有偶素数2（偶数±奇数＝奇数，奇数±奇数＝偶数） 【典例6】[素数]（2024•浦东新区期中）将36写成两个素数相加的形式：　　．（写出一种即可） 【变式1】[素数的性质]（2024•浦东新区校级期中）两个素数相乘的积是　　 A．合数 B．偶数 C．奇数 D．仍是素数 【变式2】[素数与合数最值问题，中]（2023秋•闵行区期中）最小的素数与最小的合数的和是　　． 【变式3】（2024•浦东新区校级期中）有一个素数，它既是两个素数的和，又是两个素数的差，这个素数是 　 　 ． 题型7 三个数的最大公因数和最小公倍数问题（拉分） 解｜题｜锦｜囊 1.求三个数的最大公因数 方法：先分别找出这三个数的因数，再找出它们共有的因数，其中最大的那个就是最大公因数。也可以用分解质因数法，把三个数分解质因数后，取它们公有的质因数的最低次幂相乘，结果就是最大公因数。 2.求三个数的最小公倍数 方法：用分解质因数法，把三个数分解质因数后，取公有的质因数的最低次幂以及各自独有的质因数的最高次幂相乘，结果就是最小公倍数。 【典例7】（2024·上海·期中）求34，68，136三个数的最大公因数和最小公倍数． 【变式1】（2023·上海杨浦·期中）计算以下两数的最大公因数和最小公倍数 (1)10001和20075 (2)144、360和540 题型8 利用推理解决素数积问题（拉分） 答｜题｜模｜板 审题干：关键词“几个数”、“连续”、“乘积”等。 思考向：分解素因数（本单元只有分解素因数才能将数字串联起来相乘） 定个数：根据题目要求的个数，将分解的素因数重新组合相乘变成规定的个数 【典例8】（2024•黄浦区校级期中）三个素数的积是110，这三个素数中，最大的是　　 A．2 B．3 C．5 D．11 【变式1】（2024•黄浦区校级期中）三个素数的积是110，这三个素数中，最大的是　　 A．2 B．3 C．5 D．11 【变式2】（2024·上海·期中）有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们三个年龄数的乘积是，这三个小朋友的年龄分别是多少？ 题型9 逆推法在大公因和小公倍中的运用（拉分） 易｜错｜点｜拨 常用二级结论 1.两数的乘积=最大公因数×最小公倍数 2.最小公倍数÷最大公因数＝两数对应的互素的因数（如短除法中最后互素的一组数） 3.若两数分别为A和B，两数对应的互素的因数（如短除法中最后互素的一组数）为a和b，则有： A=最大公因数×a，B＝最大公因数×b 【典例9】（两数的乘积=最大公因数×最小公倍数，中）（2024•黄浦区校级期中）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，如果甲数为6，则乙数是多少？ 【变式1】（最小公倍数÷最大公因数＝两数对应的互素的因数）（2024•杨浦区期中）如果两个正整数的最大公因数是18，最小公倍数是108，请问这两个正整数是　　． 【变式2】[利用最大公因数求原数，易错]（2024•浦东新区期中）两数最大公因数为6，这两数之积为216，则这两个数为　　． 【变式3】（2023·上海·期中）已知； (1)如果两数的最大公因数是30，求的值和的最小公倍数； (2)如果两数的最小公倍数是630，求的值和的最大公因数． 题型10 最大公因数和最小公倍数的应用（综合） 【典例10】[最大公因数的应用]（2024·上海松江·期中）有一张长方形纸片，长为60厘米，宽为48厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余．裁出的正方形纸片最少是多少张？ 【变式1】（2023·上海静安·期中）绿化工人在长为1200米的公路两旁等距离种树（两端都种），开始每隔6米种一棵树，现要改为每隔4米种一棵树，那么将可以有多少棵树不用移植？ 【变式2】（2023·上海青浦·期中）一个长方形操场，长90米，宽70米，在四角和四周种上树苗，使得相邻的两棵树苗间的距离都相等，问最远应每隔多少米种一棵？一共需要多少棵树苗． 【变式3】[最小公倍数的应用]（2024·上海崇明·期中）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组．那么至少要选拔多少名学生参加跳舞？ 【变式4】[最小公倍数的应用]（2024·上海杨浦·期中）为了迎接国庆节的到来，需要在笔直的公路一侧插上彩旗，原来每米插一面彩旗，现在改成每米插一面彩旗．在施工过程中发现，包括两端的彩旗在内，一共有面彩旗不需要移动，这条路长多少米？ 【变式5】（2024秋•松江区期中）有一张长方形纸片，长为60厘米，宽为48厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余．裁出的正方形纸片最少是多少张？ 题型11 新定义（综合） 易｜错｜点｜拨 新定义的题目解题步骤 第一步：要先读懂题意，明确解题法则； 第二步：代入数字，按照新定义运算； 第三步：比对结果是否符合题意。 【典例11】（2024•普陀区校级期中）著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都等于两个素数之和．下列4个算式中，符合这个猜想的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•浦东新区校级期中）著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于4的偶数都可以表示成两个 质数的和”．如：，等．那么，偶数100可以写成_____种两个不同质数和的形式 和算作同一种形式）． 【变式2】[最大公因数与最小公倍数新定义，中]（2024•浦东新区校级期中）设⊕，，其中表示与的最大公因数，，表示与的最小公倍数，若18⊕，则 　 　 ． 【变式3】[数的整除与分数综合、新定义，难]（2024•松江区期中）对于最简真分数，规定（A）表示分子与分母的最大公因数，表示分子与分母的最小公倍数．若最简真分数满足，那么　 　． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．[整除的概念，易]（2024•宝山区期中）在下列式子中，表示整除的是　　 A． B． C． D． 2．[被...整除（不换位置），易]（2024•闵行区校级期中）下列各数中，第一个数能被第二个数整除的是　　 A．17和3 B．4和16 C．5和2.5 D．10和5 3.[分解素因数的写法，易]（2024•上海期中）下列各式中，表示分解素因数的式子是　　 A． B． C． D． 3.（1）（2024•杨浦区期中）7和8的最大公因数是 　 　． 4.（最小公倍数，易）（2024•浦东新区期中）12和16的最小公倍数是 　 　． 5.（利用分解素因数求最大公因数，易）（2023秋•宝山区期末）如果数，，那么和的最大公因数是 　 　． 6．[分解素因数求最小公倍数]（闵行区期末）若数，，则和的最小公倍数是　　． 7．[分解素因数，易]（2024•杨浦区期中）分解素因数：　 　． 8.（短除法，易）（2024•虹口区期中）用短除法求24和30的最大公因数和最小公倍数． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2024秋•青浦区校级期中）有一个长12米、宽8.4米的长方形儿童活动区域，为加强安全保护，准备在 地面不重叠、不留缝地铺满一种正方形的泡沫地垫．市场上有、、、（单位： 厘米厘米）四种尺寸，如果想选尺寸较大的地垫，应该选择　　 A． B． C． D． 2.（2024•普陀区期中）一个两位数是素数，如果交换它的个位数字和十位数字后得到的新的两位数还是素 数，那么称这个两位数为“绝对素数”．请写出一个“绝对素数”　 　． 3．（2024秋•黄浦区校级期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫做的真因数．如10的正因数有1，2，5，10，其中1，2，5是10的真因数，把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫做的“完美指标”，如10的完美指标是，一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”．那么28的“完美指标”是 　 　． 4.（2023·上海浦东新区·期中）在长2千米的道路一边种树，每间距10米种一棵树（道路两端也种），由于树太密集遮挡了部分光线，所以需要移走一些树木，现计划改为每间距25米种一棵树，请问： (1)有多少棵树可保留不动？ (2)在整个植树过程中一共挖了多少个坑来种树？ 5.（2024·上海杨浦·期中）在一根木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成十五等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 6.（2023·上海崇明·期中）已知某校六年级学生人数超过人， 而不足人，将他们按照每组人分组，多人，将他们按照每组人分组，也多人，问：该校六年级学生有多少人？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2024•浦东新区校级期中）在2018后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被13、17 整除，则这个七位数最小是　　． 2.（2024•杨浦区期中）有6张卡片，上面分别写1、2、3、4、5、6，从这六张卡片中拿出若干张，排成一个尽可能大的多位数，并使这个多位数能被组成它的所有数整除，这个多位数是　　． 3.在学习数的整除这一章节后，对于找一个整数的因数进行了研究： 分解素因数 所有的因数 素因数 素因数个数 因数个数 4 1，2， 2×2=4 2 2 3 6 1，2，3， 2×3 2 1 4 3 1 12 1，2，3 2×2， 2×3， 2×2×3 2 2 6 3 1 27 1，3， 3×3， 3×3×3 3 1 4 50 1，2，5， 2×5， 5×5 2×5×5 2 1 6 5 2 210 210=2×3×5×7 1，2，3，5，7 2×3，2×5， 2×7，3×5，3×7， 5×7 2×3×5， 2×3×7，3×5×7， 2×3×5， 2×3×5×7 2 1 16 3 1 5 1 7 1 (1)观察表格中的第二列和第三列，小明发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解素因数，例如： ，它有 个因数，分别是 ; （且是素数），它有 个因数，分别是 ; (2)进一步观察因数的个数和素因数个数间的关系，填空： 若（其中为素数），则的因数个数为 ; 若（其中为素数，为正整数），则的因数个数为 ; 若（其中、为不同大小的素数，、正整数），则的因数个数为 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $