专题01 期中复习压轴16大题型归纳（考试范围：第1章 有理数～第2章 简单的代数式）（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

专题01 期中复习压轴16大题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 有理数~第2章 简单的代数式） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 由点在数轴上的位置判断结论正误】 1 【题型2 数轴与绝对值的化简】 2 【题型3 幻方与程序框图】 3 【题型4 数轴中的动点问题】 4 【题型5 有理数运算的实际应用】 6 【题型6 绝对值的最值问题】 7 【题型7 数式或图形的变化规律】 7 【题型8 一次式的相关概念辨析】 8 【题型9 一次式的运算】 9 【题型10 一次式的加减与周长应用】 9 【解答压轴】 10 【题型11 数轴上点的运动问题】 10 【题型12 绝对值的几何意义】 12 【题型13 带绝对值的式子化简问题】 14 【题型14 一次式的加减】 16 【题型15 一次式加减的新定义运算】 16 【题型16 一次式加减的应用综合】 17 【选填压轴】 【题型1 由点在数轴上的位置判断结论正误】 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是__________． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川达州·期末）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（   ） ①若，则 ②若，，则或 ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是 A． B． C． D． 【题型2 数轴与绝对值的化简】 【例2】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简－－＝________． 【变式2-2】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：|2﹣3b|﹣2|2+b|+|a+2|﹣|3b﹣2a|的结果为_____． 【变式2-3】（25-26七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（　　） ①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若，则最小值为12134． A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3 幻方与程序框图】 【例3】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是，如图所示幻方中，若，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 【变式3-2】（2026·宁夏固原·三模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 【变式3-3】（25-26七年级上·重庆渝中·阶段检测）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 【题型4 数轴中的动点问题】 【例4】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为7，若C为线段上的一点，P从C出发，以每秒3个单位长度的速度，先向A运动，到达A之后再以原速向右运动．若在运动过程中，当运动时间为时，满足，则C在数轴上表示的数为______． 【变式4-1】（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当时，；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式4-2】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，两点同时出发．点，的初始速度分别是3个单位长度秒和6个单位长度秒，点和点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为秒，有下列结论： ①当时，点表示的数为数轴的原点； ②当点到达点时，； ③当点到达点时，； ④运动过程中，点和点在线段上相遇； ⑤当或18时，． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，点和点分别表示的数为与，点从点出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从点出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，、两点同时开始运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点在线段上，且，当__________时，满足． 【题型5 有理数运算的实际应用】 【例5】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）联欢会有四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下：已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的所有演员的候场时间之和为______分钟；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按______的先后顺序彩排． 节目 演员人数 2 1 彩排时长 6 【变式5-1】（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 【变式5-2】（25-26七年级上·北京·期中）在黑板上写下一列不同的自然数，每次同时擦去任意两个数，再把这两个数的和或者差（以擦前位置为准，“前面的数”减去“后面的数”）写在这列数的最后面，重复这样的操作，直至在黑板上仅留下一个数为止，下列说法中①若在黑板上写下2、3、4，按此操作，最后留下的那个数可能是5；②若在黑板上写下1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能有种不同的结果；③若在黑板上写下1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能是；④若在黑板上写下1、2、3、．．．、、，按此操作，最后留下的那个数可能是．正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【变式5-3】（25-26九年级下·北京·阶段检测）化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【题型6 绝对值的最值问题】 【例6】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若不等式有解，则实数的最小值是_____． 【变式6-1】代数式的最小值是(    ) A．3 B．2 C．1 D．4 【变式6-2】（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为______． 【变式6-3】（25-26七年级上·重庆·期中）已知，，，均为整数，且，若，，则的最大值为______． 【题型7 数式或图形的变化规律】 【例7】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）在数轴上A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从向左移动9个单位长度到达点，…按照这种规律进行下去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离为20，那么n的值为______． 【变式7-1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是______；第项是______． 【变式7-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，记第个图的圆点个数为个，其中，，…依此规律则，_____，若，则_____． 【变式7-3】（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【题型8 一次式的相关概念辨析】 【例8】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 【变式8-1】（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法中，正确的有（    ）个． ①是代数式；②是一次式，其系数是；③不是代数式；④不是一次式． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（24-25七年级上·广东广州·期末）关于一次式，说法错误的是（ ） A．的一次项是，，， B．的常数项是2 C．和是同类项 D．和是同类项 【变式8-3】（25-26六年级上·上海普陀·期末）若是关于的一次式，则______． 【题型9 一次式的运算】 【例9】（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差的立方的计算结果为____________． 【变式9-1】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随 后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是 （     ）         A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26六年级上·上海·单元复习）一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 【题型10 一次式的加减与周长应用】 【例10】（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么_____cm． 【变式10-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【变式10-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【解答压轴】 【题型11 数轴上点的运动问题】 【例11】（25-26七年级上·四川雅安·期末）点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知． (1)若点C为原点，则点A表示的数是 ； (2)如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达B点后立即按原速折返；点Q沿线段以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动． ①当点停止运动时，求点P、Q之间的距离； ②设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，？ 【变式11-1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A，B，C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A，B，C表示的数分别为________，________，_________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【变式11-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【变式11-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点为数轴上的原点，点、分别为数轴上两点，对应的数分别为、，已知，． (1) ； ； (2)若动点从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向匀速运动，当点运动到线段上时，分别取、的中点、，若是定值（其中，为常数），试求与的等量关系； (3)若是数轴上的任意数，代数式的最小值为，其在数轴上对应点记为点．动点、分别从点、同时出发，以各自的速度在、之间做匀速往返运动，其速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，当他们第三次在点处相遇时，请直接写出此时点在数轴上对应的数． 【题型12 绝对值的几何意义】 【例12】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【应用】：（1）已知，都是有理数，若，则的值， 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求． 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离． （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、、若，，，则的值是 ． 【尝试应用】：（4）符号：，表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度（）的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 【变式12-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【变式12-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时，的值最小． 【变式12-3】（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）阅读下列材料并回答问题： 我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解． 例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．    回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)解方程：； (4)若对任意的都成立，求的取值范围． 【题型13 带绝对值的式子化简问题】 【例13】（25-26七年级上·广东广州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 【变式13-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【变式13-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【变式13-3】（25-26七年级上·重庆大足·期末）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 【题型14 一次式的加减】 【例14】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【变式14-1】（24-25七年级上·全国·单元测试）当时，求一次式的值． 【变式14-2】（25-26六年级上·上海·课后作业）如图，用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是，它的长是．如何用一次式表示这根铁丝的长度？ 【变式14-3】（25-26六年级上·上海·单元复习）甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车的距离是多少？ 【题型15 一次式加减的新定义运算】 【例15】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）新定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：，，中，“迥异数”为____________； ②计算：____________． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”． (3)如果一个“迥异数”，满足，请直接写出满足条件的的值． 【变式15-1】（25-26七年级上·重庆巫山·期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_____“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【变式15-2】（25-26七年级上·福建厦门·期中）【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_____； (2)小颖同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，她的说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为．（请你继续完成小颖同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时的值． 【变式15-3】（25-26七年级上·北京·期中）对于、，定义了一种新运算“★”为：． 如：，． (1)计算：①__________；②__________． (2)若，，且当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【题型16 一次式加减的应用综合】 【例16】（25-26七年级下·重庆万州·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”的方式以达到节水的目的，收费标准如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ (1)某居民用户9月份用水9，应缴水费　　　元； (2)某居民用户10月份缴水费44元，求该用户10月份的用水量； (3)若用户11月份、12月份共用水18（12月份用水量超过11月份用水量），设11月份用水，求该户居民11月份、12月份两个月共交水费多少元？（用含a的代数式表示） 【变式16-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【变式16-2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【变式16-3】（25-26七年级下·广西南宁·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有数字． 游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片分别记为．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者按要求回答问题． 下表是小李抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和： 卡片编号 两数的和 53 65 58 72 请思考： (1)请比较小李抽取的卡片上的数的大小__________（用“<”连接）； (2)求出小李抽取的五张卡片上的数的和（用含的式子表示）； (3)若编号为的三张卡片的数之和为，且比大30，求卡片上面所写的数字． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴16大题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 有理数~第2章 简单的代数式） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 由点在数轴上的位置判断结论正误】 1 【题型2 数轴与绝对值的化简】 5 【题型3 幻方与程序框图】 8 【题型4 数轴中的动点问题】 12 【题型5 有理数运算的实际应用】 18 【题型6 绝对值的最值问题】 22 【题型7 数式或图形的变化规律】 25 【题型8 一次式的相关概念辨析】 27 【题型9 一次式的运算】 29 【题型10 一次式的加减与周长应用】 31 【解答压轴】 35 【题型11 数轴上点的运动问题】 35 【题型12 绝对值的几何意义】 42 【题型13 带绝对值的式子化简问题】 50 【题型14 一次式的加减】 56 【题型15 一次式加减的新定义运算】 58 【题型16 一次式加减的应用综合】 64 【选填压轴】 【题型1 由点在数轴上的位置判断结论正误】 【例1】（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是__________． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查数轴概念，相反数的定义，根据题意得到判断①，根据，判断②，根据特殊值判断③，根据相反数的定义，表示出，结合，判断④即可． 【详解】解：①∵，即 ∴①成立，故正确； ②∵ ∵， 又∵在线段上取点，其表示的数为， 在线段上取点，其表示的数为 ∴，成立，故②正确 ③若，而，当时，不能找到， ∴当时，对于任意的点，不一定找到点，使得，故③不正确． ④如图，设点表示的数即为，则， 将线段向右平移1个单位得到，则点与点重合，则表示的数为， 对于任意的点，都在上，则对任意的表示的点都在上 表示的点都在上， ∵当时，即，则 ∴在上总能找到点表示，即，即 ∴当时，对于任意的点，总能找到点，使得，故④正确． 故答案为：①②④． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 【详解】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、绝对值、有理数加减运算、不等式的性质等知识点，理解绝对值、不等式的性质是解题的关键． 根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且，再根据绝对值、相反数的意义、有理数加减运算、不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，因此A选项正确； B．由，则，因此B选项错误； C．由，则，因此C选项错误； D．由，则，因此D选项错误． 故选：A． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川达州·期末）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．则在下列选项中，正确个数是（   ） ①若，则 ②若，，则或 ③若且，则 ④若为一个五位自然数，则的最大值是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，正确通过数轴判断绝对值符号里式子的正负是解题的关键．利用数轴可得，再根据每项的关键信息，逐一判断各项对错即可解答． 【详解】解：①若，则或， 当时，，则， 当时，，则，故①不正确； ②若，，由图可知，则或， 当时，， 当时，，故②正确； ③∵， ∴，，， 则， ∵， ∴，，为一负二正或两负一正， 其中两种情况为，或，， 当，时， 当，时，故③不正确； ④∵为一个五位自然数，由数轴可得，， 则 当，，时取最大值为17，故④正确； ∴正确的有②④； 故选B． 【题型2 数轴与绝对值的化简】 【例2】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，明确整式的加减的计算方法，利用绝对值和数轴的相关知识是解答本题的关键． 根据数轴和，可以判断，，的正负和大小，可得到，，，，从而可以化简题目中所求的式子的值． 【详解】解：由数轴可知，，，，且， ∴，，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简－－＝________． 【答案】a+b-c 【分析】根据数轴，可以判断a，b，c的正负情况，从而可以将所求式子的绝对值符号去掉，然后化简即可解答本题． 【详解】解：由数轴可知，， ∴原式 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是数轴与绝对值的性质，根据绝对值的性质将所求式子绝对值符号去掉是解此题的关键． 【变式2-2】（25-26七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知有理数a，b在数轴上的位置如图，化简：|2﹣3b|﹣2|2+b|+|a+2|﹣|3b﹣2a|的结果为_____． 【答案】8+2b﹣a． 【分析】根据有理数a，b在数轴上的位置可判断绝对值内部各代数式的正负，进而对绝对值进行化简计算即可． 【详解】解：根据有理数a，b在数轴上的位置可知： 2﹣3b＞0，2+b＜0，a+2＞0，3b﹣2a＜0， ∴|2﹣3b|﹣2|2+b|+|a+2|﹣|3b﹣2a| ＝2﹣3b+2(2+b)+a+2+(3b﹣2a) ＝2﹣3b+4+2b+a+2+3b﹣2a ＝8+2b﹣a， 故答案为：8+2b﹣a． 【点睛】本题考查整式的加减，根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加法运算和有理数的减法运算，化简绝对值.解题关键是能根据有理数a，b在数轴上的位置，结合有理数的加法运算和有理数的减法运算判断绝对值内各式子的符号，据此化简绝对值. 【变式2-3】（25-26七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列结论正确的个数是（　　） ①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简；④若数轴上点M到A，B，C距离之和最小，则点M与点B重合；⑤若，，点M到A，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若，则最小值为12134． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】①不知道表示的数字无法确定的值；②根据线段的中点的定义，以及中点公式进行判断；③根据点在数轴上的位置，化简绝对值，进行判断；④根据两点间的距离公式，以及两点之间线段最短，进行判断；⑤根据两点间的距离公式，列方程计算进行判断；⑥根据，得到，推出，，，得到当时，有最小值，进而求出最小值即可． 【详解】解：①不知道表示的数字无法确定的值，故①错误； ②∵， ∴为的中点，故②正确； ③由图可知：， ∴，故③错误； ④∵数轴上点M到A，B，C距离之和最小， ∴点M与点B重合；故④正确； ⑤设点表示的数为， 当点在点左边时，依题意有：， 解得： 当点在点右边时，依题意有：， 解得：； 综上，点表示的数为或5，故⑤错误； ⑥∵， ∴， ∴，，， ∴当时：有最小值为，故⑥正确； 综上：正确的是②④⑥，共3个； 故选A． 【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及绝对值的意义和根据数轴上点的位置判断式子的符号，是解题的关键． 【题型3 幻方与程序框图】 【例3】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都是，如图所示幻方中，若，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了列出一元一次方程、求代数式的值以及绝对值等知识，找准等量关系，正确掌握有理数的运算法则是解题的关键．根据三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，列出一元一次方程，求出，再求出、的值，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ，， ，， 又， ， ，， 当，时，； 当，时，； 故选：． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的为2，则第1次输出的结果是0，第2次输出的结果是，第3次输出的结果是3，…，以此类推，第次输出的结果是___________． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：设输出的数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得每6次输出的结果循环一次， 又，与的数字一致， ∴2026次输出结果为， 故答案为：． 【变式3-2】（2026·宁夏固原·三模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 【答案】或 【分析】由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， 两个圈的和各为，横、竖的和也各为， 则， 得， 由， 得， 由， 得， 当时，，则， 当时，，则， 【变式3-3】（25-26七年级上·重庆渝中·阶段检测）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 【答案】 7 1572 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 【详解】解：当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算：， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 故自然数3的熵； 当时： 第十次运算时输入为：， 第九次运算时输入为：， 第八次运算时输入为：， 第七次运算时输入为：， 第六次运算时输入为：，或， 第五次运算时输入为：或， 第四次运算时输入为：或或或， 第三次运算时输入为：或或或， 第二次运算时输入为：或或或或或， 第一次运算时输入为：或或或或或， ∴当时，满足题意， ∴； 故答案为：7，1572． 【题型4 数轴中的动点问题】 【例4】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为7，若C为线段上的一点，P从C出发，以每秒3个单位长度的速度，先向A运动，到达A之后再以原速向右运动．若在运动过程中，当运动时间为时，满足，则C在数轴上表示的数为______． 【答案】6或2 【分析】设C表示的数为c，且，则，当点P未到达A时，点P表示的数为，易得，易得求解即可；当点P到达A之后再以原速向右运动时，根据运动关系可得点P表示的数为：，再表示出，易得，再分两种情况可求得,进而完成解答． 【详解】解：设C表示的数为c，且，则， 当点P未到达A时，点P表示的数为， ∴， ∵， ∴，解得：，符合题意； 当点P到达A之后再以原速向右运动时，点P表示的数为：， ∴， 当，即时，有，该方程无解； 当，即时，有，解得：，符合题意； 综上，点C表示的数为6或2． 【变式4-1】（25-26七年级上·北京·阶段检测）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度向射线方向运动．设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①，两点之间的距离不会随着的变化而变化；②当时，；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出、、、所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，即，两点之间的距离不会随着的变化而变化，正确，①符合题意； ②，， 当时，， 解得或，故②不符合题意； ③ ，， ，故正确，③符合题意． 故选：B． 【变式4-2】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，两点同时出发．点，的初始速度分别是3个单位长度秒和6个单位长度秒，点和点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度．一个点到达终点时，另一点继续运动，设运动时间为秒，有下列结论： ①当时，点表示的数为数轴的原点； ②当点到达点时，； ③当点到达点时，； ④运动过程中，点和点在线段上相遇； ⑤当或18时，． 以上结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先理解题意，得出，，，，结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，故当时，点表示的数为数轴的原点；结合运动速度以及运动方向，进行列式计算，得，当点到达点时，；依题意，，即当点到达点时，，再进行讨论，得出点M和点N相遇只可能在之间，再设未知数以及列方程，分别算出当时，点M表示的数为，当时，即点M表示的数为，当时， 即点M表示的数为27，然后算出的值，即可作答． 【详解】解：∵点表示12，点表示24，点表示36，表示， ∴，，，， ∵ 点表示36，点的初始速度是6个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍， ∴， 即当时，点表示的数为数轴的原点； 故①符合题意； ∵点初始速度是3个单位长度秒，点运动到折线时速度发生变化，“上坡”时速度为初始速度的，“下坡”时速度为初始速度的2倍，离开折线后速度恢复为初始速度． ∴ , 即当点到达点时，； 故②符合题意； 依题意， , 即当点到达点时，， 故③不符合题意； 依题意，点M到达点的时间是 点M到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 点N到达点的时间是， 故点M和点N相遇只可能在之间， 设相遇时间为 点M在线段上的速度是， 则点M表示的数为， 点N在线段 上的速度是， 则， 故， 解得， 即运动过程中，点和点在线段上相遇，且相遇时间为， 故④符合题意； 依题意，当时，， 即点M表示的数为， 则 ， ∵， 由②得当点到达点时，； 依题意，， 即当时，点M表示的数为27， 则， 故⑤不符合题意；即结论正确的有3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的几何问题，数轴上两点的距离，在数轴上表示有理数，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式4-3】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图，点和点分别表示的数为与，点从点出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点从点出发以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点为线段的中点，、两点同时开始运动，两点相遇时停止运动，设运动时间为秒，点在线段上，且，当__________时，满足． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间距离公式、中点坐标公式以及一元一次方程的应用，熟练掌握用代数式表示数轴上点的位置，结合绝对值的性质分情况讨论是解题的关键． 先确定点的位置，再用含的代数式表示、、三点的坐标，接着分别表示出、、的长度，最后代入方程求解，并结合运动时间的取值范围确定最终答案． 【详解】解：∵点表示的数为， 点表示的数为， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴点表示的数为， ∵点从出发以个单位长度/秒向右运动， ∴点表示的数为， ∵点从出发以个单位长度/秒向左运动， ∴点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为， ∴， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵、相遇时停止运动，相遇时间满足， ∴， ∴，即， ∵， ∴，可正可负，， ∴，， 分情况讨论： 当时，，代入， 得， 解得； 当时代入， 得， 解得 故答案为：或 【题型5 有理数运算的实际应用】 【例5】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）联欢会有四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：分钟）如下：已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的所有演员的候场时间之和为______分钟；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按______的先后顺序彩排． 节目 演员人数 2 1 彩排时长 6 【答案】 / 【分析】本题考查了有理数的实际应用，解题关键是按“演员人数与彩排时长”的比值降序安排节目． 第一部分计算顺序时节目的演员候场时间之和，开始时间为和时长之和，即分钟，有名演员，故总和为分钟，第二部分为使总候场时间最小，按演员人数与彩排时长的比值降序排列节目． 【详解】对于顺序，节目的开始时间为节目和节目的彩排时长之和，即分钟，节目的演员人数为，故节目的所有演员的候场时间之和为分钟； 若使这23位演员的候场时间之和最小，计算各节目演员人数与彩排时长的比值： 节目比值为， 节目比值为， 节目比值为， 节目比值为， 按比值降序排列，得节目顺序为， 故答案为：；． 【变式5-1】（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 【答案】 【分析】要保证长沙队进入前名，需考虑最坏情况，即让第名的积分达到最大可能值，若长沙队积分高于该最大积分即可保证晋级，最坏情况为前名均击败后名，且前名内部积分平均分配，使第名积分最高即可求解． 【详解】解：支球队单循环比赛，总比赛场数为， 若所有比赛均分出胜负，每场产生个胜场，总胜场为， 要使前名积分尽可能高且平均，所有比赛分出胜负，则： ① 后支球队内部共有场比赛，总胜场为，全部为后支球队获得； ②前支球队对阵后支球队共场比赛，前支球队全部获胜，每队在此得到分，共获得个胜场； ③ 前支球队内部共有场比赛，总胜场为，平均分给支球队，每队获得个胜场，每队在此得到分； 因此每支前球队总积分为，总胜场为，符合总胜场要求，该情况成立，说明支球队可以同时积分，所以分无法保证进入前， 若长沙队积分，若存在支球队积分不低于分，则每队至少需要个胜场，总胜场至少为，矛盾，因此不可能存在支球队积分不低于分，故分一定可以保证进入前， 所以长沙队至少要积分，才能保证进入淘汰赛． 【变式5-2】（25-26七年级上·北京·期中）在黑板上写下一列不同的自然数，每次同时擦去任意两个数，再把这两个数的和或者差（以擦前位置为准，“前面的数”减去“后面的数”）写在这列数的最后面，重复这样的操作，直至在黑板上仅留下一个数为止，下列说法中①若在黑板上写下2、3、4，按此操作，最后留下的那个数可能是5；②若在黑板上写下1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能有种不同的结果；③若在黑板上写下1、3、5、7，按此操作，最后留下的那个数可能是；④若在黑板上写下1、2、3、．．．、、，按此操作，最后留下的那个数可能是．正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算以及数字规律的探索，明确题意，是解答本题的关键． ①按照题意直接判断即可；②每轮操作减少一个数，共需要三轮才剩下一个数，4个数中选出2个数共有6种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；3个数中选出2个数共有3种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；2个数中选出2个数共有1种方法，补充的数为和或者差，此时又需要乘以2；每一轮都直接影响下一轮，但会出现重复情况，根据计算最终结果，据此即可作答；③通过操作可能得到；④每次去掉两个最大的数，新加入的数为这两个数的和，依次类推，最后得到的两个数为：1和，据此问题得解． 【详解】①2、3、4，擦去2和4，写差，得到3、， 再擦去3和，写差， ∴可能得到5，即最后留下的那个数可能是5，故①正确； ②每轮操作减少一个数，共需要三轮才剩下一个数， 4个数中选出2个数共有6种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 3个数中选出2个数共有3种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 2个数中选出2个数共有1种方法，补充的数为两数的和或者差，此时又需要乘以2； 每一轮都直接影响下一轮， 即总的可能情况有：（种）， 但是出现的数的可能结果会有重复的情况， 通过计算得知最后留下的那个数可能为：，共种情况， 即最后留下的那个数可能有种不同的结果，故②错误； ③1、3、5、7，擦去1和5，写和，得到3、7、6； 擦去3和7，写和，得到6、； 擦去6和，写和， ∴可能得到，故③正确； ④除1之外，后面个数的和为：， 操作：每次去掉两个最大的数，新加入的数为这两个数的和，依次类推， 最后得到的两个数为：1和， 最后去掉1和，新加入的数为， 即可知：是经过操作之后可能出现的最小的数， 故最后结果不可能是，故④错误； 综上正确的是：①③． 故选：C． 【变式5-3】（25-26九年级下·北京·阶段检测）化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【答案】 11 【分析】（1）分别求出整理大实验台和小实验台的时间，即可得到答案； （2）根据所需要的时间，多人协作分析最优耗时得到答案． 【详解】（1）解：整理大实验台：（分钟）， 整理小实验台：（分钟）； 一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费（分钟）； （2）解：设学生负责步骤①，学生负责步骤②，学生负责步骤③， 由题意可知，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，且必须在①②完成后再进行， 则学生和学生两个人可以在10分钟内做完三个实验台的步骤①和步骤②，在此期间学生可以做一个大实验台和一个小实验台的步骤③，耗时2分钟是包含在前面两人的10分钟里的，然后等学生1和学生2两人做完后，学生再分别整理小试验台的步骤③，耗时1分钟，所以一共是（分钟）． 【题型6 绝对值的最值问题】 【例6】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）若不等式有解，则实数的最小值是_____． 【答案】 【分析】通过确定绝对值的零点，分区间去绝对值，计算左边表达式的最小值，由于不等式有解，因此的最小值等于左边表达式的最小值，运用分类讨论思想求解． 【详解】解：首先求绝对值的零点，令，得；令，得，分三种情况讨论： 当时，原式左边，该一次函数的系数为负，随增大而减小，因此时，； 当时，原式左边，该一次函数的系数为负，随增大而减小，因此在时取得最小值，； 当时，原式左边，该一次函数的系数为正，随增大而增大，因此时，； 综上，左边表达式的最小值为，不等式有解，则，因此实数的最小值为． 【变式6-1】代数式的最小值是(    ) A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】分x≤-1；-1＜x＜2； x≥2三个范围，判断绝对值中代数式的正负，利用绝对值的代数意义化简，分别求出所求式子的值，比较即可得到所求式子的最小值. 【详解】当x≤-1，原式=-x-1-x+2=-2x+1；最小值=-2×（-1）+1=3； 当-1＜x＜2，原式=x+1-x+2=3；最小值=3； 当x≥2，原式=x+1+x-2=2x-1，最小值=2×2-1=3， 综上，代数式|x+1|+|x+2|的最小值是3， 故选A. 【点睛】本题考查了绝对值的化简，最小值问题，正确的分类进行讨论是解题的关键. 【变式6-2】（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算及绝对值，熟练掌握有理数的运算及绝对值是解题的关键；由可得，，，，代入的表达式化简为，结合条件（即符号乘积为负），考虑所有可能符号组合（一个负三个正或三个负一个正），计算所有可能的值，得到取值为，最大值为，最小值，然后问题可求解． 【详解】解：由可得，，，， 代入原式：， ∵，即符号组合为一个负三个正或三个负一个正， ∴当只有一个负数时： 若，都大于0，则； 若，都大于0，则； 若，都大于0，则； 若，都大于0，则； 当有三个负数时： 若，都小于0，则； 若，都小于0，则； 若，都小于0，则； 若，都小于0，则； 综上所述：最大值为，最小值，所以它们的乘积为； 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级上·重庆·期中）已知，，，均为整数，且，若，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，由条件 和 ，确定和的取值范围，其乘积为，由于绝对值之和均为整数，分别计算对应和 的最大值，比较的大小，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，， 由于，有， 因此， 同理，由于，有， 因此， 因为，且和为正整数， 若，， 由，有，即，得， 因为，有， 所以， 当时，，得或； 当时，，得或； 当时，，得 ； 因此最大为； 由，有，即，得， 因为，有， 所以； 若，则； 若，则， 当 时，（最大）；其他值对应更小， 因此最大为，最大为， 若，， 由，有，即 ，得， 因为，有， 所以故，且，得， 由，有，即，得， 因为，有， 所以， 若，则； 若 ，则 ， 当 时，（最大）；其他值对应更小， 综上可得， 最大为，， 所以最大值为， 故答案为：． 【题型7 数式或图形的变化规律】 【例7】（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）在数轴上A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达，第2次从点向右移动6个单位长度到达点，第3次从向左移动9个单位长度到达点，…按照这种规律进行下去，第n次移动到达点，如果点与原点的距离为20，那么n的值为______． 【答案】13 【分析】本题考查了数轴中的规律探究，根据移动规律，当n为奇数时，点的坐标为；当n为偶数时，点的坐标为．由点与原点的距离为20，列出方程求解． 【详解】解：当n为奇数时，点的坐标为，则，即，解得，． 当n为偶数时，点的坐标为，则，即，解得，，不是整数，舍去． ∴n的值为13． 故答案为：13． 【变式7-1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是______；第项是______． 【答案】 ； 【分析】本题考查了数字类规律变化，由多项式得，符号的规律为：为奇数时，项的符号为负号，为偶数时，项的符号为正号；系数的绝对值的规律为：第个对应的系数的绝对值是；指数的规律为：第个对应的指数是，据此解答即可求解，找到项的变化规律是解题的关键． 【详解】解：有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是；第项是， 故答案为：，． 【变式7-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，记第个图的圆点个数为个，其中，，…依此规律则，_____，若，则_____． 【答案】 52 21 【分析】本题考查了图形的变化规律类问题，运用特殊到一般的数学思想是解题的关键． 将每个图形分为2部分看，每个图形左边均为6个点；右边中间都是1个点；右边上面依次增加一行，每行依次增加一个；右边下面依次增加一行，每行都是2个点；总结出一般规律即可求解． 【详解】解：在图①中，圆点个数为 在图②中，圆点个数为 在图③中，圆点个数为 在图④中，圆点个数为． ． 图n中圆点个数为： ∴； 按此规律依次计算可知， ， 故答案为：，． 【变式7-3】（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 【题型8 一次式的相关概念辨析】 【例8】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母y的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式8-1】（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法中，正确的有（    ）个． ①是代数式；②是一次式，其系数是；③不是代数式；④不是一次式． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了代数式和单项式的系数次数的识别．根据代数式的定义，单项式的次数和系数和多项式的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是代数式，故正确； ②分母中含有字母，不是一次式，故错误； ③是代数式，故错误； ④是一次式，故错误． ∴①说法正确． 故选：A． 【变式8-2】（24-25七年级上·广东广州·期末）关于一次式，说法错误的是（ ） A．的一次项是，，， B．的常数项是2 C．和是同类项 D．和是同类项 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的项，同类项的定义，掌握这些知识是解题的关键．多项式中不含字母的项叫做常数项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此逐一分析判定即可． 【详解】解：A．的一次项是，，，，故A正确，不符合题意； B．的常数项是，，故B错误，符合题意； C．和是同类项，故C正确，不符合题意； D．和是同类项，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式8-3】（25-26六年级上·上海普陀·期末）若是关于的一次式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据一次式的定义，多项式最高次数为1，因此项系数为零，且的指数为1． 【详解】解：因为式子是关于的一次式， 所以项的系数， 解得：； 同时必须是一次项， 故， 解得：． 因此． 故答案为：． 【题型9 一次式的运算】 【例9】（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差的立方的计算结果为____________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项，项的系数，代数式求值，以及有理数的乘方运算，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简一次式，得到与的值，再根据题意列式计算求解，即可解题． 【详解】解： ， 一次式的一次项的系数为，常数项为， ，， 则与的差的立方的计算结果为， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随 后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是 （     ）         A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式的加减，解答此题的关键是要明确：整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 根据整式减法的运算方法，用减去，求出所捂的一次二项式即可． 【详解】解：∵所捂的一次二项式与的和是 ∴所捂的一次二项式 ， 故选：A． 【变式9-2】（25-26六年级上·上海·单元复习）一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，解答时合并同类项即可．根据已知条件可设此多项式为M建立等式解得即可． 【详解】解： 故选：C 【变式9-3】（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据等式，得到，再代入A和C的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【题型10 一次式的加减与周长应用】 【例10】（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 【变式10-1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为，那么_____cm． 【答案】20 【分析】本题考查整式的加减、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 先设出小长方形和大长方形的长和宽，然后即可表示图2中阴影部分的周长为和图3中阴影部分的周长为，再作差即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图③可得，， 这两个大长方形的长比宽长， ． 由图②可知：阴影部分的周长， 由图③可知：阴影部分的周长， ． ， ． ． 故答案为：20． 【变式10-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图所示，长方形中放置两个边长都为的正方形与正方形，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形的面积记为，已知：，则长方形的周长为___________． 【答案】 36 【分析】设，，利用a，b表示出图中的阴影部分面积与长方形面积，然后根据可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】解：设，， 由图可得，，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 【变式10-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在长方形中放入3个正方形如图所示，若，，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，由可得，将阴影部分的周长和表示出来，再把各条线段用含有a、b、c的式子代换，然后再化简，看最后结果与哪条线段有关即可． 本题主要考查了列代数式及代数式的化简．把各条线段用含有a、b、c的式子表示是解题的关键． 【详解】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∵， ， ， ，， ， ∴阴影部分的周长和= ， ∴知道的长就可以求出图中阴影部分的周长和． 故选：B 【解答压轴】 【题型11 数轴上点的运动问题】 【例11】（25-26七年级上·四川雅安·期末）点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知． (1)若点C为原点，则点A表示的数是 ； (2)如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达B点后立即按原速折返；点Q沿线段以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动． ①当点停止运动时，求点P、Q之间的距离； ②设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，？ 【答案】(1) (2)①7；②或 【分析】（1）求出的长，进而求出点A表示的数即可； （2）①求出停止时，两点所在的位置，根据线段的和差关系进行求解即可；②分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点C为原点，点在点的左侧， ∴点A表示的数是； （2）解：①由题意，点回到出发点所用时间为（秒）； 点回到出发点所用时间为（秒）； 故两点移动的总时间为秒， 此时，点与点重合， ∴； ②点到达点所用时间为秒，点到达点所用时间为2秒， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得； 综上：或． 【变式11-1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A，B，C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A，B，C表示的数分别为________，________，_________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)10个单位长度/秒 【分析】（1）由，得，解，得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为x个单位/秒，经过5秒时，点R表示的数为，点P表示的数为，点Q表示的数为，可得方程，解得． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴ 解得， ∵， ∴， 数轴上点A，B，C表示的数分别为，30，10． 故答案为：，30，10． （2）解：∵动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数为：，Q表示的数为：， ∴， ∵P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， ∴, ∴, 当时， ， 当时， ． 故当t为22或18时，P，Q之间的距离恰好等于8个单位长度． （3）解：设点R的速度为x个单位长度/秒， ∵动点P，Q两点同时从A，B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒． 则经过5秒时，点R表示的数为：， 点P表示的数为：， 点Q表示的数为：， ∵经过5秒时，恰好点Q是其余两点P、R的中点． ∴， 解得． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握题意，非负数性质，动点表示的数，数轴上两点之间的距，中点公式，列出方程，分类讨论． 【变式11-2】（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)①；②； (3)不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①表示数到和的距离之和，当数在和之间时，有最小值，即可求解； ②由①可知，当时，的最小值为，同理可得，当时，的最小值为，再分两种情况讨论：若，则，此时，求出的值，再代入计算最大值；若，则，不符合题意，即可得解； （3）设运动时间为t秒，由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，，则，，再分两种情况求解：当时，点在点右侧，此时；当时，点在点左侧，此时，分别代入合并化简，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：或， 故答案为：或； （2）解：①表示数到和的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； ②由①可知，当时，的最小值为， 同理可得，当时，的最小值为， ，且x为整数， 若，则，此时， 的最小值为， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 此时，的最大值为； 若，则，不符合题意， 综上可知，的最大值为； （3）解：存在n的值，使得在运动过程中的值是定值， 设运动时间为t秒， 由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，， ，， 当时，点在点右侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 对于所有，不成立，不符合题意； 当时，点在点左侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 当，时，不成立，舍去， 综上可知，不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，整式的无关型问题等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式11-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点为数轴上的原点，点、分别为数轴上两点，对应的数分别为、，已知，． (1) ； ； (2)若动点从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向匀速运动，当点运动到线段上时，分别取、的中点、，若是定值（其中，为常数），试求与的等量关系； (3)若是数轴上的任意数，代数式的最小值为，其在数轴上对应点记为点．动点、分别从点、同时出发，以各自的速度在、之间做匀速往返运动，其速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，当他们第三次在点处相遇时，请直接写出此时点在数轴上对应的数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，绝对值的含义，非负数的性质，线段中点的含义，解题的根据是根据数轴上的点运动的特点找到数量关系列方程求解． （1）根据，得出，根据已知，可得，，即可求解； （2）表示出，，，求出，关于t的式子，再代入，化简得到，可得，结合为定值，即可求出m，n的关系； （3）先求出当时，代数式的最小值 ，再得出，设第三次相遇时过了秒，建立方程求解，进而求得点的运动时间，最后求得对应的数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，． ∴， ∴，，即， 故答案为：，． （2）假设点运动了秒，则对应的数为，，     因为、是、的中点， 所以点对应的数是，点对应的数是， 所以，     ∴ 因为是定值， 所以可以设此定值为 ，    ∴ ∴ 所以， ，     所以 解得： ， （3）零点值为个，个，个，个，个，， 总共15个零点，15为奇数，则在第8个零点取最小，即时，代数式有最小值，最小值为， 故，     ， ， 由已知，第一次相遇，合走个， 第二次以及以后相遇，，每次合走个， 设第三次相遇时过了秒，则，     ，     对分析，从出发，以速度为在之间进行往返运动，经过秒的路程为， ， 点第一次到达后向右走了，     故此时点对应的数为． 【题型12 绝对值的几何意义】 【例12】（25-26七年级上·辽宁朝阳·期中）【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【应用】：（1）已知，都是有理数，若，则的值， 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求． 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离． （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、、若，，，则的值是 ． 【尝试应用】：（4）符号：，表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度（）的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 【答案】（1）；（2）或，（3）5；（4）或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，非负数的性质，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用： （1）根据非负数的性质求得的值，代入计算即可； （2）根据绝对值的意义即可求出，，进而代入计算即可； （3）由图可知：，化简绝对值可得，，，再根据即可求解 （4）可得设点P和点Q表示的数分别为，根据定义可得，根据得到，即，据此把看作一个整体，解绝对值方程即可得到答案． 【详解】（1）解：（1） ， ， ， ， （2） ，， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． （3）由图可知：， ，，， ，，， ， 故答案为：． （4）设点和点表示的数分别为， ，， ， ， ， ， 当时， ， ， 点、之间的距离为； 当时， ， ， 点、之间的距离为； 综上所述，点、之间的距离为或． 【变式12-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 【变式12-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)若，求的值； (3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个； (4)设，当______时，的值最小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求解； （2）由题意得，求出的值即可； （3）由表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，则，从而得到即可； （4）根据数轴上两点间的距离可求得共有个点，中位数是第15、16个点，即，最小． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， 解得：； （3）解：∵表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，， ∴， ∴，，，，，，，，共个整数； （4）解： ， 零点从小到大排列：，，，，，一共5个零点（奇数个）， 共有个点， 即第号：， 第号：， 第号：， 第号：， 第号：， 中间数是第15、16个，即， 所以取中间的零点，也就是时，y最小． 【变式12-3】（24-25九年级上·江西新余·阶段检测）阅读下列材料并回答问题： 我们知道，绝对值的几何意义是表示在数轴上一个数对应的点与另一个特定点的距离．例如，可以解释为数轴上对应的点与对应的点之间的距离．基于这一概念，我们可以解决一系列与绝对值相关的数学问题，如方程和不等式的求解． 例1：解方程．从绝对值的几何意义出发，我们寻找数轴上与原点距离为5的点．显然，这些点对应的数为5和，因为它们到原点的距离都是5．因此，该方程的解为或． 例2：解不等式，如图1，在数轴上找出的解，即到数1对应的点的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为或． 例3：解方程．由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与数1和数对应的点的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，1和的距离为3，满足方程的对应的点在1的右边或的左边，若对应的点在1的右边，由图2可以看出，同理，若对应的点在-2的左边，可得，故原方程的解是或．    回答问题： (1)解方程：； (2)解不等式：； (3)解方程：； (4)若对任意的都成立，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以求得方程的解； （2）根据题意可以求得不等式得解集； （3）讨论的不同取值范围可以求得方程的解． （4）原问题转化为：大于或等于最大值，据此求解． 【详解】（1）解：解方程，容易看出，在数轴上与距离为7的点的对应数为，3，即该方程的解为或； （2）解：解不等式， 如图3，在数轴上找出的解，即到3的距离为4的点对应的数为，7，则的解集为或．    （3）解：， 当时， ， 解得； 当时， ， 在时，不能使得成立； 当时， ， 解得， 故的解是或． （4）解：原问题转化为大于或等于的最大值． 当时，应该恒等于； 当时，随的增大而减小， 即小于4大于； 当时，， 即应该恒等于4． 综上所述，的最大值为4， 故． 【题型13 带绝对值的式子化简问题】 【例13】（25-26七年级上·广东广州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）已知，则一正两负，分类讨论即可； （3）个正数，负数有个，式子中由个正个，相加即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的正负性可能为： ①当为正数，为负数时，原式 ； ②当为正数，为负数时，原式 ； ③当为正数，为负数时，原式 ； ∴原式或3； （3）解：个正数，负数的个数为， ； 故答案为：． 【变式13-1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 【变式13-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得： ， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组 时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 【变式13-3】（25-26七年级上·重庆大足·期末）在科学研究中，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是研究距离非常重要的工具，它是数形结合的典范．本学期我们学习了数轴，请利用相关知识解决问题． 如图，数轴上表示，，，的点所对应的数为，，，，请完成下列各题： 【基础填写】 （1）在，，，四个数中，离原点距离最近的数是_____________．离原点距离最远的数是_____________． 【理解运用】 （2）化简：． （3）探究：式子，当__________时，式子有最_________值（填‘大’或者‘小’）为____________． 【拓展提升】 （4）数轴上，清洁机器人从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻，相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速．若在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇，请问最后几秒能与相遇？ 【答案】（1）； （2） （3）；小； （4） 【分析】（1）根据数轴上点的位置直观判断各点对应数到原点的距离，得出离原点最近和最远的数即可； （2）先由数轴确定各代数式的符号，再根据绝对值的性质化简，最后进行有理数混合运算得出结果即可； （3）将式子转化为数轴上点到、、三点的距离之和，利用奇数个点取中间点求最值的方法，代入计算即可得最小值； （4）先算、首次相遇时间，再求相遇后到第秒的时间差与此时的间距，最后根据改向后的相向运动速度和，即可计算出相遇所需时间． 【详解】解：（1）由数轴可知，离原点距离最近是点，离原点距离最远是点， ∴离原点距离最近的数是，离原点距离最远的数是； 故答案为：；； （2）由数轴可知，，， ∴，，， ∴ ； （3）∵， ∴表示数轴上点到、、三点的距离之和， ∵定点、、为个（奇数个），按从小到大排序后中间定点为， ∴当时，该距离之和取得最小值， 把代入，得 ； 故答案为：；小；； （4）∵从出发向右以个单位长度/秒清扫，巡检机器人从出发向左以个单位长度/秒巡逻， ∴、首次相遇时间为：， ∵相遇后立即折返，速度变为个单位长度/秒，保持原速，若在第秒时接到指令， ∴在接到指令时、相距：， ∵在第秒时接到指令，改为向右以个单位长度/秒与相遇， ∴最后与相遇时间为：． 【点睛】本题考查了数轴的综合应用，数轴上点到原点的距离、绝对值的代数化简与几何意义、有理数的混合运算，以及数轴上的分段动点相遇问题，将抽象的数与数轴上的点对应，结合数轴直观判断数的符号与大小关系，对动点问题按运动状态分阶段拆解并运用相对速度计算是解题的关键． 【题型14 一次式的加减】 【例14】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能被6整除，理由如下： ， 为正整数， 是正整数， 能被6整除， 即减去的差能被6整除． 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，把两多项式相加，即可得到结果； （2）两多项式相减，得到，可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）略 【变式14-1】（24-25七年级上·全国·单元测试）当时，求一次式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，先去括号，再合并同类项将整式化简，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式14-2】（25-26六年级上·上海·课后作业）如图，用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是，它的长是．如何用一次式表示这根铁丝的长度？ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用，先列出代数式，并进行化简即可． 【详解】根据题意，铁丝的长为，即， 根据乘法对加法的分配律与乘法结合律，得 ． 【变式14-3】（25-26六年级上·上海·单元复习）甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车的距离是多少？ 【答案】(1)经过，两车的距离为 (2)经过，两车的距离是 【分析】本题考查了整式的加减的应用，解决本题的关键是根据题意正确列出代数式， （1）根据题意列出代数式，并进行计算即可； （2）代入求值即可； 【详解】（1）根据题意，经过后两车的距离为 ． 答：经过，两车的距离为； （2）因为，时， 有． 答：经过，两车的距离是 【题型15 一次式加减的新定义运算】 【例15】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）新定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：，，中，“迥异数”为____________； ②计算：____________． (2)如果一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是，且，请求出“迥异数”． (3)如果一个“迥异数”，满足，请直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或 【分析】（1）①根据“迥异数”的定义直接判断即可；②根据的定义计算即可； （2）用含的代数式表示原数和对调后的新数，计算得到，结合列方程求解，即可得到； （3）设的十位为，个位为，用含的代数式表示和，代入不等式，根据的取值范围枚举得到所有符合条件的． 【详解】（1）①根据定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，称为迥异数”，个位为，个位与十位相同，因此“迥异数”为． ②． （2）由题意得，“迥异数”的十位数字是，个位数字是， 原数， 对调个位和十位后得到的新数为， 因此， 已知， 因此， 解得，则个位数字为，因此． （3）设“迥异数”的十位数字为，个位数字为，满足，都是到的正整数，则， 对调后新数为， 因此， 代入不等式得：， 整理得， 因为， 所以，即， 解得， 因为是正整数，所以或， 当时，代入不等式得， 解得， 因此，满足，此时， 当时，代入不等式得， 解得， 因此，满足，此时． 【变式15-1】（25-26七年级上·重庆巫山·期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_____“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1) 不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”， 理由：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； (2)①是；② 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算，有理数的混合运算，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． （1）根据新定义，分别求出两数的差与两数积的3倍减2的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：①是“同心有理数对”， ． ∵，， ∴， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 【变式15-2】（25-26七年级上·福建厦门·期中）【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_____； (2)小颖同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，她的说理过程如下：设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为．（请你继续完成小颖同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时的值． 【答案】(1)8 (2) ∵设“异数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为． ∴， 交换个位与百位后得数为： 这两个数的差值 ，均为整数，且， ∴是正整数， 必为正整数， (3)最小值为7，此时或或或 【分析】本题考查新定义题型，数字规律，整式的加减运算，求一个数的绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题目中的定义，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个整数为即可得解． （2）根据题意，，交换个位与百位后得数为：，，商为正整数，即可得出结果； （3）根据“异数”的定义，易得，，结合s，t都是“异数”，，以及为小于10的正整数，得或或或或，再分别代入进行计算，即可作答． ，继而得解； 【详解】（1）解：依题意，交换百位和个位上的数字后，得 ∵用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． ∴，， ； （2）解：略． （3）解：， ∴交换个位与百位后得数为：， ∴这两个数的差值 ∴ ∵ ∴交换个位与百位后得数为：， ∴这两个数的差值 ∴ ∵的最小值， 即求的最小值， ∵s，t都是“异数”，， ∴， ∵为小于10的正整数， ∴或或或或 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； ∵， ∴的最小值为7，此时或或或． 【变式15-3】（25-26七年级上·北京·期中）对于、，定义了一种新运算“★”为：． 如：，． (1)计算：①__________；②__________． (2)若，，且当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1), (2), (3) 【分析】本题考查函数值，理解新定义运算是正确解答的前提． （1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）由，根据新定义的运算得到，最后根据当时，的值与字母的取值无关，得到，； （3）先化简式子，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：,． （2）解：当时，， ∵当时，的值与字母的取值无关， ∴，， 解得,； （3）解：在（2）的条件下，，， ∴ ． 【题型16 一次式加减的应用综合】 【例16】（25-26七年级下·重庆万州·期中）为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”的方式以达到节水的目的，收费标准如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米），请根据表中的内容解答下列问题： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ (1)某居民用户9月份用水9，应缴水费　　　元； (2)某居民用户10月份缴水费44元，求该用户10月份的用水量； (3)若用户11月份、12月份共用水18（12月份用水量超过11月份用水量），设11月份用水，求该户居民11月份、12月份两个月共交水费多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)24 (2) (3)当时，水费共交元；当时，水费共交元；当时，水费共交48元 【分析】（1）居民用户9月份用水9，处于第二档，根据收费标准计算即可； （2）若该用户10月份用水超过不超过，最多应收水费元，得到该用户10月份用水量超过了．设该用户10月份用水量为，根据收费标准列方程求解即可； （3）该户居民11月份、12月份两个月共用水，设11月份用水，则设12月份用水，由12月份用水量超过了11月份，得到，再根据，，分情况讨论，分别根据两个月所处的位置结合收费标准列式计算即可． 【详解】（1）解：某居民用户9月份用水9，处于第二档，应缴水费（元）； （2）解：若该用户10月份用水不超过，最多应收水费元， 若该用户10月份用水超过不超过，最多应收水费元， 该户居民10月份水费为44元，因为， 所以该用户10月份用水量超过了． 设该用户10月份用水量为， 由题意得：， 解得：， 答：该居民10月份用水量为； （3）解：该户居民11月份、12月份两个月共用水，设11月份用水，则12月份用水， ∵12月份用水量超过了11月份， ∴， 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 当时，则，该户居民11月份、12月份两个月共交水费； 所以，当时，水费共交元；当时，水费共交元；当时，水费共交48元． 【变式16-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 【变式16-2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【答案】(1)11张 (2)第25张 【分析】（1）根据规则：取牌张数+牌点数=13，分别算出点数3、Q对应的取牌数量，再求和即可； （2）设两张牌点数分别为，先表示出步骤④取牌总数，再结合，计算步骤⑤翻开牌在整堆牌的上层位置，再换算成从下往上的序数． 【详解】（1）解：已知规则：取牌张数牌点数，Q视为点数12． 点数为3时，取牌数量：张； 点数为Q时，取牌数量：张， 总共取牌：张， 所以步骤4中共需取扑克牌11张． （2）解：设两张翻开的扑克牌点数分别为和：两张牌点数之和， 步骤④总共取走的牌数：对于点数为的牌，取牌数为；对于点数为的牌，取牌数为，总取牌数为， 剩余牌堆的总张数：步骤②抽取30张，步骤③抽取（张），步骤④取走张，因此剩余牌堆张数为， 步骤⑤要求从剩余牌堆从上往下数第张翻开，那么从下往上数的位置为总张数减去从上往下数的位置再加1，即，因此最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第张． 【变式16-3】（25-26七年级下·广西南宁·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有数字． 游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片分别记为．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者按要求回答问题． 下表是小李抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和： 卡片编号 两数的和 53 65 58 72 请思考： (1)请比较小李抽取的卡片上的数的大小__________（用“<”连接）； (2)求出小李抽取的五张卡片上的数的和（用含的式子表示）； (3)若编号为的三张卡片的数之和为，且比大30，求卡片上面所写的数字． 【答案】(1) (2) (3) 卡片上面所写的数字为 【分析】（1）根据每相邻两张卡片上的数的和的大小，可作出比较； （2）把表中两数的和相加并除以2即可； （3）根据题意及（2）所求，可求得m的值，进而求得C卡片上的数，由C，D两张卡片上的数的和求得D卡片上的数． 【详解】（1）解：用A，B，C，D，E五张卡片代表这五张卡片上的数字， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2） 解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $