专题06 一元二次方程的实际应用8大题型36题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

专题06 一元二次方程的实际应用 基础·固本强基 题型1 传播问题（重点） 题型2 增长率问题（重点） 提升·进阶突破 题型3 古代问题（重点） 题型4 数字问题（重点） 题型5 握手、循环问题（重点） 拔高·压轴破难 题型6 与图形有关的问题（难点） 题型7 营销问题（难点） 题型8 动态几何问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 传播问题（共5小题） 【模型】每轮传播中，每个传染源感染固定数量新个体，总数按平方或倍数增长。 【步骤】先设每轮一人传染x人，表示第一轮后总数，再表示第二轮后总数，列一元二次方程求解，舍去不合题意根。 【易错】注意传播轮数与初始人数，勿把第一轮后总数当初始值；解出负根要舍去，别漏“每轮传染源也参与下一轮”的倍增关系。 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 2．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 4．（26-27九年级上·重庆·期中）重庆万州的非遗项目“金钱板”凭借独特的说唱韵律与地域文化魅力，成为本地文化传承的亮点之一．近期，在本地文化宣传平台正式上线推广“金钱板”主题短视频，第一天的点击量为15万次，因非遗文化热度攀升，第三天点击量达到21.6万次．若每天点击量的平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________． 5．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 题型2 增长率问题（共5小题） 【模型】基数按固定增长率逐期增长，末期量=基数×(1+增长率)ⁿ。 【步骤】先设增长率为x，确定基数与期数n，按公式列方程，解出x，舍去不合题意的根并作答。 【易错】注意是增长还是下降，公式中用加或减；期数n别数错；解出负值或超范围根要舍去，勿把增长后的量当基数。 6．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为____________． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 9．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． (1)用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； (2)根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； (3)若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 10．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． (1)求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； (2)若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 提升·进阶突破 题型3 古代问题（共3小题） 【模型】将古代数学文言问题翻译为现代数量关系，列一元二次方程求解。 【步骤】先读懂文言题意并翻译，设未知数表示各量，找等量关系列一元二次方程，解方程并舍去不合题意的根。 【易错】须先准确翻译古文，勿望文生义；注意单位与数量关系，解出负根或不合实际根要舍去，别漏作答。 11．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高_______尺． 题型4 数字问题（共5小题） 【模型】用数位表示两位数或多位数，依据数字间关系列一元二次方程求解。 【步骤】先设个位或十位数字为x，用x表示原数和新数，根据数字和或互换后的关系列方程，解出并检验。 【易错】两位数表示为10a+b，勿把数字直接当数；互换后为10b+a，注意顺序；解出数字须为0~9整数，负值或超范围舍去。 14．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 15．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 17．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 18．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 题型5 握手、循环问题（共5小题） 【模型】n个对象两两互动一次，总次数为n(n-1)/2，依此列一元二次方程。 【步骤】先确定对象数n，判断是否两两一次，按n(n-1)/2列方程，解出n，舍去不合题意的根并作答。 【易错】握手、循环是两两一次用n(n-1)/2，勿用n(n-1)；注意是否重复计数，解出负根或非整数根要舍去，别漏除以2。 19．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 20．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 21．（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 22．（25-26九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 23．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 拔高·压轴破难 题型6 与图形有关的问题（共5小题） 【模型】由图形边长、面积或周长关系列一元二次方程，求解几何量。 【步骤】先设未知边长或线段，用几何公式表示面积或周长，依题意列一元二次方程，解出并舍去不合图形实际的根。 【易错】边长须为正且符合图形范围，负根或超范围根要舍去；注意面积公式别用错，单位统一，勿漏图形隐含条件。 24．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．求车道的宽？ 25．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 26．（25-26九年级上·北京·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 27．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 28．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与实践 主题 “知耕园”生态农场田地设计 情境 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之贵，厚植劳动情怀：学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为米，宽为米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 任务一 要求：设计的每一条小路水平宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中． 问题一 （1）①以上三种方案中小路面积的大小关系？ 你的判断是___________；（填“相等”或“不相等”) ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为平方米，则每条小路的宽度是___________米． 任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图，花圃一边利用水池，其它边用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃． 问题二 （2）若可利用的水池长米，花圃的面积刚好为平方米，求矩形花圃的一边的长． 题型7 营销问题（共5小题） 【模型】售价变化引起销量变化，用单件利润×销量列一元二次方程求最大利润。 【步骤】先设涨价或降价x元，表示单件利润与销量，按总利润=单件利润×销量列方程，解出并舍去不合题意根。 【易错】注意售价与销量变化方向相反，勿把涨降价符号弄反；单件利润要减进价；解出根须符合实际范围，别忘取舍。 29．（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 30．（25-26九年级上·广东惠州·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 31．（25-26九年级上·福建泉州·期中）2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 32．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 33．（25-26九年级上·福建漳州·期中）为了更好推广平和美食——麻枣和枕头饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：麻枣和枕头饼销售方案制定问题 平和糕点历史悠久，平和麻枣，外酥内软，甜而不腻；枕头饼馅料饱满，芝香浓郁．皆为传统名点，馈赠佳品． 素材1 平和麻枣 平和枕头饼       素材2   经统计，该甜品店10月份“平和麻枣”销售量为480盒，12月份销售量为750盒；而“枕头饼”10月份销售量为600盒． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“枕头饼”作降价促销，已知每盒“枕头饼”的成本为10元．经试验，发现该款“枕头饼”每盒每降价1元，月销售量就会增加100盒． 问题解决 任务1 求该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，求该枕头饼每盒应该降价多少元? 题型8 动态几何问题（共3小题） 【模型】动点运动产生线段或面积变化，用时间t表示各量，列一元二次方程求解。 【步骤】先设运动时间为t，用t表示相关线段长，根据面积或勾股关系列一元二次方程，解出并舍去不合题意的t。 【易错】注意t的取值范围与点的运动边界，线段长须为正；负根或超范围根舍去；面积公式别用错，勿漏分类讨论。 34．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 35．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 36．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． $专题06 一元二次方程的实际应用 基础·固本强基 题型1 传播问题（重点） 题型2 增长率问题（重点） 提升·进阶突破 题型3 古代问题（重点） 题型4 数字问题（重点） 题型5 握手、循环问题（重点） 拔高·压轴破难 题型6 与图形有关的问题（难点） 题型7 营销问题（难点） 题型8 动态几何问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 传播问题（共5小题） 【模型】每轮传播中，每个传染源感染固定数量新个体，总数按平方或倍数增长。 【步骤】先设每轮一人传染x人，表示第一轮后总数，再表示第二轮后总数，列一元二次方程求解，舍去不合题意根。 【易错】注意传播轮数与初始人数，勿把第一轮后总数当初始值；解出负根要舍去，别漏“每轮传染源也参与下一轮”的倍增关系。 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 2．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 3．（25-26八年级下·山东东营·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 4．（26-27九年级上·重庆·期中）重庆万州的非遗项目“金钱板”凭借独特的说唱韵律与地域文化魅力，成为本地文化传承的亮点之一．近期，在本地文化宣传平台正式上线推广“金钱板”主题短视频，第一天的点击量为15万次，因非遗文化热度攀升，第三天点击量达到21.6万次．若每天点击量的平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意可列方程为． 5．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 题型2 增长率问题（共5小题） 【模型】基数按固定增长率逐期增长，末期量=基数×(1+增长率)ⁿ。 【步骤】先设增长率为x，确定基数与期数n，按公式列方程，解出x，舍去不合题意的根并作答。 【易错】注意是增长还是下降，公式中用加或减；期数n别数错；解出负值或超范围根要舍去，勿把增长后的量当基数。 6．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 【答案】 25 【分析】根据增长率问题的通用公式：末期值=初期值×（增长率）（其中n为增长次数），列出方程并求解即可． 【详解】解：从2024年到2026年，经历了2次增长，即， 将数据代入公式，可列出方程：． 解得，． ∵产量是增长的，增长率x大于0， ∴取，即25%． 7．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用已知表示出八、九月份的用户数量进而得出等式求出答案． 【详解】解：设八、九月份用户数量的月平均增长率为x，则八月份用户数量为亿，九月份用户数量为亿， 根据题意可得方程为：． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）随着“浙”篮球赛事的持续升温，越来越多的球迷前往现场观赛，感受篮球魅力．某篮球馆，今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人． (1)求该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率； (2)若6月份继续保持相同的增长率，则该篮球馆6月份预计接待观众多少万人？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)6月份预计接待观众万人 【分析】（1）设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待观众1万人，5月份接待观众增加到了万人，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：设该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该篮球馆这两个月接待观众的月平均增长率为． （2）解：月份接待观众人数：（万人）， 答：该篮球馆月份预计接待观众万人． 9．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． (1)用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； (2)根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； (3)若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 【答案】(1)； (2)8个人 (3)729人 【分析】（1）根据每轮传染中平均一个人传染x个人，列出代数式即可； （2）根据经过两轮传染后，全校共有81人患了流感，列出方程进行求解即可； （3）根据（2）中结果，进行求解即可. 【详解】（1）解：第一轮传染后患病人数为人， 第二轮传染后患病人数为人． （2）解：依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 故． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （3）解：第三轮传染后患病总人数为（人）， 答：第三轮传染后全校患流感的总人数为729人． 10．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）近年来随着安吉白茶种植规模不断扩大，采茶工的需求量和工资也在不断上涨，已知某白茶基地在2024年的采茶工资为每斤25元，2026年的采茶工资为每斤36元，经市场调研发现，当青叶售价为220元时，每天能卖出100斤，每降价5元，则多卖10斤，销售中除了采摘工资的成本，还有其它运输、肥料等养护成本每斤64元． (1)求2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的平均年增长率； (2)若该基地希望2026年度日销售利润达到14400元，求每斤青叶的售价． 【答案】(1) (2)每斤青叶售价为190元或180元时，日销售利润达到14400元 【分析】（1）设平均增长率为x，然后根据2024年的工资和增长率表示出2026年的工资，从而建立方程即可解答； （2）设售价降价y元，表示出每斤的利润和降价后的销量，结合期望的利润建立方程，即可解答． 【详解】（1）解：设2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为x， 根据题意可得， 解得，（舍）， 答：2024年至2026年采茶工每斤采茶工资的年平均增长率为； （2）解：设售价降价y元，根据题意可得， ， 解得，， 则当时，售价为（元）； 当时，售价为（元）； 答：每斤青叶售价为190元或180元时，日销售利润达到14400元． 提升·进阶突破 题型3 古代问题（共3小题） 【模型】将古代数学文言问题翻译为现代数量关系，列一元二次方程求解。 【步骤】先读懂文言题意并翻译，设未知数表示各量，找等量关系列一元二次方程，解方程并舍去不合题意的根。 【易错】须先准确翻译古文，勿望文生义；注意单位与数量关系，解出负根或不合实际根要舍去，别漏作答。 11．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 12．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2025年2月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率），2025年3月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率，再根据第一季度总销量达到万辆即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高_______尺． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 故答案为：8． 题型4 数字问题（共5小题） 【模型】用数位表示两位数或多位数，依据数字间关系列一元二次方程求解。 【步骤】先设个位或十位数字为x，用x表示原数和新数，根据数字和或互换后的关系列方程，解出并检验。 【易错】两位数表示为10a+b，勿把数字直接当数；互换后为10b+a，注意顺序；解出数字须为0~9整数，负值或超范围舍去。 14．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 15．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 18．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 题型5 握手、循环问题（共5小题） 【模型】n个对象两两互动一次，总次数为n(n-1)/2，依此列一元二次方程。 【步骤】先确定对象数n，判断是否两两一次，按n(n-1)/2列方程，解出n，舍去不合题意的根并作答。 【易错】握手、循环是两两一次用n(n-1)/2，勿用n(n-1)；注意是否重复计数，解出负根或非整数根要舍去，别漏除以2。 19．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设到会人数为x人，根据握手问题公式，总握手次数为，据此列一元二次方程求解． 【详解】解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 20．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 21．（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【答案】云南共有16个州（市） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设云南共有个州（市），根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 22．（25-26九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)学校应安排个球队参加比赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）解：∵根据题意可得， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍）． 答：学校应安排个球队参加比赛． 23．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 拔高·压轴破难 题型6 与图形有关的问题（共5小题） 【模型】由图形边长、面积或周长关系列一元二次方程，求解几何量。 【步骤】先设未知边长或线段，用几何公式表示面积或周长，依题意列一元二次方程，解出并舍去不合图形实际的根。 【易错】边长须为正且符合图形范围，负根或超范围根要舍去；注意面积公式别用错，单位统一，勿漏图形隐含条件。 24．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．求车道的宽？ 【答案】车道宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意表示出停车位总占地长和宽，再根据停车位总占地面积为平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：观察图形可知，车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意，得， 整理得，即， 解得，（舍去）． 答：车道宽为米． 25．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2)剪去的小正方形的边长为 【分析】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，矩形性质理解，正方形性质理解等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程和一元一次方程是解题的关键． （1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长为（），宽为，高为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设剪去的小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为，根据礼盒的侧面的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为， 则礼盒底面的长为（），宽为，高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ， ∴（）， 即该长方体礼品盒的体积为， 故答案为：； （2）设小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 26．（25-26九年级上·北京·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为 (2) 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽 为，则车棚的长， 根据题意可得 ， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； （2）略 27．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 28．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与实践 主题 “知耕园”生态农场田地设计 情境 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之贵，厚植劳动情怀：学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为米，宽为米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 任务一 要求：设计的每一条小路水平宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中． 问题一 （1）①以上三种方案中小路面积的大小关系？ 你的判断是___________；（填“相等”或“不相等”) ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为平方米，则每条小路的宽度是___________米． 任务二 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图，花圃一边利用水池，其它边用长为米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃． 问题二 （2）若可利用的水池长米，花圃的面积刚好为平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】（1）①相等；②；（2）米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，生活中的平移现象，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据图形平移的性质，即可得出答案；②设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积约为平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为平方米列方程，解方程即得答案． 【详解】解：（1）①将各种方案中的小路向左或向上平移后所得的图形均为下图： ∴三种方案小路面积相等； 故答案为：相等． ②每条小路的宽度是米 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是米； 故答案为：． （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长米， ∴，解得， 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：的长为米． 题型7 营销问题（共5小题） 【模型】售价变化引起销量变化，用单件利润×销量列一元二次方程求最大利润。 【步骤】先设涨价或降价x元，表示单件利润与销量，按总利润=单件利润×销量列方程，解出并舍去不合题意根。 【易错】注意售价与销量变化方向相反，勿把涨降价符号弄反；单件利润要减进价；解出根须符合实际范围，别忘取舍。 29．（25-26九年级上·广东茂名·期中）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率是，根据题意列出方程，即可解答； （2）设售价应降低元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 30．（25-26九年级上·广东惠州·期中）某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元/的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元/销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价x（元/）之间的关系如图所示． (1)请求出y与x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元/时，每天的销售利润为元？ (3)销售该商品每天获得的利润能否达到元？若能求出此时的单价，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价定为元/时，每天的销售利润为元 (3) 不能，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴销售该商品每天获得的利润不能达到元． 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程是解题的关键， （1）根据题意利用待定系数法即可求函数解析式； （2）根据每天的销售利润为元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每天获得的利润需要达到元，列出方程，再根据，即可得到结论． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴， 解得， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价元，且不高于元/销售， ∴， ∴每天的销售利润为． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为元/时，每天的销售利润为元． （3）略 31．（25-26九年级上·福建泉州·期中）2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】(1) (2)75元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为元，根据题意列出方程，解出的值，由于需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，进行定价即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 32．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 33．（25-26九年级上·福建漳州·期中）为了更好推广平和美食——麻枣和枕头饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：麻枣和枕头饼销售方案制定问题 平和糕点历史悠久，平和麻枣，外酥内软，甜而不腻；枕头饼馅料饱满，芝香浓郁．皆为传统名点，馈赠佳品． 素材1 平和麻枣 平和枕头饼       素材2   经统计，该甜品店10月份“平和麻枣”销售量为480盒，12月份销售量为750盒；而“枕头饼”10月份销售量为600盒． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“枕头饼”作降价促销，已知每盒“枕头饼”的成本为10元．经试验，发现该款“枕头饼”每盒每降价1元，月销售量就会增加100盒． 问题解决 任务1 求该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，求该枕头饼每盒应该降价多少元? 【答案】任务1：；任务2：降价3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1：设该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； 任务：设该“枕头饼”每盒应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为盒，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：任务1，设该店销售“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 答：该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设平和枕头饼每盒应该降价m元，则每盒的利润为元，月销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，枕头饼每盒应该降价3元． 题型8 动态几何问题（共3小题） 【模型】动点运动产生线段或面积变化，用时间t表示各量，列一元二次方程求解。 【步骤】先设运动时间为t，用t表示相关线段长，根据面积或勾股关系列一元二次方程，解出并舍去不合题意的t。 【易错】注意t的取值范围与点的运动边界，线段长须为正；负根或超范围根舍去；面积公式别用错，勿漏分类讨论。 34．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 35．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于 (3)点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 36．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． $