专题05 根的判别式与根与系数的关系7大题型50题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05根的判别式与根与系数的关系 题型图谱导航总览 题型1利用判别式判断一元二次方程根的情况（重点） 基础固本强基 题型2利用一元二次方程根与系数的关系求值（重点） 题型3根据一元二次方程根的情况求参数（重点） 提升进阶突破 题型4一元二次方程的判别式与几何综合（难点） 题型5一元二次方程的判别式与根与系数的综合（难点） 拔高·压轴破难 题型6一元二次方程的判别式与新定义综合（难点） 题型7一元二次方程的根与系数与新定义综合（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1利用判别式判断一元二次方程根的情况（共5小题） 【模型】用判别式△=b2-4ac的符号判断一元二次方程根的情况。 【步骤】先化一般式确定a、b、c,算△=b2-4ac,由△>0、=0、<0判断两根不等、相等、无实根。 【易错】须先化一般式再定a、b、c,注意符号；△只判实根情况，勿与根的具体值混淆；二次项系数 a≠0别漏。 1.(26-27九年级上海南期中)一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况是（) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有一个实数根为0 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(26-27九年级上湖南期中)一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.(25-26八年级下浙江宁波期中)下列一元二次方程中，没有实数根的是() A.x2-1015x+2026=0 B.(x+1)=0 C.x2+5=4x D.2x2-1=3x 4.(25-26八年级下安徽合肥期中)已知关于x的方程x2+x-3=0(k为常数)，对根的情况判断正确 的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况与k值有关 5.(25-26九年级上山西运城期中)关于x的方程 2-(k+2)x+2k=0, 根的情况，下列说法正确的是 () A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 题型2利用一元二次方程根与系数的关系求值（共10小题） 【模型】利用韦达定理x+x2=-b/a,x1x2=c/a,将所求式变形代入求值。 【步骤】先化一般式确认a≠0，写出两根和与积，将目标式变形为含和与积的式子，代入计算。 【易错】须先化一般式，注意a、b、c符号；目标式变形勿漏项，别把和与积弄反；使用前须确认方程 有实根，△≥0。 6.(25-26九年级下湖北宜昌·期中)已知a,B是方程x2-2x-1=0的两个根，则a+B= 7.〈2526八年级下吉林长春期中)一元=次方程子-25=0的根为”和，则代数式的省为 X1‘X2 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(2627九年级上天津期中)已知方程-x-6=0的两根分别为，。，测则伍+1川5+)的值是 ab 9.(25-26八年级下·安微淮南期中)若a、b是一元二次方程x2-4x-5=0的两个根，则a+b的值为 11 10.(25-26八年级下浙江温州期中)己知m,n是方程x-4x-5=0的两个根，则m+n 11.(25-26八年级下江苏苏州期中)若，n是一元二次方程x2+x-1=0的实数根，则代数式m2+n2= 12.(25-26九年级下山东烟台期中)如果m,n是一元二次方程x-x=5的两个实数根，那么多项式 m2-mn+n+1 的值是 13.(25-26九年级下·河北邯郸期中)已知实数4，b是关于x的一元二次方程-2x2+7x=1的两个实数根， 则代数式1-26)+b 的值是 14.(25-26九年级下·山东淄博期中)已知、P是方程x2+3x-2026=0的两个实数根，则 a2-3B+a3+1 的值是 x2+2m=2(a-1)） 15.(25-26八年级下·重庆期中)已知关于的一元二次方程 有两个实数根，，且 满足+5=8，则千-546+8 的值为 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提升进阶突破 题型3根据一元二次方程根的情况求参数（共10小题） 【模型】由方程根的情况确定判别式符号，建立关于参数的不等式或方程求解。 【步骤】先化一般式确认a≠0，根据两根不等、相等或无实根确定△符号，列不等式或方程求参数，再 检验。 【易错】须先保证≠0，别忘二次项系数限制；△符号对应根的情况勿记反；有实根含相等与不等，解 出参数要检验是否满足条件。 16 (26-27九年级上甘肃期中)若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值 为 17.(25-26八年级上上海虹口期中)若一元二次方程2x2-x-) =0没有实数解，则k的取值范围是 18.(25-26九年级上山东滨州期中)若关于x的方程x2-4x+a=0无实数根，则a的取值范围是 19.(25-26九年级上吉林松原·期中)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围为， 20.(25-26九年级上：广东深圳期中)如果关于x的一元二次方程a2+4x-4=0有两个不相等的实数根 请写出满足条件的整数a=一.（一个即可） 21.(25-26九年级上辽宁本溪阶段检测)若关于x的一元二次方程2-x-2=0有实数根，则实数k的 取值范围是 22.(25-26九年级上·四川资阳阶段检测)若关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根， 则实数a的取值范围是 23.(25-26八年级下浙江宁波·期中)设满足不等式m≤40，且关于x的一元二次方程 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-2)2+(a-m2=2mx+a2-2am 有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为一 24.(25-26九年级下·河南驻马店期中)关于x的方程x2-6x+k=0有两个实数根. (1)求k的取值范围； (2)若k=8,求方程的根. 2+(2m-1)x+m2=0 25.(25-26八年级下广西百色期中)已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的 实数根， (1)求的取值范围： (2)任取一个符合条件的的值，并求此一元二次方程的解. 题型4一元二次方程的判别式与几何综合（共10小题) 【模型】几何条件转化为一元二次方程，用判别式判断根的情况，确定几何量是否存在。 【步骤】先由几何关系列一元二次方程，化一般式算判别式，由△符号判断几何量是否有解，再结合实 际取舍。 【易错】几何量须符合实际意义，负值或超范围要舍去；△只判实根，勿忘≠0；列方程时注意边长正心 数与图形存在条件。 26. (25-26八年级下·山东烟台·期中)已知△ABC的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次 方程 -+x+4&- 的两个实数根， (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根： (2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长， 27.(24-25八年级下·山东烟台期末)已知口ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 4x2-4mx+2m-1=0的两个实数根. (I)若AB=2,则求出口ABCD的周长： (2)当m为何值时，口ABCD是菱形？并求出此时菱形的边长 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.(24-25人年级下山东期台期中)已知关于x的方程t-）+2ar+©(+1)=0，其中a6e分别为 △ABC三边的长. (I)若x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状， 29.(26-27九年级上：河南周口阶段检测)已知△ABC的三边a、b、c,其中a=4,b、c是关于x的一元 二次方程x2-10x+m=0的两个实数根 (I)若△ABC是以a为腰的等腰三角形，求m的值： (2)若△ABC是以a为底边的等腰三角形，求m的值，并求此时三角形周长。 30.(26-27九年级上·天津红桥阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+4m-4=0(m为常数). (1)若x=1是该一元二次方程的一个根，求m的值： (2)判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由： (3)若口ABCD的两边AB,AD的长是该一元二次方程的两个实数根，当m为何值时，口ABCD是菱形？求此 时菱形的边长. 拔高·压轴破难 题型5一元二次方程的判别式与根与系数的综合（共10小题) 【模型】先用判别式确定根的存在与个数，再用韦达定理求两根和与积并代入求值。 【步骤】先化一般式确认≠0，算△判断根的情况，写出两根和与积，将目标式变形代入，求值并检 验。 【易错】须先用△确定有实根才能用韦达定理：≠0别漏；和与积符号勿弄反：目标式变形要彻底，别 忘检验。 31. (26-27九年级上·全国期中)方程x2-2x+m-5=0是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的 实数根分别为， (1)求的取值范围； 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2若(：+3)°+xx+10=0 求m的值。 32.(25-26九年级上广东汕头期中)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-2=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； ②在（山的条件下，设方程的两个实数根为、号，且 2+x22=10 ,求的值. 2+(1-m)x+m-2=0 33.(25-26八年级下·吉林期中)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：不论为何值，方程总有实数根： (2②若方程的两个根分别为，3，+号+3，=1 求m的值. 34(2526九年级上湖南商附期市)已如关于”约方程+2次+长-2k+1=0有两个实数根为 (1)求实数k的取值范围： (2x+1)(2x2+1)=21 (2)若 ,试求的值. 35.(25-26九年级上福建三明·期中)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0. (1)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根： ②设5、一是方程的两根，且低+x-5-4=0,求m的值 25-26九年级上四宜宾期中x的一元三次方程+(2k+3列x+240有两个不等实 (1)求实数k的取值范围： ②清方程两实根天，满足膏+产+0=0，求的脸， 2-2(m+2)x+m2-5=0 37.25-26九年级上·福建厦门期中)已知关于x的一元二次方程 (1)当方程有两个不相等的实数根时，求实数的取值范围： ②如果，一是方程的两个实数根，是否存在实数以，清足+女=4. ·若存在，求出的值，若不存 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在，请说明理由. mx2-2(m+1)x+m-1=0 38.(25-26八年级下·浙江杭州期中)已知关于x的一元二次方程 ,有两个不相 X1无2 等的实数根分别为， (1)求m的取值范围； ②若方程的一个根=2， =2,求m的值及方程的另一个根5， (3)若满足 +号=4+x,求m的值. 2+(2k+1)x+k2+1=0 39.(25-26九年级上四川自贡·期中)己知关于x的一元二次方程 有两个不等实数 根，6 (1)求k的取值范围： ②者55 ,求k的值 压+压 (3)在(2)的条件下，求VxVx的值. x2-（2m-1)x-3m2+m=0 40.(25-26九年级上全国期中)已知关于x的一元二次方程 (1)当m=0时，方程的根为_： (2)求证：无论m为何值，方程总有实数根： 点+五=-5 3)若七，是方程的两个实数根，且x戈2，求m的值。 题型6一元二次方程的判别式与新定义综合（共5小题） 【模型】按新定义列一元二次方程，用判别式判断根的情况并求解参数。 8/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】先读懂新定义含义，按定义列出方程并化一般式，算判别式判断根的情况，再求参数并检验。 【易错】须严格按新定义列式，勿套旧法则；先保证≠0再用△；新定义中限制条件要代入检验，别漏 取舍。 (25-26九年级上陕西延安期中)定义新运算“*”，对于实数0、b、m有 a,b)*m=am-b 41. 例如： (1,2)*3=1×3-2=1 0四若实数满足(，2x)3=0 求x的值： (2)关于x的方程 x,x+k)*x=0 有两个不相等的实数根，求的取值范围。 42.(25-26八年级下·湖南长沙期末)定义：方程r+bx+c=0(aC≠0)与方程cx+bx+a=0互为 “换位方程”.如一元二次方程2x2-3x-1=0的“换位方程”是-x2-3x+2=0.已知关于x的一元二次 x2+(2m+1)x+m-2=0 方程①： ,其中m≠2 (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根： (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及”的值。 x2+bx+c=0(a≠0) 43.(23-24九年级上河南安阳期中)定义：如果关于x的一元二次方程 满足 a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程. (1)写出一个“凤凰”方程是一： (2)“凤凰”方程必定有一个根是一； (3)已知方程x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn的值. 4.（26-27九年级上：湖南长沙开学考试)新定义：关于*的一元二次方程：+mr+m=0 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C:cx2-mx+n=0(c≠0)互为“长雅方程”. (①根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”《在题后相应的括号中，是打“√”，不是打 “×”）: ①ax2+2x=0与ax2-2x=0() ②(a+r+4=0与a+r-4x=0c) ③2r+3x-2=0与22-3x-2=0() ②若关于x的-元=次方程G.a+②r+a+2x+5,5-0 4 的两实数根为=戈=卫 ①求a的值： ②记方程C的“长雅方程”为方程C9是方程C的一个实数根，求P+9的值. 3)若关于*的一元二次方程 x-1)2+(k-2)x-1)+2k=0 与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根， 求k的值. x2+bx+c=0(a≠0） 45.(25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测)小明运用所学的一元二次方程 的根与系 数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究定义： 倍根方程：如果关于产的一元二次方程四+c+0=0(40)有两个实数根（都不为0），且其中一个相等 于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”· 方根方程：如果关了产的元二次方程+c+0=0a≠0)有两个实数根（都不为0），且其中一个根的 平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”. (1)若一元二次方程x2-6x+c=0是“倍根方程”，求C的值： 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程x+bx+C=0,使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方 程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 题型7一元二次方程的根与系数与新定义综合（共5小题） 【模型】按新定义列一元二次方程，用韦达定理求两根和与积，代入求值。 【步骤】先读懂新定义含义，按定义列出方程并化一般式，写出两根和与积，将目标式变形代入，求值 并检验。 【易错】须严格按新定义列式，先保证≠0且△≥0：和与积符号勿弄反：目标式变形要彻底，别漏新 定义限制与取舍。 46. (25-26八年级下·浙江绍兴期末)定义：如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0（a,b,c均为 常数，a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”. ()下列方程中，按上述定义_（填序号)是“邻根方程”· ①x2+x=0;②x2-2x+1=0;③x2+3x+2=0. (2)若(x-2)x+n)=0是“邻根方程”，求n的值. (3)若一元二次方程+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)为“邻根方程”，求出a,b,c应满足 的数量关系 47.(25-26九年级上·河北唐山阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2-3x+m-2=0, (1)若方程有一根为4，求m的值及另一根的值： (2)若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围： (3)定义：如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根，且其中 一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.若关于x的一元二次方程x2-3x+m-2=0是 邻根方程，直接写出m的值. 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48.(26-27九年级上·江苏扬州阶段检测)定义：若关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0) 的两个实 数根分别为，(<x) 分别以为横坐标和纵坐标得到点 M(,),则称点M为该一元二次方 程的衍生点， (1)直接写出方程x2-2x=0的衍生点P的坐标为 (2)若关于x的一元二次方程x2-x+1=0有衍生点. ①求实数a的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求4的值； (k≠0) (3)已知不论 为何值，关于'的方程+x+c=0的衍生点G始终在直线'=c+3(2-)上，求 b,c的值. 49。(25-26八年级下广东深圳期末)已知关于x的一元二次方程r+x+c=0 X1 X2 有两个实数根， 若满足片1 则此类方程叫做“差根方程”·根据“差根方程”的定义，解决下列问题： ()下列是“差根方程”的是一；（填写序号） ①x2-x=0;②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x2+2ar=0是“差根方程”，求a的值. 6已知△MBC是直角二角形，斜边BC的长为7，若△MBC的两边4B、4C的长是一个二次项系数为1 的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程” 50.(25-26九年级上江苏无锡期中)定义：若关于的一元二次方程 2+bx+c=0(a≠0) 的两根都为整 数，则称方程为“全整根方程”·通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式b-4ac的值一 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Aac-b2 定为完全平方数.现规定：代数式4a 的值为该“全整根方程”的“最值码”.例如“全整根方程” 4×1×3-(-5}=13 x2-5x+3=0的“最值码”为4×1 4. (1)关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-m-1=0是一个“全整根方程”. ①当m=-1时，该方程的“最值码”是 ②若m为整数，且1<m<8,求该方程的其“最值码”. (②)若关于的一元二次方程 2-(m+2)x+m+1=0,x2+(2-n)x-2n=0 都是“全整根方程”，且其“最 值码”相等，设t=m2+n2-4m+4n+25,求t的最小值. 13/13专题05 根的判别式与根与系数的关系 基础·固本强基 题型1利用判别式判断一元二次方程根的情况（重点） 题型2 利用一元二次方程根与系数的关系求值（重点） 提升·进阶突破 题型3 根据一元二次方程根的情况求参数（重点） 题型4 一元二次方程的判别式与几何综合（难点） 拔高·压轴破难 题型5 一元二次方程的判别式与根与系数的综合（难点） 题型6 一元二次方程的判别式与新定义综合（难点） 题型7 一元二次方程的根与系数与新定义综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用判别式判断一元二次方程根的情况（共5小题） 【模型】用判别式Δ=b²-4ac的符号判断一元二次方程根的情况。 【步骤】先化一般式确定a、b、c，算Δ=b²-4ac，由Δ>0、=0、<0判断两根不等、相等、无实根。 【易错】须先化一般式再定a、b、c，注意符号；Δ只判实根情况，勿与根的具体值混淆；二次项系数a≠0别漏。 1．（26-27九年级上·海南·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根为0 【答案】B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（26-27九年级上·湖南·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，将各方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A． ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．，整理得 ∵ ∴，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．，整理得 ∵ ∴，方程没有实数根，符合题意； D．，整理得 ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的方程（为常数），对根的情况判断正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与值有关 【答案】A 【分析】通过计算判别式的值与0比较大小即可得到结论. 【详解】解：对于一元二次方程， ∵ ，，， ∴ 根的判别式， 又∵ 对任意常数，都有， ∴ ， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 5．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于的方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握通过判别式判断根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况，判别式恒非负，故方程总有两个实数根． 【详解】解：方程的判别式为： ， 展开并简化： ， 由于， 则对于所有实数，方程恒有两个实数根， 当，即时，方程有两个相等根，当时，方程有两个不等根 故选：D． 题型2 利用一元二次方程根与系数的关系求值（共10小题） 【模型】利用韦达定理x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，将所求式变形代入求值。 【步骤】先化一般式确认a≠0，写出两根和与积，将目标式变形为含和与积的式子，代入计算。 【易错】须先化一般式，注意a、b、c符号；目标式变形勿漏项，别把和与积弄反；使用前须确认方程有实根，Δ≥0。 6．（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）已知α，β是方程的两个根，则______． 【答案】2 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】解：，其中，， 根据根与系数的关系可得 ． 7．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一元二次方程的根为和，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定二次项系数与常数项，再利用根与系数的关系即可求出两根之积． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得：， 本题中，，代入得 ． 8．（26-27九年级上·天津·期中）已知方程的两根分别为，，则的值是______． 【答案】 【分析】由一元二次方程根与系数关系，方程的两个实数根和系数有如下关系：，代入题中方程的对应系数得，．将所求代数式展开，整体代入计算即可． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ． 9．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若方程的两个实数根分别为、，则，． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的两个根，则________． 【答案】/ 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， 对通分得 ， 将，代入得 原式． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再通过对完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实数根， ∴，， ∴． 12．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据一元二次方程根的定义可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，即的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 13．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【详解】解：原方程整理得， ∴由一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 14．（25-26九年级下·山东淄博·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】10 【分析】本题考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系；先利用方程根的定义得到的表达式，代入所求代数式化简，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的实数根， ∴， 整理得， 将代入得： 原式 ， 是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得， ， 代入得： 原式 ． 15．（25-26八年级下·重庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 提升·进阶突破 题型3 根据一元二次方程根的情况求参数（共10小题） 【模型】由方程根的情况确定判别式符号，建立关于参数的不等式或方程求解。 【步骤】先化一般式确认a≠0，根据两根不等、相等或无实根确定Δ符号，列不等式或方程求参数，再检验。 【易错】须先保证a≠0，别忘二次项系数限制；Δ符号对应根的情况勿记反；有实根含相等与不等，解出参数要检验是否满足条件。 16．（26-27九年级上·甘肃·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式等于0，列关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， 解得． 17．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确求出根的判别式是关键． 根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，计算判别式并解不等式． 【详解】解：方程 中，，，， ∵． 由于一元二次方程没有实数解， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·山东滨州·期中）若关于的方程无实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程无实数根的条件计算即可． 【详解】解：方程的判别式为． 由于方程无实数根， 故， 即， 解得． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·吉林松原·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根，由此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出满足条件的整数______．（一个即可） 【答案】1（不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先根据判别式的意义得到，解不等式得到c的范围，然后在此范围内取一个值即可． 根据一元二次方程可得，根据方程有两个不相等的实数根的条件，可得判别式大于零，由此得到a的范围，然后在此范围内取一个正整数即可 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，， ∵， ∴ ，即 ． 又因为 ，且 为整数， 所以 可取 1， 2， 3， 等正整数． 故答案为 1（不唯一）． 21．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，解题的关键是同时满足“二次项系数不为”和“判别式”两个条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数的限制，再利用判别式求出的取值范围，综合得到最终结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不能为0，即， 又方程有实数根， 判别式，其中， 代入得：， 令， 解得， 综合以上两个条件，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 22．（25-26九年级上·四川资阳·阶段检测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围； 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴根据一元二次方程根的判别式， 即：， 解得：， 实数的取值范围是且． 23．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 24．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）关于x的方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：已知关于的方程有两个实数根， 其中，，， 可得， 解得； （2）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 即或， 解得，． 25．（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)当时，， 【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论； （2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得， 题型4 一元二次方程的判别式与几何综合（共10小题） 【模型】几何条件转化为一元二次方程，用判别式判断根的情况，确定几何量是否存在。 【步骤】先由几何关系列一元二次方程，化一般式算判别式，由Δ符号判断几何量是否有解，再结合实际取舍。 【易错】几何量须符合实际意义，负值或超范围要舍去；Δ只判实根，勿忘a≠0；列方程时注意边长正数与图形存在条件。 26．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10 【分析】（1）先计算，即可得出结论； （2）分两种情况：当4为腰长时，或当4为底边时，分别求出结论即可； 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴． ∴． ∴方程为：． ∴或． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴． ∴． ∴方程为：，解得：， ∵， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10． 27．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． (1)若，则求出的周长； (2)当为何值时，是菱形？并求出此时菱形的边长． 【答案】(1) (2)，边长为 【分析】本题考查菱形的性质、一元二次方程的解、根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，用转化的思考问题． （1）由题意，即方程有一个根是，代入方程可求出，再解方程即可； （2）根据题意，构建新方程，解出的值，再把的值代入方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题知方程的一个根为，代入方程， ∴．解得． ∴方程为．解得，． ∴． ∴的周长为． （2）解：若是菱形，则． ∴方程有两个相等的实数根．即， 解得． ∴当时，是菱形． 解方程，得． ∴菱形的边长为． 28．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于的方程，其中分别为三边的长． (1)若是方程的根，试判断的形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 【答案】(1)为等腰三角形； (2)为直角三角形． 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握根的判别式，等腰三角形的定义，勾股定理判定直角三角形的计算是关键． （1）把代入方程得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据根的判别式列式得，结合勾股定理判定直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴． ∴， ∴为直角三角形． 29．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）已知的三边a、b、c，其中，b、c是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若是以a为腰的等腰三角形，求m的值； (2)若是以a为底边的等腰三角形，求m的值，并求此时三角形周长． 【答案】(1)24 (2)；周长=14 【分析】（1）当为腰，则一元二次方程一根等于4，代入求出，再求出方程的两个根，最后检验是否能组成三角形即可； （2）先推导出，得到，求出，再求出方程的两个根，最后检验是否能组成三角形即可． 【详解】（1）解：当为腰，则一元二次方程一根等于4， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程为， 解得， ∵4，4，6能组成三角形， ∴； （2）解：∵是以a为底边的等腰三角形， ∴， ∴ 解得， ∴关于x的一元二次方程为， 解得， ∵4，5，5能组成三角形， ∴， 则． 30．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该一元二次方程的一个根，求的值； (2)判断该一元二次方程的实数根的情况，并说明理由； (3)若的两边，的长是该一元二次方程的两个实数根，当为何值时，是菱形？求此时菱形的边长． 【答案】(1) (2)解：该一元二次方程总有两个实数根，理由如下： ∵关于的一元二次方程（为常数）， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根． (3)当时，是菱形，此时菱形的边长为 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据一元二次方程根情况的判别式求解即可； （3）由菱形的性质得，可知该一元二次方程有两个相等实数根，即，进而可求出的值，再把的值代入方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵是该一元二次方程的一个根， ∴把代入方程得：， 解得：． （2）略 （3）解：若是菱形，则， ∵，的长是该一元二次方程的两个实数根， ∴， 解得：， 把代入方程得：，即， 解得：， ∴此时菱形的边长为2． 拔高·压轴破难 题型5 一元二次方程的判别式与根与系数的综合（共10小题） 【模型】先用判别式确定根的存在与个数，再用韦达定理求两根和与积并代入求值。 【步骤】先化一般式确认a≠0，算Δ判断根的情况，写出两根和与积，将目标式变形代入，求值并检验。 【易错】须先用Δ确定有实根才能用韦达定理；a≠0别漏；和与积符号勿弄反；目标式变形要彻底，别忘检验。 31．（26-27九年级上·全国·期中）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式，求解一元一次不等式即可； （2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）解：根据题意，得，． ， ， ． 32．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得． （2）解：由根与系数的关系得，． 又， 由得． ∵符合（1）中取值范围， ∴． 33．（25-26八年级下·吉林·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为，，求m的值． 【答案】(1)证明： ， 任何实数的平方均为非负数，即， 恒成立， 即不论为何值，方程总有实数根． (2)或 【分析】（1）要证明一元二次方程总有实数根，只需证明其判别式恒成立； （2）利用根与系数的关系，将变形为含和的形式，代入已知条件列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据韦达定理，对于方程，两根满足： ，， 已知，利用变形得： ， 将，代入，结合条件得： ， 展开并整理方程： ， ， 因式分解求解： ， 解得： ，． 34．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 35．（25-26九年级上·福建三明·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1) 证明：已知关于的方程， ∵，， ∴ ， 又∵无论取任何实数，都有 ∴ ∴无论取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及判别式与一元二次方程根的关系、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识，熟记一元二次方程相关知识点是解决问题的关键． （1）根据题中一元二次方程，计算判别式，再确定判别式符号即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，，代入题中条件，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：已知关于的方程， 由一元二次方程根与系数关系得，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 36．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）x的一元二次方程有两个不等实根和． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实根，满足，求k的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理化简，得， 即， 解得（符合题意）， ∴k的值为． 37．（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求实数m的取值范围； (2)如果，是方程的两个实数根，是否存在实数m，满足．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，实数的值为1 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：存在； ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 解得； 由（1）可知：； 故． 38．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； (3)若满足，求m的值． 【答案】(1) 且 (2) ， (3) 【分析】（1）结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系解题； （3）根据根与系数的关系解题． 【详解】（1）解：由题意知，且， ∴且； 即且， 解得且； （2）解：方程的一个根为， 则， 解得， ∴原方程为， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴． 39．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 40．（25-26九年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，方程的根为 ； (2)求证：无论为何值，方程总有实数根； (3)若，是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)或； (2) 证明： ∴无论为何值，方程总有实数根． (3)或． 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，包括方程的求解、判别式的应用以及根与系数的关系的运用．解题的关键在于准确计算判别式并判断其正负性；熟练运用根与系数的关系对式子进行变形和计算． （1）将代入原方程，得到一个具体的一元二次方程，然后求解该方程的根． （2）计算原方程的根的判别式，通过对根的判别式进行化简变形，判断其取值范围，从而证明无论为何值，方程总有实数根． （3）先根据根与系数的关系得出和的表达式，再对进行变形，将和代入变形后的式子，得到关于的方程，最后求解即可． 【详解】（1）解：当时，原式可化为 ；． （2）略 （3）解：依题意，得，； ∵ ∴ ， 或， 经检验，或均符合题意． 题型6 一元二次方程的判别式与新定义综合（共5小题） 【模型】按新定义列一元二次方程，用判别式判断根的情况并求解参数。 【步骤】先读懂新定义含义，按定义列出方程并化一般式，算判别式判断根的情况，再求参数并检验。 【易错】须严格按新定义列式，勿套旧法则；先保证a≠0再用Δ；新定义中限制条件要代入检验，别漏取舍。 41．（25-26九年级上·陕西延安·期中）定义新运算“”，对于实数、、有．例如：． (1)若实数满足，求的值； (2)关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据新定义可得，再根据因式分解法求解； 对于（2），根据新定义可得一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据，求出解集即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， 即一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得. 42．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 43．（23-24九年级上·河南安阳·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)写出一个“凤凰”方程是______； (2)“凤凰”方程必定有一个根是______； (3)已知方程是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现是方程的根，直接写出一个根为一元二次方程即可． （2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现是一元二次方程的一个根，直接求解即可． （3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出，可以得到一个方程，再由凤凰方程，又可以得到一个的方程，然后去求，和即可，最后求出的值． 【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是； 即为：． （2）关于的一元二次方程，且满足； ∴时，； 故凤凰”方程必定有一个根是． （3）是“凤凰”方程； ，即； 方程有两个相等的实数根； ．将代入，得； 解得：； ． 44．（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于的一元二次方程：的两实数根为． ①求的值； ②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值． 【答案】(1)①②③ (2)① ② (3) 【分析】（1）根据“长雅方程”的定义：若两个一元二次方程的一次项系数互为相反数，其余各项均相同，则这两个方程互为长雅方程，由此判断即可． （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）将原方程化简后，与原方程的“长雅方程”联立，消去二次项后求解，再分情况分析讨论． 【详解】（1）①两方程一次项系数互为相反数，常数项都为，二次项系数都为，但的值不确定，若则不满足条件，故打． ②两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． ③两方程一次项系数互为相反数，二次项系数都为，常数项都为，符合定义，故打． （2）①解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 将代入原方程，得， 此时方程不成立，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， 关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． （3）解：对展开后化简， 得， 其“长雅方程”为， 设公共实数根为，需同时满足上述两个方程，可列方程组为 两式相减，得， 或． 当时，， 将代入原方程中， 解得； 此时原方程为，根为、， 原方程的“长雅方程”为，根为、， 此时满足有且只有一个公共实数根； 当时， 原方程为，无实数根， 此时不符题意，舍去； 综上所述，． 45．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）小明运用所学的一元二次方程的根与系数的关系，对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征进行了探究.定义： 倍根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个相等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1) (2)这个方程的根是是2和4，或和 【分析】本题主要考查了阅读理解类题目，一元二次方程根与系数的关系的应用． （1）设方程的两个根是，根据定义可设，再根据根与系数的关系求出答案； （2）设方程的两个根是，根据题意可知或，列出方程求出解即可． 【详解】（1）设方程的两个根为， 一元二次方程是“倍根方程”， 不妨设， ， ， ，， ； （2）设一元二次方程的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， 不妨设， ①当时，即，解得或（舍去）， ， ②当时，即， 解得或（舍去）， 这个方程的根是2和4，或和． 题型7 一元二次方程的根与系数与新定义综合（共5小题） 【模型】按新定义列一元二次方程，用韦达定理求两根和与积，代入求值。 【步骤】先读懂新定义含义，按定义列出方程并化一般式，写出两根和与积，将目标式变形代入，求值并检验。 【易错】须严格按新定义列式，先保证a≠0且Δ≥0；和与积符号勿弄反；目标式变形要彻底，别漏新定义限制与取舍。 46．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 47．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一根为，求的值及另一根的值； (2)若方程有两个不等实根，求实数的取值范围； (3)定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于的一元二次方程是邻根方程，直接写出的值． 【答案】(1)，另一根的值为； (2)； (3)． 【分析】（1）将已知的方程的根代入原方程即可求得的值，再将的值代入原方程，通过因式分解法即可求得方程另一根； （2）方程有两个不等实根即，代入求解即可； （3）根据邻根方程的定义得出其方程的解都满足，结合根与系数的关系求出，，再由即可求出的值． 【详解】（1）解：方程有一根为， ， ， 即原方程为， ， ，， 即另一根的值为， 故，另一根的值为； （2）解：若方程有两个不等实根， 则， ， ； （3）解：设方程两根为、，依题得，邻根方程的解满足， 即， 由根与系数的关系可得，，， ， 解得． 48．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为___________； (2)若关于的一元二次方程有衍生点． ①求实数的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求的值； (3)已知不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线上，求的值． 【答案】(1) (2)①且；②的值为或 (3)， 【分析】（1）先求出方程的解，再写出方程的衍生点P的坐标； （2）①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，由根的判别式及一元二次方程的定义列出不等式组求解即可； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而得到，求出的值，即可得到的值； （3）先求出直线过的定点坐标，再根据衍生点得出方程的根，然后利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：， 方程左边分解因式，得， ∴或， 解得：，， ∴方程的衍生点P的坐标为； （2）解：①根据题意，可得关于的一元二次方程有两个实数根，且， 则， 即， 解得且； ②设关于的一元二次方程的两个实数根分别为， 则， ∴， 解得， 当时，， 当时，， 综合，的值为或； （3）解：∵， ∴直线过定点， ∵关于x的方程的衍生点G始终在直线上， ∴方程的两个实数根为，， ∴， ， ∴，． 49．（25-26八年级下·广东深圳·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 50．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)①0；②． (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． （2）解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为， $