专题04 一元二次方程解法10大题型55题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04一元二次方程解法 题型图谱导航总览 题型1 一元二次方程的定义（重点） 题型2化成一元二次方程的一般式（重点） 基础固本强基 题型3已知一元二次方程的解求参数（重点） 题型4利用配方法配一元二次方程（重点） 题型5解一元二次方程（重点） 提升·进阶突破 题型6解一元二次方程错解复原问题（重点） 题型7与解一元二次方程有关的新定义型问题（难点） 题型8十字相乘法解一元二次方程（难点） 拔高·压轴破难 题型9换元法解一元二次方程（难点） 题型10配方法的应用（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1一元二次方程的定义（共5小题) 【模型】只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)。 【步骤】先看是否只含一个未知数，再看未知数最高次数是否为2，最后看是否为整式方程且二次项系 数不为0。 1/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】二次项系数≠0是关键，勿漏；分母含未知数不是整式方程；化简后再判断次数，勿被表面形 式迷惑。 1. (25-26九年级上广东汕头·期中)下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x+3=0 B.2+=2 C.x2+y-1=0 D.x2+3x-7=0 2.(25-26八年级下·陕西西安·期末)下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x+3=4-x B.x2-3x+1=0 C.x2-2y+4=0 D.x+3=5 3.(25-26八年级下·浙江宁波·期中)在下列方程中，属于一元二次方程的是()· A.x2-2y+1=0 B.x2=2+3x D.x(x-1)-x2=2 4.(25-26九年级下山东威海·期中)下列关于x的方程： ①ax+bx+e=0:@3k-9yP-x+1=1:@x+3=:④G+l)r-a=0:回+1-x-l,© x2=-10 ,其中一元二次方程的是() A.①②④ B.②④⑥ C.①③④ D.①④⑥ 5。（25-26九年级上：河南新乡期中)若关于水的方程m-3刃r7-x=5 一元二次方程，则实数m的值 为() A.3 B.-3 C.±3 D.9 题型2化成一元二次方程的一般式（共5小题) 【模型】把一元二次方程整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的标准形式。 【步骤】先去分母、去括号，再移项使右边为0，合并同类项，按x2、x、常数项降幂排列。 【易错】移项要变号，勿漏项；合并同类项后二次项系数不能为0：注意去括号变号，降幂排列，常数 项符号别写错。 6.(25-26八年级下·浙江杭州·期中)将方程 1-x)(x+3)=1 化成一般形式是 ” 2/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26九年级上云南怒江期中)把一元二次方程x(x-)=9化成一般形式是 8.(25-26九年级上广东江门期中)将方程x2=3x-4化为一元二次方程的一般形式为. 9,（25-26九年级上广东梅州期中)若方程K+2=2x+5 的二次项系数是1，则一次项系数是 10.(25-26九年级上：广东江门期中)一元二次方程3x2-5x=4的二次项系数是一，一次项系数是 ,常数项是一· 题型3已知一元二次方程的解求参数（共5小题) 【模型】已知方程的一个解，代入使等式成立，建立关于参数的方程求解。 【步骤】先把已知解代入原方程，得到关于参数的方程，解出参数，再检验二次项系数是否不为0。 【易错】：代入时注意符号与平方，勿漏项；解出参数须检验≠0；若参数在二次项系数中，别忘讨论 是否满足一元二次方程定义。 11.(25-26八年级下·浙江杭州期中)若x=1是一元二次方程x2-6x+m=0的根，则m的值为一 n(n≠0) 12.(25-26八年级下北京期中)若， 是关于x的方程+mr-3n=0的根，则m+”的值为 1B。（26-27九年级上北京期中)已知0是方程2-3x-1=0的一个根，则代数式a(2a-6)+2 值是 14.(25-26九年级下·吉林期中)若x=2是关于x的一元二次方程a心2+bx-2=0(a≠0)的解，则代数 式11-4a-2b的值是-. 15.(25-26九年级上广东深圳期中)若a是一元二次方程x2+2025x+45=0的根，则-2a2-4050a+10 的值为 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4利用配方法配一元二次方程（共5小题） 【模型】将一元二次方程配方成(x+m)2=n形式，再用开平方法求解。 【步骤】先移常数项，二次项系数化1，两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方，开平方求解。 【易错】二次项系数须先化1再配方；两边加的是一次项系数一半的平方，勿漏；开方取正负，注意 为负时无实数解。 16.(26-27九年级上陕西期中)用配方法解方程x2+6x+4=0时，配方后得到的方程是（) A.(x+3)2=5 B.(x+3)}=13 c.(x+6}=5 D.(x+6)}2=32 17.(26-27九年级上·海南期中)用配方法解一元二次方程x2-4x-4=0的过程中，变形正确的是 () A.(x-22=0 B.(x-2}=4 c.(x-2}=8 D.(x+2}2=8 18。(26-27九年级上：湖北期中)把方程+6x+2=0化为+m°= 的形式，则m+n的值是() A.10 B.4 C.14 D.-5 19。(25-26九年级上云南昭通期中)用配方法解方程+8x-5=0时，通过配方后可得x+k)=P的形 式，则k的值为() A.-4 B.4 C.13 D.17 20.(25-26九年级下·山东威海期中)一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是（) A--g0g0e(-g0n(+60 4/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提升进阶突破 题型5解一元二次方程（共10小题) 【模型】将一元二次方程转化为两个一元一次方程，或配方、代公式求根。 【步骤】先化一般式，再选方法：因式分解降次，或配方开方，或代求根公式，最后写出两根并检验。 【易错】须先化一般式再选方法；因式分解勿漏根，配方注意系数化1，公式法判别式先算；别漏负根 与检验。 21.(26-27九年级上陕西期中)解方程： 0)2(x-3)=3x(x-3) 32r+3x-5=0 22.(26-27九年级上贵州期中)解方程： ①t-2x+1=0 ②*(r-=36x-) 23.(26-27九年级上河南期中)解下列方程： 、x2-3x-4=0 (1 ②2(x-2y=3(2-x) 24.(26-27九年级上全国期中)解下列方程： 0+2x-3=0 (②(x+)=1 25.(25-26八年级下·浙江金华期中)解方程： 0r-2x-2=0 (用配方法)： 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22x-y=3(2x-) 26.(25-26九年级下·山东烟台期中)用适当的方法解下列方程： 1)+2x-1=0 (2②x+3=2x+6 27.(25-26八年级下·山东泰安·期中)解下列方程： 0①2-x-2=0 (25x(r-刂=2xr-2 28.(25-26八年级下·浙江宁波·期中)解方程： ①-4+3=0 2*2r-5列=2(2x-5) 29.(25-26八年级下山东青岛期中)解方程： 1)-4x-12=0 (2(x-3)=2x-6 6)r-22xr=4 30.(25-26八年级下·吉林长春期中)解下列一元二次方程： (①x-4}=4 ②x+2y=5(x+2)】 r-4r=3 ④3r-7x+1=0 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6解一元二次方程错解复原问题（共5小题） 【模型】给出含错误的解题过程，逐步排查错因，还原正确解法并求根。 【步骤】先通读错解找可疑步骤，再逐行验证变形依据，定位错误原因，按正确方法重解，最后写出正 确根并检验。 【易错】常见错因有漏根、符号错、配方漏项、公式代错；须逐行核对，勿只看结果；检验是否漏解， 注意二次项系数不为0。 31.(25-26九年级上：广东佛山期中)下面是小北同学解一元二次方程x2+6x-4=0的过程： 解：x2+6x-4=0 x2+6x=4.① X+6x+9=4…② (x+3}=4③ x+3=2…④ (①)小北同学选用了_（填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，上面解答过程 中，从第 步开始出现错误； (②)请你解该一元二次方程. 32.(24-25八年级上·上海静安期末)小海同学解一元二次方程4x2-3V2x= 8的过程如下： 解：a=4,b=-32,c=8① △=b2-4ac=(-32)-4×4x x=bt瓜-32±Vi6 2a 8③ 8或x=32-4 x=-3V2+4 8④ 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8,5-32-4 所以，原方程的根是5=35+4 8·⑤ ()小海的求解过程从步开始出现错误。 (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根. 33.(25-26九年级上陕西榆林·期中)用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷， 但在解题过程中要考虑全面.王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题： (2x-1)2=5(2x-1) 下面是小睿的解题过程： 解方程： (2x-1)2=5(2x-1) 解：两边同时约去2x-1,得2x-1=5.(第一步) 移项，合并同类项，得2x=6.(第二步) 两边同时除以2，得x=3.(第三步) (I)小睿的解题方法是从第步开始出现错误的： (2)请你用因式分解法正确的解出这道题. 34.(25-26九年级上福建泉州：期中)数学课堂上，张老师让小明到黑板上板书计算一个方程的解答过程： 2-4V2x-4=0 用配方法解 小明的解答过程如下： 解：原方程可化为x2-4V2x=4, 第一步 配方，得2-2x22+(42=4+(42 …第二步 即(x-4W2=36 第三步 直接开平方，得x-4V2=士6，…第四步 所以=42+6,5=42-6 .e...e. …第五步 ()小明同学的解答过程从第 步开始出现错误。 8/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请你写出正确的解答过程。 35.(25-26九年级上山西晋中·期中)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：2x2+4x-12=0 二次系数化为1，得x2+2x-6=0…第一步 移项，得x2+2x=6…第二步 配方，得+2x+4=6+4,即x+2=10, …第三步 由此，可得*+2=士v10 …第四步 所以=-2+0.名=-2-10 …第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现 的数学思想是_，其中，“配方法”所依据的数学公式是_： ②“第二步”变形的数学依据是_； ③小明同学解题过程中，从第步开始出现错误，并直接写出正确的结果_· 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：3x2+8x-3=0 拔高压轴破难 题型7与解一元二次方程有关的新定义型问题（共5小题) 【模型】按新定义规则将问题转化为一元二次方程，再用常规方法求解。 【步骤】先读懂新定义含义，按定义列出一元二次方程，化为一般式，选合适方法解方程，最后检验并 取舍。 【易错】须严格按新定义列式，勿套用旧法则；解出根要检验是否符合定义限制：注意二次项系数不为 0,别漏取舍条件。 x2+bx+c=0(a≠0) 36.(25-26九年级上广西玉林期中)定义：如果关于的一元二次方程 满足 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b+c=0,那么我们称这个方程为“完美方程”· (1)判断一元二次方程4x2+13x+9=0是否为“完美方程”，并说明理由. (2)已知2x2-mx+n=0是关于x的“完美方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？ 37.(25-26九年级上江苏扬州期中)定义：如果关于x的一元二次方程ar2+bx+c=0(aC≠0)有一个根 是a,那么我们称这个方程为“A方程”. (1)判断：一元二次方程x2-4x+3=0_(填“是”或“否”)为“A方程” (2)已知关于x的一元二次方程-x2+br+c=0(C≠0) ①当b、C满足什么关系时，该方程是“A方程”； ②若方程是“A方程”，求代数式b2-6c的最小值. 38。(25-26八年级下湖南长沙期中)定义：若点a6)满足Na+6=a-ba≥b≥0） ,则称这个点(a,) (9,4) 为“完美点”.例如，5+4=9-4，故点 是“完美点”. ①点40,0)，B(4,),C6,)中，不是“完美点”的是 ②若点C4r刊是“完美点”，求x的值： M(2m,m 3)若点 是“完美点”，求出m-4m-1m+2028的值. 39.(25-26八年级下·山东烟台期末)【新定义】如图.四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形. a、&C是Rt△MBC和Rt△ED 和 的边长，易知1E=V2c 这时我们把关于x的形如a+V2cx+b=0 一 元二次方程称为“勾系一元二次方程”· 10/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 2c A b C a Bb D 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程” (一个即可)： ②求证：关于的“勾系一元二次方程”r+v2r+h=0 有实数根： )若x 是物系元=技方程欧++6-0伯一个很，且遇吃彩4C0 的周长是2 .求 △ABC的面积. 40.(25-26九年级上·江西抚州期中)配方法是数学中重要的一种思想方法.这种方法经常被用到代数式 的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题. 【材料一】我们定义：一个整数能表示成2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”，例 如，5是“完美数”，理：因为5=2+，再如，M=+2四+2y=(+旷+，(x,y是整数）， 所以M也是“完美数”. 【材料二】例如，把二次三项式x2-2x+3进行配方，可求其最值. 解：-2x+3=2-2x+1+2=(x2-2x+)+2=(x-+2 当x=1时，x2-2x+3的最小值为2. 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有（只填序号）：①7；②10：③15；④34. ②若2-6x+13是“完美数”，可配方破任-m+(m,”为整)，求m与”的值， )已知实数，》均满足-少=2， x2+2y2-4x+5 ,求代数式 的最小值. 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8十字相乘法解一元二次方程（共5小题） 【模型】把二次三项式分解为两个一次因式乘积，令各因式为0求根。 【步骤】先化一般式，分解二次项与常数项，交叉相乘凑一次项，写成两因式积为0，令各因式为0求 根。 【易错】十字相乘须凑准一次项系数，符号别弄错；分解不彻底或凑不出时改用其他方法；勿漏根，注 意常数项符号与分解方向。 41.(23-24八年级下·全国·暑假作业)阅读下列材料： (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法解答： x2-35 x+7 解：步骤：①竖分二次项与常数项：5 x/+7=7x ②交叉相乘，验中项：x人5=-5x7x+(-5x)=2x. x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法， (2)根据乘法原理：若ab=0，,则a=0或b=0」 ①x2-10x+21=0: ②x2+2x=8 42.(25-26八年级下·浙江绍兴期中)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：r=x·x.-35=(-5列×(+7) +7 -5 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +7=7x -5=-5x 7x+(-5x)=2x x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”· 根据乘法原理：若b=0,则a=0或b=0.所以方程x2+2x-35=0可以这样求解：方程左边因式分解得 (x+7)(x-5)=0 所以原方程的解为=-7.，=5 【解决问题】 (1)分解因式：x2+5x+4=(x+_)(x+_) (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-10x+21=0: ②2024x2+2019x-5=0」 43.(2026九年级上全国专题练习)阅读下列材料： I.将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：r=x元，35=(5列x(+7) -5 ②交叉相乘，验中项： x+7→7x+(-5x)=2x x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们将这种利用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相乘法. Ⅱ.根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0-7x+12=0 (3-6x-16=0 、3x2+7x+2=0 (3) ④2x2+11x-21=0 44.(24-25九年级上湖南郴州期中)阅读与理解： (1)将2x2-3x-2进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：2x=2xx,-2=(-2)×1 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； 2x2-3x-2=(2x+1)(x-2) ③横向写出两因式： 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法. 2x/1 x -2 2x(-2）+x1=-3x (2)例：解方程x2-3x+2=0. 解.x-2x-1)=0 “x-2=0或x-1=0, x=2x2=1 ； 请用上述方法解答下列问题. (3)①因式分解：x2-4x+3=一 ②解方程：2024x2+2019x-5=0: m ③已知m2-6mn+8n2=0(n≠0)，求n的值. 14/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45.(25-26八年级下北京课后作业)阅读下列材料： (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： x2=xx-35=(-5)×(+7) ②交叉相乘，验中间项： 7x+(-5x)=2x x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法， (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-10x+21=0: ②x2-5x-6=0: ③3x2-2x-1=0: ④2x2+x-6=0, 题型9换元法解一元二次方程（共5小题） 【模型】把方程中重复出现的式子设为新元，化为一元二次方程求解再回代。 【步骤】先观察重复结构设新元，将原方程化为关于新元的一元二次方程，解出新元，再回代求原未知！ 数并检验。 【易错】设元后须注意新元取值范围，回代时勿漏解：换元要彻底，结果需检验；别忘还原到原未知 数，注意增根与取舍。 46. (25-26九年级上江苏扬州期中)阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一 个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如：解方程-r-6=0,可将方程变形为r-r-6=0,设r=y,则(c=少，原方程化为 y2-y-6=0 当2 ,解得片=-2与=3 时，=-2无意义，含去；当为3时，=3，解得 x=士5，六原方程的解为=V5,戈=5 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：x4-4x2-12=0: (2)已知实数x、y满足 2+2+32x+2-5列-7，求+”的值. 47.(25-26九年级上贵州遵义·期中)阅读材料，解答问题. 解方程：(4r--10(4x-1)+24=0 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 2-10y+24=0 则原方程化为 解得片=6与=4 .4x-1=6或4x-1=4 7 5 六=4，=4 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： 0)-3r+2=0: a-2x-5x+10x-6=0 48.(25-26九年级上江苏宿迁·期中)阅读下列材料： 已疾数黑瑞足园++利小-6的，大求矿+i 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：设m+2=y y+10y-1)=63y2=64 则原方程可化为 ,即 解得y=±8 m2+n2≥0， m2+n2=8 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运 算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.根据以 上阅读材料内容，解决下列问题： ④已知实数y满足2r+2y+3到2r+2y-3列=135，求+少的值： 2-3x+2=0 (2)解方程 (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数. 49.(25-26九年级上山西朔州期中)阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务 换根法 问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解设所尖方程的限为，则=2x,架乞代入已知方程，对引)+皆1-0 y2+2y-4=0 化简，得 2+2y-4=0 故所求方程为 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”， 任务： 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知方程x2-3x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 x2+bx+c=0(a≠0) (2)已知关于x的一元二次方程 有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使 它的根分别是已知方程根的倒数.（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于x的一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0 的两个实数根分别为3，-2，请直接写出关于'的一元 二次方程a(+少+b(y+1)+c=0 的两根。 50.(25-26九年级上贵州铜仁期中)阅读下列材料： 解方程(r--5(r2-1+6=0 解：设-1=y 则原方程化为广-5y+6=0 解得片2，为=3 当少2 时，-1=2 解得：七=±V3 当y=3时，x2-1=3,解得x=2, 六原方程的解为：名=V5,戈=√5.飞=2，飞=2 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的 转化思想. (0)清用上述方法解下列方程：(3x-8-7(3x-8)+12=0 ②尼知实数y满足(2+y+2-5x-5y-19=15,求+少的值. 题型10配方法的应用（共5小题） 18/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】将二次式配成完全平方加常数，用于求最值、解方程或证明非负。 【步骤】先提取二次项系数，加上一次项系数一半的平方，配成完全平方，再结合非负性求最值或解方 程。 【易错】二次项系数须先化1再配方；加上的平方项要减去保持恒等；开方取正负，注意最值在顶点处！ 取得，勿漏符号。 51.(25-26八年级下·浙江绍兴·期中)阅读下列材料： 材料一“2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 (x+2)2≥0.(x+2)2+1≥1.x2+4x+5≥1 解决下列问题： x2-6x+10=(x)2+ (1)填空： x2-2xy+2y2+2y+1=0nx+y (2)已知 ,求的值 (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小，并说明理由 52.(25-26八年级下广西贺州期中)阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小 值. 2+6x+5=+2×xx3+32-32+5=(+3-4,且，(x+320 .当x=-3时，x2+6x+5有最小值-4. 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论x取何值，代数式x2-4x+5的值恒为正数： (2)若代数式x2-2a+4的最小值为-5，求k的值： 53.(25-26七年级下·江苏扬州期中)配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将 一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题.定义：若一个整数能表示成a2+b(a,b为整数)的形式， 则称这个数为“完美数”.例如，13是“完美数”，理由：因为13=22+32，所以13是“完美数”. 解决问题： (1)已知41是“完美数”，请将它写成a+b2(a,b为整数)的形式： ②若-6x-1可配方成(-m+”(m,m为常数)，求m的值： S=x2+4y2+4x-12y+k (3)已知 (c,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值. 54.(25-26七年级下·河南·期中)【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代 数式最值等问题中都有广泛应用. 例如：将2-6x+8先利用配方法变形为(x+m+”的形式，再分解因式. 配方：x2-6x+8 =x2-6x+32-32+8 =(x-3)2-1 分解因式：x2-6x+8 =(x-3)2-1 =（x-3+1)(x-3-1) =(x-2)(x-4) 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把x2-2x-35分解因式， 2+y2+4x-6y+15 (2)代数式 的最小值是 (直接写答案)· (3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b+3c2-2ab-2b-6c+4=0,试判断△ABC的形状，并说明理 20/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由。 55.(25-26八年级上四川眉山期中)阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值.例如： 材料一： =(x+2)2-9 =(x+2+3)(x+2-3) =(x+5)(x-1) 材料二： 2+4-5=++-5 =(x+2)2-92-9 ∴.x2+4x-5的最小值为9. 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：x2+2x-8: (2)已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+b+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周长： (3)已知实数a、b满足-a2+3a+b-5=0,求a+b的最值. 21/21专题04 一元二次方程解法 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的定义（重点） 题型2 化成一元二次方程的一般式（重点） 题型3 已知一元二次方程的解求参数（重点） 题型4 利用配方法配一元二次方程（重点） 提升·进阶突破 题型5 解一元二次方程（重点） 题型6 解一元二次方程错解复原问题（重点） 拔高·压轴破难 题型7 与解一元二次方程有关的新定义型问题（难点） 题型8 十字相乘法解一元二次方程（难点） 题型9 换元法解一元二次方程（难点） 题型10 配方法的应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 一元二次方程的定义（共5小题） 【模型】只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，一般式ax²+bx+c=0（a≠0）。 【步骤】先看是否只含一个未知数，再看未知数最高次数是否为2，最后看是否为整式方程且二次项系数不为0。 【易错】二次项系数a≠0是关键，勿漏；分母含未知数不是整式方程；化简后再判断次数，勿被表面形式迷惑。 1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程是指只含一个未知数、且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.方程中，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，本选项不符合题意； B.方程中，含分式，不是整式方程，本选项不符合题意； C.方程中，含有x、y两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D.方程，是一元二次方程，本选项符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A中方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A不符合题意； 选项B中方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，所以B符合题意； 选项C中方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C不符合题意； 选项D中方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，所以D不符合题意． 4．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 5．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 题型2 化成一元二次方程的一般式（共5小题） 【模型】把一元二次方程整理为ax²+bx+c=0（a≠0）的标准形式。 【步骤】先去分母、去括号，再移项使右边为0，合并同类项，按x²、x、常数项降幂排列。 【易错】移项要变号，勿漏项；合并同类项后二次项系数不能为0；注意去括号变号，降幂排列，常数项符号别写错。 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 7．（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程左边展开，然后移项化为一般形式． 【详解】解：∵， ∴， 移项得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东江门·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，把等号右边的项移到左边即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东梅州·期中）若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 故答案为：2． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 题型3 已知一元二次方程的解求参数（共5小题） 【模型】已知方程的一个解，代入使等式成立，建立关于参数的方程求解。 【步骤】先把已知解代入原方程，得到关于参数的方程，解出参数，再检验二次项系数是否不为0。 【易错】：代入时注意符号与平方，勿漏项；解出参数须检验a≠0；若参数在二次项系数中，别忘讨论是否满足一元二次方程定义。 11．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若是一元二次方程的根，则的值为___． 【答案】 【详解】解：将代入方程， 得，即， 解得． 12．（25-26八年级下·北京·期中）若是关于的方程的根，则的值为_____． 【答案】 【分析】把代入方程得，然后把等式两边除以可得到的值． 【详解】解：把代入方程得， ， ， 即． 13．（26-27九年级上·北京·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 【答案】4 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． 代数式． 代入，得． 14．（25-26九年级下·吉林·期中）若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 15．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 【答案】 100 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 题型4 利用配方法配一元二次方程（共5小题） 【模型】将一元二次方程配方成(x+m)²=n形式，再用开平方法求解。 【步骤】先移常数项，二次项系数化1，两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方，开平方求解。 【易错】二次项系数须先化1再配方；两边加的是一次项系数一半的平方，勿漏；开方取正负，注意n为负时无实数解。 16．（26-27九年级上·陕西·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移常数项至等号右侧后，等式两边加一次项系数一半的平方即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， ． 17．（26-27九年级上·海南·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即． 18．（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将二次方程化为，从而确定和的值，然后求出的值即可． 【详解】解：∵， 配方得，即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴，， ∴． 19．（25-26九年级上·云南昭通·期中）用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则k的值为（   ） A． B．4 C．13 D．17 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握“配方法中需给等式两边加上一次项系数一半的平方以构造完全平方式”是解题的关键． 先通过移项将常数项移到等号右边，再给等式两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最后对比完全平方形式得出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴ 故选：B． 20．（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 提升·进阶突破 题型5 解一元二次方程（共10小题） 【模型】将一元二次方程转化为两个一元一次方程，或配方、代公式求根。 【步骤】先化一般式，再选方法：因式分解降次，或配方开方，或代求根公式，最后写出两根并检验。 【易错】须先化一般式再选方法；因式分解勿漏根，配方注意系数化1，公式法判别式先算；别漏负根与检验。 21．（26-27九年级上·陕西·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】（1） ，．（2） ，． 【详解】（1）解：解方程 ， ， ， 或 ， 解得 ，． （2）解：解方程 ， ， 或 ， 解得 ，． 22．（26-27九年级上·贵州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1 ）直接利用完全平方公式解方程即可         （2 ）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴或， 解得． 23．（26-27九年级上·河南·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或 ∴，； （2）解： ∴， 即 ∴或 ∴，． 24．（26-27九年级上·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项、整理为一般形式，然后运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，． （2）解：，整理，得， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 25．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)（用配方法）； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）先移项，再运用配方法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 则或 解得． 26．（25-26九年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 27．（25-26八年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴， 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 28．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 29．（25-26八年级下·山东青岛·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【详解】（1）解： ，， （2）解： ，； （3）解： ，． 30．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握直接开平方法，因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式求解即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解：， ， ，，， ， ， 解得，； （4）解：， ，，， ， ， 解得，． 题型6 解一元二次方程错解复原问题（共5小题） 【模型】给出含错误的解题过程，逐步排查错因，还原正确解法并求根。 【步骤】先通读错解找可疑步骤，再逐行验证变形依据，定位错误原因，按正确方法重解，最后写出正确根并检验。 【易错】常见错因有漏根、符号错、配方漏项、公式代错；须逐行核对，勿只看结果；检验是否漏解，注意二次项系数不为0。 31．（25-26九年级上·广东佛山·期中）下面是小北同学解一元二次方程的过程： 解： ① ② ③ ④ …… (1)小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法” 解该一元二次方程，上面解答过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你解该一元二次方程． 【答案】(1)配方法；② (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用配方法排查即可； （2）利用配方法运算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴小北选用了配方法在第②步右边没有同时加，出现了错误； 故答案为：配方法；②； （2）解： 或， ∴，． 32．（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键． （）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 33．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：．下面是小睿的解题过程： 解方程：． 解：两边同时约去，得．（第一步） 移项，合并同类项，得．（第二步） 两边同时除以2，得．（第三步） (1)小睿的解题方法是从第 步开始出现错误的； (2)请你用因式分解法正确的解出这道题． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）第一步的变形不符合等式的性质，小睿在两边同时约去，没有考虑到的情况； （2）先移项，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况 ∴小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的． 故答案为：一． （2）解： ∴或 ∴，． 34．（25-26九年级上·福建泉州·期中）数学课堂上，张老师让小明到黑板上板书计算一个方程的解答过程：用配方法解． 小明的解答过程如下： 解：原方程可化为，…………………………………………………… 第一步 配方，得，……………………………………第二步 即，…………………………………………………………………… 第三步 直接开平方，得，………………………………………………………第四步 所以．………………………………………………………第五步 (1)小明同学的解答过程从第___________步开始出现错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2) 原方程可化为：． 配方，得， 即． 直接开平方，得， 所以，． 公式法： ，，， ， ， 解得，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即， 小明同学的解题过程从第二步开始出现错误； 故答案为：二； （2）略 35．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次系数化为1，得……第一步 移项，得……第二步 配方，得，即……第三步 由此，可得……第四步 所以，……第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ； ②“第二步”变形的数学依据是 ； ③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ． 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 【答案】任务一：转化；完全平方公式（或填）；②等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；③三；，；任务二：， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： 任务一：①根据转化思想，完全平方公式进行作答即可；②根据等式的基本性质，进行作答即可；③第三步方程两边应该同时加1，而不是4，求出正确结果即可； 任务二：利用配方法的步骤解方程即可． 【详解】解：任务一：①体现的数学思想是转化；“配方法”所依据的数学公式为完全平方公式（或填）． ②变形依据为等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； ③第三步出现错误，方程两边应同时加1； 配方，得，即， 由此，可得， ∴，； 任务二： 解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 拔高·压轴破难 题型7 与解一元二次方程有关的新定义型问题（共5小题） 【模型】按新定义规则将问题转化为一元二次方程，再用常规方法求解。 【步骤】先读懂新定义含义，按定义列出一元二次方程，化为一般式，选合适方法解方程，最后检验并取舍。 【易错】须严格按新定义列式，勿套用旧法则；解出根要检验是否符合定义限制；注意二次项系数不为0，别漏取舍条件。 36．（25-26九年级上·广西玉林·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“完美方程”，并说明理由． (2)已知是关于x的“完美方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1) 方程 是“完美方程”，理由如下： ，，， ， 一元二次方程 是“完美方程”； (2)或 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，代入判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，求出，的关系式，然后把化成，代入方程，得到关于的方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解： 是关于的“完美方程”， ，，， ， ， ， 原方程可化为， 是此方程的一个根， ，即， 解得或． 37．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 38．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． (1)点，，中，不是“完美点”的是________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点是“完美点”，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2026或2028 【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）根据点是“完美点”，得出，即，当时，当时，分别求解即可； （3）根据点是“完美点”，得出，即，分当时，当时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，故点是“完美点”； ∵，故点是“完美点”； ∵，故点不是“完美点”； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴， 当时，则，解得或（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴． （3）解：∵点是“完美点”， ∴，即， ∴， 当时，恒成立，则； 当时，，则， ∴， ∴ ． 综上，原式的值为2026或2028． 39．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 40．（25-26九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（，是整数），所以也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若是“完美数”，可配方成（，为整），求与的值； (3)已知实数，均满足，求代数式的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把配方成的形式，即可求解； （3）根据，可得，则原式变形为，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴7不是“完美数”； ， ∴10是“完美数”； ∵， ∴15不是“完美数”； ∵， ∴34是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵，可配方成（，为整）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 即当时，代数式取得最小值，最小值为1． 题型8 十字相乘法解一元二次方程（共5小题） 【模型】把二次三项式分解为两个一次因式乘积，令各因式为0求根。 【步骤】先化一般式，分解二次项与常数项，交叉相乘凑一次项，写成两因式积为0，令各因式为0求根。 【易错】十字相乘须凑准一次项系数，符号别弄错；分解不彻底或凑不出时改用其他方法；勿漏根，注意常数项符号与分解方向。 41．（23-24八年级下·全国·暑假作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 42．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 43．（2026九年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： Ⅰ．将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种利用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相乘法． Ⅱ．根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或 (2)， (3)， (4)， 【分析】利用十字相乘法进行因式分解解方程即可. 【详解】（1）解：由题意，得． 即或， 或． （2）解：由题意，得， 或， ，． （3）解：由题意，得， 即或， ，． （4）解：由题意，得， 即或， ，． 44．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 45．（25-26八年级下·北京·课后作业）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，；②，；③，；④， 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】解：①， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ②， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ③， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ④， 因式分解得： ∴或 解得：，． 题型9 换元法解一元二次方程（共5小题） 【模型】把方程中重复出现的式子设为新元，化为一元二次方程求解再回代。 【步骤】先观察重复结构设新元，将原方程化为关于新元的一元二次方程，解出新元，再回代求原未知数并检验。 【易错】设元后须注意新元取值范围，回代时勿漏解；换元要彻底，结果需检验；别忘还原到原未知数，注意增根与取舍。 46．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 47．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，，， (2)，， 【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； （2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 48．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）由已知等式设，得出，求出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 49．（25-26九年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 换根法 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 任务： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_____． (2)已知关于的一元二次方程有两个均不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．（要求：把所求方程化为一般形式） (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3，，请直接写出关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，整体换元法，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法． （1）设所求方程的根为，则，所以，代入原方程即可得； （2）设所求方程的根为，则，于是，代入方程整理即可得； （3）由题意可得，分别解答即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有， 那么方程有一个根为0，不合题意， ， 故所求方程为； （3）解：根据题意可得， 或， 解得或， 所以关于的一元二次方程的两根为或． 50．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出y的值即可得到答案； （2）设，则原方程化为，利用因式分解法解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． 题型10 配方法的应用（共5小题） 【模型】将二次式配成完全平方加常数，用于求最值、解方程或证明非负。 【步骤】先提取二次项系数，加上一次项系数一半的平方，配成完全平方，再结合非负性求最值或解方程。 【易错】二次项系数须先化1再配方；加上的平方项要减去保持恒等；开方取正负，注意最值在顶点处取得，勿漏符号。 51．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 52．（25-26八年级下·广西贺州·期中）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 53．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成(a，b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，13是“完美数”，理由：因为 所以 13 是“完美数”． 解决问题： (1)已知是“完美数”，请将它写成(a，b为整数)的形式； (2)若可配方成 (m，n为常数)， 求 mn的值； (3)已知 (x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完美数的定义变形成，即可得到答案； （2）将根据完全平方公式进行配方即可； （3）将式子化简成，根据“完美数”的定义得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 其中只有是两个平方数的和， ； （2）解： ， ， ； （3）解：， 要使S对任意整数x, y都为“完美数”，则， 解得． 54．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 55．（25-26八年级上·四川眉山·期中）阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【答案】(1) (2)12 (3)的最小值4，无最大值 【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长． （3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 的周长为； （3）解：， ， ， ， ， ， 有最小值4，无最大值． $